指数Léevy局部风险最小化的数值分析

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英文标题：
《Numerical analysis on local risk-minimization forexponential L\\\'evy
  models》
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作者：
Takuji Arai, Yuto Imai and Ryoichi Suzuki
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We illustrate how to compute local risk minimization (LRM) of call options for exponential L\\\'evy models. We have previously obtained a representation of LRM for call options; here we transform it into a form that allows use of the fast Fourier transform method suggested by Carr & Madan. In particular, we consider Merton jump-diffusion models and variance gamma models as concrete applications.
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中文摘要：
我们举例说明了如何计算指数Léevy模型的看涨期权的局部风险最小化（LRM）。我们之前已经获得了LRM的看涨期权代表；在这里，我们将其转换为一种形式，允许使用卡尔和马丹建议的快速傅里叶变换方法。特别地，我们考虑了Merton跳跃扩散模型和方差gamma模型作为具体应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：数值分析 Applications Minimization Quantitative Presentation

指数L′evymodelsTakuji Arai局部风险最小化的数值分析*, Yuto Imai+和Ryoichi Suzuki2021年11月8日摘要我们说明了如何计算指数L’evy模型的看涨期权的局部风险最小化（LRM）。我们之前已经获得了LRM的看涨期权代表；在这里，我们将其转换为一种形式，允许使用卡尔和马丹提出的快速傅里叶变换方法。特别地，我们考虑了Merton跳扩散模型和方差Gamma模型作为具体应用。关键词：局部风险最小化；快速傅里叶变换；Ex p onential L′evyprocess；默顿跳跃扩散过程；方差伽马过程。1简介局部风险最小化（LRM）是一种在不完全市场中对未定权益进行套期保值的方法，已有20多年的历史。虽然它的理论方面已经得到了很好的研究，但相应的计算方法还没有得到充分的发展。本文旨在说明如何数值计算指数L’evymodels中的看涨期权的LRM。据我们所知，这一贡献是第一次解决这个问题。在Arai&Suzuki[1]中，我们通过使用基于规范L’evyspace的L’evy过程的Malliavin演算，获得了呼叫选择的LRM表示。在这里，我们将结果转换为一种形式，允许应用Carr&Madan[4]提出的快速Fourier变换方法。

特别是，Merton跳跃扩散和方差gamma模型是常见的类*庆应大学经济系，地址：日本东京弥敦谷三田2-15-45，108-8345，电子邮件：arai@econ.keio.ac.jp+早稻田大学数学系，地址：日本东京新宿区大久保3-4-1号，169-8555，电子邮件：y。imai@aoni.waseda.jp庆应大学数学系，3-14-1日本横滨小冈区Hiyoshi Kohoku，223-8522，电子邮件：reicesium@gmail.com1作为我们方法的具体应用，对指数L’evy模型的介绍进行了讨论。考虑一个由一项无风险资产和一项风险资产组成的金融市场，其有限时间范围t>0。为简单起见，我们假设市场利率为零，即无风险资产的价格始终为1 AT。假设风险资产的波动在完全概率空间上用指数过程来描述(Ohm, F、 P），用t描述：=Sexput+σWt+ZRxeN（[0，t]，dx）对于t∈ [0，T]，其中S>0，u∈ R、 σ>0，R:=R\\{0}。这里W是一个一维布朗运动，N是泊松随机测度N的补偿形式。表示N的L′evy测度，我们haven（[0，t]，a）=N（[0，t]，a）-tν（A）表示任何t∈ [0，T]和A∈ B（R）。此外，S也是随机微分方程DST=St的解-uSdt+σdWt+ZR（ex-1） eN（dt，dx）,式中：uS:=u+σ+RR（ex- 1.- x） ν（dx）。在不损失通用性的情况下，为了简单起见，我们可以假设S=1。现在，定义Lt:=log Stfor allt∈ [0，T]，我们得到了一个L′evy过程L。此外，dMt:=St-σdWt+RR（ex-1） eN（dt，dx）是S的鞅部分。我们的重点是开发一种关于看涨期权（ST）的LRM计算方法- K） +执行价K>0。我们不会在本文件中回顾LRM的定义；有关详细信息，请参见Schweizer（[16]，[17]）。

