一般扩散模型中的最优融资与股利分配

定义任何固定b≥ 0和任意固定π∈ π，τπb=inf{t≥ 0:Xπt≥ b} ，（3.12）Wf，b（x，i）=supπ∈πE（x，i）“Zτπb∧σe-∧sls1+dds-Zτπb∧σe-∧s1- cdCs+e-∧τπbRf，π0，b（Xπτπb，ξ）I{τπb<σ}+e-∧σf（Xπσ，ξσ）I{σ≤ τπb}#。（3.13）定理3.7假设条件1和2成立。对于任何f∈ D、 任何我∈ S和任何b>0，如果R′f，π0，b（b，i）>1+d，那么R′f，π0，b（x，i）>1+df，对于0<x≤ b和Rf，π0，b（x，i）=Wf，b（x，i）代表x≥ 0.我们在下面的定理中表明，如果选择适当的b，策略的回报函数π0，b与修正问题的最优回报函数一致。定理3.8假设条件1和2成立。对于任何f∈ D和ny i∈ S、 （i）如果R′f，π0,0（0+，i）≤1+d，然后Vf（x，i）=Rf，π0,0（x，i）表示x≥ 0; 和（ii）如果固定b>0，R′f，π0，b（b，i）=1+d，那么Vf（x，i）=Rf，π0，b（x，i）表示x≥ 引理3.9假设条件1和2成立，f∈ D和我∈ 设R′f，π0,0（0，i）den-oteR′f，π0,0（0+，i）。如果R′f，π0，b（b，i）>1+df≥ 0，那么Vf（x，i）=肢体→∞Rf，π0，b（x，i）代表x≥ 我们再次使用R′f，π0,0（0，i）来表示R′f，π0,0（0+，i）。定义任何f∈ D和我∈ S、 bfi=∞ 如果R′f，π0，b（b，i）>1+df≥ 0，bfi=inf{b≥ 0:R′f，π0，b（b，i）≤1+d}否则。（3.14）我们在下文中表明，对于修改后的问题，策略π0，bfiis是最优的。定理3.10假设条件1和2成立。对于任何f∈ D和任何我∈ S、 （i）0≤ bfi<∞; 对于x，Vf（x，i）=Rf，π0，bfi（x，i）≥ 0.4最优性结果我们使用改进优化问题的最优性结果来解决原始优化问题。

首先要注意，当选择固定函数f作为原始优化的值函数时，原始优化Vf的最佳回报函数与值函数V一致。定理4.1如果条件s1和2成立，（i）V∈ D（ii）英属维尔京群岛∞ V（x，i）=RV，π0，bVi（x，i）。定理4.2定义π*作为一种策略，在任何时候t的股息支付率为`lI{Xπ*t} ，公司注资以将盈余保持在0水平，而在不注资的情况下，盈余往往低于0。如果条件1和2成立，那么V（x，i）=Vπ*（x，i）i∈ E和策略π*这是一个最佳策略。5结论我们研究了一个具有限制股息率的制度转换广义效用模型的最优股息和融资问题。我们的结论是，只有在必要的情况下，以最低的金额注入资本，使业务得以继续，并在盈余超过取决于环境状况的阈值时，以最大的利率支付股息，才是最佳的。这一结果与文献中关于简化模型配置下类似问题的发现一致。例如，对于布朗运动（参见Taksar（2000））、一般效应（参见Zhu（2014b））和政权转换布朗运动（参见Zhu（2014a）），具有受限分割率的最优策略是阈值类型。附录A。1第3节和第4节任何i∈ S和b≥ 0，用B g（x，i）=σ（x，i）g′（x，i）+u（x，i）g′（x，i）定义运算符B- δig（x，i）。（A-1）引理3.1的证明考虑D中的任何收敛序列{gn；n=1，2，··································∈ D.对于任何固定的i和n，gn（·，i）是不减量且凹的，函数g（·，i）也是如此。

