一般扩散模型中的最优融资与股利分配

（A-27）另一方面，注意0<δi+qi- u′（y，i）≤ δi+qi- u′（y，i）（由于u（·i））的凹性，R′f，π0，b（y，i）<R′f，π0，b（y，i）（见（A-24）），limn→∞f（y1n，j）-f（y，j）y1n-Y≥ 画→∞f（y2n，j）-f（y，j）y2n-y（由于f（·，j）的凹度）。因此，kf，b（y，i；{y1n}）<kf，b（y，i；{y2n}），这与（a-27）相反。（ii）我们区分了两种情况：（a）R′f，π0，b（b+，i）>0和（b）R′f，π0，b（b+，i）≤ 0 .（a） 假设R′f，π0，b（b+，i）>0。通过（A-20），我们可以找到N>0，这样xN>b和R′f，π0，b（xN，i）≤然后通过函数R′f，π0，b（·，i）在（b）上的连续性，∞) （见推论3.4（i））我们知道存在一个y∈ （b，xN]使得R′f，π0，b（y，i）=0，对于x，R′f，π0，b（x，i）>0∈ （b，y）。现在我们继续证明R′f，π0，b（b-, （一）≤ 假设相反，即R′f，π0，b（b）-, i） >0。注R′f，π0，b（0+，i）≤ 0（参见（A-2）），因此存在y∈ （0，b）使得R′f，π0，b（y，i）=0，对于x，R′f，π0，b（x，i）>0∈ （y，b）。总之，（A-23）适用于x∈ （y，y）-{b} 。重复（i）中（A-23）下面的论点，我们得到一个矛盾。（b） 假设R′f，π0，b（b+，i）≤ 0 . 它由（A-21）和假设R′f，π0，b（b，i）>1+dthatR′f，π0，b（b）构成-, i） =limx↑b2hf，i，b（x，i）σ（x，i）<limx↓b2hf，i，b（x，i）σ（x，i）=R′\'f，π0，b（b+，i）≤ 0 . （A-28）我们现在证明R′f，π0，b（x，i）≤ 0代表所有x∈ [0，b）。假设相反。也就是说，存在一些x∈ [0，b）使得R′f，π0，b（x，i）>0。然后通过注意R′f，π0，b（0+，i）≤ 0（见（A-22））和R′f，π0，b（b-, i） <0（见（A-28）），我们可以用0找到Yan和Yw≤ y<y<b使得R′f，π0，b（y，i）=0，R′f，π0，b（y，i）=0和R′f，π0，b（x，i）>0表示x∈ （y，y）。再次重复（i）中（A-23）之后的论证，我们可以得到一个矛盾。定理3.7注意，给定Xπ，τπb=0≥ B

因此，根据定义（3.13），wf，b（x，i）=supπ∈πE（x，i）Rf，π0，b（Xπ，ξ）= Rf，π0，b（x，i）f或x≥ b和b=0。（A-29）我们认为情况b>0。通过引理3.6（ii）我们知道R′f，π0，b（x，i）≤ 0代表x∈ [0，b），andR′f，π0，b（b）-, （一）≤ 因此，Coro llary 3.4（i）表示：- c=R′f，π0，b（0+，i）≥ R′f，π0，b（x，i）≥ R′f，π0，b（b，i）>1+dfor 0<x≤ b、 （A-30）定义wf，i（y，j）=Rf，π0，b（y，i）如果j=i，以及wf，i（y，j）=f（y，j）如果j=i。然后通过推论3.4（i）和引理3.3，我们知道wi（·j）满足引理5.1中的条件。然后，通过应用引理5.1，我们知道，对于某个正的停止时间序列{τn；n=1，2，···}→∞τn=∞, 方程式（A-3）成立。通过让t进入（A-3）beτπb∧t、 注意到Xπs-Xπs-=铯- 铯-≥ 0，给定的（X，ξ）=（X，i），Xπs-∈ [0，b）和wi（Xπs）-, ξs-) = Rf，π0，b（Xπs）-, i） 对于s≤ σ∧ τπb，p＜s≤τn∧σ∧τπb∧te-∧sXπs-Xπs-1.-c+Rτn∧στπb∧∧te-∧s1-cdCs=Rτn∧στπb∧∧te-∧s1-CDC，并使用（A-30），我们推导出了任何π∈ π，t>0和0≤ 十、≤ b、 E（x，i）Zτn∧σ∧τπb∧tlse-∧s1+dds-Zτn∧σ∧τπb∧te-∧s1- cdCs+e-∧τn∧σ∧τπb∧twi（Xπτn）∧σ∧τπb∧t、 ξτn∧σ∧τπb∧（t）#≤ Rf，π0，b（x，i）。（A-31）注意函数Rf，π0，b（·j）和f（·j）j∈ 都是有界的。因此，函数wi（·，j）j∈ S也是有界的。通过让τn→ ∞ 和t→ ∞ 在（A-31）的两侧，使用单调收敛定理和支配收敛定理，注意到由于ξs=ξ为0≤ s<σ我们有E（x，i）E-∧τπb∧σwf，i（Xπτπb）∧σ、 ξτπb∧σ)=E（x，i）E-∧τπbRf，π0，b（b，ξ）I{τπb<σ}+e-∧σf（Xσ，ξσ）I{σ≤ τπb}π是一个任意容许策略，并且（3.13），我们可以得出dewf，b（x，i）≤ Rf，π0，b（x，i）为0≤ 十、≤ B

