无模型超边缘对偶

要看到这一点，请注意，如果没有单点套利Ohm*= Ohm ∈ B(Ohm) 由[BFM16]中的推论4.11得出。当违反此条件时，存在一个策略H∈ rdh·（S）-（S）≥ 0和B:={ω∈Ohm | H·（S（ω）-S） >0}是非空的，并且是可测量的。事实上B=（f）o（S）-1(0, ∞) 带f（x）：=H·（x）-S） 连续性和可测量性。现在请注意，仅限于场景Ohm \\B、 一种资产是多余的（比如Sd），因此市场可以用（S，…，Sd）来描述-1). 如果我们没有单点套利Ohm*= Ohm \\ B∈ B(Ohm). 否则，我们可以迭代地重复相同的参数来构造Bi:={ω∈ Ohm \\ ∪我-1j=1Bj | Hi·（S（ω）- S） >0}∈ B(Ohm) 并反复删除一个额外的资产。由于资产的数量是确定的，因此程序需要≤ d步。在结果集上没有单点套利，因此Ohm*= (∪βi=1Bj）C∈ B(Ohm).5.2关于关键命题2.1标记5.8。我们在此阶段指出：Ohm*它不仅是解析的，而且属于ftt，其中fti是σ（St | t）的普遍完成式≤ T）。的确Ohm* s-10:T（S0:T）(Ohm*)). 而且对于任何ω∈ s-10:T（S0:T）(Ohm*)) 存在ω∈ Ohm*使得S0:T（ω）=S0:T（ω）。所以对于anyQ来说∈ mf使得Q（{ω}）>0和Q（{ω}）=0，度量＠Q使得＠Q（{ω}）：=Q（{ω}），＠Q（{ω}）：=0和＠Q=Q是鞅度量。必然ω∈ Ohm*.在命题2.1的证明中，我们将利用以下简单事实：集合OhmT*:= Ohm*∈ 然后通过向后递归我们得到OhmT*:= s-10:t（S0:t）(Ohmt+1*)) ∈ 英尺，Ohmt+1* OhmT*对于任何t=0，T- 1.和Ohm*=T\\T=1OhmT*.注意OhmT*可以解释为Ohm*自从OhmT*= s-10:t（S0:t）(Ohm*)).我们还记得，没有一点套利的条件成立Ohm*.

如果真的有∈ 使（H·S）T≥ 对于某些ω，当（H·S）T（ω）>0时为0∈ Ohm*, 那么，任何度量P，比如P（ω）>0，都不能是鞅度量，这与（1）相矛盾。5.2.1命题2.1的证明我们通过几个步骤证明π*（g） =supQ∈MfπQ（g），其中π*以及（10）和（11）以及g中定义的πqa∈ L(Ohm, F） 。第一步：第一步是为任何1≤ T≤ T，一英尺-1-可测随机集，X，D Rd+1的解释如下：如果ω出现，任何H。高清，高清+1∈ Rt，X，D（ω）表示时间t的策略-1允许在时间t对随机变量X进行超级对冲，用于D中的任何轨迹 Ohm. 在这里，Hd+1代表对非风险资产的投资。请注意，我们需要结合集合D的选择所给出的附加特性，因为我们只想对随机变量g进行对冲Ohm* Ohm.回忆起St=St- 圣-1.考虑一下，对于一个任意的1≤ T≤ T，D∈ Ftand X∈ L(Ohm, F） ，复函数ψt，X，D：ω7→[St（eω）；1.X（eω）]1D | eω∈ ∑ωt-1. Rd+2在哪里[圣路易斯；1.十] 1D=性病，SdtD，1D，X1D和∑t-1是直到时间t的轨道ω的水平集- 1即∑ωt-1={eω∈ Ohm | S0:t-1（eω）=S0:t-1(ω)}. 我们证明了ψt，X，Dis anFt-1-1多功能。事实上，我们需要证明，对于任何开放集 Rd×R，{ω∈ Ohm | ψt，X，D（ω）∩ O 6=} = s-10:t-1（S0:t）-1（B））∈ 英尺-1其中B=([圣路易斯；1.十] 1D）-1（O）。首先[St，1，X]1是F-可测的随机向量，然后是B∈ F.秒SUI是任何0的Borel可测函数≤ U≤ T- 根据[DM82]中的定理III.18，我们得到了S0:t-1（B）属于由Mat（d×t；R）中的解析集生成的sigma代数，并赋予其Borel-sigma代数。

