指数半鞅的鞅性质：关于显式鞅的一个注记

例如，从数学金融角度来看，一个有趣的事实意味着指数SII模型不能包含被建模为严格局部鞅的泡沫。让我们将这个观察形式化，并为Matingale属性添加一些简单的确定性条件。主要含义（二）=> （i） 这基本上要归功于卡尔森和穆勒·卡贝（2010）的提案3.12。注意，断言不需要准左连续性。提案3.7。设X是具有确定性特征（BX，CX，νX）的Rd值半鞅，λ∈ L（X）是确定性的，M:=eλ·X-KX（λ）。下面是等价（i）M是鞅。（ii）mi是局部鞅。（iii）λ·X是指数特殊的。（iv）（ehλ，xi- 1.- h（hλ，xi））* νX∈ V.（V）ehλ，xi{hλ，xi>1}* νX∈ 五、证据：含义（一）=> （ii）琐碎且等价（ii）<=> （iii）通过定义持有。（iii）、（iv）和（v）的等价性来自注释2.2和Jacod和Shiryaev（2003）命题IX.5.3，该命题表明λ·X具有确定性特征，且νλ·X（A，ds）=ZRdAhλs，xiνX（dx，ds），A∈ B（R\\{0}）。留下来显示应用程序（iii）=> （i） 。鉴于（2.6），并且由于λ·X具有确定性特征，KX（λ）是有限变化的确定性过程，因此也具有确定性特征。定义f（x，y）：=x-y、 那么y:=λ·X-KX（λ）=f（λ·X，KX（λ））。从Goll和Kallsen（2000）得出的结论是，应用于f（λ·X，KX（λ））的Corollary 5.6也具有确定性特征。根据Jacod和Shiryaev（2003）中给出的普通指数和随机指数之间的关系，Th eorem II。8.10，我们得到m=eY=E（Y），其中Y是一个带Y=（e）Y-1) > -1.我们从Jaco d和Shiryaev（2003）的方程式II中推导。8.14 thatY继承了Y的决定论特性。

由于注释2.2（b），条件ehλ，xi{hλ，xi>1}*ν ∈ V表示λ·X是指数特殊的。因此，由于KX（λ）是λ·X的指数补偿器，c.f.命题2.3（i），M是局部鞅。现在，该索赔是在卡尔森和穆勒·卡贝（2010年）的fr omProposition 3.12之后提出的。4.财务模型的应用在本节中，我们将第3节的结果应用于财务模型。Shiryaev（1999）、Cont和Tankov（2003）、Musiela and Rutkowski（2005）和Jeanblanc等人（2009）的专著提供了关于一般半鞅在金融中应用的详细概述。4.1。随机波动资产价格模型。在这里，我们说明了如何使用第3节的条件来促进由半鞅驱动的无套利模型的定价。让(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）为随机基础，其中T>0表示时间范围。我们用随机利率r byS:=SeσS·XS对资产价格S和银行账户B进行建模-五、 B:=eσr·Xr（4.1），S>0，d维半马丁盖尔X:=（XS，Xr），XSd维，Xrd维，d+d=d，d维可预测过程σ：=（σS，-σr）与σS∈ L（XS）和σr∈ L（Xr）使得σ·X是指数特殊的。我们假设过程V是σS·XS的指数补偿器- σr·Xr，c.f.命题2.3。由于这个假设，贴现股价：=B-1S是一个局部鞅，也就是说，P是一个risk-n中性概率测度。根据inDelbaen和Schachermayer（1998）的一般半鞅的资产定价基本定理，具有消失风险的非免费午餐（NFLVR）就是这种情况。请注意，一般来说，风险中性概率度量可能不是唯一的，并且模型不完整。

现在，让我们考虑一个行使K>0且支付（ST）的欧式看涨期权- K） +到期时T>0。它的基本价格和er P，用C表示*tforany t∈ [0，T]由C给出*t:=BtEPB-1吨（圣- （K）+英尺≤ BtEP美国东部时间英尺≤ b测试=St<∞, （4.2）8 D.C RIENS、K.GLAU和Z.Grbac，这是一个很好的定义，定义了不平等性e（eST | Ft）≤eStis是一个正局部鞅的结果，因此是一个超鞅。价格是C*是一种无套利价格，即使是在完整模型的情况下，也可能是非唯一的。这一子问题与金融泡沫密切相关，例如，见Jarrow等人（2010年）的定义3.6和Biagini等人（2014年）的定义2.10。有关详细的数学处理，请参阅Protter（2013）。如果是真正的鞅，这些微妙的问题就不会出现：资产价格没有泡沫，市场价格与基本价格一致——这在Jarrow等人（2010）的背景中得到了证明。因此，我们的第3节提供了便利条件，以排除由于可能存在泡沫而导致的定价模糊。为了说明第3节中的显式鞅条件的进一步好处，我们使用贴现资产价格的真鞅性质来执行数值变化，这降低了手头定价问题的复杂性。例如，考虑如上所述的调用选项，为了直接计算（4.2）中的期望值，需要有关S和B的联合分布的信息。在这里，真正的鞅性质允许通过改变数值来简化期望值的计算。更准确地说，我们可以将买入价格表示为资产价值函数的条件预期。

