无模型超边缘对偶

根据（15）中的表征，相应的G属于（CQ）。根据双极性定理CQ=（CQ），因此G∈ CQ和g∈ C（Q）（如第（9）条所述）。因为这适用于任何Q∈ Mf，from C=TQ∈MfC（Q）（命题2.1）我们得出结论：∈ C.备注2.5。有人可能会问，双极对偶性（14）是否意味着C相对于某些拓扑是闭合的。为了回答这个问题，让我们介绍一下L(Ohm, F） 以下等价关系：对于任何X，Y∈ L(Ohm, F） X~ Y当且仅当X（ω）- 对于某些k，Y（ω）=k（ω）∈ K和每ω∈ Ohm*.考虑商空间L(Ohm, F） =L(Ohm, F） /~, 用[X]表示L中的等价类(Ohm, F） 以X为代表，设vf为Mf生成的向量空间。我们首先声明这对夫妇(Ohm, F） ，Vf）是双线性形式h·，·i:L下的分离双对(Ohm, F） ×Vf→ 定义人：h[X]，ui 7→ Eu[X]，对于任何X∈ [十] 。注意，形式h[X]，ui 7→ 对于所有k，Eu[X]适定为Eu[k]=0∈ 这对显然是双线性的。显然，如果u6=0，则存在ω∈ Ohm*使得u（{ω}）6=0，Eu[1ω]6=0。因此，我们已经证明h[X]，ui=0，forevery[X]意味着u=0。现在我们证明了h[X]，每ui=0意味着[X]=[0]。通过矛盾假设[X]6=[0]。根据假设，X不能以非零成本复制。注意如果X∈ [十] 在任何市场上都不是零成本吗(Ohm, F、 F，S；Q） 对于任何可能的选择Q∈ 由此推论，2.3X对于每个ω都是路径可复制的∈ Ohm*, 或者换句话说：[X]=[0]。因此我们的假设[X]6=[0]意味着存在一个Q∈ 使市场(Ohm, F、 F，S；Q） 是不完整的，所以我（Q）：={Q*~ Q | Q*∈ M} }6={Q}和X∈ [十] 在这样的市场上是不可复制的。

然后呢*∈我（Q）情商*[十] <supQ*∈我（Q）情商*[十] 。作为Q∈ MFA拥有有限的支持，我（Q） 而且存在一个μ∈ 我（Q） vf使得eu[X]6=0，这是一个矛盾。现在我们得出结论，圆锥体C/~关于弱拓扑σ（L）是封闭的(Ohm, F） ，Vf）。事实上，我们从（14）中得到了/~= {[g]∈ L(Ohm, F） | EQ[g]≤ 0Q∈ Mf}=\\Q∈Mf{[g]∈ L(Ohm, F） | EQ[g]≤ 0}是σ（L）的交点(Ohm, F） ，Vf）-闭集。3定理1.1的证明我们首先回顾[BFM16]集合的相关性质Ohm*这将需要在证据中多次出现。3.1提案（提案4.18[BFM16]）。在第1节所述的设置中，我们有M 6= <==> Ohm*6=  <==> Mf6=Ohm*= {ω ∈ Ohm | Q∈ Mfs。t、 Q（ω）>0}。（16） 补足Ohm*定理1.1的最大M极s et.证明如引言中所述，我们可以假设w.l.o.g.thatM 6=, 或相当于Mf6=. 由于M-q.s.不等式的定义以及Ohm*是最大M极集。第一步：这里我们展示inf{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm*} = supQ∈MfEQ[g]。首先请注意，前面等式的左侧可以改写为inf{x∈ R | g-十、∈ C} 。由推论2.4可知：inf{x∈ R | g- 十、∈ C} =inf{x∈ R | EQ[g- x]≤ 0Q∈ Mf}=inf{x∈ R | x≥ 等式[g]Q∈ Mf}=sup{EQ[g]|Q∈ Mf}。第2步：我们通过证明任何g∈ L(Ohm, F） supQ∈MEQ[g]=supQ∈MfEQ[g]，（17）我们通过公约的地方∞ - ∞ = -∞ 对于正负部分不可积的随机变量g。Set:m:=supQ∈MEQ[g]，l:=supQ∈MfEQ[克]。显然我们有≤ 所以我们只需要证明逆不等式。如果l=∞没有什么可以证明的。那么假设我∞. 我们首先证明如果Q∈ M满足等式[g]>l=> 等式[g]=∞ （18） 假设确实存在Q∈ M\\mf使l<EQ[g]<∞.

