非平稳性对经验连接函数估计和建模的影响

我们考虑一个由正态平均方差mixtureZ=u+γW+Q表示的二元偏态Student的t分布随机变量Z=（X，Y）√W（18），其中u=（u，u）是位置参数向量，W~ IG（ν/2，ν/2）遵循一个具有ν自由度Q的逆伽玛分布~ N（0，∑）独立于W，由均值为零的二元正态分布得出，协方差矩阵∑，γ=（γ，γ）是偏态参数向量。由于我们的目标是从方程（6）中相应的分布中导出一个歪斜学生的t-copula密度，因此我们可以在随机表示（18）中去掉位置参数向量u，即u=0，并将标准偏差设置为1，以使∑再次符合相关矩阵（15）。在这种情况下，二元倾斜学生的t概率密度函数readsfZ（z）=ν/2Γ（ν/2）πν√det∑exp（z+∑）-1γ）（1+z+∑-1zν）ν/2+1Kν/2+1（p（ν+z+∑）-1z）γ+∑-1γ）（p（ν+z+∑-1z）γ+∑-1γ)-（ν/2+1）（19），其中Kλ是第二类λ阶的修正贝塞尔函数。单变量边际概率密度函数相同，fX（·）=fY（·），其中fX（x）=（1）-ν)/2Γ(ν/2)√πν√det∑exp（xγ）（1+xν）（ν+1）/2K（ν+1）/2（p（ν+x）γ）（p（ν+x）γ）-（ν+1）/2（20）和边际累积分布函数FX（·）=FY（·），其中FX（x）=xZ-∞dξfX（ξ）（21）必须进行数值计算和倒置。将方程（6）与fX，Y（x，Y）=fZ（z）相对应的所有参数组合在一起，然后得到二元斜态Student的t-copula密度coptc，ν，γ（u，v）。在极限里→ ∞ 我们得到了高斯copula密度。3.实证结果和模型比较在第3.1节中，我们分别给出了原始收益和局部标准化收益的经验copula密度。在第3.2节中，我们将更详细地讨论经验copula密度尾部的不对称性。

然后，我们将经验copula与第3.3节中具有平均相关的高斯copula、第3.4节中的相关加权高斯copula、第3.5节中的K-copula和第3.6.3.1节中的倾斜学生t-copula进行比较。经验copula密度我们考虑在所有K（K）上平均的经验成对copula密度-1） /2股票市盈率（u，v）=K（K- 1） KXk，l=1，l>kcopk，l（u，v）（22），其中copk，l（u，v）根据方程（7）计算为数据对（uk（t），ul（t））的二维直方图。对于这些直方图的bin大小，我们选择u=v=1/20。下面，我们表示经验copula密度：cop（glob）（u，v）表示原始收益，cop（loc）（u，v）表示局部归一化收益。如上所述，这两种情况之间的主要区别在于对非平稳性的考虑：原始收益表现出随时间变化的趋势和波动性；因此，有人可能会说，回归时间序列是非平稳的。另一方面，局部标准化收益率表现出平稳的行为。我们比较这两种情况的结果，因为每种情况都有其优点。原始收益的copula提供了整个时间范围内的统计依赖性，即在全局尺度上，而局部归一化收益的copula揭示了局部尺度上的统计依赖性。在图3中，我们比较了经验copula密度。乍一看，这两种情况下的依赖结构似乎非常相似。偏差主要存在于Corner中。总的来说，当我们从时变趋势和波动中去除时间序列时，统计相关性得到了很好的保留。对于局部标准化，Sch¨afer and Guhr（2010）表明，在该程序下，相关性得以保留。显然，这在一定程度上也适用于copula。对于原始收益率，收益率的两个峰值更高。