不等式g（·，i）≤lδ（1+d）紧接着注意到gn（·i）≤lδ（1+d）。剩下的就是证明g（x，i）-g（y，i）x-Y≤1.-cfor 0≤ 我们用矛盾来证明。假设存在x，y和0≤ x<和j，如tg（x，j）-g（y，j）x-y> 一,-c、 定义=g（x，j）-g（y，j）x-Y-1.-C. 显然，>0。当GN收敛到g时，我们可以找到一个N>0的值，这样的值适用于所有N≥ N、 | | gn- g | |≤ （y）- x） 。因此，|gn（y，j）- g（y，j）|≤ （y）- x） 和| gn（x，j）- g（x，j）|≤ （y）- x） 。因此，gn（y，j）- gn（x，j）≥ g（y，j）- （y）- 十）-（g（x，j）+（y）- x） ）=g（y，j）- g（x，j）- 2（y）- x） =y-x1-c、 另一方面，我们有（y，j）-gn（x，j）y-x<1-c（由于gn）∈ D） ，这是一个矛盾。引理3.2的证明≤lσ以指数形式分布，平均值为∧s=δ，则为f或s≤ σ、 上界很容易从（2.2）、（2.3）和（3.6）开始。用y>x固定x和y≥ 0.让{Xxt；t≥ 0}和{Xyt；t≥ 0}表示在没有控制的情况下，初始剩余x和y分别为剩余过程。我们使用πx={（Cxt，Dxt）：t≥ 用Dxt=Rtlxsds表示过程{Xxt；t的任何容许控制策略≥ 0}.注意到{Cxt；t≥ 0}是右连续且递增的，我们有以下分解：Cxt=rtexds+P0<s≤t（Cxs- Cxs-). 定义ζ=0，ζ=inf{s>0:Cxs- Cxs-> 0或ξs6=ξs-} ζn+1={s>ζn:Cxs- Cxs-> 0或ξs6=ξs-} 对于n=1，2，··。注意，ξt=ξζt∈ [ζn，ζn+1），因此，dXx，πxt=（u（Xx，πxt-, ξζn）- lxt+ext）dt+σ（Xx，πxt）-, ξζn）dwtandxy，πxt=（u（Xy，πxt-, ξζn）- lxt+ext）dt+σ（Xy，πxt）-, ξζn）t的dwt∈ （ζn，ζn+1），n=0，1，··。通过指出Xx，πx=Xx=x<y=Xy=Xy，πx，并应用随机微分方程解的比较定理（见池田和渡边（1977）），我们可以证明概率1，Xx，πxt≤ Xy，πxtt∈ [0, ζ).

进一步注意，剩余过程的任何不连续性都是由相关过程Cx同时跳变引起的，因此，Xx，πxζ=Xx，πxζ-+（Cxζ）-Cxζ-) ≤ Xy，πxζ-+（Cxζ）-Cxζ-) = Xy，πxζ，概率为1。因此，通过应用（ζ，ζ）上的比较定理，我们可以看到Xx，πxt≤ Xy，πxtt∈ （ζ，ζ）的概率为1。重复同样的过程，我们可以证明Xx，πxt≤ Xy，πxtt∈ （ζn，ζn+1），概率为1。总之，Xx，πxt≤ Xy，πxtt≥ 概率为1的0。因此，πx满足了作为风险过程XY的可接受策略的所有要求，因此，Rf，πx（y，i）≤ Vf（y，i）和Rπx（y，i）≤ V（y，i）。利用这个和（3.5）我们可以显示Rf，πx（x，i）≤Rf，πx（y，i）≤ Vf（y，i）。类似地，我们可以得到Rπx（x，i）≤ V（y，i）。通过πx的任意性，我们得出Vf（x，i）≤ Vf（y，i）和V（x，i）≤ V（y，i）代表0≤ x<y。对于任何f∈ C和我∈ S、 定义函数wf，i:R×S→ R bywf，i（·，i）=Rf，π0，b（·，i）和wf，i（·，j）=f（·，j），如果j 6=i（A-2）引理5.1，对于任何f∈ C和我∈ S、 S增加函数wf，i:R×S→ R与wf，i（·，j）=f（·，j），如果j 6=i，对于[0]上的第一个参数是有界的、连续可微的和分段两次连续可微的，∞), 函数wf，i（·，i）满足普通微分方程（3.9）和（3.10）。那么，对于任何π∈ π，有一个正序列的停止时间{τn；n=1，2，···}→∞τn=∞ 使得wf，i（x，i）=E（x，i）E-∧τn∧σ∧twf，i（Xπτn）∧σ∧t、 ξτn∧σ∧t） +Zτn∧σ∧tlse-∧sw′f，i（Xπτn）∧σ∧t、 ξτn∧σ∧t） ds- E（x，i）X0<s≤τn∧σ∧te-∧swf，i（Xπs，ξs）-) - wf，i（Xπs）-, ξs-)+Zτn∧σ∧te-∧sw′f，i（Xπs）-, ξs-)dCs.- E（x，i）Zτn∧σ∧te-∧s′l（w′f，i（Xπs）-, ξs-) -1+d）I{Xπs-≥ b} ds. （A-3）证据。

