VIX的双跳随机波动率模型：来自VVIX的证据

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英文标题：
《Double-jump stochastic volatility model for VIX: evidence from VVIX》
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作者：
Xin Zang, Jun Ni, Jing-Zhi Huang and Lan Wu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The paper studies the continuous-time dynamics of VIX with stochastic volatility and jumps in VIX and volatility. Built on the general parametric affine model with stochastic volatility and jump in logarithm of VIX, we derive a linear relation between the stochastic volatility factor and VVIX index. We detect the existence of co-jump of VIX and VVIX and put forward a double-jump stochastic volatility model for VIX through its joint property with VVIX. With VVIX index as a proxy for the stochastic volatility, we use MCMC method to estimate the dynamics of VIX. Comparing nested models on VIX, we show the jump in VIX and the volatility factor is statistically significant. The jump intensity is also statedependent. We analyze the impact of jump factor on the VIX dynamics.
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中文摘要：
本文研究了波动率为随机波动的波动率指数的连续时间动力学，以及波动率和波动率的跳跃。基于随机波动率和波动率对数跳变的一般参数仿射模型，我们推导了随机波动率因子与VVIX指数之间的线性关系。我们发现了VIX和VVIX的共同跳变的存在性，并通过其与VVIX的联合性质，提出了VIX的双跳随机波动模型。以VVIX指数作为随机波动率的代表，我们使用MCMC方法来估计VIX的动态。通过比较波动率指数上的嵌套模型，我们发现波动率指数和波动率因子在统计学上是显著的。跳跃强度也取决于状态。我们分析了跳跃因子对波动率动力学的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Double-jump_stochastic_volatility_model_for_VIX:_evidence_from_VVIX.pdf (488.65 KB)

2022-5-8 10:38:19 上传

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关键词：波动率模型 VIX 波动率 Quantitative Applications

波动率指数的双跳随机波动模型：来自Vvixin Zang的证据*北京大学倪俊君+宾夕法尼亚州立大学黄敬之宾夕法尼亚州立大学吴§北京大学此版本：2016年10月31日*北京大学数学科学学院，北京100871，中国，美国；电子邮件：xzang@pku.edu.cn.+美国宾夕法尼亚州立大学数学系，宾夕法尼亚大学公园，美国宾夕法尼亚州16802；电子邮件：jzn132@psu.edu.美国宾夕法尼亚州立大学斯梅尔商学院金融系，宾夕法尼亚大学公园，宾夕法尼亚州16802；电子邮件：jxh56@psu.edu.§北京大学数理经济学与定量金融重点实验室，北京100871；电子邮件：lwu@pku.edu.cn.Double-波动性指数的跳跃随机波动模型：VVIX的证据摘要本文研究了具有随机波动性的波动性指数的连续时间动力学，以及波动性指数和波动性指数的跳跃。基于随机波动率和波动率指数对数跳变的一般参数波动率模型，我们推导了随机波动率因子与VVIX指数之间的线性关系。我们发现了VIX和VVIX的共同跳变的存在性，并通过其与VVIX的联合性质，提出了一个VIX的双跳随机波动模型。以VVIX指数作为随机波动率的代表，我们使用MCMC方法来估计VIX的动态。比较波动率指数上的嵌套模型，我们发现波动率指数和波动率因子在统计学上是显著的。跳跃强度也取决于状态。我们分析了跳跃因子对波动率动力学的影响。关键词：波动率指数、波动率代理、协跳、蒙特卡罗-马尔可夫链、贝叶斯分析1简介建模VIX指数及其衍生产品一直是研究人员的热门话题。作为衡量市场对标准普尔500指数30天隐含波动率的预期，VIX为预测市场未来趋势提供了丰富的信息。

