具有一般信号和目标区清算的最优交易

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英文标题：
《Optimal Trading with General Signals and Liquidation in Target Zone
  Models》
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作者：
Christoph Belak, Johannes Muhle-Karbe, Kevin Ou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study optimal trading in an Almgren-Chriss model with running and terminal inventory costs and general predictive signals about price changes. As a special case, this allows to treat optimal liquidation in \"target zone models\": asset prices with a reflecting boundary enforced by regulatory interventions. In this case, the optimal liquidation rate is the \"theta\" of a lookback option, leading to explicit formulas for Bachelier or Black-Scholes dynamics.
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中文摘要：
我们研究了具有运行和终端库存成本以及价格变化一般预测信号的Almgren-Chris模型中的最优交易。作为一种特殊情况，这允许在“目标区模型”中处理最佳清算：由监管干预实施的具有反映边界的资产价格。在这种情况下，最优清算率是回望期权的“θ”，这导致了Bachelier或Black-Scholes动力学的显式公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_Trading_with_General_Signals_and_Liquidation_in_Target_Zone_Models.pdf (275.16 KB)

2022-6-10 08:52:13 上传

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关键词：目标区 Quantitative intervention Optimization liquidation

目标区域模型中一般信号和清算的最优交易Schristoph Belak*Johannes Muhle Karbe+Kevin Ou2018年8月1日摘要我们研究了具有运行成本和终端库存成本以及价格变化一般预测信号的Almgr e n-Chriss模型中的最优交易。作为一种特殊情况，这允许在“目标区域模型”中处理最佳清算：通过监管干预实施的具有反射边界的资产价格。在这种情况下，最优清算率是loo-kbackoption的“θ”，这导致了Bachelier或Black-Scholes动力学的显式公式。数学学科分类：（2010）93E20、91G80、60H07。JEL分类：G11、C61关键词：最优交易、库存成本、市场影响、清算、目标Zone模型。1简介在最优清算的经典模型中，未受影响的资产价格假设为马丁·盖尔[6、3、14、1、15]。这使得我们可以专注于清算计划，同时从未来价格变化的信号中提取信息。[8，12]中使用随机控制技术研究了此类信号的影响，从而得出了马尔可夫信号的PDE特征，并在信号过程具有Ornstein-Uhlenbeck动力学的特殊情况下给出了明确的公式。[13]研究了关于未来价格变化的一个截然不同的信号。在中央银行强制执行的上限兑换率的激励下，他们研究了每个阈值都会上升的资产的临时清算。

在假设液化剂仅以最可避免的执行价格出售的情况下，他们通过一个PDE来描述最优交易策略，该PDE允许在催化超级过程方面的概率表示。*特里尔大学第四系-数学，特里尔大学-地址：19，54296特里尔，德国，电子邮件：belak@uni-特里尔。de.+卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，邮编15213，电子邮箱johannesmk@cmu.edu.这项研究的一部分是在作者访问ETH Z¨urich时完成的。他感谢福申森研究所（Forschungsinstitut f¨ur Mathematik）和H.Metes on er的盛情款待卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，邮编15213，电子邮箱yangxio@andrew.cmu.edu.Typical例如订单簿失衡或其他市场参与者未来订单流量的预测。最近的一个例子是瑞士国家银行担保的瑞士法郎/欧元汇率上限。与上述标准最优执行模型不同，产生的最优交易率是单一的，因为它只作用于反映价格过程的当地时间。因此，将[13]模型中的流动性成本施加在当地时间的交易利率上。对于清算期长、库存成本低的代理商来说，仅以尽可能高的价格出售似乎是合理的。然而，对于更短的计划期或更高的库存成本，大量的即时交易是必要的，因为等待资产价格接近其最大值的成本太高了。在本研究中，我们解决了在不限制销售价格的情况下，具有价格上限的最优清算问题。

