指数半鞅的鞅性质：关于显式鞅的一个注记

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英文标题：
《Martingale property of exponential semimartingales: a note on explicit
  conditions and applications to financial models》
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作者：
David Criens, Kathrin Glau, Zorana Grbac
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We give a collection of explicit sufficient conditions for the true martingale property of a wide class of exponentials of semimartingales. We express the conditions in terms of semimartingale characteristics. This turns out to be very convenient in financial modeling in general. Especially it allows us to carefully discuss the question of well-definedness of semimartingale Libor models, whose construction crucially relies on a sequence of measure changes.
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中文摘要：
我们给出了一类广泛的指数半鞅的真鞅性质的显式充分条件。我们用半鞅特征来表示这些条件。一般来说，这在财务建模中非常方便。特别是它允许我们仔细讨论半鞅Libor模型的良好定义问题，它的构造在很大程度上依赖于一系列度量变化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Martingale_property_of_exponential_semimartingales:_a_note_on_explicit_condition.pdf (219.76 KB)

2022-5-8 10:50:45 上传

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关键词：Mathematical Applications Exponentials Quantitative Differential

指数半鞅的鞅性质：关于金融模型显式条件和应用的注记Vid CRIENS、KATHRIN GLAU和ZORANA Grbactract。我们给出了一大类指数半鞅的真鞅性质的显式充分条件。我们用半鞅特征来表示条件。这在一般的财务建模中非常方便。特别是它允许我们仔细讨论半鞅Libor模型的充分性问题，它的构造在很大程度上依赖于一系列度量变化。1.引言局部鞅是随机积分的核心对象。因此，它们为时间演化随机模型提供了一种自然途径，这是数学金融的基石。资产定价的基本定理表明，在某些等价概率测度下，无套利本质上等价于贴现资产价格的局部鞅性质。贴现资产价格过程的真鞅性质的一个重要好处是，它们用于度量变化的密度过程。在财务方面，这相当于基准的变化。自Geman等人（1995）的开创性工作以来，这个概念在计算和建模方面都变得不可或缺。通常，通过减少计算的复杂性，改变计价单位有助于期权定价。此外，它是Brace等人（1997）和Miltersen等人（1997）提出的Libormarket模型构建的基石。更根本的是，衡量指标的变化将历史和风险中性的概率衡量联系起来。另一方面，如果贴现资产价格过程是一个严格的局部鞅，即局部鞅，它不是真鞅，则有时会被解释为金融泡沫。

然而，金融泡沫的定义和存在在很大程度上取决于市场价格、套利和可接受策略的特定概念，例如c ox和Hobson（2005）和Jarrow等人（2010）。在典型的模型情况下，使用真鞅是不可取的。通常情况下，价格过程是非负的，因此被建模为埃米马丁大风的指数，这形成了一类广泛而灵活的正过程。我们可以用漂移条件来描述这类地方性的马丁大风。然而，更重要的是要确定它们真正鞅性质的条件。为了更精确地表述问题，用X和Rd值半鞅表示，用λ和Rd值表示。日期：2018年10月20日星期一数学学科分类。60G48，91G30，91B25。关键词和短语。指数半鞅，鞅性质，一致可积性，半鞅资产价格模型，伦敦银行同业拆借利率模型。作者感谢恩斯特·埃伯林的有益讨论。感谢DFG项目B66/9-3和慕尼黑大学女性数学科学创业项目的财政支持。2.D.C RIENS，K.GLAU和Z.Grbac可积过程，然后λ·X:=Pi≤dR·∧idxideno表示λ相对于X的实值随机积分过程。此外，letV是一个具有有限变化的可预测过程。我们提出以下问题：关于X的c特征的条件是形式Z的实值半鞅Z:=eλ·X-Va（一致可积）鞅？如果eλ·Xis是一个特殊的半鞅，则存在一个唯一的可预测的fin-itev变化过程，使得Z是一个局部鞅。在这种情况下，V被称为λ·X的指数补偿器，详见第2节。