它可以被视为标准普尔500指数期权中涉及的信息压缩。通常情况下，VIX和标准普尔500指数具有经验负相关关系，因此VIX指数通常被称为恐惧指数或恐惧量表。有关VIX的更多信息，请参见例如Carr和Wu（2005）。出于其重要性，许多注意力集中在直接模拟VIX的动力学上。早期的工作尝试使用几何布朗运动、平方根扩散或对数正态Ornstein-Uhlenbeck（OU）扩散来模拟VIX。一些作者还增加了波动率的跳跃。最近，Mencia和Sentana（2013）以及Kaeck和Alexander（2013）提出了一种新的VIX参数化随机波动率模型。他们指定了一个新的过程来模拟波动率指数的波动率，这可能与波动率指数相关，并显示出其相对于其他传统模型的经验优势。他们两人还指出，这种随机波动的出现降低了跳跃对VIX的影响。然而，这种新型随机波动率的模型规格在它们之间存在差异。Mencia和Sentana（2013年）采用了一种纯跳跃式的分析处理方法，而Kaeckand Alexander（2013年）将波动性描述为平方根差异，其中考虑了波动性和VIX的相关性。如何确定和估计这种波动性因子，并进一步更好地解释波动率指数的动态，仍然是一个有待解决的问题。2012年，CBOE向市场推出了一种新的波动率指数VVIX。与VIX的roleof一样，VVIX衡量VIX指数的30天隐含波动率。Huang和Shaliastovich（2014）构建了VIX指数的已实现波动率（即波动率的已实现波动率），并表明VIX指数本身不是其已实现波动率的良好预测因子，而LevVix是更好的候选者。

因此，我们可以从他们的实证结论中推断，VVIX指数可能会提供一些关于VIX波动性的额外信息，而不仅仅是VIX本身。在本文中，我们主要研究波动率指数的动力学，特别是通过VVIX指数提供的附加信息，在物理度量下对其随机波动率进行建模。基于VIX和VVIX的联合行为，我们提出了一个适用于logVIX及其波动率的双跳随机波动率模型。我们将证明，在波动率及其随机波动率的对数的一般有效假设下，随机波动率和VVIX满足线性关系，那么这种随机波动率的性质自然遵循VVIX。这种关系可以被视为判断估计的随机波动系数是否足够准确的基准，也可以为其模型规格提供经验证据。从VIX和VVIX的历史数据来看，我们发现它们都是均值回复。此外，通过正式测试，我们发现两者之间存在身份共同跳变。因此，我们使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，利用VIX和VVIX的历史数据，对双跳随机波动率模型及其嵌套模型进行了实证分析。我们提供了与波动率和波动率的跳跃一致的证据，并且跳跃强度是随机的。通过残差分析和仿真结果证明了主模型的优越性。本文的结构如下：第二部分回顾了相关文献。第3节展示了VVIX指数与随机波动率之间的线性关系。第4节分析模型规格并设置我们的模型。第5节给出了我们的实证方法。第6节描述了我们在本文中使用的VIX和VVIX数据。第7节总结了估算结果，并提供了实证分析。

第8节结束。2文献综述建立VIX的参数化随机模型时，通常有两个不同的起始点。一种是首先对标准普尔500指数的多因素随机波动过程进行建模，然后在此情况下推导VIX指数的计算公式。有关多因素模型设置的更多信息，请参见杜菲等人（2000年）、Gathereal（2008年）、埃格罗夫等人（2010年）、康特和科霍姆（2013年）以及帕帕尼科劳和瑟卡尔（2014年）。根据模型假设，最终VIX可能是一个或多个因素的组合（参见Ait Sahaliaet al.（2014）、Song and Xiu（2012）、Roo and Zhang（2012）、Lin and Chang（2009））。另一种方法是直接建模VIX指数，通常具有均值回复特性。在这种情况下，通常有两种方法来处理VIX的动态：一种是有效的，另一种是非有效的（参见Mencia and Sentana（2013）、Kaeck and Alexander（2013）、Goard and Mazur（2013））。在非有效模型目录中，直接对波动率指数的对数进行建模最为普遍，并且已被证明比波动率指数的有效假设更好。最近，用额外的随机波动率对波动率指数进行建模引起了更多的关注。在文献中，标准普尔500指数动态中随机波动性的存在已经得到了充分的实证证明和认可。同样，就波动率指数而言，随机波动率的公正性也得到了测试和验证（参见Wang和Daigler（2012）、Huang和Shaliastovich（2014））。许多作者已经建立了具有随机波动性的VIX模型，并且发现具有随机波动性因子的VIX模型优于没有随机波动性因子的VIX模型。在Mencia和Sentana（2013）中，他们以波动率指数、波动率指数期货和波动率指数期权作为数据源，对波动率指数的不同模型进行了比较。