这可以解释如下：高波动期的收益率更可能最终位于最低或最高分位数，即uk（t）和ul（t）接近0或1。因此，具有高波动性的周期对这个copula的角有很大的贡献。由于高波动性通常与市场中的强相关性相吻合，因此各个角落表现出更强的依赖性。定性上，经验结果类似于高斯copula密度，除了corner之外，在corner中观察到了不对称性。这种经验不对称性意味着两支股票的大负收益比大正收益表现出更强的依赖性。尽管这种不对称性既不能用高斯copula或高斯混合函数来描述，也不能用K-copula来描述，但我们将研究这些分析copula在多大程度上接近经验数据的整体依赖结构。此外，我们还比较了经验copula和倾斜学生t-copula，后者能够模拟依赖结构中的不对称性。然而，首先，我们将更仔细地观察尾部依赖本身的经验对称性。3.2. 尾部依赖的不对称性我们现在将详细阐述经验copula密度的特征。它们的基本特征是上下角之间的不对称性：大负回报之间的依赖性总是比大正回报之间的依赖性更强。因此，我们观察到，同时发生的下行运动之间的依赖性比同时发生的上行运动之间的依赖性更强。换句话说，我们认为熊市和牛市是不对称的。这种不对称性在最初的回报中尤为明显。

Ang和Chen（2002）研究了美国股票和美国市场之间的依赖关系，在相关水平上观察到了同样的不对称性。为了量化这种经验不对称性，我们通过对K（K-1） /2经验成对copular密度。通过减去经验copula密度pk，l=Z0相对角的积分面积，我们得到了尾相关不对称性。8duZ0。8dv copk，l（u，v）-0.2Zdu0。2Zdv-copk，l（u，v）（23）qk，l=0.2ZduZ0。8dv copk，l（u，v）-Z0。8du0。2Zdv copk，l（u，v）（24）我们称pk为正尾依赖性不对称，qk为负尾依赖性Ig。3.经验两两copula密度，顶部：原始收益的cop（glob）（u，v），底部：局部归一化收益的cop（loc）（u，v）。不对称图4显示了这两组数据的尾部依赖不对称性f（pk，l）和f（qk，l）的直方图。当负尾部依赖性对称性qk，lare在原始和局部标准化收益中均以零为中心时，我们观察到正尾部依赖性不对称性pk，l有一个明显的负效应集。因此，平均而言，负尾部依赖性中没有不对称性，即在重合的大正和大负运动之间，但在正尾依赖中存在不对称性，即同时出现大的负运动和同时出现大的正运动之间。此外，我们还注意到，与原始收益相比，局部标准化收益在正尾部依赖中表现出更弱的不对称性。这一实证结果可以解释为：对于原始收益时间序列，分布尾部的事件反映了高波动期。由于大多数股票的高波动性往往同时发生，尾部依赖性也特别反映了这些时期。

相比之下，局部标准化收益率是固定不变的，波动率为1。因此，这种情况下的尾相关性反映了整个时间段内的平均行为。因此，我们的实证结果表明，尾部依赖的不对称性是非平稳的，但在波动性较大的时期尤为明显。事实上，具有高挥发性的周期在依赖结构中既具有强相关性又具有强不对称性-0.03-0.02-0.01 0.00 0.01 0.020404608100120PKL（glob）f（pkl（glob））-0.03-0.02-0.01 0.00-0.01 0.020404608100120QKL（glob）f（qkl（glob））-0.03-0.02-0.01 0.00 0.00 0.01 0.020404608100120PKL（loc）f（loc））-0.03-0.02-0.01-0.01-0.01 qkl（loc）图。尾部依赖不对称的直方图。左：正尾部相关性的不对称性，pk，l，右：负尾部相关性的不对称性，qk，l。顶部：原始收益，底部：局部标准化收益。3.3. 与高斯copula相比，我们的经验copula密度似乎与高斯copula大致相似。这个协议在数量上有多好？在图5中，我们将经验种群密度与相应的分析高斯copula密度copGc（u，v）进行比较。这里，我们将每个高斯copula中的相关系数设置为经验平均相关系数：原始收益率的c（glob）=0.44，局部归一化收益率的c（loc）=0.39。在图5中，我们观察到与相应高斯copula密度的明显偏差。这是可以预期的，因为经验copula密度实际上是K（K）上的平均值-1） /2具有不同相关性的成对连接密度。因此，与具有平均相关性的单个高斯copula进行比较无法得到合适的结果。