注意，应用^o公式可以得到e（x，i）E-∧τn∧σ∧twf，i（Xπτn）∧σ∧t、 ξτn∧σ∧（t）- wf，i（Xπ，ξ）= I+I+I+E（x，I）X0<s≤τn∧σ∧te-∧swf，i（Xπs）-, ξs）- wf，i（Xπs）-, ξs-), （A-4）式中I=E（x，I）Rτn∧σ∧te-∧sBwf，i（Xπs）-, ξs-) - lsw′f，i（Xπs）-, ξs-)ds,I=E（x，I）Rτn∧σ∧te-∧sσ（Xπs）-, ξs-)w′f，i（Xπs）-, ξs-)dWsandI=E（x，i）P0<s≤τn∧σ∧te-∧swf，i（Xπs，ξs）-) - wf，i（Xπs）-, ξs-)+Rτn∧σ∧te-∧sw′f，i（Xπs）-, ξs-)dCs.注意，随机过程-∧sσ（Xπs）-, ξs-)w′f，i（Xπs）-, ξs-)德桑德特-∧sqiwf，i（Xπs）-, ξs-) -Pj6=iqijwf，i（Xπs）-, j）ds+P0<s≤te-∧swf，i（Xπs）-, πs）- wf，i（Xπs）-, ξs-)是P（x，i）-局部鞅。因此，我们总是可以用limn找到一个正的停止时间序列{τn；n=1,2，···}→∞τn=∞ 这两个都是∧τne-∧sσ（Xπs）-, ξs-)w′f，i（Xπs）-, ξs-)德桑德特∧τne-∧sqiwf，i（Xπs）-, ξs-) -Pj6=iqijwf，i（Xπs）-, j）ds+P0<s≤T∧τne-∧swf，i（Xπs）-, ξs）- wf，i（Xπs）-, ξs-)是P（x，i）-鞅。然后是可选停止定理，即i=E（x，i）Zt∧τn∧σe-∧sσ（Xπs）-, ξs-)w′f，i（Xπs）-, ξs-)dWs= 0，（A-5）E（x，i）Zt∧τn∧σe-∧sqiwf，i（Xπs）-, ξs-) -Xj6=iqijwf，i（Xπs）-, j） !！ds+X0<s≤T∧τnσe-∧swf，i（Xπs）-, ξs）- wf，i（Xπs）-, ξs-)= 0.（A-6）注意到Xπs- Xπs-= 铯- 铯-≥ 0，ξs-= i、 a和wf，i（Xπs）-, ξs-) = wf，i（Xπs）-, i） 福斯≤ σ给定ξ=i，函数wf，i（·，i）满足（3.9）和（3.10），并且wf，i（·，j）=fi（·，j），如果j 6=i，我们得到s≤ τn∧ σ、 Bwf，i（Xπs）-, ξs-) = qiwf，i（Xπs）-, ξs-) +l（w′f，i（Xπs）-, ξs-) -1+d）I{Xπs-≥ b}-Pj6=iqijwf，i（Xπs）-, j） ，它与（A-4）、（A-5）、（A-6）和E（x，i）结合在一起wf，i（Xπ，ξ）= wf，i（x，i）表示最终结果。