现在应用[DM82]中的定理III.11，我们推导出-10:t-1（S0:t）-1（B））∈ 英尺-通过保持可测性（例如参见[RW98]）多功能ψ*t、 X，D（ω）：=H∈ Rd+2 | H·y≤ 0Y∈ ψt，X，D（ω）也是英国《金融时报》-1-可测量的，因此，同样适用于-ψ*t、 X，D∩{Rd+1}{- 1}}. 第一个d+1分量上的投影，Rt，X，d:=πX，。。。，xd+1(-ψ*t、 X，D∩{Rd+1}{-1} }），为X的超级复制策略提供了构建块。通过前面的构造，我们确实得到了rt，X，D（ω）=（H）∈ Rd+1 | Hd+1D+dXi=1HiSit（eω）1D≥ X（eω）1Deω∈ ∑ωt-1） （29）注意，如果∩ ∑ωt-1=  然后Rt，X，D（ω）=Rd+1。还要注意的是，Rt、X、Dis通过构造是一个闭合集。用∏xd+1（Rt，X，D）表示第（D+1）分量上的投影，这是一个具有可能值的随机区间数R{}, {R} 。现在观察投影是连续的，并且在实值随机集a的范围内，保持{ω}以来的可测性∈ Ohm | inf{a|a∈ A（ω）}<y}={ω∈ Ohm | A（ω）∩ (-∞, y） 6=}因此，我们得出结论：-1:=inf∏xd+1（Rt，X，D）是一个Ft-1-带估价师的可测函数∪{±∞}.第二步。我们证明了对于每个ω∈ {Xt-1| < ∞} 在Xt中的妈妈-1实际上是最小值。为此目的Fixω∈ {Xt-1| < ∞} 请注意，可能存在L∈ Rd\\{0}这样的L·∑ωt上的St=0-1.∩OhmT*, 这意味着在这个级别集上有些资产是多余的。我们可以通过选择i，ik∈ （1，…，d）使坐下+…+lkSikt=0意味着每j=1，k、 考虑闭集（ω）=H∈ Rt，X，D（ω）|Hij=0每j=1，K注意这一点-1（ω）=inf∏xd+1（Rt，X，D（ω））=inf∏xd+1（eR（ω））=inf∏xd+1eR（ω）∩Rd×[Xt-1（ω），Xt-1(ω) + 1].集合Ko（ω）：=eR（ω）∩Rd×[Xt-1（ω），Xt-1(ω) + 1]是闭集的交集。我们认为Ko（ω）是有界的。

通过矛盾，假设它是无限的。设^Hn=（Hn，Hd+1n）∈ Ko（ω） Rd×R，这样kHnk→ +∞. 根据定义Hijn=0表示每j=1，k和Hd+1nis以Xt为界-1(ω) + 1. 对于任意的eω∈ D∩ ∑ωt-1.我们有什么好消息吗-1（ω）+1kHnk+HnkHnk·St（eω）≥Xt（eω）kHnk。由于Rd的单位球面上存在Hnkhnkles，我们可以提取一个收敛于H的子序列*withkH*k=1。因此，通过这个子序列的极限，我们有H*·St（eω）≥ 0表示每个ω∈ D∩∑ωt-1.从无一点套利条件，我们推导出H*·D上的St=0∩∑ωt-1.自那以后∈ Ko（ω）然后（H*)对于冗余资产，ij=0，因此H*= 这是一个矛盾。集合Ko（ω）是封闭的，且有界于Rd+1，因此是紧致的。从投影的连续性来看∏xd+1（Ko（ω））是紧致的，因此达到了最大值。第3步：我们现在提供一个反向过程，该过程产生超级复制价格和相应的最优策略。根据经典参数，当我们确定参考概率Q∈ 这个过程产生两个过程Xt（Q）和Ht（Q），这样g≤TXu=t+1Hu（Q）·Su+Xt（Q）=TXt=1Ht（Q）·St+X（Q）Q- a、 s.（30）式中，Xt（Q）代表我们在时间t所需的最小现金量，以便在Q-a.s.意义上进行超级套期保值。回想一下，从NA（Q）中，我们必然有Xt（Q）>-∞ 关于supp（Q）。在不损失一般性的情况下，集Xt（Q）（ω）=-∞ 对于任何ω/∈ 补充（Q）。现在我们证明（30）的路径对应：Set XT:=g和DT:=Ohm*它属于FTby备注5.8，首先考虑随机集RT，XT，DT。随机变量XT-1:=inf∏xd+1（RT，XT，DT）表示我们在时间T所需的最小现金量-1.为了超级避险Ohm*. XT-因此，这是盗窃-1-需要在时间T超级复制的可测量随机变量-2.对于t=t- 1.