我们首先介绍了[1]中给出的指数L’evy模型中此类期权的显式LRM表示。定义最小鞅测度P*作为一个等价鞅测度，在该测度下，与M正交的任何平方可积P-鞅仍然是鞅。它的密度由dp给出*dP=exp-ξWT-ξT+ZRlog（1）-θx）N（[0，T]，dx）+TZRθxν（dx）,式中ξ：=uSσ+RR（ey-1） ν（dy）和θx:=uS（ex-1） σ+RR（ey）-1） v（dy）代表x∈ R.在开发我们的方法时，我们依赖于以下内容：假设1.1。1.RR（| x）|∨x） ν（dx）<∞, 安德烈（前）-1） nν（dx）<∞ forn=2，4。(Ohm, F、 P）取一维维纳空间与N的正则L′evyspace的乘积。此外，我们取F={Ft}t∈[0，T]作为P的完整规范过滤。有关规范L’evy空间的更多详细信息，请参见[19]和[1]。1简介2。0≥ uS>- σ-RR（前-1） ν（dx）。第一个条件确保了uS、ξ和θx得到了很好的定义，L的平方可积性和R的唯一性（例如- 1） nν（dx）表示n=1，3。第二种方法保证θx<1∈ R.此外，根据Girsanov定理，WP*t:=Wt+ξt和np*（[0，t]，dx）：=θxν（dx）t+eN（[0，t]，dx）是P*布朗运动与N-under的补偿泊松随机测度*, 分别地然后我们可以重写Ltas Lt=u*t+σWP*t+RRxeNP*（[0，t]，dx），其中u*:= -σ+RR（x）- ex+1）（1）- θx）ν（dx）。注意，即使在p下，L也是一个L′evy p进程*, L′evy测度由νP给出*（dx）：=（1）- θx）ν（dx）。LRM将作为一个可预测的过程LRMt给出，它代表投资者在时间t持有的风险资产的单位数量。首先，我们定义：=EP*[1{ST>K}ST|Ft-] , （1） I:=ZREP*[（STex- （K）+-（圣- K） +|英尺-]（例如-1） ν（dx）。（2） 我们对LRM的显式表示为看涨期权（ST-K） +则如下：命题1.2（命题[1]中的命题4.6]）。对于任何K>0和t∈ [0，T]，LRMt=σI+ISt-σ+RR（ex-1） ν（dx）. （3） 备注1.3。1.

假设-1） ν（dx）<∞ [1]第4.6条中规定。如果我们市场的利率是r>0，那么（3）变成了RMT=e-r（T）-t） σI+ISt-σ+RR（ex-1） ν（dx）,和P*用ξ和θxbecoming（uS）重写-r） σ+RR（ey）-1） ν（dy）和（uS）-r） （例如-1） σ+RR（ey）-1） ν（dy），分别为。此外，假设1.1中的第二个条件将修改为0≥ uS- r>-σ-RR（前- 1） ν（dx）。也就是说，非零r只需要我们用u替换u-r，然后将lrmt的表达式乘以e-r（T）-t） 这意味着我们可以很容易地将r=0的结果推广到r>0的结果。为了简单起见，本文只处理r=0的情况。从命题1.2的观点出发，我们必须计算STunder P的泛函的条件期望*以数值计算LRMT。然而，似乎没有任何直接的方法来指定P下ST（或等效LT）的概率密度函数*. 相反，1简介由于L是一个L’evy过程，在P下指定其特征函数可能比较容易*. 因此，基于Fourier变换的数值方法适用于计算LRM。此外，Car r&Madan[4]介绍了一种基于快速傅立叶变换（FFT）的期权估值数值方法。我们利用这一点开发了LRM的数值方法。为此，我们根据LT的特征函数推导出Iand Iin的积分表达式-tunder P*并将它们重新塑造成一种可以应用卡尔-马丹方法的形式。特别是，我将给出傅里叶变换的线性组合。在本文中，我们考虑了L的两个具体指数L’evy过程。第一个过程是由Merton[14]引入的跳跃扩散过程。这包括布朗运动和具有正态分布跳跃大小的复合泊松跳跃。