定义概率度量viadePdP | Ft:=S-1测试0≤ T≤ 表示EP下的期望值，Bayes公式yieldsCt=陡峭(1 -KS-1T）+英尺. （4.3）与原始定价公式Ct=BtEP相比B-1吨（圣- （K）+英尺, 随机变量Bt未出现在（4.3）中的条件期望中。这通常有助于计算，因为S的半鞅特征在新的概率测度下是已知的。通过将推论3.3和命题3.5相结合，对上文定义的半鞅资产价格模型的四鞅性质进行了以下描述。推论4.1。假设X是准左连续的，并用（b，c，F；A）表示其局部特征。如果（b，c，F；A）和σ满足推论3.3的（B1），则。第3.5项的条件（C1），贴现资产价格过程是真鞅。因此，在推论4.1的条件下，Ctin（4.3）给出了到期日为t且行使时间为K的看涨期权在t时的公允价格。半鞅Libor模型。在本小节中，我们将第3节的结果应用于伦敦银行同业拆借利率模型。这些是离散复合远期利率模型，称为伦敦银行同业拆借利率，而伦敦银行同业拆借利率一词源于伦敦银行同业拆借利率。Brace等人（1997）和Miltersen等人（1997）介绍了伦敦银行同业拆借利率模型，后来许多作者对其进行了进一步的发展和研究。我们参考Musiela和Rutkowski（2005）第12.4节了解详细概述。伦敦银行同业拆借利率建模的挑战是，在不同的等价度量下，同时将不同到期日的利率定义为本地鞅，以确保存在套利。这些措施实际上是远期措施，它们通过伦敦银行同业拆借利率本身相互关联。

获得这样一个模型的一种便捷方法是在Musiela和Rutkowski（1997）的开创性工作之后，通过反向构造。这种构造依赖于伦敦银行同业拆借利率的鞅性质（在相应的远期指标下），允许确定指标的变化。因此，在后向构造中，Libor利率不仅必须是局部的，而且必须是在相应的前向测度下的真鞅。当模型由连续半鞅驱动时，这是使用Novikov类型条件的标准，但在包括跳跃的一般半鞅模型中，验证Libor利率是否为真鞅涉及更多，并且在财务文献中没有得到适当的解决。使用第3节中的明确条件，我们将在下面详细研究这个问题，以弥补这一差距。让我们首先描述一个一般的半鞅Libor模型。假设T*> 0是一个固定的时间范围，我们得到了一个预先确定的到期日集合0=T<T<…<Tn=T*, δk:=Tk+1- tk对于k=0，N- 1.此外，让我们(Ohm, 英尺*, （英尺）0≤T≤T*, PT*) 这是一个随机的基础。一般半鞅Libor模型由一系列半鞅组成，这些半鞅对Libor利率（L（·Tk））1进行建模≤K≤N-1期末（[Tk，Tk+1]）1≤K≤N-1和一系列概率测度（PTk）1≤K≤n、 其中，L（·，Tk）和PTkare的定义如下：(Ohm, FTk（英尺）0≤T≤Tk）和PTn=PT*, 使得（SML1）L（·，Tk）是所有k=1，…，的PTk+1-鞅，N- 1.（SML2）对于k=n- 1.1dPTkdPTk+1=1+δkL（Tk，Tk）1+δkL（0，Tk）。对于每个k，概率度量PTkis称为m Naturitytk的远期伦敦银行同业拆借利率度量，参见Mu siela and Rutkowski（2005），定义12.4.1。该指标实际上是与成熟度相关的前向马丁盖尔指标，而密度过程高于远期价格过程。