我们确实通过取Xt:=inf∏xd+1（Rt+1，Xt+1，Dt+1），Dt=S来迭代这个过程-10:t（S0:t（Dt+1））∈ t随机集Rt+1、Xt+1、Dt+1之前已定义。我们再次证明了XT是一个Ft可测函数，其值为R∪ {±∞}.这个反向过程产生了超级对冲价格XonOhm*但也要提供相应的最便宜的投资组合，如下所示：首先要注意，对于每一个ω∈ Ohm*, Xt（ω）>-∞. 如果不是这样，则存在一个序列（Hn，xn）n∈N∈ Rd×R使得xn↓ -∞, xn+HnSt+1（eω）≥对于每个eω，Xt+1（eω）∈ Dt+1∩ ∑ωtand因此每个Q的Q-a.s∈ 使Q（ωt）>0。这将导致与Xt（Q）>-∞. 因此，从现在起，我们假设xt（ω）>-∞. 对于Xt（ω）<∞ 每t=0，T-1，步骤2规定XT实际上是最小值。由∏x，。。。，xd（Rt+1，Xt+1，Dt+1∩Rd×Xt) 因此，每t=0，T- 1，因此允许一个可测量的选择器Ht+1。战略H，满足不平等≤ HT·ST+XT-1on DTXT-1.≤ HT-1·装货单-1+XT-2on DT-1.十、≤ H·S+Xon Dand它代表了对Ohm*=TTt=1Dtasg≤ HT·ST+XT-1.≤TXt=T-1Ht·St+XT-2.≤ . . . ≤TXt=1Ht·St+X（31）对任何ω都成立∈ Ohm*. 当Xt（ω）=∞ 对于某些ω∈ Ohm*还有一段时间≥ 0那么我就去接徐≡ ∞ 每一个u≤ t、 不等式（31）基本满足。步骤4：为了证明（12），我们递归地证明Xt（ω）=supQ∈任意ω的MfXt（Q）（ω）∈ Ohm*这尤其意味着X=supQ∈MfX（Q）。显然是Xt（ω）≥ 任意ω的Xt（Q）（ω）∈ Ohm*所以≥ supQ∈MfXt（Q）。因此，我们只需要证明逆不等式。对于t=t，这种说法是显而易见的：XT=g。通过向后递归，假设现在对于t+1的任何u都成立≤ U≤ T.i.e。

Xu（ω）=supQ∈任意ω的MfXu（Q）（ω）∈ Ohm*.从递归假设出发，以找到一种超级复制策略，其价格与任何Q相同∈ 我们需要超级复制Xt+1。我们定义了一个水平集∑ω，并回忆起XtisFt是可测量的，因此它在∑ωt上是常数。我们首先处理两种常见情况：o如果Xt+1（ω）=∞ 对于某些ω∈ Ohm*那么，在有限的成本下，该声明不是超级可复制的。因此，本文采用X=supQ∈MfX（Q）=∞.o 如果∑ωt∩ Ohmt+1*=  我们有两个结果：∑ω是Mf极性集，因此根据假设，Xt（Q）=-∞ 关于∑ωt，对于任意Q∈ Mf。此外，如等式（29）后所述，∏xd+1（Rt+1，Xt+1，Dt+1）=R，因此Xt（ω）=-∞ 接下来就是想要的平等。因此，从现在起，我们假设Xt+1<∞ 和∑t∩ Ohmt+1*6= . 定义，对于任何∈ R、 thesetΓy:=co卷积和多项式相乘[St+1（eω）；Y- Xt+1（eω）|eω∈ ∑ωt∩ Ohmt+1*我们声称∈ int（Γy）==> Xt>y（32）确实是从0开始的∈ int（Γy）不存在非零（H，H）∈ Rd×R，使得h（y）或-Xt+1）+H·St+1≥ 0或h（y）- Xt+1）+H·St+1≤ ∑ωt上的0∩ Ohmt+1*. 特别是没有H∈ Rdsuchthaty+H·St+1≥ Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*（33）回顾，根据定义，X是（33）满足的实数的上限，我们有X≥ y、 因为，从第2步开始，当定义为最小值时，我们得到Xt>y和（32）。前提：正如第一步，我们可以假设，在不失去普遍性的情况下，如果∈ Rd，H·∑ωt上的St+1=0∩ Ohmt+1*那么H=0。事实上，如果不是这样，我们可以通过类似的过程减少级别集上超级复制所需的资产数量。我们现在区分两种情况。案例1：假设存在（H，H，α）∈ Rd+2，其中（H，H，α）6=0，使得H（y-Xt+1）+H·∑ωt上的St+1=α∩Ohmt+1*. 我们声称h 6=0。事实上，如果h=0，那么α6=0，因为h·St+1=0意味着（H，H，α）=0。

