VIX的双跳随机波动率模型：来自VVIX的证据

然而，从第3.2节的推导可知，VVIX指数的表达式与VIX的漂移部分无关。事实上，这与其随机波动的作用是一致的。由于我们的论文主要关注VVIX数据对估计的影响，我们简单地假设VIX均值回归到一个恒定的中心趋势。由于VVIX具有相似的经验性质，我们还假设VIX的随机波动率具有恒定的中心趋势。从2007年1月至2014年11月VIX和VVIX的历史日数据中，我们观察到，无论出现正跳还是负跳，这两个指数之间都存在明显的协跳。为了对这一现象进行正式检验，我们将Bollerslev等人（2008年）的方法应用于较低的采样频率（参见Gilder（2009年），了解该方法在日常数据中的应用）。测试过程分为两个步骤：首先，我们表明VIX和VVIX中都存在跳跃，其次，VIX和VVIX具有共同的跳跃。为了进行第一步，我们假设在每日时间T=0,1，用Xt表示时间序列，T=1，2，T返回过程rt=Xt- Xt-1，t=1，2，T也被定义。我们计算n天滚动样本对已实现波动率的估计，RVt=Xnk=0rt-k（7）和双功率变量bvt=πXn-1k=0 | rt-k | | rt-K-1 |（8）相对贡献测量值jt=RVt- BVtRVt（9）紧跟在（7）和（8）之后。每日变化的三次方四分位数由t Pt=u定义-34/3nn- 2Xn-1k=0 | rt-k | 4/3 | rt-K-1 | 4/3 | rt-K-2 | 4/3（10），其中u4/3=22/3ΓΓ. 最后，statisticzt=RJtr(π/2)+ π - 5.nmax1，T PtBVt（11） 使用（8）、（9）和（10）来测试t天是否发生跳跃。

如果| zt |>Φ，我们拒绝在α%置信水平上没有跳跃的完整假设-11-α/2，其中Φ是给定日期t的累积非线性分布。为了实施第二步，用X和X表示VIX和VVIX。假设在每日时间t=1,2，…，在[0,t]中观察到VIX和VVIX指数，时间序列是thusXit，T=1，2，T、 i分别为1和2。给定返回过程，rit=Xit- 退出-1，t=1，2，T、 i=1，2，我们计算同期相关性Cpt=Xn-1k=0rt-krt-然后研究学生统计ZCP，t=cpt- cpscp（12），其中Cp=T-（n）- 1） XTt=ncptandscp=T-（n）- 1） XTt=n（cpt- cp）1/2在时间t.如果| zcp，t |>Φ，我们拒绝在α%置信水平上没有共同跳跃的零假设-11-α/2其中Φ是给定日期t的累积正态分布。采用上述方法，我们测试了2007年1月3日至2014年11月26日期间VIX和VVIX的跳跃行为。鉴于5%的显著水平，在1939天中，VIX的222天和VVIX的141天表明第一步的显著跳跃。在第二步中，131天需要共同跳转。因此，VIX和VVIX中co跳跃的具体说明是合理的，这一现象为我们的模型设置提供了重要的基础。4.2基本模型这表明，除了扩散部分之外，我们还应该假设Y（t）和ω（t）中的跳跃，并且跳跃应该由单个泊松过程控制。跳跃强度可以是常数，也可以是依赖于有效因子的状态。在本文中，我们假设它受到ω（t）的影响。下面将对恒定或随机跳跃强度的假设进行检验。当正跳和负跳都出现时，我们对跳的大小进行正态分布假设。对于logVIX来说，这可能是一个合理的假设。而对于平方根扩散加上ω（t）的跳跃，因为跳跃在历史路径上是罕见的事件，这种假设也是可以接受的。