（A-32）注t{（X0，bt，ξt）；t≥ 0}是一个强马尔可夫过程，根据马尔可夫性质，它遵循rf，π0，b（x，i）=E（x，i）Zτπ0，bb∧σ′le-∧s1+dI{X0，bs≥ b} ds-Zτπ0，bb∧σe-∧s1- cdCs+e-δ（τπ0，bb）∧σ） Rf，π0，b（X0，bτπ0，bb）∧σ、 ξτπ0，bb∧σ)≤ Wf，b（x，i）代表x≥ 0，（A-33），其中最后一个不等式f通过注意π0，b来表示∈ 和定义（3.13）。结合（A-29），（A-32）和（A-33）完成证明。定理3.8的证明我们首先证明r′f，π0，b（x，i）≤ R′f，π0，b（b，i）=1+dfor x>b，b≥ 由引理3.6（i）得出R′f，π0,0（x，i）≤ 0代表x≥ 因此，（a-34）适用于b=0。现在假设b>0。通过引理3.3（i），我们知道R′f，π0，b（0+，i）=1-c、 由于R′f，π0，b（b，i）=1+d，由此推论3.4（ii），Rf，π0，b（·i）在[0]上是两次连续可微的，∞) 由引理3.6（i）得出R′f，0，b（x，i）≤ 0代表x≥ 因此，（A-34）也适用于b>0和1- c=R′f，π0，b（0+，i）≥ R′f，π0，b（x，i）≥ R′f，π0，b（b，i）=1+dfor x∈ [0，b]。（A-35）之后使用（A-34）和（A-35），并且不使用ting\'l≥ LSS≥ 0我们得到了b≥ 0，\'lI{Xπs≥ b}R′f，π0，b（Xπs）-, （一）-1+d- lsR′f，π0，b（Xπs）-, i） =（\'l）- ls）I{Xπs≥ b} R′f，π0，b（Xπs）-, （一）-\'l1+dI{Xπs≥ b}- lsI{Xπs<b}R′f，π0，b（Xπs-, （一）≤\'l- ls1+dI{Xπs≥ b}-\'l1+dI{Xπs≥ b}-ls1+dI{Xπs<b}=-ls1+d，（A-36）由（A-34）再次我们可以得到r′f，π0，b（x，i）≤1.- 首席财务官b≥ 0和x>b.（A-37）此外，请注意≥ 0和任何t≥ 0，E（x，i）Z0<s≤σ∧te-∧sR′f，π0，b（Xπs，ξs）-)d~Cs+X0<s≤σ∧te-∧sRf，π0，b（Xπs，ξs）-) - Rf，π0，b（Xπs）-, ξs-)≤ E（x，i）Zσ∧te-∧s1- cdCs+X0<s≤σ∧te-∧s1- c（Xπs）- Xπs-)= E（x，i）X0<s≤σ∧te-∧s1- 疾控中心, （A-38），其中最后一个不平等后面是（A-35），（A-37），dCs≥ 0，Xπs- Xπs-= 铯- 铯-≥ 0和DCS=dCs+Cs- 铯-.定义wf，i（y，j）=Rf，π0，b（y，i）如果j=i，a和wf，i（y，j）=f（y，j）如果j=i。然后通过推论3。我们知道引理3.3中的条件是满足的。