对于Z的更精细的真鞅性质，已经提出了各种各样的标准。Novikov（1972）的开创性论文讨论了连续半鞅情形。例如，Lepingle和M’emin（1978）、Kallsen和Shiryaev（2002）、Jacod（1979）、Cher idito等人（2005）和Protter和S himbo（2008）提供了一般半鞅的充分条件，另请参见byLarsson和Ruf（2014）最近的一篇论文，以局部超鞅的收敛结果为基础进一步推广Novikov-Kazamaki型条件。此外，我们参考Kallsen和Shiryaev（2002）的第1节和第3节，以获得详尽的文献综述。在特殊情况下，当X是一个具有独立增量和绝对连续特征且λ确定性的过程时，Eberlein等人（2005）证明，如果Z是一个局部鞅，它也是一个真正的马尔丁鞅。Kallsen和Muhle-Karbe（2010）给出了确保指数过程鞅性质的确定性条件。更一般的半鞅的条件并不那么明确。我们的贡献是根据指数拟左连续半鞅的特征给出其鞅性质的显式条件。在第二节中，我们介绍了Jaco d和Shiryaev（2003）的符号并描述了一般半鞅集。第3节包含主要结果。显式条件的优点是便于应用。我们通过研究第4.1节中半鞅随机波动率模型中资产价格的真鞅性质来说明这一点。最后，在第4.2节中，我们证明了L’evy Libor模型反向构造的充分性。更准确地说，我们证明了测度变化的候选密度过程确实是真正的鞅，这一点以前还没有得到严格证明。

此外，我们给出了半鞅Libor模型的一个自然推广。2.半鞅e表示法和预备在这一节中，我们介绍了半鞅e表示法，并总结了半鞅理论中的基本概念和事实，以保持本文的完整性。我们的主要参考文献是Jacod和Shiryaev（2003），我们在本文中使用了他们的符号。sto-chastic演算和半鞅的其他标准参考文献包括Jacod（1979）、M’etivier（1982）和Protter（2004）。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）表示随机基，即具有正确连续过滤的过滤概率空间。对于一类过程C，我们说一个过程X在局部类Clo中，存在一系列停止时间（τn）n∈确保a.s.τn↑ ∞作为n→ ∞ 和Xτn∈ C.用M表示C`adl`ag一致可积鞅类。局部类Mlo中的过程称为局部鞅。我们用V+（resp.V）表示所有实值c`adl`ag过程的集合，这些过程从零开始，具有非减量路径（resp.path，在每个有限区间[0，t]内具有有限变化）。设A+表示所有进程A的集合∈ V+是可积的，即e[A]∞] < ∞,哪里∞（ω） limt→∞At（ω）∈R+对每ω∈ Ohm. 此外，让A表示allA的集合∈ 具有可积变化的V，即Var（A）∈ A+，其中每t≥ 0和每ω∈ Ohm , Var（A）t（ω）定义为函数s7的总变化→ [0，t]上的As（ω）。如果过程X的分解形式为X=X+M+a，（2.1），则称为半鞅，其中Xis为有限值且F-可测，M∈ M=0和A的Mlo C∈ 分解（2.1）中的V.I fA是可预测的，X称为特殊半鞅，分解是唯一的。如果A.s。

集合{τ<∞} 对于所有可预测的时间τ。设X为Rd值半鞅，即X满足（2.1）的每个分量。通过点a处的Dirac测度表示，跳跃的随机测度uXof X是形式为uX（ω；dt，dx）：=Xs的整数值随机测度≥0{Xs（ω）6=0}ε（s，Xs（ω））（dt，dx）。uX的可预测补偿器有一个版本，用ν表示，因此，当且仅当ν（ω，{t}×Rd）=0表示所有ω时，r值半鞅X是准左连续的∈ Ohm, c、 f.Jacod和Shiryaev（2003），推论二。1.19.一般来说，νsatis fies（|x|∧ 1) * ν ∈ Alo c.（2.2）半鞅X允许一个正则表达式X=X+B（h）+Xc+（X）- h（x））*uX+h（X）* （uX）- ν） ，其中h:Rd→ RDI是一个截断函数，即一个有边界且行为类似于h（x）=x的函数，在0附近，B（h）是一个可预测的Rd值过程，其分量在V中，XC是x的连续鞅部分。用C表示可预测的Rd 定义为Cij的Rd值协变量过程：=hXi，c，Xj，ci。然后，三元组（B（h），C，ν）被称为X的可预测特性的三元组（或简单地称为X的特性）。可能存在一个可预测的过程（见命题II.2.9 inJaco d和Shiryaev（2003））∈ A+lo csuch thatB（h）=b（h）·A，C=C·A，ν=A×F，其中b（h）是一个d维可预测过程，C是一个在对称非负定义d×d矩阵集中取值的可预测过程，F是一个转换核函数(Ohm x R+，P）转化为（Rd，B（Rd））。这里P表示可预测的σ场Ohm ×R+。Wecall（b（h），c，F；A） X的微分（或局部）特征的三元组。如果X接受上面At=t的选择，我们说X具有绝对连续的特征（或短lyac），并称X为It^o半鞅。半鞅的一个重要子类是具有独立增量的It^o半鞅类。