事实上，对于原始回报，我们不仅在角落里发现了相当大的偏差，而且在整个依赖结构上也发现了相当大的偏差。对于局部标准化的收益率，角点描述得相当好。尽管如此，在整个依赖结构上的偏差是显而易见的。表一以最小均方的形式总结了经验和分析copula密度之间的偏差。对于原始回报率，我们发现最小均方为27.52，而本地标准化回报率为较小的5.26。图5。左：高斯copula密度copGc（u，v），右：经验copula密度和高斯copula密度cop（glob）（u，v）之间的差异-copGc（u，v）和cop（loc）（u，v）-分别为copGc（u，v）。顶部：对于原始收益率，c（glob）=0.44；底部：对于局部标准化收益率，c（loc）=0.39.3.4。与相关加权高斯连接函数的比较为了更合适地描述经验连接函数，我们现在考虑不同相关系数的高斯连接函数的加权平均。这考虑了不同股票对的经验平均值，见等式（22）。图6显示了在整个时间序列上估计的原始和局部标准化收益的经验相关系数f（Ck，l）的直方图。箱子的大小是c=0.02。在我们的数据集中，我们只观察到正相关。我们现在通过加权每个高斯copula密度和相应相关性的概率密度函数h（Ck，l）=f（Ck，l）来获得高斯混合c、 这就产生了相关加权高斯copula densitycopCWG（u，v）=XCk，l=-1h（Ck，l）copGCk，l（u，v）（25），与图7中的经验copula密度进行比较。如图5所示，对于这两个数据集，我们只比单一高斯copula略有改善。

最小平均平方也只是稍微小一些，见表一。这可以归因于相关性也随时间变化的事实，见例如，Sch¨afer和Guhr（2010），M¨unnix et al.（2012）。因此，考虑不同相关性的平均值是不够的。为了更好地逼近经验copula密度，必须在更短的时间间隔内对相关性进行模拟。然而，这会导致估计误差增加，从而缩短估计间隔。因此，可靠地实现时间相关是有问题的。这就是第2 2.7节中讨论的K-copula发挥作用的地方。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0012345Ck，l（glob）f（Ck，l（glob））0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0012345Ck，l（loc）f（Ck，l（loc））图6。相关性直方图，左：对于原始收益，f（C（glob）k，l），右：对于局部归一化收益，f（C（loc）k，l）。与K-copula相比，我们现在考虑K-copula密度copKc，N（u，v），它考虑了非均匀和时变的相关性。在这里，围绕其均值c的相关性的波动以自由参数N为特征。我们计算原始收益和局部标准化收益的平均相关系数。如上所述，我们发现c（glob）=0.44，c（loc）=0.39。通过最小二乘法将自由参数N拟合为经验copula密度。对于原始收益，我们发现N（glob）=3.2；对于局部标准化收益，我们发现N（loc）=7.8。表II还总结了c和N的参数值。原始收益的较低值反映了局部标准化收益的恒定方差为1的事实。因此，协方差中存在较小的波动，在这种情况下，它们只是相关性。