他们使用扩展卡尔曼滤波器来估计随机波动率，并得出结论，在所有的随机模型中，使用随机平均值和随机波动率（在他们的论文中称为“CTOUSV”）来建模VIX的对数是最好的。在那篇论文中，他们首先提出了波动率的随机波动率模型，并使用纯跳跃过程对波动率因子进行建模。Kaeck andAlexander（2013）利用近20年的波动率数据，使用MCMC方法估计有无随机波动率的波动率模型。他们将波动率因子建模为平方根扩散过程，并证明随机波动率模型更适合VIX历史数据。Barndor ff-Nielsen和Veraart（2013）推导了波动率模型中一类随机波动率的概率性质。根据Huang和Shaliastovich（2014），我们得出结论，仅使用VIX指数来推断VIX的随机波动性因子的动态不是一个好主意。至少需要考虑一些额外的数据集。就估算而言，数据来源很重要。使用各种数据源进行的估计可以产生不同的实证结果，从而显示不同的信息内容（参见Bardgett等人（2013年）、Chung等人（2011年））。在VIX的参数化SDE模型框架下，以前已经实现了使用VIX及其衍生工具（期货和期权）。然而，VIX期权的公式通常非常复杂，通常涉及傅里叶逆变换，这可能会增加计算负担。因此，不容易获得forVIX选项的封闭形式解决方案。在这种情况下，扩张是一种很好的方式（例如，见李（2013）、秀（2014））。VIX期权的信息本质上等同于其隐含波动率，因为其他变量如到期时间和罢工是已知的。

作为VIX期权的波动率指数，VVIX只是充当VIX隐含波动率的角色。使用VVIX指数来估计波动率指数的动态性在文献中仍然是一个空白，我们将在本文中填补这一空白。3 VVIX代表VIX3的波动性。1动机在Kaeck和Alexander（2013）中，他们提出了波动率指数的随机波动率模型。他们假设VIX的对数有一个正常的跳跃，而其随机波动系数满足平方根扩散模型。用Y（t）表示VIX指数，我们在P，dY（t）=κV（θ）下写出这个模型- Y（t））dt+pω（t）dWPY（t）+JPYdN（t）dω（t）=κpω$P- ω（t）dt+σωpω（t）dWPω（t）（1）其中dWPY（t），dWPω（t）= ρdt。N（t）是具有常数跳跃强度λ，JPY的泊松过程~ Nu日元，σJy他们使用20年的VIX数据作为输入来估计（1），并给出估计的潜在随机波动率ω（t）。一个问题自然而然地出现了：如何保证和衡量这种未观测到的现货波动率估计的准确性？Bardgett等人（2013年）发现，标准普尔500指数期权和波动率指数期权都包含一些未经对应方处理的信息。VIX是从标准普尔500指数期权中总结出来的波动率指数，其差异部分必须反映VIX期权的隐含波动率。因此，使用VIX指数作为推断其随机波动性动力学的唯一输入受到质疑。虽然VIX期权可以提供所需的额外信息，但计算负担迅速增加，有时需要对复杂的VIX期权价格表达式进行复杂的傅里叶逆变换。

然而，我们将在下一部分展示，随机波动率因子和VVIX指数之间存在简单的线性关系，VVIX指数是根据上述一系列VIX期权编制而成。3.2 VVIX与波动率之间的线性关系遵循Mencia和Sentana（2013）以及Kaeck和Alexander（2013），在这一部分中，Webbuild模型基于波动率指数的对数，而不是直接基于波动率指数。我们证明，如果logVIX均值回归到具有随机波动性的恒定中心趋势，并且logVIX和波动性跳跃，那么VVIX指数和logVIX的随机波动性因子之间存在线性关系。这种关系可以提供一个衡量VIX波动率模型是否可靠的标准。在Ait Sahalia和Kimmel（2007年）、Duan andYeh（2010年）和Ait Sahalia等人（2014年）中也可以找到类似的想法，即为一些不可观察的因素寻找代理。在本文中，VIX指数是基础资产，因此在P测度下观察其动态。由于VVIX是根据根据定价指标Q计算的VIX期权编制的，因此所有涉及VVIX的推导都将在Q指标下执行。设Y（t）=log V IX（t），并假设在Q下，Y（t）和ω（t）遵循一个一般的跳跃扩散模型dy（t）=κV（θ）- Y（t）dt+pω（t）dWQY（t）+JQYdN（t）dω（t）=αω- κQω（t）dt+σωpω（t）dWQω（t）+JQωdN（t）（2），其中我们假设dDwqy（t），dWQω（t）E=ρdt。N（t）是一个泊松过程，在t时刻具有随机跳跃强度λ（t）=λ+λω（t），用于分析可处理性。Vixa的跳跃及其波动系数以JQY为特征~ NuJy，σJyJQω~NuJω，σJω类似于将VIX平方视为标准普尔500指数对数在定价测度下的二次变化的预期（参见，例如Ait-Sahalia等人。