为此，我们首先将[12]关于运行和终端库存成本交易的结果扩展到一般的，不一定是马尔可夫交易信号，方法是采用[5，7]中针对最优跟踪问题开发的变量计算参数。作为一种特殊情况，这允许在反映价格过程的情况下处理最佳清算：这些导出计算回望看涨期权的“θ”。如果未受影响的价格过程是由Bachelier或Black-Scholes模型建模的，那么最优交易率又可以用近似的形式计算，直到用显式被积函数对积分进行数值计算。这些结果证实了上述直觉。事实上，我们发现，如果库存成本较低，所有销售都会接近壁垒。相比之下，对于较高的库存成本，壁垒的影响会减弱，因为当资产价格远离其上限d时，持有资产头寸的成本会变得过高。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了价格上限的一般模型和特殊情况。随后，第3节推导出了具有库存成本的一般交易问题的解决方案，并将其应用于第4节中具有价格上限的模型中的最优清算。符号贯穿始终，我们定义了一个过滤的概率空间(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）满足常用条件，并为T写入Et[·]：=E[·| Ft]∈ [0，T]。该集合将S=M+A的正则分解为（局部）鞅M和可预测的分解过程满足E[hMiT]+E[（RT | dAt |）]<∞. 最后，我们为满足E[RT | ut | dt]<∞.2模型我们考虑具有价格过程P的风险资产的最优交易∈ H、 资产头寸∈ [0，T]由Xt表示，其中给定的初始位置为X：=X>0。

如[3]中所述，头寸只能逐渐调整，因为交易在销售过程中产生的成本λ>0二次方ut：=- dXt/dt。当运行库存成本γ>0且终端库存成本Γ>0时，这将导致以下标准目标函数：V（u）：=E“ZTexecution pricez}{（Pt-λut）utdt{z}终端现金头寸+PTXT{z}终端资产头寸-ZTγXtdt |{z}运行库存成本- ΓXT |{z}最终库存成本#。（2.1）对于具有鞅动力学的资产价格，此类标准首先由【2，10】引入，随后由【16，4，11】进行研究。如果资产价格的形式为dPt=Itdt+DMTF，则（2.1）对应于【12】的设置。这里，我们允许f或m总体——潜在的单一——资产动态。这允许涵盖【13】中研究的“目标区域模型”，其中资产价格在某个特定水平上受到限制：即，相对于时间变量的衍生工具。请注意，V（u）对于所有u都有很好的定义∈ 五、 随着终端库存罚款的增加，这一标准接近临时清算，即头寸必须在到期时完全平仓。示例2.1。考虑鞅M∈ 手持一个常量“P”≥ M、 然后，P级的价格“封顶”定义为斯科罗霍德mapP的解：=M- （M）*-\'P）+，其中M*t： =支持∈[0，t]Ms.这相当于将资产价格保持在“P”水平以下所需的最低干预量，类似于将汇率保持在某个阈值以下的监管干预。3一般解决方案在我们的一般-不一定是马尔可夫-设置中，[12]的动态规划方法不再适用。

相反，我们将[5，7]中的变分法参数调整为当前设置，其中资产有一个通用的（可能是单数的）dr if t。作为目标函数u 7→ V（u）是严格凹的，它有一个唯一的最大^u，其特征是G^ateaux导数V′（^u）在此临界点处消失的一阶条件。这就产生了一个线性正倒向随机微分方程（FBSDE）系统，用于最优交易率和头寸，可以显式求解：定理3.1。设置β：=pγ/λ，G（t）：=βcosh（βt）+λ-1Γsinh（βt）。设P=P+M+A是（特殊）半鞅P到局部鞅M和有限变分过程A的正则分解，且定义为（t）：=-G′（T- t） G（t- t） ，v（t）：=Et2λZTtG（T- s） G（T- t） dAs公司, v（t）：=EtZTtv ds.u 7的唯一最大化子^u→ V（u）除以V求解（随机）线性微分方程^ut=-v（t）X^ut-v（t），（3.1），因此最佳清算轨迹为n×x^ut=G（t- t） G（t）x+ZtG（t- t） G（t- s） v（s）ds。（3.2）（2.1）isV（^u）=Px+λ的相应最佳值v（0）+2v（0）x+v（0）x. （3.3）证明。我们修改了[5，7]中的参数。回想一下，Xt=x-RTUSD。因此，X是u的一个函数。由于目标函数（2.1）是（u，X）中的二次函数，具有严格的负二次系数，它允许一个以临界点为特征的唯一最大化子；参见，例如，【9】。我们现在以反馈形式求解这个临界点。步骤1：计算G^ateaux导数。我们确定了变化方向α∈ V和计算hv′（u），αi=limε→0ε（V（u+α）- V（u））=EZTPtαtdt-2λZTutαtdt- PTZTαtdt+2γZTXtZtαsds dt+2ΓXTZTαtdt= EZTαtEtPt公司-2λut- PT+2γZTXSDS+2ΓXTdt公司.对于临界点^u处的任何变化，该导数必须为零，这与t相等-2λ^ut+Pt- PT+2γZTtX^usds+2ΓX^uT= 0