然而，α6=0意味着H·∑ωt上的St+1=α∩ Ohmt+1*这将产生一点的套利Ohm*, 因此产生了矛盾。因为h6=0，我们有y-αh+Hh·St+1=Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*: 这意味着XtfromStep 3与y一致-αhand Xt+1可复制，在风险资产中执行策略“H:=hh，Xt=y-α为非风险资产。如果现在问一些问题∈ 如果q（∑ωt）>0，我们就有x的存在性≤ XT和Hx∈ rdx+Hx·St+1≥ Xt+1Q-a.s.然后是x- Xt+（Hx-\'\'H）St+1≥ 因此，既然NA（Q）成立，x≥ Xt。因此，∑ωt上的Xt=Xt（Q）-1.情况2：如果是三重态（H，H，α）∈ Rd+2如案例1不存在，则我们定义y=supY∈ R|H∈ Rd:y+H·St+1≤ Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*.显然“y<XT”，否则我们回到案例1。每0<ε<Xt- 永远∈ rNDxt- ε+HSt+1≥ Xt+1或Xt- ε+HSt+1≤ Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*. 此外，如果存在h∈ R使得h（Xt- ε - Xt+1）+HSt+1≥ 0（或h（Xt- ε - Xt+1）+HSt+1≤ 0）关于∑ωt∩ Ohmt+1*h必然是0（或者简单地除以h）。在这种情况下，HSt+1≥ 0（或HSt+1≤ 0）关于∑ωt∩ Ohmt+1*由于没有一点套利，我们得到了HSt+1=0，因此H=0。因此，Neither（Xt-ε-Xt+1）+HSt+1≥ 0或h（Xt-ε-Xt+1）+HSt+1≤ 0表示任何（H，H）∈ Rd+1\\{0}所以0∈ intΓXt-ε.取{ωi}ki=1 ∑ωt∩ Ohm*（带k）≤ d） 以至于{[St+1（ωi）；Xt- ε - Xt+1（ωi）|i=1，k} 是线性独立的，并在Rd+1asΓXt中生成相同的线性空间-ε. 根据命题3.1和鞅测度集的凸性，存在Q∈ 对于任何i=1，…，Q（{ωi}）>0，k、 对于这样一个Q，我们得到了ΓXt-ε=co（conv{[St+1（eω）；Xt- ε - Xt+1（eω）|eω∈ 补充（Q）∩ ∑ωt}）因此∈ intΓXt-ε、 不存在H（Q）∈ rdxt- ε+H（Q）·St+1≥Xt+1Q-a.s.我们可以得出结论≥ supQ∈MfXt（Q）≥ Xt- ε.