第二个是方差伽马过程，这是一个在任何有限时间间隔内有无数跳变且没有布朗成分的L’evy过程。这是由[12]引入的，可以定义为时变布朗运动。许多论文（如[4]、[13]）都在资产价格的背景下对其进行了研究。Schoutens[15]提供了关于这两个L\'evy过程的更多细节，以及更多单一L\'evy模型的示例。与LRM相关的数值实验有大量研究（例如，[3]、[7]、[8]、[10]、[11]、[21]），但据我们所知，我们是第一次尝试为指数L’evymodel开发基于FFT的数值LRM方案。K’elani和Quittard Pinon[9]研究了一种最优套期保值策略，该策略与LRM相似，但与LRM不同，适用于指数所有evy模型，并采用了与Carr和Madan[4]方法分离的傅里叶变换方法。作为一个重要的区别，他们假设S是潜在概率测度下的阿马丁格尔。相反，我们不做这个假设。因此，我们需要在P*, 也就是说，计算S的泛函在P*. 然而，S的结构不再是在度量值改变下保留的。例如，当Lis是P下的方差伽马过程时，P下就不是这样了*. 因此，我们的设置更具挑战性，但也更自然。本文的其余部分组织如下：第2.1小节介绍了卡尔-马丹方法，第2.2小节介绍了土地和土地的整体表示。默顿跳跃扩散模型在第3节中进行了研究，该节从数学预备知识开始，然后是数值结果。第4节同样致力于方差伽马模型。默顿[14]也为这些模型提出了套期保值方法，但这与LRM不同。

有关更多详细信息，请参见[5]的第10.1节。2准备工作2准备工作2。1数值方法我们简要回顾了Carr–Madan方法，这是一种基于FFT的期权定价数值方法。由[6]引入的FFT是一种数值方法，用于计算给定b yF（l）：=N的离散傅里叶变换-1.∑j=0e-i（2π/N）jlxj（4）对于l=0，N- 1，其中{xj}j=0，。。。，N-1是R上的序列，其中N通常是2的幂。与通常的傅里叶变换方法的O（N）相比，FFT只需要O（N logN）算术运算。卡尔-马丹方法的目的是有效计算E[（ST-K） +]当S是P-鞅时。回想一下，我们只考虑利率为零的情况。表示k:=logk和C（k）：=E[（ST-ek）+]，我们有c（k）=πZ∞E-i（v）-iα）kφ（v）- iα- i） i（v）-iα[i（v）]-iα）+1]dv（5）表示α>0且E[Sα+1T]<∞, 其中φ是LT的特征函数。注意，（5）的右侧与α的选择无关。现在，wedenoteψ（z）：=φ（z）-i） iz（iz+1）代表z∈ C.使用梯形法则，我们可以由此近似C（k）asC（k）≈πN-1.∑j=0e-i（ηj）-iα）kψ（ηj）-iα）η，（6）其中N表示网格点的数量，η>0表示相邻网格点之间的距离。（6）的右边对应于区间[0，Nη]上（5）中的积分，所以我们需要指定N和η，以便πZ∞Nηe-i（v）-iα）kψ（v）-iα）dv< ε（7）表示足够小的值ε>0，表示允许误差。通过合并辛普森的规则权重，我们可以重写（6）asC（k）≈πN-1.∑j=0e-i（ηj）-iα）kψ（ηj）- iα）η（3+(-1） j+1-δj），其中δjis是Kroneckerδ函数。我们定义（l）：=e-αkπN-1.∑j=0e-i2πNjleiπjψ（ηj-iα）η（3+(-1） j+1-δj）2对于l=0，N-1，它是（4）中给出的离散傅里叶变换。