（3.4）因此，我们得出最优交易率^u和相应的最优头寸X^u解决了以下线性正反向随机微分方程组（FBSDE）：dX^ut=-^utdt，X=X，d^ut=2λdPt公司- 2γX^utdt- dNt公司, ^uT=ΓλX^uT。（3.5）这里，N是一个平方可积鞅，需要作为解的一部分来确定。步骤2：求解临界点的FBSDE。设置，Y：=徐, Z:=P- N, B:=0-1.-γ/λ 0,FBSDE（3.5）可以向量形式写成asdYt=BYtdt+2λdZt，Y=x，（Γ/λ，-1） YT=0。按部件积分显示d（e-BtYt）=2λe-BtdZtand in turnYT=eB（T-t） Yt+2λZTteB（t-s）dZs。现在，乘以（Γ/λ，-1） ，考虑终端条件（Γ/λ，-1） YT=0，使用（Γ/λ，-1） eB（T-t）=λcosh（β（T- t） ）+βsinh（β（t- t） （）-cosh（β（T- t） )-Γλβ-1sinh（β（T- t） （）=βG′（T- t）-G（T- t）.因此，0=G′（T- t） X^ut- G（T- t） ^ut-2λZTtG′（T- s） d（Ps- Ns）。在求解交易率并采用条件期望后，这将给出^ut=-G′（T- t） G（t- t） X^ut-2λEtZTtG（T- s） G（T- t） dPs.通过Doob-Meyer分解和sin ce P∈ H、 我们可以用dAs代替dPswith。常数变量公式现在为相应的最佳位置x^u生成显式公式（3.2）。由于G和G′都是从上到下从零开始有界的，因此我们有E[| ut |]≤对于某些C，C+CRtE[| us |]ds，C>0。Gronwall引理表明E[| ut |]≤ CectandThuse^u∈ 根据Fubini定理。步骤3：计算值函数。

一阶条件0=hV′（^u），αi表示α=^u，其结果（3.4）表示t=0 implyV（^u）=EZTPt^utdt+PTX^uT+x个(-2λ^u+P）。分部积分以及^u的公式（3.1）和X^u的公式（3.2）表明v（^u）=ExP+ZTX^utdPt+x（2λv（0）x+2λv（0）+P）=xP+λ（v（0）x+v（0）x）+EZT公司G（T- t） G（t）x+ZtG（t- t） G（t- s） v（s）dsdPt公司.自价格过程P∈ hC可以被其在最右侧的有限变化部分A所代替，最优值的断言形式现在遵循Fubini定理和v（t）的定义。重新标记3.2。最优交易率（3.2）由两部分组成。第一种规定以确定的价格出售初始头寸，以减少库存。第二种利用未来价格变化的信号，通过对资产可预测漂移的贴现条件预期来总结。如果资产价格P是鞅，则第二项消失，我们得到了文献[3]的经典最优清算结果。重新标记3.3。价值函数（3.3）由两部分组成：xp是头寸的市值。第二部分λ（v（0）+2v（0）x+v（0）x是最优策略下元订单的预期风险调整执行差额。4目标区模型的解决方案我们现在将定理3.1应用于示例2.1的目标区模型，当ePt=Mt时- （M）*t型-\'P）+，t∈ [0，T]，对于鞅M∈ H、 其运行最大值M*t=最大值∈[0，t]m和常数p rice cap'p≥ M、 应用定理3.1的关键是计算未来价格变化的条件期望。