（2014年），我们设定了V IXt，t+τ=τ“EQtZt+τtω（s）ds+ eQTX≥04Y（s）#（3） 通过（2）的简单计算，我们得到了qtZt+τtω（s）ds=1.- E-（κQω）-λμω）τκQω- λμωω（t）+τ-1.- E-（κQω）-λμω）τκQω- λuω!αω+λμωκQω- λμω，αQω（t）+βQ（4）和qtxs≥04Y（s）=（uy）+σJyEQtZt+τt（λ+λω（s））ds=（uy）+σJy（λτ+λβQ+λαQω（t））（5）结合（3），（4）和（5），我们最终有V V ix t，t+τ=τhαQω（t）+βQ+（uy）+σJy（λτ+λβQ+λαQω（t））i=τhβQ+（uy）+σJy（λτ+λβQ）+1 + λ（uy）+σJyαQω（t）i，A（τ）+B（τ）ω（t）（6）关系（6）可被视为估计波动率因子的基准。与VIX期权的间接影响相比，VVIX的动力学可以更直接地反映ω（t）的特性。它可以为ω（t）的模型规格提供更直观的经验证据，这将在第4.3.3节使用基准的检查中看到，如果我们为该模型确定一组合适的风险溢价规格，以保证其Qcounterpart保持与P下相同的结构，那么第3节中的线性关系。2个保持。我们希望使用VVIX指数作为基准（让JQω=0，λ=0），来判断仅从VIX指数估算ω（t）是否可靠，并反映市场的真实演变。由于VVIX数据仅从2007年开始，因此在本部分中，我们使用2007年1月至2014年9月的VIX数据，使用与Kaeck andAlexander（2013）相同的方法再次估算该模型。我们在图2中绘制了同一时期的估计波动率因子ω（t）和VVIX时间序列。后验波动率与VVIX指数之间的相关性仅为0.4193。虽然估计ω（t）的一些峰值与VVIX一致，但它们之间出现了更多的不一致。

这表明，当我们使用VIX指数作为唯一的数据源对潜在变量ω（t）进行采样时，它只能提供关于其随机波动性动态的有限信息，并且在某种意义上，VIX对随机波动性没有影响。为了获得更精确的ω（t），可以利用它与Vvix指数之间的关系。4型号规格和设置4。1模型规格对数正态Ornstein-Uhlenbeck模型由？提出？。自那以后，Psychoyios等人（2010年）和Huskaj andNossman（2013年）都考虑了VIX或VIX期货的对数建模。Mencia和Sentana（2013年）以及Kaeck和Alexander（2013年）对VIX动力学的不同模型规格进行了比较和检验。他们都得出结论，将对数波动率建模为一个有效跳跃过程的设置优于直接建模波动率，这在所有模型规范中更详细地一致。因此，在我们的模型中，我们还研究了logVIX的有效性质。由于VVIX和ω（t）之间存在这种线性关系，因此可以将VVIX指数视为这个不可观测变量的代理。因此，VIX指数及其随机波动率的联合建模相当于VIX指数和VVIX指数的联合建模。从这个意义上说，模型应该反映出它们的一些共同属性。VIX和VVIX都具有均值回复特性。对于波动率指数，它可能意味着回归到一个恒定或随机的中心趋势。在Mencia和Sentana（2013）中，他们分别做出了两个假设并检查了模型的性能。由于其数据源由波动率指数、波动率指数期货和波动率指数期权组成，波动率指数模型的随机中心趋势表现得更好。事实上，波动率指数中心趋势的具体化主要表现为波动率指数期货的信息，而波动率指数期权的作用相对较小。