关于波动率跳跃的更多以前的研究，我们参考了杜菲等人（2000年）、埃雷克等人（2003年）、埃雷克（2004年）、托多罗夫和陶兴（2011年）以及阿蒙古兰·秀（2014年）。因此，我们假设在Q下，dY（t）=κV（θ- Y（t）dt+pω（t）dWQY（t）+JQYdN（t）dω（t）=αω- κQω（t）dt+σωpω（t）dWQω（t）+JQωdN（t），其中ddwqy（t），dWQω（t）E=ρdt和N（t）是一个泊松过程，在时间t.JQY处具有随机跳跃强度λ（t）=λ+λω（t）~ NuJy，σJyJQω~NuJω，σJω我们指定了关于布朗运动的Q和P之间的价格风险为dwqy（t）=dWPY（t）- Vpω（t）dtdWQω（t）=dWPω（t）- ωpω（t）dt然后在p下，dY（t）=[κV（θ）- Y（t））-Vω（t）]dt+pω（t）dWPY（t）+JPYdN（t）dω（t）=αω- κPω（t）dt+σωpω（t）dWPω（t）+JPωN（t）（13）其中dWPY（t），dWPω（t）= ρdt和N（t）是一个泊松过程，在t时刻具有随机跳跃强度λ（t）=λ+λω（t）。κPω=κQω+ωσω是P下的平均回复速度。跳跃大小以日元为特征~ Nu日元，σJyJPω~ NuJPω，σJωP下的参数集用ΘP表示=κV，V，θ，κPω，uJPy，uJPω，σJω，ρ，σωQ下的参数集总结为ΘM=αω，κQω，λ，λ，uy，μω，σJy我们还假设，从我们的理论模型s.t.V IXt，t+τ=a（τ）+B（τ）ω（t）+ε（14）和ε（14），VVIX存在定价误差~ N0，σP我们需要估计ΘE={σP}我们称之为一般模型（13）SVJJ-S模型（随机λ）。如果设λ=0，则导出SVJJ-C模型（常数λ）。如果我们进一步让JPωJQω= 0时，它崩溃为SVJ-C模型（常数λ）模型。最后，当没有跳跃时，即Jy=Jω=0，我们称之为SV模型。

我们希望使用VIX和VVIX的真实市场历史数据来检验这些模型，以了解：1、在VIX和ω（t）中加入跳跃是否可以显著改善VIX模型；2.跳跃强度是恒定的还是随机的。5模型推断与VIX和VVIX在这一部分，我们使用2007年1月3日至2014年11月26日的VIX和VVIX指数数据来估计模型。总的来说，我们分别对1991年的VIX和VVIX指数进行了每日观察。我们采用MCMC方法作为估计方法。与最大似然估计（MLE）、广义矩量法（GMM）等方法相比，MCMC有两个适合我们目标的优点。首先，SMCMC不仅可以估计未知参数，还可以提供后验估计的潜在变量，如随机波动率、跳跃时间和跳跃大小。这些变量是后续实证分析和模型比较的基础和关键。第二，MCMC非常适合实施。有关MCMCmethod在金融领域应用的更多详细信息，请参阅Johannes and Polson（2003）、Eraker等人（2003）和andAmengual and Xiu（2012）。由Θ=（ΘP，ΘM，ΘE）设置的参数表示，由Z表示潜变量，由Y=（V IX，V IX）表示观测数据，对于某些模型M，我们感兴趣的是给定数据的参数和潜变量的联合排序：P（Θ，Z | Y，M）∝ p（Y|Θ，Z，M）·p（Θ，Z|M）我们假设每天都观察市场数据。让时间间隔 = 1/252假设有一天我们没有, 0≤ 我≤ T+1表示VIX的对数。

具有时间间隔的动力学（13）的时间离散化 吉维西- Y（i）-1)=κVθ- κVY（i）-1)- Vω（i）-1) +pω（i）-1)易+ jyi镍ωi- ω（i）-1)=αω- κPω（i）-1) + σωpω（i）-1)ωi+ jωi镍（15） 在哪里易和ωi是相关正态变量，相关系数ρ，jyi和jωi具有不同参数的正态分布。表示byeYi= 易- jyi镍两个人≤ 我≤ T+1和eωi= ωi- jωi镍两个人≤ 我≤ 然后我们从（15）转换到跳跃调整过程seyi= a+aY（我）-1)+ aω（i）-1)+pω（i）-1)易eωi= c+cω（i）-1)+ σωpω（i）-1)ωi（16） 式中a=κVθ, a=1- κV, a=-V, c=αω, c=1- κPω. 在这一部分中，我们将应用易学, 0≤ 我≤ T+1估计潜变量ωi, 1.≤ 我≤ Tni, jyi和jωi, 2.≤ 我≤ T+1由于联合后验分布p（Θ，Z | M）不以闭合形式已知，MCMCalgorithm从后验条件分布中依次采样这些参数和潜在变量，如下所示：即期波动率：pω（g）i|ω（g）<i, ω（g）-1） >我, n（g）-1） 我, jy（g）-1） 我, jω（g）-1） 我, Θ（g）-1） ，Y跳跃时间：pn（g）i|ω（g）i, jy（g）-1） 我, jω（g）-1） 我, Θ（g）-1） ，Y波动率的跳跃大小：pjy（g）i|n（g）i, ω（g）i, jω（g）-1） 我, Θ（g）-1） ，Y波动率的跳跃大小：pjω（g）i|n（g）i, ω（g）i, jy（g）i, Θ（g）-1） ，Y参数：pΘ（g）|n（g）i, ω（g）i, jy（g）i, jω（g）i, Θ（g）-1） ，Y其中g表示迭代次数。在本文中，我们抽样5000次，丢弃前2000个样本。5.1估计策略在这一部分中，我们考虑潜在变量和参数的抽样方法。我们将讨论随机波动率ωt、Q参数Θ和定价误差参数ΘE的相应算法。对于跳跃时间、跳跃大小和ΘP中的参数，抽样方法是标准的，附录给出了详细的算法。随机波动率ωt的采样应同时考虑VIX和VVIX的信息。