考虑现在这个过程的任意版本gt:=EQ[g | Ft]，并用asset Sd+1t:=gtt扩展原始市场∈ I.显然，Q是扩展市场的鞅测度，从命题3.1来看，这意味着存在一个有限支持鞅测度qf，通过构造，它属于Mf。因为EQf[g]=g>l是g对Mf的期望的上确界，所以我们有一个矛盾。从（18）我们可以很容易地推断，如果m<∞ 然后l=m。我们只剩下研究m=∞ 我们证明了在假设l<∞. 考虑第一类可度量Q（g） M使得EQ[g]-] = ∞. 我们显然有Q（g）∩ Mf=,而且，由于l<m=∞ 来自（18）和∞ - ∞ = -∞, 存在∈ M\\Q（g）这样的EeQ[g]=∞ 和EeQ[g-] < ∞. 现在考虑索赔序列gn:=g∧n代表任何n∈ N.来自EeQ[g]-] < ∞ 单调收敛定理，我们得到了EeQ[g]∧ n]↑ EeQ[g]=∞, 因此，存在∈ N以至于≥ EeQ[g∧ n] >l.现在请注意这一点∈MfEQ[g∧n]≤ supQ∈MfEQ[g]=l<EeQ[g∧ n] （19）适用于（18）g∧n我们得到EeQ[g]∧n] =+∞, 这是自偶然索赔以来的一个矛盾∧ n是有界的。4个例子：忘记到处都是超级边缘！让(Ohm, F） =（R+，B（R+）。考虑一个由无风险资产T定义的单期市场（T=1）≡ 对于t=0，1（利率为零）和单个风险资产ST（ω）=ω，初始价格：=s>0，则为1。在这个市场中，我们还有两个选项Φ=（φ，φ），其中φ：=f（ST）是一个更大的差价选项，φ：=f（ST）是一个幂选项，即f（x）：=（x- （K）+- 2（x）-（K+1））++（x- （K+2））+f（x）：=（x- K） +。假设K>s，K>（K+2），这些期权的交易价格分别为c=0和c>0。设置c=（c，c）。

这些金融工具的收益如图1所示：forK=2，K=25:xyPayoff of Spayoff ofφPayoff ofφ0 1 2 3 4 5 6 7图1:Payoff.定义4.1。（1） 存在一个模型独立套利（在Acciaio等人[AB16]的意义上），如果（H，H）∈ H×r等于（H·S）T（ω）+H（Φ（ω）-c） >0ω ∈ Ohm.（2） 存在一点套利（在[BFM16]的意义上），如果（H，H）∈ H×r等于（H·S）T（ω）+H（Φ（ω）- c）≥ 0ω ∈ Ohm 和（H·S）T（ω）+H（Φ（ω）- c） 对于某些ω>0∈ Ohm.很明显，期权φ中的任何多头头寸都是单点套利，但不是独立于模型的套利。我们确实发现，不存在模型独立套利，如：MΦ6=.更准确地说，任何问题∈ MΦ必须满足Q（（K，K+2））=0，因此（K，K+2）是一个MΦ极集，OhmΦ=R+\\（K，K+2）。一种可能的方法是观察在Γ：=R+\\（K，K+2）上，期权φ的支付为零，初始成本为零，因此任何概率P，以及supp（P） 这是S，φ的鞅测度，也是S，S，φ，φ的鞅测度。现在取ω=0，ω∈ （K+2，√K） ，ω>√K+C观察对应的点x:=(-s-c） ，x:=（ω）- s-c） x:=（ω）-s、 φ（ω）-c） ）显然属于康文(X（ω）|ω∈ Γ）在哪里X是随机向量[S]-sφ-c] 。现在考虑ε：=min{c，s，|ω-所以对于ω足够大的情况，我们有bε（0） 康夫(X（ω）|ω∈ {ω, ω, ω})  康夫(X（ω）|ω∈ Γ).因此我们知道0在conv的内部(X（ω）|ω∈ Γ）和[BFM16]中的推论4.11第1项，OhmΦ=Γ=R+\\（K，K+2）。此外，请注意，这对于价格c>0的任何值都是正确的。现在考虑数字选项gi=Fi（ST），i=1，2，其中F（x）=1（K，K+2）（x），F（x）=1[K，K+2]（x），它们仅在区间（K，K+2）的极值点上有所不同，观察到Fis是半连续的，而Fis不是半连续的。根据前面的注释，在任何鞅测度Q下，价格为零∈ MΦ，所以supq∈MΦEQ[g]=0。