通过应用引理5.1，我们知道，对于某些正的停止时间序列{τn；n=1，2，····}→∞τn=∞, 方程（A-3）适用于任何π∈ π，任意b，t>0和任意n∈ N.通过使用（A-3）、（A-36）和（A-38）（设置t=t∧ τn）我们得到Rf，π0，b（x，i）≥ E（x，i）Rσ∧T∧τnlse-∧s1+dds-Pσ∧T∧τne-∧s1-cdCs+e-Λσ∧T∧τnwf，i（Xπσ）∧T∧τn，ξσ∧T∧τn）为了b≥ 0.注意到函数srf，π0，b（·i）和f（·j），j∈ S是有界的，t是有界的→ ∞ 然后是n→ ∞ 然后利用期望内的前两项的单调收敛定理和最后一项的支配收敛定理，我们得到了b≥ 0，Rf，π0，b（x，i）≥E（x，i）Rσlse-∧s1+dds-Rσe-∧s1-cdCs+e-∧σwf，i（Xπσ，ξσ）. 通过注意wf，i（Xπσ，ξσ）=f（Xπσ，ξσ），给定ξ=i，π的任意性和Vfin（3.6）的定义，我们得出Rf，π0，b（X，i）≥x的Vf（x，i）≥ 另一方面，Rf，π0，b（x，i）≤ x的Vf（x，i）≥ 0根据定义（3.6）。因此，对于x，Rf，π0，b（x，i）=Vf（x，i）≥ 0引理3.9的证明回顾一下（3.12）中定义的τπbis。根据定理3.7，对于任何足够大的b和任何x≥ 0，Rf，π0，b（x，i）=Wf，b（x，i）=supπ∈πE（x，i）Zσ∧τπblse-∧s1+dds-Zσ∧τπbe-∧s1- cdCs+e-∧τπbRf，π0，b（b，ξ）I{τπb<σ}+e-∧σf（Xπσ，ξσ）I{σ≤ τπb}≥ supπ∈πEx“Zσ∧τπblse-∧s1+dds-Zσ∧τπbe-∧s1- cdCs+e-∧σf（Xπσ，ξσ）I{σ≤ τπb}#。注意肢体→∞τπb=∞ f是有界的。然后让b→ ∞ 然后两次使用单调收敛定理和支配收敛定理→∞Rf，π0，b（x，i）≥ supπ∈πE（x，i）hRσlse-∧s1+dds-Rσe-∧s1-cdCs+e-λσf（Xπσ，ξσ）i=Vf（X，i）对于X≥ 这与事实Rf，π0，b（x，i）相结合≤ x的Vf（x，i）≥ 0完成了证明。定理3.10（i）bfi的证明≥ 从定义来看，0是显而易见的。我们只需要证明bfi<∞.假设相反。然后通过（3.14）我们得到所有b的R′f，π0，b（b，i）>1+df≥ 0