这可以从远期伦敦银行同业拆借利率和零息票债券价格之间的联系中看出，见Musiela和Rutkowski（2005），第12.1.1和12.4.4节。下面我们将介绍在半鞅f框架下向后构造Libor模型的主要思想。我们首先对给定概率测度下最远到期日的伦敦银行同业拆借利率进行建模，然后向后进行。我们在每一步中通过基于先前建模的伦敦银行同业拆借利率的密度过程确定下一个远期指标，并在此指标下对下一个伦敦银行同业拆借利率进行建模。设X是随机基上的Rd值半鞅(Ohm, 英尺*, （英尺）0≤T≤T*, PT*).我们首先对伦敦银行同业拆借利率L（·，Tn）进行建模-1） 为了成熟-1byL（t，Tn-1） ：=L（0，Tn）-1） 经验λ（·，Tn）-1） ·Xt- KXt（PT*, λ（·，Tn）-1)), （4.4）对于t≤ Tn-1，其中L（0，Tn-1） >0和λ（·，Tn）-1) ∈ L（X）是一个波动过程，使得随机积分λ（·，Tn-1） ·X是PT*-具有KX（PT）的指数特殊*, λ（·，Tn）-1） ）是PT*-指数补偿器。因此，L（·，Tn-1） 这是一个PT*-洛卡尔鞅。假设-1） 这是一个真正的PT*-鞅，我们可以定义概率测度PTn-1on(Ohm, FTn-1） 由Radon Nikodym衍生的PTN-1dPT*=1+δn-1L（总吨）-1，田纳西州-1） 1+δn-1L（0，Tn-1). （4.5）此外，我们得到了t≤ Tn-1dPTn-1dPT*Ft=1+δn-1L（t，Tn-1） 1+δn-1L（0，Tn-1). （4.6）现在我们递归地为k=n的伦敦银行同业拆借利率L（·，Tk）建模- 2.1 byL（t，Tk）：=L（0，Tk）expλ（·，Tk）·Xt- KXt（PTk+1，λ（·Tk））, （4.7）对于t≤ Tk，其中L（0，Tk）>0和dλ（·Tk）∈ L（X）是一个波动过程，使得λ（·Tk）·X与PTk+1指数补偿器KX（PTk+1，λ（·Tk））是PTk+1指数特殊的。如上所述，这意味着L（·，Tk）是一个PTk+1-lo-cal鞅。请注意，伦敦银行同业拆借利率为10 D.C RIENS、K.GLAU和Z.Grbac，从T=0开始到T=0结束的区间仅为给定的即期伦敦银行同业拆借利率L（0，T）>0。

概率度量PTKI定义于(Ohm, 由Radon-nikodym导数ptkdptk+1=1+δkL（Tk，Tk）1+δkL（0，Tk），（4.8），其中必须假设L（·Tk）是真的PTk+1-鞅。那我们就有堡垒了≤ TKDPTK+1Ft=1+δkL（t，Tk）1+δkL（0，Tk）。（4.9）此外，我们还得到了概率测度PTk+1与PT有关*viadPTk+1dPT*英尺=n-1Yi=k+11+δiL（t，Ti）1+δiL（0，Ti），t≤ Tk+1。（4.10）请注意，如果Libor利率L（·，Tk）为PTk+1-鞅，对于所有k=1，…，则构造是明确的，N- 1.证明措施（PTk）1的落后结构（4.4）-（4.10）是合理的≤K≤N-1，我们在下面的命题中证明了伦敦银行同业拆借利率的必要鞅性质。提议4.2。设方程（4.7）中的X是具有微分特征（bT）的Rd值拟左连续半鞅*, c、 英尺*; A） 关于PT*, 和非负λ（·，Tk）∈ L（X）。假设（SL）对于所有i=1，N- 1存在一个非负常数κ，使得a.s.ZT*hλ（t，Ti），ctλ（t，Ti）idAt+ZT*ZRd1.-pehλ（t，Ti），xiehPn-1k=i+1λ（t，Tk），xiFT*t（dx）dAt≤ κ、 我们使用公约的地方= 0.那么对于每个k=1，N-1，来自（4.7）的过程L（·，Tk）是一个鞅，关于PTk+1，由（4.10）驱动。证明：对于k=n- 1.断言直接来自假设（SL）和命题3.5。为了k≤ N- 2，表示X关于PTk+1by（BTk+1，CTk+1，νTk+1）的半鞅特征。接下来，我们通过反向归纳和Girsanov定理计算这些特性，如Jacod和Shiryaev（2003）中定理III.3.24所示。我们简短地给出了一些关于Girsanov定理应用的细节。表示dPTn-1/dPT*|F·=：ZTn-1注意L（·，T*) = L（0，Tn-1） Eλ（·，Tn）-1） ·Xc，T*+ehλ（·，Tn）-1） ，xi- 1.*uX- νT*,其中Xc，T*表示连续的局部PT*-X的鞅部分。