（20） 定义：πOhm（g） ：=inf十、∈ R|（H，H）∈ H×r等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm回想一下πΦ（g）：=inf十、∈ R|（H，H）∈ H×r等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ OhmΦ索赔4.2。在这个市场：1。πΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]=0和πΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]；2. πOhm（g） =minnsK，1o>supQ∈MΦEQ[g]=0；3. πOhm（g） =supQ∈MΦEQ[g]。备注4.3。（i） 第（1）项与定理1.2的结论一致。（ii）第（2）项显示了相对于整体的超边缘二元性Ohm 对索赔g（它甚至是有界的）没有任何影响。请注意，在本例中，除了g的上半连续性外，满足了[AB16]中关于第1.4项的所有假设。正如甘德·金项目（2）和（3）之间的比较所示，从财务角度来看，对索赔的上半连续性的假设似乎是艺术性的，尽管这对于[AB16]中定理1.4的有效性是必要的。我们的结果表明，在相关集上获得超边对偶是可能的OhmΦ（或Ohm*在没有期权的情况下）进行任何可测量索赔，无论持续性消费（以及不存在具有超线性支付的期权）。索赔证明4.2。由于定理1.1，第（1）项成立，因为在单期模型中，动态和静态套期保值之间没有区别。还要注意等式πΦ（g）=0=supQ∈MΦEQ[g]是（20）的结果，（H，H）=（0，0）是gon的超边缘策略OhmΦ. 作为gis上半连续，第（3）项中的超边对偶符合[AB16]中的定理1.4，见（7）。在本节的剩余部分，我们通过显示π来结束证明Ohm（g） =minnsK，1o=sK（假设K>s），因此为第（2）项。让我们考虑与模型无关的超边缘策略，即（H，H）的集合∈ R×R等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ 任意ω的g（ω）∈ Ohm.

任何可接受的交易策略都是通过（H，H）：=[H，H，H，H]∈ r与证券中的头寸相对应[S，S，φ，φ]：因此价格：V（H，H）：=H+Hs+hcpayoff:VT（H，H）：=H+Hω+Hφ（ω）+Hφ（ω）（21）微不足道的超级对冲有两种即时策略，其最终支付是g.1的超级优势。S（即H=1 in（21）和H=H=H=0），初始成本为1.2。KS（即H=Kin（21）和H=H=H=0），初始成本为sk。现在考虑一个通用的超级边缘策略（H，H），并首先假设它≥ 0.观察每一个ω∈ [0，K]我们有：VT（H，H）（ω）=H+Hω和g（ω）=0。如果H<0，则存在eω∈ [0，K]使得H+Heω<0=g（eω），这样策略就不会支配g的收益≥ 如果h6=0，我们就必须有h≥ 0，否则vt（H，H）（ω）<0，因为ω足够大（因为f的超线性）和（H，H）不是g的超级对冲。因为f（x）=0（K，K+2）和c>0，最方便的超级对冲是H=0（cfr图2）。图2：φ在（K，K+2）上没有正财富。从现在起，在不丧失普遍性的情况下，h=0。h6=0对于辅助套期保值来说不是最优的，因为φ有正的收益，如果h6=0，我们可以取h≥ 否则，我们可以通过用零投资组合替换hφ来更好地进行超级对冲（以相同的成本）。假设现在h>0。通过回忆H，H≥ 0我们注意到vt（H，H）如（21）中所述满足ω∈（K，K+2）H+Hω+Hφ（ω）=H+hk，因此，相同的超级套期保值仅通过在沙S中交易来实现。换句话说，在不损失一般性的情况下，H=0（cfr图3）Hφ0 1 2 3 4 5 6的gPayoff的xyPayoff图3:Hφ不主导ε=ε（H）的任何hW的gon（K，K+ε）。我们最后讨论H<0的情况。一般来说，这是一个更昂贵的策略选择（H，H）。事实上，我们有，例如，对于eω=K+1，HS（eω）=H（K+1）<0，而g（eω）=1。