因此，引理3.9表示Vf（x，i）=肢体→∞Rf，π0，b（x，i）代表x≥ 0 . 对于任何b≥ 根据定理3.7，我们知道R′f，π0，b（x，i）>1+df∈ （0，b），这意味着x的Rf，π0，b（x，i）>Rf，π0，b（0，i）+x1+df∈ （0，b）。因此，对于任何x≥ 0，我们可以找到一个b>x，使得Vf（x，i）≥ Rf，π0，b（x，i）>Rf，π0，b（0，i）+x1+d→∞Vf（x，i）=+∞, 这与Vf（x，i）相矛盾≤对于x的lδ（1+d）≥ 0（见引理3.2）。（ii）是（i）和定理3.8的结果。定理4.1（i）的证明定义了一个算子P byP（f）（x，i）：=Vf（x，i），x≥ 0，我∈ S和f∈ C.（A-39）那么根据定理3.10，我们有，P（f）（x，i）=Vf（x，i）=Rf，π0，bfi（x，i），x≥ 0，我∈ S和f∈ C.（A-40）回想一下D C和（D，| |·| |）是一个完整的空间。我们将首先证明P是收缩子（D，| |·| |）。考虑一下f∈ D.引理3.2和（A-40）得出P（f）=Vf∈ C.请注意，对于纽约f∈ D和我∈ S、 bfi<∞ 根据定理3.10。进一步注意，通过引理3.3（ii），我们知道R′f，π0，b（b，i）在b中是连续的，R′f，π0，0（0+，i）=1-c> 1+dbyCorollary 3.4（i）。因此，根据bfiin（3.14）的定义，我们有R′f，π0，bfi（bfi，i）=1+d。因此，推论3.4∈ S、 函数Rf，π0，bfi（·i）在（0，∞) 由引理3.6（i）可知，Rf，π0，bfi（·i）是凹的。注意推论3.4（i）R′f，π0，bfi（0+，i）=1-c、 因此，ddxP（f）（x，i）=R′f，π0，bfi（x，i）≤R′f，π0，bfi（0+，i）=1-cfor x>0，这导致inP（f）（x，i）-P（f）（y，i）x-Y≤1.-cfor 0≤ 因此，我们可以得出P（f）∈ D

为了一个新的f，f∈ D、 （A-39）接着是| | P（f）- P（f）| |=sup（x，i）∈R+×S | Vf（x，i）- Vf（x，i）|=sup（x，i）∈R+×Ssupπ∈πRf，π（x，i）- supπ∈πRf，π（x，i）≤ 辅助（x，i）∈R+×Ssupπ∈π| Rf，π（x，i）- Rf，π（x，i）|sup（x，i）∈R+×EE（x，i）E-∧∑| | f- f||= ||F- f | | Z∞质量检查标准-奇特-δitdt=maxi∈Eqiqi+δi | | f- f | |，（A-41），其中最后一个不等式为（3.5），最后一个等式是通过指出σisexp与meanqi呈单分布而得出的。因此，P是空间（D，| |·| | |）上的收缩。注意，对于任何f∈ C和我∈ S、 f（·，i）是非递减的。因此，由（3.5）和（A-40）得出运算符P是非递减的。考虑由g（x，i）=0和g（x，i）=lδ（1+d）定义的两个函数g，gde。不难证明g，g∈ D和g≤ 五、≤ g、 因此，P（g）≤ P（V）≤ P（g）。注：t乘以（2.4）P（V）=V。因此，P（g）≤ 五、≤ P（g）。再次应用算子P，我们得到了P（g）≤ 五、≤ P（g）。通过重复这个- 2次以上，我们获得Pn（g）≤ 五、≤ Pn（g）。因此，林→Pn（g）≤ 五、≤ 画→∞Pn（g）。由于P是完全空间（D，| |·| | | |）上的一个约束，因此D中有一个唯一的固定点，与limn相同→∞Pn（g）和limn→∞Pn（g）。因此，林→∞Pn（g）=V=limn→∞Pn（g）。因此，V∈ D.（ii）结果紧接着（i）和定理3.10。定理4.2的证明∞ 尽管我∈ S、 我们可以定义一个算子Q byQ（f）（x，i）=Rf，π0，bVi（x，i）来表示f∈ C、 x≥ 0，而我∈ S.（A-42）根据其定义，函数Rf，π0，BVI显然不存在。接下来是引理3。2那个Rf，π0，英属维尔京群岛≤ Vf≤lδ（1+d）和推论y3.4表明函数Rf，π0，bVi（·i）在增加。因此，Rf，π0，bVi∈ C.然后通过（A-42）我们知道Q（f）∈ C.由（3.5）得出| | Q（f）- Q（f）| |=sup（x，i）∈R+×S | Rf，π0，英属维尔京群岛（x，i）- Rf，π0，英属维尔京群岛（x，i）|≤ 辅助（x，i）∈R+×EE（x，i）E-∧∑| | f- f||= ||F- f | | Z∞质量检查标准-奇特-δitdt=maxi∈Eqiqi+δi | | f- f | |。因此，Q是（C，| |·| |）上的收缩。