我们有*uX（ZTn-1 | eP）=ZTn-1.-+δn-1L(·-, Tn-1） 1+δn-1L（0，Tn-1)ehλ（·，Tn）-1、xi- 1..现在Girsanov的定理得出了-1=C，νTn-1（dt，dx）=β（t，x，Tn-1） 英尺*t（dx）dAt，带β（t，x，Tl）：=δlL（t-, Tl）1+δlL（t-, （Tl）ehλ（t，Tl），xi- 1.+ 1，对于l=1，N- 1.重复这些步骤，通过反向归纳，我们得到Ctk+1=C，νTk+1（dt，dx）=n-1Yl=k+1β（t，x，Tl）FT*t（dx）dAt。注意到β（t，x，Tl）≤ ehλ（t，Tl），xi，该权利要求源自第3.5项建议。让我们将我们的讨论与Eberlein和¨Ozkan（2005）的列维Libor模型联系起来，在该模型中，驱动过程X被假定为具有不同特征（0，c，FT）的Rd值PIIAC*) 在PT之下*. Eberlein和¨Ozkan提出以下假设：对于someM，ε>0，每k=1，N- 1.我们有（L1）RT*R | x |>1ehu，西府*t（dx）dt<∞ 每一个你∈ [-（1+ε）M，（1+ε）M]d，（L2）λ（·Tk）：[0，T*] → Rd+是一个有界的非负函数，对于t>Tk，λ（t，Tk）=0和pn-1k=1λj（t，Tk）≤ M、 尽管如此，t∈ [0，T*] 以及每一个协调人∈ {1，…，d}，（L3）λ（·Tk）：[0，T*] → Rd+是确定性的。让我们指出，即使驱动过程在erPT中具有确定性特征*λ是确定性的（如上述情况），在PTkfork=1，N- 1是随机的。我们得到了L’evy Libor模型的以下充分条件，其中λ也是随机的。推论4.3。假设Pnj=1 |λ（·Tj）|≤ 对于一个非负常数，存在一个非负常数κ，比如zt*Z | x |>1eN | x | FT*t（dx）dt≤ κ.然后对于每个k=1，N- 1（4.7）中定义的过程L（·，Tk）是一个鞅，其对PTk+1的响应由（4.10）驱动。证据：有必要证明（SL）是令人满意的。

请注意，我们发现了一个非负常数*对于任何i=1。。。，N- 1代表所有x∈ 带| x |≤ 1.1.-pehλ（t，Ti），xiehPn-1k=i+1λ（t，Tk），xi≤ K*|x |。下一步，我们进行大跳跃。使用以下事实（1）-√十）≤ 对于x>0和一些非负常数K，我们得到了Cauchy-Schwarz不等式*Z | x |>11.-pehλ（t，Ti），xiehPn-1k=i+1λ（t，Tk），xiFT*t（dx）dt≤ZT*Z | x |>1ehPn-1k=i+1λ（t，Tk），xi+ehPn-1k=iλ（t，Tk），xi英尺*t（dx）dt≤ 2ZT*Z | x |>1eN | x | FT*t（dx）dt。12 D.C Rines，K.GLAU和Z.GRBACFinally，sinceZT*hλ（t，Ti），ctλ（t，Ti）idt≤ NZT*kctkdt，其中k·k表示c的算子范数，我们得出结论（SL）成立。这就是证据。如本节导言所述，Libor利率在其相应测度下的鞅性质对于Libor模型向后构造的有效性至关重要。因此，命题4.2和推论4.3从理论上证明了Eberlein和¨Ozkan（2005）构建的列夫伦敦银行同业拆借利率模型，以及更普遍的由准左连续半鞅驱动的伦敦银行同业拆借利率模型。参考文献Biagini，F.，H.F¨ollmer和S.Nedelcu（2014）。移动鞅测度和作为次鞅的泡沫的诞生。金融与随机18（2），297-326。Brace，A.，D.G,atarek和M.Musiela（1997）。利率动态的市场模型。数学金融7127-155。Cheridito，P.，D.Filipovi\'c和M.Yor（2005年）。等效且绝对连续地测量泵扩散过程的变化。《应用概率年鉴》15（3），1713-1732。Cont，R.和P.Tankov（2003年）。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/华润出版社。Cox，A.和D.Hobson（2005年）。局部鞅、泡沫和期权价格。金融与随机9，477-492。Delbaen，F.和W.Schachermayer（1998年）。无界随机过程资产定价的基本理论。

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