ThisyieldsC（k）≈ Fk+πηNη2π.只要我们取η，使| k |<π/η，我们就可以利用FFT来计算（k）。2.2积分表示我们接下来将推导出（1）和（2）中定义的I和I的积分表达式，并对它们进行迭代，从而使Ca rr–Madan方法可用。回想一下，假设1.1应用程序贯穿始终。从第2.1小节中可以看出，如果Iandia以与（5）相同的形式表示，我们可以通过Carr–Madan方法计算它们。因为在P*, （5）中ψ对应的函数应包括LT的特征函数-tunder P*, 用φT表示-t（z）：=EP*[eizLT-t] 为了z∈ C.首先，我们导出I（=EP）的积分表示*[1{ST>K}ST|Ft-])φT-t使用[20]中的命题2：命题2.1。对于K>0，EP*[1{ST>K}·ST | Ft-] =πZ∞K-四、-α+1α -1+ivφT-t（v- iα）Sα+ivt-dv（8）适用于所有t∈ [0，T]和α∈ （1，2）.注意，右边与α的选择无关.证明.定义G（x）：=1{x>K}·x，G（x）：=G（ex）对于任何x∈ R、 和^g（z）：=RReizxg（x）dx表示任何z∈ 我们使用一个引理：引理2.2。让我成为L的一个独立副本。那么，我就不会了-t+Lt-P*-d=LTT代表所有∈ [0，T]，其中AP*-d=B表示P定律中的A=B*.引理2.2的证明。[2]的命题I.7暗示P*（Lt-= Lt）=1。因此，LtP*-d=Lt-. 因为L’evy过程有独立的和固定的增量，所以我们有LT=LT- Lt+LtP*-d=L′T-t+Lt。回到命题2.1的证明，从引理2.2我们得到了*[1{ST>K}·ST|Ft-] = EP*[G（ST）|英尺-] = EP*[g（L′T-t+Lt-) | 英尺-]=ZRg（x+Lt）-)p（dx），其中p（A）：=p*（我没有-T∈ A） 对于任何一个∈ B（R）。

根据[20]中第2点的证明（22）-（25），如果有α∈ （1,2]满足2个初步条件（a）g（x）e-αx是R，（b）g（x）e上的有限变化-αx∈ L（R）、（c）EP*[eαLT-t] <∞, 和（d）RR |φT-t（v-iα）|1+|v|dv<∞,thenZRg（x+Lt）-)p（dx）=2πZR^g（v+iα）φT-t(-五、- iα）Sα-ivt-α∈ （1，2），这与α的选择无关。因此，在条件（a）-（d）下，我们有*[1{ST>K}·ST|Ft-] =2πZR^g（v+iα）φT-t(-五、-iα）Sα-ivt-dv=πZ∞^g(-v+iα）φT-t（v-iα）Sα+ivt-dv=πZ∞K-四、-α+1α -1+ivφT-t（v-iα）Sα+ivt-dv。我们只需确认条件（a）-（d）成立即可。条件（a）和（b）是显而易见的。为了证明条件（c），有必要显示-T∈ L（P*)无论如何∈ [0，T]。注意，我们有ZR（例如-1） νP*（dx）=ZR（ex-1） ν（dx）+uS |σ+RR（ex-1） ν（dx）ZR（ex）-1） ν（dx）<∞ .因为S是dSt=St的解决方案-（σdWP）*t+RR（前- 1） 恩普*[18]中的定理117暗示了∈[0，T]| St |∈ L（P*).接下来，我们展示条件（d）。注意φT-t（v- iα=EP*经验（iv+α）u*（T）-t） +σWP*T-t+ZRxeNP*（[0，T-t] ，dx）.（9） 在右手边，我们有EP*经验（iv+α）ZRxeNP*（[0，T- t] ，dx）≤ EP*经验αZRxeNP*（[0，T- t] ，dx）< ∞ , （10） 2.预备工作*eαLT-T= EP*经验αu*（T）- t） +σWP*T-t+ZRxeNP*（[0，T- t] ，dx）= eu*（T）-t） EP*eασWP*T-TEP*eαRRxeNP*（[0，T-t] ，dx）,EP*eασWP*T-T= expnασ（T）- t） 哦，还有EP*eαLT-T< ∞. 此外，我们获得EP*[exp{（iv+α）σWP*T-t} ]= 经验(α-v） σ（T）-（t）. （11） 因此，我们得到了（9）-（11）ZR |φT-t（v- iα）|1+|v | dv<CZR1+|v | exp-σ（T）-t） 五dv<∞对于一些C>0的人来说。这就完成了命题2.1的证明。我们将（8）演化成与（5）相同的形式，如下所示：I=EP*[1{ST>K}·ST|Ft-] =πZ∞K-四、-α+1α - 1+ivφT-t（v-iα）Sα+ivt-dv=ekπZ∞E-i（v）-iα）kψ（v）-iα）dv（12），其中k:=logk和ψ（z）：=φT-t（z）sidt-伊兹-1关于z∈ C.因此，我们可以根据第2小节用FFT计算I。