因为对于任何策略（H，H）∈ R、 VT（H，H）（eω）=H+Heω我们需要H≥ 1.- H（K+1），因此初始价格v（H，H）≥ 1.- H（K+1）- s） 。通过选择参数s，K例如K+1- s<0任何H<0的超边缘策略都比H=1，H=H=H=0给出的普通超对冲更昂贵。此外，请注意，为了弥补Hs中的损失，以获得更大的ω值，我们需要在选项φ（其收益占主导地位）中采取多头仓位，以获得hc>0且h>-H> 0。我们可以得出结论，一般来说，最便宜的超级复制策略是HS+HS和H，H≥ 很容易看出πOhm（g） =分钟sK，1=sK>0.5技术结果和证明称{Ft}t∈Iis是一种通用过滤，它特别满足于FTA包含以下分析集：(Ohm, FSt）对于任何t∈ I.我们用Mat（d×（T+1）表示；R） d×（T+1）矩阵的空间，实数项表示价格过程的所有可能轨迹集：对于每个ω∈ Ohm 我们有（S（ω），S（ω）。。。，ST（ω））∈ Mat（d×（T+1）；R） 。修正t≤ 我们表示S0:T=（S，S，…，St）并称之为S-10:t（A）={ω∈ Ohm | S0:t（ω）∈ A} 暂时 M在（d×（t+1）处；R） 。我们开始St:=St-圣-1，t=1。。。，T.5.1Ohm*和OhmΦ是解析集合引理5.1。集合Pf={P∈ P | P has fi fi s support}是P的一个解析子集，与σ（P，Cb）拓扑生成的σ代数有关。证据集合E={Δω|ω∈ Ohm} 它是σ（P，Cb）闭合的（Th.15.8[AB06]），并且观察到P是E的凸包。考虑任何n∈ N单纯形N r和地图γn:En×N-→ 由γn（Δω，…，Δωn，λ，…，λn）=Pni=1λiΔωi定义，它是乘积拓扑中的连续函数。从…开始nis在Borel空间Pn×Rn的乘积拓扑中是封闭的，然后是图像γn（En×）n） 是分析性的（命题7.40[BS78]）。

最后我们注意到Pf=Snγn（En×）n） 所以它是解析的，是解析集的可数并。定义5.2。让我∞(Ohm, F） ：={F∈ L(Ohm, F） | F有界}。一个子集U 如果存在可数集L，则Pfis可数确定 L∞(Ohm, F） 这样u:={u∈ Pf | Eu[f]≤ 0, F∈ 五十} 引理5.3。如果你 Pf是可数确定的，那么它就是分析的。证据对于每个fn∈ L定义fn:P→ R使得Fn（u）=ZOhmfndu。根据[AB06]中的定理15.13，Fn是可测的，因此u:={u∈ Pf | Eu[fn]≤ 0代表所有n∈ N} =\\N∈N（Fn）-1(-∞, 0] ∩ Pfis解析，是解析集的可数交集。引理5.4。设Z（ω）：=maxi=1，。。。，dmaxu=0，。。。，T | Siu（ω）|，Z（ω）：=maxj=1，。。。，k |φj（ω）|和Z=max（Z，Z）thenPZ=u ∈ Pf|Q∈ 使dqdu=c（u）1+ZPZ，Φ=u ∈ Pf|Q∈ MΦ使得dqdu=c（u）1+Z是P的分析子集，其中c（u）=Eu（1+Z）-1.-1.证据。假设PZ6= （分别为PZ，Φ6=) 否则就没有什么可证明的了。修正任何错误∈{1，…，T}。设Mat（d×t；Q）是具有有理项的d×t矩阵的可数集，并用qn，n表示其元素∈ N.为qn∈ M at（d×t；Q），考虑集{An，M}与An，M={ω∈ Ohm | S0:t-1.∈ B1/m（qn）}∈ 英尺-其中B1/m（qn）表示半径为1/m，以qn为中心的球（以m（d×t；R）的欧几里德范数表示）。德尼芬，m:=坐- 坐-11+Z安，m∈ L∞(Ohm, F） ，gj:=φj1+Z∈ L∞(Ohm, F） 。（22）以下setsU：=u ∈ Pf | Eu[fin，m]=0i、 n，mUΦ：=u ∈ Pf | Eu[fin，m]=0和Eu[gj]=0i、 n，m，j是分析的，因为它们是可数决定的。现在我们证明U=PZ和UΦ=PZ，Φ，这将完成证明。对于任何固定u∈ U我们通过构造得到：ZOhmSit1+ZAn，mdu=ZOhm坐-11+ZAn，mdu对于每一个An，m.（23）考虑矩阵的有限集合{sj}hj=1:={S0:t-1(ω) ∈ Mat（d×t；R）|ω∈ supp（u）}其中h=h（u）取决于u。每j=1。