因此，在（C，| |·| |）上有一个独特的Q固定点。注（A-42）我们有Q（V）（x，i）=RV，π0，bVi（x，i）=V（x，i），其中最后一个等式遵循定理4.1（ii）。因此，V是一个固定点。通过（A-42）注意到π0，bViandπ*在σ之前是相同的，我们有q（Rπ）*)（x，i）=RRπ*,π0，bVi（x，i）（A-43）=E（x，i）Zσe-∧tl*t1+ddt-Zσe-∧t1- 疾控中心*t+e-λσRπ*（Xπ）*σ, ξσ), 十、≥ 0，我∈ S、 （A-44）其中最后一个等式后跟（3.5）。不难看出这个过程（Xπ*, J） 这是阿马尔科夫过程。因此，它遵循马尔可夫性质，即rπ*（x，i）=E（x，i）Zσe-∧tl*t1+ddt-Zσe-∧t1- 疾控中心*t+e-λσRπ*（Xπ）*σ, ξσ), 十、≥ 0，我∈ S（A-45）结合（A-44）和（A-45）我们得到Q（Rπ）*)（x，i）=Rπ*（x，i），x≥ 0，我∈ 因此，Rπ*这也是一个固定点。由于存在唯一的固定点，我们得出结论V=Rπ*. 感谢新南威尔士大学澳大利亚商学院特别研究资助。参考B–auerle，N.（2004）。最优再保险和股息支付政策的近似值。数学金融，14（1）：99-113。Cadenilas，A.，Sarkar，S.，和Zapatero，F.（2007年）。具有均值回复现金储备的最优股利政策。数学金融，17:81-109。迪克森，D。C.和Waters，H.R.（2004年）。一些最优红利问题。《阿斯汀公报》，34（1）：49-74。弗莱明，W.H.和索纳，H.M.（1993）。受控马尔可夫过程和粘性解。数学应用。斯普林格·维拉格，纽约。何，L.和梁，Z.（2008）。采用比例再保险政策的保险公司的最优融资和股息控制。保险：数学与经济学，42（3）：976-983。Hojgaard，B.和Taksar，M.（2001年）。在投资回报存在的情况下，大公司的最优风险控制。《金融与斯托克散记》，5（4）：527-547。池田，N.和渡边，S.（1977）。

随机微分方程解的一个比较定理及其应用。大阪J.数学。，14(3) :619–633.蒋，Z.和皮斯托瑞斯，M.（2012）。马尔可夫状态切换下的最优股利分配。《金融与随机》，16（3）：449-476。Krylov，N.V.（1996年）。关于H¨older空间中椭圆型和抛物型方程的讲座。美国数学学会。洛卡，A.和泽沃斯，M.（2008）。在存在比例成本的情况下，最优股息和股票政策的发行。保险：数学与经济学，42:954-961。Paulsen，J.（2008）。以固定成本和比例成本实现最佳股息支付和再投资。暹罗控制与优化杂志，47（5）：2201-2226。谢尔，N.和施密德利，H.（2011）。考虑注资和管理成本的克拉姆-伦德伯格模型中的最优股利策略。Shreve，S.E.，Lehoczky，J.P.，和Gaver，D.P.（1984）。具有吸收和反射屏障的一般用途的最佳消费。暹罗控制与优化杂志，22（1）：55-75。索托马约尔，L.R.和卡德尼拉斯，A.（2011）。当存在制度转换时，最优股利政策的经典和奇异随机控制。保险：数学与经济学，48（3）：344-354。塔克萨，麻省理工学院（2000年）。保险公司最优风险和股利分配控制模型。运筹学的数学方法，51:1-42。Yao，D.，Yang，H.，和Wang，R.（2011）。具有比例和固定交易成本的双模型中的最优股息和资本注入问题。欧洲运筹学杂志，211（3）：568-576。朱杰（2014a）。具有限制股息率的制度转换分歧模型的股息优化。《阿斯汀公报》，44:459-494。朱杰（2014b）。股息支付率受限的一般差异的股息优化。

斯堪的纳维亚精算杂志出版。朱俊和陈福林（2013）。制度转换一般差异的股息优化。保险：数学与经济，53（2）：439–456。