具有终端条件的汇率目标区模型

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英文标题：
《An Exchange Rate Target Zone Model with a Terminal Condition and
  Mean-Reverting Fundamentals》
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作者：
Viktors Ajevskis
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper proposes a target zones exchange rate model with a terminal condition of entering a currency zone. It is assumed that the exchange rate is a function of the fundamental and time. Another essential assumptions of the model is that the fundamental process is bounded inside a band and that terminal condition for the exchange rate holds. The fundamental is specified in two ways: as a regulated Brownian motion and Ornstein-Uhlenbeck processes. For the case of the Brownian motion process the closed form solution of the problem is obtained, whereas for the Ornstein-Uhlenbeck process the closed form solution does not exist, therefore we had to use numerical method for solving of the problem. Both specifications are compared numerically.
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中文摘要：
本文提出了一个目标区汇率模型，其终端条件是进入一个货币区。假设汇率是基本面和时间的函数。该模型的另一个基本假设是，基本过程在一个区间内有界，并且汇率的终端条件成立。基本原理有两种形式：一种是调节布朗运动，另一种是Ornstein-Uhlenbeck过程。对于布朗运动过程，得到了问题的闭式解，而对于Ornstein-Uhlenbeck过程，不存在闭式解，因此我们必须使用数值方法来解决问题。对两种规格进行了数值比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> An_Exchange_Rate_Target_Zone_Model_with_a_Terminal_Condition_and_Mean-Reverting_.pdf (374.25 KB)

2022-5-8 09:10:18 上传

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关键词：目标区 Fundamentals Applications Quantitative Differential

拉脱维亚维克托人AjevskisBank Abstract。本文提出了一个以进入货币区为基本条件的目标区汇率模型。假设交换率是基波和时间的函数。该模型的另一个基本假设是，基本过程被限制在带[-f，f]内，汇率的终端条件保持不变。利用伊藤引理，我们得到了汇率的抛物偏微分方程。基本原理有两种形式：一种是调节布朗运动，另一种是Ornstein-Uhlenbeck过程。对于布朗运动过程，得到了问题的闭式解，而对于Ornstein-Uhlenbeck过程，闭式解不存在，因此我们必须使用数值方法来解决问题。对两种规格进行了数值比较。关键词：Ornstein-Uhlenbeck过程，伊藤引理，Kumer函数1。引言宏观经济学中最重要的问题之一是货币汇率模型的建立。模型有助于理解汇率动态以及汇率与其他宏观经济变量的相互作用。汇率制度主要有两种：自由浮动和固定于某种货币或货币篮子。所谓的目标区是两者的混合体。在维持目标区域政策时，货币当局承诺将某一特定货币或一篮子货币的汇率保持在某一平价附近的特定区间内。最成功的汇率目标区模型是byP提出的。克鲁格曼（见克鲁格曼，P.（1991））。

克鲁格曼认为，邮件：维克多人。Ajevskis@bank.lvThe本文中表达的观点由作者全权负责，不一定反映拉脱维亚银行的立场。与其他资产的价格类似，汇率与综合“基本面”呈线性关系，包括货币汇率的各种基本决定因素（如国内产出、货币供应量、国外利率、价格水平等），以及未来汇率的预期变化。基本面包含两个组成部分：外生和随机组成部分，称为“速度”和货币供应量，由中央银行控制。克鲁格曼假设速度是无漂移的布朗运动。克鲁格曼在他的模型中基本上使用了目标区域永远存在的假设。这种假设是不现实的，因为目标区域通常存在有限的时间段。在我们的工作中，我们将克鲁格曼模型推广到目标区域存在有限时间的情况，并考虑了汇率的终端条件。ERM II就是这种情况的一个例子，它假设参与这一机制的国家必须对欧元保持±15%的宽目标区。在成功完成后一项和其他马斯特里特标准后，这些国家将放弃本国货币，进入欧元区。在我们之前的研究（Ajevskis 2011）中，我们将基本原理指定为规则布朗运动。在预设的文章中，我们考虑的是规定的Ornstein-Uhlenbeck过程。

这种规范对应于允许边际干预和边际内干预的货币政策。不幸的是，对于Ornstein-Uhlenbeck基本原理，不存在非平稳问题的解析解，因此我们必须使用数值方法来解决该问题。将所得结果与布朗运动的基本情况进行了比较。2.目标区汇率模型，其终端条件为进入货币区，基本面由Ornstein-Uhlenbeck随机过程驱动。采用标准货币汇率模型（[4]）。在模型中，假设汇率e（τ）取决于基本面f（τ），以及汇率的一个预期变化：/（[）（）（ταττddeEfe+=，>α，（1），其中e[（）]（（））[（）/]limse de dsτττττ→ ++ -=,Eτ是数学期望算子，其条件是直到时间τ为止的可用信息。假设直接影响货币供应量的外汇市场干预措施是为了防止基本面波动超出基本面规定的范围。因此，我们假设基本面存在上下限，因此基本面满足fff<<）（τ。边际干预使用“调节器”U和L建模，它们是单调的连续过程；边际干预可以表示为：dm=dL–dU，其中dL≥0，杜≥0.dL代表案例中货币供应量的增加，dU代表案例中货币供应量的减少。一旦基本面在乐队内部移动，边缘干预就会停止。现在假设货币政策也允许边缘干预。