对于目标区模型，我们havet[Ps]=Et太太- （M）*s-(R)P）+= Mt公司- Et公司（M）*s-(R)P）+= Mt公司- （M）*t型-(R)P）+- Et公司（M）*s-(R)P）+-（M）*t型-(R)P）+= Pt公司- Et公司（M）*s-\'\'P∨ M*（t）+, 0≤ t型≤ s≤ T、 因此，dAs=dsEt[Ps]=-dsLs（t），其中Ls（t）：=Et[（M*s-\'\'P∨ M*t） +]是timet的价格∈ 具有固定罢工的M回望看涨期权的[0，T]P∨ M*tand到期日s∈ [t，t]。因此，我们将最优交易策略的计算从定理3.1减少到了回望看涨期权的“θ”的计算，该“θ”写在u形映射资产价格上。如果无上限资产价格遵循算术或几何布朗运动，则布朗运动及其运行最大值的联合分布可用于显式计算最优交易策略。4.1 Bachelier模型假设Mt：=M+σBt，而e B是标准的一维布朗运动，M∈ Randσ>0是常数，因此Ls（t）是Bachelier模型中回溯调用的价格。AsRightforward计算表明DSLS（t）=σ√s- tφ\'\'P- Ptσ√s- t型ds，其中φ（x）：=√2πe-x、 因此，定理3.1中的最佳交易率为^ut=\'u（t，x^ut，Pt），其中\'u（t，x，p）：=G′（t- t） G（t- t） x+2λZTtσ√s- tG（T- s） G（T- t） φ\'\'P- pσ√s- t型ds（4.1），其中常数β和函数G的定义如定理3.1所示。设置\'uAC（t，x）：=G′（t- t） G（t- t） x和“uBA（t，p）：=”u（t，0，p）=”u（t，x，p）- uAC（t，x），我们观察到，在没有价格上限的情况下，uAC是最佳交易速度，参见[3]，这不取决于当前资产价格。相比之下，有价格上限时，最佳交易速度也取决于当前资产价格Pt从上限P到uBA的距离。

自“uBA”起≥ 0，如果存在价格上限，则头寸将以更高的利率清算。0.5·10-2英寸P- pT公司- t带γ=Γ=10的切割器模型-050.50.5·10’P- pT公司- t带γ=Γ=10的切割器模型-05图1：低库存制度下Bachelier模型中的最优交易率（左）和交易率相对于AlmgrenChriss率（右）的相对增长γ=Γ=10-其他模型参数为T=1，x=1，λ=0.1，σ=0.5。附加利率uBA（t，p）在p中下降-当当前资产价格接近价格上限时，在p=(R)p时最大化，即大多数额外交易hap pens。在【13】中，假设资产仅在其价格p与价格上限p一致时出售。我们的无约束解决方案表明，该假设适用于小库存成本γ，Γ。实际上，为了简单起见，s支持γ=Γ，因此函数G仅通过β=pγ/λ：G（T）依赖于模型参数- t） =G（t- t；β） =βcosh（β（T- t） ）+βsinh（β（t- t） ）。然后，人们立即验证了LIMβ↓0'uAC（t，x；β）=0和limβ↓0'uBA（t，p；β）=2λZTtσ√s- tφ\'\'P- pσ√s- t型ds。因此，对于小库存成本γ=Γ，最佳交易率主要由“uBA”决定。特别是，如果资产价格接近价格上限，交易者将以高利率卖出，此时交易利率将随着差异消失- p变大。对于γ=Γ=10-5andT=1，x=1，λ=0.1，σ=0.5，如图1所示。在这里，我们绘制了最佳交易利率u和相对增长率（\'u-\'uAC）/\'uAC=\'uBA/\'uACof与Almgren-Chriss解决方案相比，作为清算期长度T函数的最佳利率-t和金钱'P- p、 我们观察到，如果资产价格高于价格上限，即资产仅在价格上限附近出售，则这种情况下的最佳交易率几乎等于零。