这些过程被称为时间非均匀L’evy过程或具有独立增量和绝对连续特征的过程（PIIAC），参见Eberlein等人（2005）中的第2节。对于每个截断函数h，PIIAC X的微分特征（b（h），c，F）是确定的，并且满足以下可积性假设：对于每个T>0ZT|b（h）s |+kcsk+ZRd（|x）|∧ 1） Fs（dx）ds<∞, （2.3）其中k·k表示d×d-矩阵集合上的任何范数。对于每一个t>0，XT定律的特征函数是一个L’evy Khintchine型公式，请参见Eber lein等人（2005）的第2节。这一性质使得PIIAC4 D.C RIENS、K.GLAU和Z.Grbac类特别适合应用。定义2.12、引理2.13和引理2.15 inKallsen和Shiryaev（2002）给出了以下关于半鞅指数的定义和结果。定义2.1。实值半鞅Y称为指数特殊的if exp（Y）-Y） 是一个特殊的半鞅。备注2.2。设Y为实值半鞅，由Y和h的跳集s的随机测度的νyth补偿器决定截断函数。（a） 以下陈述是等价的：（i）Y是一个指数特殊的半鞅。（ii）（e）- 1.- h（y））* νY∈ V.（iii）ey{y>1}* νY∈ V.（b）如果Y是指数特殊的，那么它允许一个指数补偿器，即存在一个可预测的过程V∈ V使exp（Y）- Y- V）∈ Mlo c.设X是具有不同特征（b（h），c，F；A） λ∈ L（X），其中L（X）表示可积于X的可预测过程集，c.f.Jacod和Shiryaev（2003），第207页。此外，假设λ·X是指数特殊的。

根据Jaco d和Shiryaev（2003）第III.7.7a节，我们定义了空间累积量过程kx（λ）：=eκX（λ）·A，（2.4），其中eκXs（λ）：=hλs，bsi+hλs，csλsi+Zehλs，xi- 1.- hλs，h（x）iFs（dx），（2.5）和修正的拉普拉斯累积量过程KX（λ）：=ln（E（eKX（λ）），其中E表示随机指数，KX（λ）=eKX（λ）+Xs≤·（ln（1+eKXs（λ））-eKXs（λ））。（2.6）以下结果在Jacod和Shiryaev（2003）的命题III.7.14和定理III.7.4中得到了证明：命题2.3。设X是Rd值半鞅，λ∈ L（X）使得λ·Xis指数特殊。（i） 修正的拉普拉斯累积量过程KX（λ）是λ·X的指数补偿器，即过程Z定义为Z:=exp（λ·X）- KX（λ））是一个局部鞅。（ii）如果X i是准左连续的，则拉普拉斯累积量过程KX（λ）和修正拉普拉斯累积量过程KX（λ）重合，即KX（λ）=eKX（λ）。在下一节中，我们给出了指数半鞅的鞅性质的充分条件。3.指数半鞅的Mart-ingale性质保证非负或正局部鞅的（UI）鞅性质的可积条件从多个角度和不同的一般性水平进行了研究。它从Novikov（1972）的经典条件开始，该条件适用于连续指数局部鞅。Lepingle和M’emin（1978）的开创性论文中给出了包括跳跃在内的自然概括。Kallsen和Shiryaev（2002）给出了各种相关条件。Jacod（1979）的专著对Novikov型条件以及有界条件进行了深入的概述。在这一节中，我们收集了指数半鞅的条件，并用半鞅特征表示它们。由于这些表达式，我们通常称这些类型的条件为可预测条件。