存在qn（j），m（j），使得sj∈ B1/m（j）（qn（j））和球B1/m（j）（qn（j））都是不相交的。因此，An（j），m（j）使得u（Bj）=u安（j），m（j）其中Bj:={S0:t-1=sj}。因为{Bj}hj=1是μin Ft的原子-1.我们的结论是OhmSit1+ZBjdu=ZOhm坐-每j=1，手感EuSit1+Z |英尺-1.= Eu坐-11+Z |英尺-1.. 用dqdu：=c1+Z定义Q，其中c:=c（u）>0是标准化常数。然后，Q~ u，Q∈ Pfand:EuSit1+Z |英尺-1.= Eu坐-11+Z |英尺-1.当且仅当坐|英尺-1.= 坐-1.（24）这样我们就可以得出Q∈ MFU PZ。现在就开始吧∈ 那么就存在这样的Q坐|英尺-1.= 坐-1和dqdu=c1+Z。从等式（24）中，我们得到条件（23）成立，因此u∈ U.回想一下（4）中定义的MΦ，现在考虑一下∈ UΦ 然后存在Q∈ MfsuchthatdQdu=c（u）1+Z。此外，对于每j=1，…，Eu[gj]=0，因此，通过（22），等式[φj]=0。这样你就 PZ，Φ。现在就开始吧∈ PZ，Φ然后u∈ 从上一部分的证据来看。此外，还有Q∈ MΦ使EQφj= 0和dqdu=c1+Z。同样，通过（22）我们得到Eu[gj]=0，每j=1，k和μ∈ UΦ。5.5的提议。Ohm*和OhmΦ是(Ohm, F） 。证据考虑所有自然数序列的拜尔空间。在这个证明中，我们用Bε（ω）表示半径为ε的封闭球，以ω为中心(Ohm, d） 。考虑稠密子集{ωi}∞i=1ofOhm. 对于任意n=（n，…，nk，…）∈ NNwe表示为n（1），n（k）前k个术语（即n，…，nk）。定义（1）：=B（ωn（1））。现在设{ωn（1），i}∞i=1a我们定义（1），n（2）：=B（ωn（1），n（2））的稠密子集∩ 安（1）。在第k步，我们将有{ωn（1），…，n（k）-1） ，我}∞i=1a（1），。。。，n（k）-1） 我们定义了关闭的setAn（1），。。。，n（k）：=Bk（ωn（1），。。。，n（k））∩ 安（1），。。。，n（k）- 1).注意，对于任何ω∈ Ohm 将存在一个n∈ nn这样\\k∈南（1），。。。，n（k）={ω}。

（25）我们考虑[n]给出的Souslin方案的核心∈NN\\k∈南（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}（26）观察到An（1），。。。，n（k）接近Ohm 暗示{Q∈ P | Q（An（1），。。。，n（k））≥m} σ（P，Cb）-与[AB06]中的推论15.6接近。因此{Q∈ P | Q（An（1），。。。，n（k））>0}=[m{Q∈ P | Q（An（1），。。。，n（k））≥m} Borel在（P，σ（P，Cb））中是可测量的吗。通过引理5.4我们得到{Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}是解析的。我们可以得出这样的结论：（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}是Ohm ×P（这是一个抛光空间）。从引理5.4我们观察到∈ PZ是一个具有有限支持度的等价鞅测度。从…起Ohm*= {ω ∈ Ohm | Q∈ Mfs。t、 Q（ω）>0}，如果ω/∈ Ohm*那么ω/∈ 任何u的补充（u）∈ PZ。考虑（25），如果ω/∈ Ohm*我们可以找到一个足够大的k，这样一个（1），。。。，n（`k）∩ supp（u）=. 然后我们有了\\k∈南（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}=（{ω}×Pω如果ω∈ Ohm* 如果ω/∈ Ohm*, （27）式中Pω={Q∈ PZ | Q（{ω}）>0}。根据[BS78]中的命题7.35和命题7.41，分析集的Souslin方案的任何核心都是分析集。然后[n]∈NN\\k∈南（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}是Ohm x P，其投影在Ohm, 感谢（27），等于Ohm*. 自项目∏以来：Ohm ×P→ Ohm 我们最终推断Ohm*是分析型的。对于OhmΦ重复相同的证明，用PZ替换PZ，Φ。备注5.6。让我们Ohm  Ohm 成为…的分析子集(Ohm, F） 。对证据的检查表明^Ohm*:=nω∈^Ohm | Q∈ Mfs。t、 Q（^）Ohm) = 1和Q（ω）>0o（28）^OhmΦ：=nω∈^Ohm | Q∈ MΦs.t.Q（^Ohm) = 1和Q（ω）>0也是(Ohm, F） 。的确，P^Ohm:= {P∈ P | P（^Ohm) = 1} 是p的一个解析子集，根据[BS78]中的命题7.43，因此PZ∩ P^Ohm是解析的，可以用PZ代替上述证明中的PZ∩ P^Ohm和Ohm*与^Ohm*得出结论。备注5.7。在一个时期的市场（T=1），Ohm*是一个Borel可测量集。