利用（14）中的线性关系，我们使用随机游走方法对ωt进行采样-1)(-（一）=ω（g）1, ··· , ω（g）（i）-1), ω（g）-1） （i+1）, ··· , ω（g）-1） T其中索引（g）表示迭代时间，我们指定完整的条件密度aspiω（g）i|ω（g）-1)(-i） ，n（g）-1） 我, jy（g）-1） 我, jω（g）-1） 我, Θ（g）-1） ，Y∝ω（g）i经验-（Ci）+ Di- 2ρCiDi)2 (1 - ρ)经验-C（i+1）+ D（i+1）- 2ρC（i+1）D（i+1）2 (1 - ρ)·经验-V V IXi- A（τ）- B（τ）ω（g）i2σPwhereCi=易- jy（g）-1） 我n（g）-1） 我- A.- 我-1)- aω（g）（i）-1)qω（g）（i）-1)Di=ω（g）i- jω（g）-1） 我n（g）-1） 我- C- cω（g）（i）-1)σωqω（g）（i）-1)andC（i+1）=Y（i+1）- jy（g）-1） （i+1）n（g）-1） （i+1）- A.- 我-1)- aω（g）iqω（g）iD（i+1）=ω（g）-1） （i+1）- jω（g）-1） （i+1）n（g）-1） （i+1）- C- cω（g）iσωqω（g）i两个人≤ 我≤ T- 1.i=1和i=T的情况类似。请注意，此targetdensity包含来自VIX和VVIX的信息。Q参数ΘMare与观察到的VVIX指数（14）相关。我们使用随机游走metropolis方法对这些参数进行采样，目标密度为√2πσPexp-PTi=1（V IXi）- A（τ）- B（τ）ωi)2σP！对于定价误差参数ΘE={σP}，条件是V IXiωi, 我=V V IXi-A（τ）-B（τ）ωi~ N（0，σP）。假设σPisπσP（σP）的先验值~ 因夫甘ασP，ασP,然后我们对σPusing InvGam进行采样α*σP，α*σP与α*σP=ασP+T-1和α*σP=ασP+PTi=2（V V IXi）-A（τ）-B（τ）ωi).5.2模型诊断和规格测试5。2.1残差分析考虑到抽样的后验潜在变量（现货波动率、跳跃时间和跳跃大小）和参数，我们可以构建若干统计数据来测试和评估模型拟合历史数据的能力。

回想一下在MCMC估计过程中Y（t）的离散化= a+aY（我）-1)+ aω（i）-1)+pω（i）-1)易我在哪里= 易- jyi镍两个人≤ 我≤ T+1和a=κVθ, a=1- κV, a=-V.代表易立即跟进，并由易=哎呀- A.- 我-1)- aω（i）-1)pω（i）-1), 2.≤ 我≤ T+1（17）通过手头的估计变量和参数，我们可以立即计算这些残差。我们将比较不同模型残差的Q-Q图。如果这些残差近似遵循标准正态分布，则模型在拟合历史波动率指数方面表现良好。如果残差与标准正态分布之间存在较大差异，则相应的模型必须具有进一步改进的潜力。用eωi= c+cω（i）-1)+ σωpω（i）-1)ωi其中eωi= ωi- jωi镍两个人≤ 我≤ T，c=αω, c=1- κPω. 我们可以类似地计算ω（t）的残差ωi=eωi- C- cω（i）-1)σωpω（i）-1), 2.≤ 我≤ T（18）这个残差可以用来比较ω（T）的各种模型。Y（t）和ω（t）的跳跃时间可以用来测试跳跃强度是恒定的还是随机的。如果对后采样跳变时间进行聚类，则会拒绝恒定跳变强度假设。5.2.2 p-数值方法我们还使用后验参数进行模拟研究，以测试不同的规格。我们首先指定一些可以反映波动率指数动态的统计数据，并计算对数波动率指数数据的统计数据。然后，对于每个模型，我们使用MCMCresults的估计参数，以与VIX数据相同的样本大小模拟了许多轨迹。通过模拟轨迹，我们计算样本统计数据，并将其与原始VIX数据进行比较。