1.我们转到I的旁边*[（STex-（K）+-（圣-K） +|英尺-]（例如-1） ν（dx））。首先，我们有以下积分表示：命题2.3。对于任何K>0，EP*[（圣-K） +|英尺-] =πZ∞K-四、-α+1φT-t（v-iα）Sα+ivt-(α - 1+iv）（α+iv）dv（13）对于任何t∈ [0，T]和任意α∈ （1，2）。注意，右边与α证明的选择无关。我们可以在与命题2.1b相同的情况下看到这一点，但G（x）=（x）- K） +。注意，（13）与（5）重合，其中α- 1 in（13）c对应于αin（5）。2表示ψ（z）：=φT的预备句-t（z）sidt-（伊兹）-1） Izz∈ C和ζ：=v-我知道了*[（圣-K） +|英尺-] =πZ∞K-四、-α+1φT-t（v-iα）Sα+ivt-(α - 1+iv）（α+iv）dv=πZ∞K-iζ+1φT-t（ζ）Siζt-（iζ- 1） iζdv=πZ∞K-iζ+1ψ（ζ）dv=：f（K）。（14） 注意，f（K）是用FFT计算的。此外，Fubini定理也意味着i=ZREP*[（STex-（K）+-（圣- K） +|英尺-]（例如-1） ν（dx）=ZRexf（e）-xK）- f（K）（例如-1） ν（dx）=ZRexπZ∞（克-十）-iζ+1ψ（ζ）dv-πZ∞K-iζ+1ψ（ζ）dv（例如-1） ν（dx）=ZRπZ∞（eiζx）-1） K-iζ+1ψ（ζ）dv（例如-1） ν（dx）=πZ∞K-iζ+1ZR（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）ψ（ζ）dv，（15）与（5）的形式相同，因为（15）的被积函数是ζ的函数。然而，我们不能按目前的数值计算（15），因为不可能计算积分rr（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）直接。因此，我们需要进行进一步的模型相关计算。在第3节和第4节中，我们分别将（15）演化为埃尔顿跳跃扩散模型和方差伽马模型的傅里叶变换的线性组合。备注2.4。关于St的LRMt、I和Ias功能-还有K，我们有-, K） /St-= 二（1，K/St）-) 对于i=1，2乘（8）和（15），以及lrmt（St-, K） =σI（St-, K） +I（圣-, K） 圣-σ+RR（ex-1） ν（dx）=σI（1，K/St）-) + I（1，K/St）-)σ+RR（ex-1） ν（dx）乘以（3）。因此，LRM是K/St的函数-=: mt-, 山在哪里-这就是所谓的金钱。因此，我们用LRMt（mt）来表示LRMt-). 作为其副产品，我们可以分析LRM上的跳转im协议。