让ε↓ 0我们获得SUPQ∈MfXt（Q）=XT根据需要。第5步：我们最终证明（13）。注意CTQ∈MfC（Q）。而且如果g∈TQ∈MfC（Q）然后（30）与X（Q）保持一致≤ 每Q 0∈ Mf。因此，在等式（31）中，我们也有x=supQ∈MfX（Q）≤ 0和g≤PTt=1Ht·斯通Ohm*i、 例如∈ C.备注5.9。请注意，命题2.1的证明仅依赖以下事实：Ohm*是一个分析集(Ohm*)Cis是有限支持鞅测度类的最大极集。给^Ohm  Ohm 的解析子集(Ohm, F） 根据命题5.5，也可以得出^C=\\{Q∈Mf | Q（^Ohm)=1} C（Q）其中^C:={f∈ L(Ohm, F） |F≤ k on^Ohm*为了一些k∈ K} ^Ohm*如（28.5.3）定理1.2的证明，πΦ在（6）中定义，MΦ在（4）中定义。SeteπΦ（g）：=inf{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ OhmΦ}.引理5.10。让g：Ohm 7.→ R和φj：Ohm 7.→ R、 j=1。。。，k、 是F-可测的随机变量。那么πΦ（g）=infh∈RkeπΦ（g）- hΦ）。证据每小时∈ 我们有πΦ（g）≤ eπΦ（g）- hΦ）使πΦ（g）≤ infh∈Rk eπΦ（g）- hΦ）。按πΦ（g）<infh∈Rk eπΦ（g）-hΦ），则存在（\'x，\'h，\'h）∈ （R，Rk，H）使得∈RkeπΦ（g）- hΦ）和`x+（`h·S）T（ω）+`hΦ（ω）≥ g（ω）表示所有ω∈ Ohm显然，我们有一个矛盾，因为`x<eπΦ（g-\'hΦ）=inf十、∈ R|H∈ hst.x+（H·s）t（ω）≥ g（ω）-\'hΦ（ω）ω ∈ OhmΦ≤ 定理1.2的证明。自也OhmΦ是分析性的（命题5.5），通过比较OhmΦ在（5）和（16）中，我们可以一步一步地重复定理1.1和命题2.1证明中使用的相同论点Ohm*具有OhmΦ. 然后我们得出结论：eπΦ（g）=sup{Q∈Mf | supp（Q）Ohmφ} 对于任何F-可测随机变量g，等式[g]根据假设，我们也有eπΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]。

因为对于所有Q，等式[hΦ]=0∈ MΦ和h∈ Rk，对于不可测的随机变量g- 我们有πΦ（g）- hΦ）=supQ∈MΦEQ[g- hΦ]=supQ∈MΦEQ[g]，H∈ Rk。引理5.10则意味着：πΦ（g）=infh∈Rk eπΦ（g）- hΦ）=supQ∈MΦEQ[g]。参考文献[AB16]Acciaio B.，Beiglb–ock M.，Penkner F.，Schachermayer W.，资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本，数学。鳍26(2), 233-251, 2016.[AB06]Aliprantis C.D.，Border K.C.，有限维分析，柏林斯普林格，2006年。[BHLP13]Beiglb–ock M.，Henry Labord`ere P.，Penkner F.，期权价格的模型独立界限：一种大规模运输方法，Fin。斯托克。17(3), 477-501, 2013.[BS78]Bertsekas，D.P.，Shreve S.E.，随机最优控制。《离散时间案例》，学术出版社，纽约，1978年。[BN15]Bouchard B.，Nutz M.，非支配离散时间模型中的套利和对偶，Ann。阿普尔。问题。，25(2), 823-859, 2015.[BHR01]Brown H.M.，Hobson D.G.，Rogers L.C.G.，障碍期权的稳健对冲，数学。鳍11, 285-314, 2001.[BFM16]Burzoni M.，Frittelli M.，Maggis M.，不确定性离散时间市场中的通用套利聚合器，Fin。斯托克。，20(1), 1-50, 2016.[CO11]Cox A.M.G.，Ob loj J.，双重非接触期权的稳健定价和对冲，Fin。斯托克。，15(3),573-605, 2011.[DS94]Delbaen F.，Schachermayer W.，资产定价基本定理的一般版本，数学。安。，300,463-520, 1994.[DM82]Dellacherie C.，Meyer P.，概率和势B，北荷兰，阿姆斯特丹，纽约1982[DS13]Dolinsky Y.，Soner H.M.，连续时间的鞅最优运输和稳健套期保值，概率B。理论相关领域，160（1-2），391-427，2013年。[DS14]Dolinsky Y.，Soner H.M.，具有比例交易成本的稳健对冲，Fin。斯托克。，18 (2), 327-347, 2014.[DS15]多林斯基Y.，索纳H。

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