更具体地说，我们使用以下参考统计数据o标准偏差o偏度o峰度o最大o最小o最大跳跃：指数的最大正变化o最小跳跃：指数的最大负变化oavgmax10：10个最大正变化的平均值oavgmin10：10个最大负变化的平均值o每日变化的各个百分位数。百分比由percNUM表示，其中num表示百分比水平。用φk，k=1，2，·，10表示根据logVIX数据计算的这些统计数据。然后，对于给定的模型，使用MCMCresults估计的参数模拟Y的N个轨迹。对于第n个模拟轨迹Y，1≤ N≤ N、 计算上面用φ（N）k表示的统计量，k=1,2，·10。每k，1≤ K≤ 10，calculatepk=PNn=1nφ（n）k>φkoN（19），其中1a是指示函数。pk过高或过低，1≤ K≤ 10表示给定模型可能会偏离真实形式。有关此方法的更多详细信息，请参阅？？以及Kaeck和Alexander（2013）。6数据1993年，CBOE推出了VIX指数，并将其作为市场波动性的基准。2003年9月22日，CBOE修订了VIX的计算方法，使用了更广泛的标准普尔500指数期权，并将新的VIX反向计算至1990年。现在著名的计算VIX isV IX（t，t）=t的广义公式-Txi4kikert（T-t） Q（Ki）-T-TFtK- 1.它利用了OTM标准普尔500指数期权价格Q（Ki）和Ftis标准普尔500指数期货水平，该指数水平由标准普尔500指数期权衍生而来。2012年3月14日，CBOE发布了新的波动率指数VVIX。Vvix是波动性波动性的度量，代表CBOE波动性指数30天远期价格的预期波动性。

VVIX的计算方法与VIX类似，它是根据一条at和out-of-The-money VIX期权的价格计算得出的，即VIX（t，t）=t-Txi4kikert（T-t） O（Ki）-T-TFtK- 1.式中，O（Ki）是波动率指数期权的买卖价差的中点，FTI是由波动率指数期权价格得出的远期波动率指数水平。Kis第一次打击低于远期指数水平Ft。使用该方法，CBOE还计算了截至2007年初发布数据之前的VVIX指数。我们在图1中绘制了2007年1月至2014年11月VIX和VVIX的历史时间序列。从图中我们可以看出，VVIX的范围明显高于VIX。与VIX一样，VVIX也恢复到其历史平均值，即接近80。此外，他们有一些共同的最高价值观，特别是在2008年金融危机期间。与VIX相比，VVIX的波动性更大，当VIX较高时，VVIX的变化范围扩大。表17总结了2007年1月至2014年11月的VIX和VVIX统计数据。在本节中，我们讨论了不同模型的VIX动态估计结果。表2总结了四种模型的参数估计，模拟结果如表3所示。对于所有候选模型，ρ的估计值均为正值，约为0.52，这与Kaeck和Alexander（2013）的结果接近（他们论文中SVJ模型的ρ=0.659）。由于参数影响波动率指数的漂移，与同期对数波动率指数市场数据的平均值相比，θ的估计值相对较低。κPω显著大于κVand，这反映了VIX或VVIX的挥发性比VIX本身更高的事实。图3给出了四种模型的VIX波动率估计过程。

当我们使用VVIXindex作为波动率的代理时，这四个过程呈现出相似的形式。四个模型的估计即期波动率与VVIX之间的相关性分别为0.9781、0.9782、0.9822和0.9807。SV和SVJ模型的平均后验波动率略高于其他两个模型。这可以解释为，jumpsin波动性的增加减少了对波动过程的需求。图4显示了由（17）计算的所有四个模型的VIX残差的Q-Q图，图5绘制了时间序列形式。从图4左上角的面板中，我们发现SV模型是错误的，因为它需要对布朗运动进行非常大的冲击。这也可以从图5的左上面板中看到。与其他三种模型相比，SV模型的残差范围明显更大，并且存在许多较大的创新。从图4中的两个上部面板中，我们可以看到残差的尾部变得稍薄，因此SVJ模型更好地改进了SV模型。许多大的布朗冲击可以被吸收到跳跃部分。图6左上角的面板中报告了VIX中的估计跳跃大小。然而，从表3中的模拟结果中，我们发现，对于HSV和SVJ模型，有一个或多个统计数据的p值超出[0.05,0.95]范围。相比之下，在Kaeck和Alexander（2013）中，他们还测试了SV和SVJ模型（正常跳跃），并证明所有p值都在[0.05,0.95]范围内。这表明，添加VVIX作为波动率波动率的poxy，有助于发现波动率波动率随机波动模型的进一步改进空间。我们还将使用（18）计算的图7用于比较四个模型之间波动过程的残差。