这种情况可以用均值回复（Ornstein-Uhlenbeck）过程建模。当基本面遵循规范的Ornstein-Uhlenbeck过程时，基本面随机微分方程的形式如下：df（τ）=-ρ（f（τ）u）dτ+σdw（τ）–dU+dL，（2）其中ρ和σ为正常数；u是f的长期水平，ρ是过程向u调整的速度。；w（τ）是标准的维纳过程，e（dw）=0，e（dw）=dτ。现在考虑一下这个函数→×+：对于第一个参数是连续可微的，对于第二个参数是两次连续可微的。应用它的引理，我们得到：dwfedfede++--=)（（3）从方程（3）的两侧取数学期望，注意eτ（dw）=0，我们有：这意味着：）（）（菲迪）+--=σ∑τρτ（4）通过重新排列我们得到的方程项，将（4）代入方程（1）。（5） 假设在未来某个特定时刻，一个维持汇率目标区制度的国家将进入欧元区。在这种情况下，在时间T，汇率不依赖于f。这意味着，终端条件：e（T，f）=0（6）成立。很明显，在进入货币区的那一刻，这一条件是避免套利的必要条件。我们应用变换t=tτ，将方程（5）改写为：（7）条件（6）将改变toe（0，f）=0。（8） 平滑粘贴条件不受转换的影响：0），（），（）==系统（7）-（9）是抛物型方程的初边值问题。

我们将以（^），（），（*feftefte+=，（10）的形式寻求解决方案，其中^是以下静态问题的解决方案：ffeffffe-=---)(^)(^)()(^uαρασ,                                          (11)0)(^)(^==ffe（12）获得平稳方程（11）的通解并不困难：+-=)（，）fMCfe（）+++-+-+)（，，ffMfCwhere[][]（）zbaM，，是汇合超几何库默函数（Abramowitz，M.，Stegun，I.A.（1964））；Cand Care集成常数。对于对称情况（当u=0和ff时）-= )  常数C=0以及C2和f的值可从两个方程组中获得：=·+·--·+·+-+=·+·-+0，，，，，σραραρσρσραρασαρραρσραραραρρσραρfMCfMfCefMfCf（13）3。非平稳问题的数值建模（7）解只能通过数值方法获得，并考虑从（13）中获得的基本边值。为此，我们使用了包装Mathlab 7。0.系统的数值解（7）如图1所示。对参数值u=0，ρ=1,3,01.0=eand01的系统进行了求解。0-=e（对应于value）。图1。汇率假设问题（7）（9）不存在解析解。该解只能通过数值方法获得，并考虑从（13）中获得的基本方程的边界值。为此，我们使用了系统（7）（9）的数值解，如图1所示。针对参数值u=0，ρ=1，σ=0.1，α=（对应于关于parity1的±1%目标区）对系统进行了求解。汇率是基本面和时间的函数。（9）不存在分析解。

该解只能通过数值方法获得，并考虑从（13）中获得的基本方程的边界值。为此，我们使用的（9）显示在=1%的目标区域，图2显示了t=0,0.15,0.6,1.95,3年时溶液的截面e（o，f）。如图所示，进入货币区的时间越短，汇率对根本性变化的敏感性就越低。t=3对应于克鲁格曼模型的解。图2。作为不同时刻基本面函数的汇率区间。对应于边界值的解e（t，±f）如图3所示。给定的解决方案定义了汇率应该接受的区域。当进入货币区的时刻临近时，上利润率下降，下利润率上升。两种保证金的绝对值逐渐下降，3年后（欧元引入时间）收敛到0。为了进行比较，我们一起绘制了调节布朗运动和均值回复基本原理的单图解。对于SmallTargetZone，模型的两种规格的汇率函数依赖性之间的差异很小。对于相同的参数值，具有均值回复基本原理的模型比具有调节布朗运动基本原理的模型允许基本原理的带稍宽-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.015-0.01-0.0050.0050.010.015t=0t=0.15t=0.6t=1.95t=3图3。汇率目标区边界的时间动力学。图4。布朗运动和具有不同持久性的OU过程的固定汇率目标区问题的解。图4显示了不同ρ值的平稳问题的解决方案。

直线对应于自由浮动溶液。边缘内干预力度越大，固定靶区宽度的基本范围越宽。当ρ接近0时，具有均值回复基本的模型的解收敛到具有布朗运动指定基本的模型的解。结论本研究对克鲁格曼的目标区模型进行了推广，适用于均值回复基本面和存在与加入货币区相对应的终端条件的情况。该模型的主要假设是，央行不允许基本面超过区间-边界，“平滑粘贴条件”和零终止条件。该模型具有基本的、受监管的Ornstein-Uhlenbeck过程，对应于允许中央银行进行边缘干预的货币政策。对于这种情况，只有平稳问题有解析解；对于非平稳问题，不存在解析解，因此我们必须使用数值方法来解决问题。提出的模型可供货币当局使用，他们维持目标区域货币政策，并打算进入紧急区域。参考Abramowitz，M.，Stegun，I.A.（1964）：数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。华盛顿：美国ZF印刷局，1964年。第504-535页。《应用经济学快报》2011年第18卷，第13-151273-1278号。杜马B.（1991）：“超级接触和相关最优条件”，《经济动力学与控制杂志》，15675-85。哈里森，J.M.（1985）：布朗运动和随机流动系统。约翰·威利父子公司。

1985年，克鲁格曼，P.（1991）：目标区和汇率动态。经济学季刊。106页，第311-325页。1991.Skohokhod，A.V.，Gihman，I.I.（2004）：随机过程理论。斯普林格·维拉格，柏林，第1卷，第2卷。2004