让我们从一个Novikov型可积条件开始，它是基于Lepingle和M’emin（1978）的主要结果。我们遵循Jacod（1979）给出的推论8.44。提议3.1。设Y是具有特征（B（h），C，ν）的实值拟左连续半鞅。If（A1）E经验CT+（（y）- 1） ey+1）* νT< ∞ 每一个T≥ 0，进程M:=eY-KY（1）是真鞅。此外，将条件（A1）替换为（A2）E经验C∞+ （（y）- 1） ey+1）* ν∞< ∞,M是UI鞅。证明：注意，对于任何T>0，XT的特征由（BT，CT，νT）给出，其中νT（dt，dx）：=1[0，T]×Rdν（dt，dx）。现在，由于局部序列是确定的局部马丁鞅是鞅，第一个断言紧随第二个断言之后。注意，（A1）意味着X是指数特殊的，因此M是局部鞅。鉴于Kallsen和Shiryaev（2002）中的定理2.19，第二个主张来自Jaco d（1979），推论8.44。备注3.2。如果Y是连续的，即ν=0，则（A2）r导出到第3.5节中给出的经典诺维科夫条件。在卡拉扎斯和什里夫（1991年）中获得了博士学位。作为一个直接的推论，我们导出了X作为随机积分给出的情况下的以下充分条件。推论3.3。设X是一个具有不同特征（b（h），c，F；A） λ∈ L（X）。如果（B1）f或每T≥ 0，E经验RThλs，csλsidAs+RTRRd（（hλs，xi- 1） ehλs，xi+1）Fs（dx）dAs< ∞过程M:=eλ·X-KX（λ）是真鞅。此外，将（B1）替换为（B2）E经验R∞hλs，csλsidAs+R∞RRd（（hλs，xi- 1） ehλs，xi+1）Fs（dx）dAs< ∞,那么M是UI鞅。证明：Jacod和Shiryaev（2003）中的命题IX.5.3给出了λ·X的特征。现在，在这一主张之后，是命题3.1的应用。备注3.4。

显然，通过考虑实值半鞅X和λ=1在滚动3.3中，我们恢复了命题3.1.6 D.C RIENS、K.GLAU和Z.Grbac。对于应用，以下有界条件被证明是有用的，参见下面章节中的推论4.1、命题4.3和4.2。提案3.5。Le t X与推论3.3相同，并设λ∈ L（X）。对于每T≥ 存在一个非负常数κ（T），使得a.s.ZThλs，csλsidAs+ZTZRd1.-pehλs，xiFs（dx）dAs≤ κ（T）过程M:=eλ·X-KX（λ）是真鞅。此外，将（C1）替换为（C2）存在一个非负常数κ，使得a.s.Z∞hλs，csλsidAs+Z∞ZRd1.-pehλs，xiFs（dx）dAs≤ 那么M是UI鞅。证据：同样，第一部分是第二部分的直接后果。注意，（C1）意味着λ·X是指数特殊的。因此，我们可以从定理2中推断出索赔。Kallsen和Shiryaev（2002）中的19，以及Jacod（1979）中的引理8.8和定理8.25。备注3.6。显然，由于推论3.3，条件（C1）可以被以下条件取代：永远y T≥ 在a.s.ZThλs，csλsidAs+ZTZRd处存在常数κ（T）（hλs，xi- 1） ehλs，xi+1Fs（dx）dAs≤ κ（T）。（3.1）基本不等式0≤ (1 -√十）≤ x日志（x）- （十）- 1） ，对于所有x>0的情况，如Esche（2004）所述，引理2.13表明条件（C1）是对（3.1）的改进。让我们很快转向具有独立增量的半鞅的子类（SiIp过程），其情况与更一般的情况略有不同。前指数SII过程的局部鞅性质等价于真鞅性质。