在K-copula中，协方差或相关性的较小波动用较大的N值来描述。在图8中，将得到的K-copula密度与经验copula密度进行比较。在这两种情况下，我们发现与实证结果的一致性有所提高。这也反映在较低的最小均方值中，见表一。然而，对于原始回报，经验和分析结果之间仍存在较大偏差。K-copula并没有很好地捕捉到经验依赖的整体结构。对于本地的Fig。7.左：相关加权高斯copula密度cop（u，v）CWG，右：经验copula密度和相关加权高斯copula密度cop（glob）（u，v）之间的差异- cop（u，v）CW和cop（loc）（u，v）- 分别为cop（u，v）CWG。顶部：原始回报，底部：局部标准化回报。标准化回报相反，K-copula可以很好地描述经验依赖性。在上下角只有轻微的偏差。由于其对称性，经验copula密度的不对称性不能被Kcopula密度所捕获。这种不对称性只在局部标准化收益的情况下弱地存在，这导致了K-copula和经验copula之间更好的一致性。3.6. 与偏态学生的t-copula比较偏态学生的t-copula允许依赖结构中的不对称。因此，将我们的经验发现与之进行比较是很自然的选择。由于我们观察到经验copula密度的负尾部依赖性（见右图4中的直方图）的平均对称性，因此我们为陡度参数向量γ的两个分量选择相同的值，γ=γ=γ。

这只会在倾斜学生的t-copula的正相关性中留下不对称，并减少参数的数量。图8。左：K-copula密度copKc，N（u，v），右：经验copula密度和K-copula密度cop（glob）（u，v）之间的差异- copKc，N（u，v）和cop（loc）（u，v）- 分别为copKc，N（u，v）。顶部：对于原始收益率，c（glob）=0.44，N（glob）=3.2，底部：对于局部标准化收益率，c（loc）=0.39，N（loc）=7.8。通过最小二乘法将ν和γ的参数值与经验copula密度相匹配，而平均相关系数c分别由c（glob）=0.44和c（loc）=0.39经验确定。我们发现，对于原始收益率，ν（glob）=3.3，γ（glob）=0.06；对于局部归一化收益率，ν（loc）=8.0，γ（loc）=0.04。表III总结了参数值。图9说明了由此产生的倾斜学生t-copula密度及其与经验copula密度的差异。对于原始回报（即全球规模），我们达成了一项了不起的协议。倾斜学生的t-连接词能够很好地捕捉整体依赖结构，包括正尾依赖中的不对称性。在角落里只有很小的偏差，特别是对极端事件负相关性的轻微高估。对于局部标准化收益，即局部标度，skewedStudent的t-copula提供的经验数据比K-copula稍差。在经验copula密度中没有太多的不对称性需要捕捉。因此，在这种情况下，偏度参数只起次要作用。此外，倾斜学生的t-copula比K-copula的正尾依赖更为显著。然而，这并没有反映在经验依赖结构中。图9。

左：倾斜学生的t-copula密度coptc，ν，γ（u，v），右：经验copula密度和倾斜学生的t-copula密度cop（glob）（u，v）之间的差异- coptc，ν，γ（u，v）和cop（loc）（u，v）-分别为coptc，ν，γ（u，v）。顶部：对于原始收益率，c（glob）=0.44，ν（glob）=3.3，γ（glob）=0.06，底部：对于局部标准化收益率，c（loc）=0.39，ν（loc）=8.0，γ（loc）=0.04。表一：分析和经验copula密度之间的最小均方。分析密度原始返回loc。标准化Edgaussian copula 27.52 5.26corr-加权高斯copula 26.42 5.11K-copula 6.26 2.27倾斜学生t-copula 0.65 2.874。结论我们对股票日收益率之间的统计相关性进行了实证研究。为此，我们估计了原始收益率和表II的经验成对copula。K-copula密度的参数值。参数original返回loc。标准化C 0.44 0.39N 3.2 7.8表三：倾斜学生t-copula密度的参数值。参数original返回loc。对于局部标准化收益，标准化收益率为0.44 0.39ν3.3 8.0γ0.06 0.04。考虑到前者，我们可以在全球范围内研究依赖结构。在后一种情况下，回归时间序列的非平稳特征，即时变趋势和波动性被去除。这为我们提供了局部规模的依赖结构。根据我们的经验发现，高斯依赖的概念在多大程度上适用？为了回答这个问题，我们不仅比较了单个高斯copula的经验结果，还比较了高斯copula和K-copula的相关加权平均值。后者源自一种随机矩阵方法，该方法通过Wishart分布对时变协方差进行建模。这就产生了充分描述多元回报的aK分布。