引理3.3（i）的证明设v（·；i）a和v（·；i）表示方程σ（x，i）g′（x）+u（x，i）g′（x）的一组线性无关解- （δi+qi）g（x）=0，v（·；i）和v（·；i）表示方程σ（x，i）g′′（x）+（u（x，i）的一组线性独立解-\'l）g′（x）- （δi+qi）g（x）=0。定义W（x；i）=v（x；i）v′（x；i）- v（x；i）v′（x；i），W（x；i）=v（x；i）v′（x；i）- v（x；i）v′（x；i），B（x；i）=v（x；i）Rxv（y；i）W（y；i）Pj6=iqijf（y，j）σ（y，i）dy- v（x；i）Rxv（y；i）W（y；i）Pj6=iqijf（y，j）σ（y，i）dy和b（x；i）=v（x；i）Zxv（y；i）W（y；i）\'l/（1+d）+Pj6=iqijf（y，j）σ（y，i）dy- v（x；i）Zxv（y；i）W（y；i）\'l/（1+d）+Pj6=iqijf（y，j）σ（y，i）dy。那么对于任何常数K，K，K，K，函数Kv（·；i）+Kv（·；i）+B（·；i）和Kv（·；i）+Kv（·；i）+B（·；i）分别是方程（3.9）和（3.10）的解。定义函数gb，iby gb，i（x）=Kv（x；i）+Kv（x；i）+B（x；i）表示0≤ x<b和gb，i（x）=Kv（x；i）+Kv（x；i）+b（x；i）代表x≥ b、 其中K，K，Kand-Kare常数满足Kv（b；i）+Kv（b；i）+b（b；i）=Kv（b；i）+Kv（b；i）+b（b；i），（A-7）Kv′（b；i）+Kv′（b；i）+Kv′（b；i）+Kv′（b；i），（A-8）Kv′（0；i）+Kv′（0；i）=1- c、 利克斯→∞（千伏（x；i）+千伏（x；i）+B（x；i））<∞. （A-9）对于b≥ 我们可以很容易地验证g′b，i（0+）=1-c、 而gb，i（·）在[0，∞) 在[0，b]上两次连续可微∪ （b），∞). 因此，证明了具有期望性质的解的存在性。它需要为x显示Rf，π0，b（x，i）=gb，i（x）≥ 0.定义wf，ibywf，i（x，j）=gb，i（x）如果j=i，以及，wf，i（x，j）=f（x，j）如果j 6=i。（A-10）请注意，流程X0，b将始终保持在或高于0，并且公司仅在流程以最小金额降至0时注入资本，以确保盈余不会低于0。进一步注意ξs-= ξ代表s≤ σ.

因此，我们得出结论，过程C0，bis是连续的，并且给定ξ=i，以下方程适用于s≤ σ、 X0，bs=X0，bs-+ （C0，bs）- C0，bs-) = X0，bs-, wi（X0，bs，ξs）-) - wi（X0，bs）-, ξs-) = 0（A-11）w′i（X0，bs）-, ξs-)d~C0，bs=g′b，i（0）dC0，bs=dC0，bs1- c、 （A-12）通过应用引理5.1，我们知道，对于某些具有limn的正停止时间序列{τn；n=1，2，···}→∞τn=∞, 方程式（A-3）成立。然后通过设置π=π0，bin（A-3），注意到时间s的股息支付率是`lI{X0，bs-≥ b} 在π0的策略下，我们得到了gb，i（x）=wf，i（x，i），使用（A-11）和（A-12），我们得到了gb，i（x）=E（x，i）[E]-Λσ∧τn∧twf，i（X0，bσ）∧τn∧t、 ξσ∧τn∧t） ]+E（x，i）Zσ∧τn∧泰勒-∧s1+dI{X0，bs≥ b} ds-E（x，i）Zσ∧τn∧te-∧s1- cdC0，bs. （A-13）注意函数wf，i（·，·）是有界的。让t→ ∞ 和n→ ∞ 在（A-13）的两边，然后对右手边的第一个期望使用支配收敛，对其他期望使用单调收敛定理，我们可以交换极限和期望，因此可以得出结论，对于x，gb，i（x）=Rf，π0，b（x，i）≥ 0.（ii）注意（3.5）limx→∞gb，i（x）=limx→∞Rf，π0，b（x，i）=Af，i，其中第二个等式后面是给定的x=x，X0，bs→ ∞ 作为x→ ∞ 因此C0，bs→ 0澳大利亚证券交易所→ ∞, 最后一个等式指出，给定（X，ξ）=（X，i），σ以指数形式与平均值qi分布，并使用Af，iin（3.8）的定义。所以常数K，K，K，K是线性方程组（A-7）-（A-9）和Kv的解(∞) + 千伏(∞) +B(∞) = Af，i.注意，上述方程组的系数s要么是常数，要么是b的连续函数。因此，K，K，Kare是b的连续函数，这里用K（b），K（b），K（b）和K（b）表示。因此，函数hf，i（b）=g′b，i（b）=K（b）v′（b）+K（b）v′（b）+b′（b；i）在0<b<∞.

对于任何f∈ C、 我∈ S和b≥ 0，通过hf，i，b（x）=（δi+qi）Rf，π0，b（x，i）定义函数h和h- u（x，i）R′f，π0，b（x，i）-Xj6=iqijf（x，j）-\'l1+d- R′f，π0，b（x，i）I{x≥ b} ，（A-14）\'hf，i，b（x）=（δi+qi）Rf，π0，b（x，i）- u（x，i）R′f，π0，b（x，i）-Xj6=iqijf（x，j）-\'l1+d- R′f，π0，b（x，i）I{x>b}。（A-15）推论3.4（i）的证明是备注3.1和引理3.3（i）的直接结果。（ii）通过（i）和引理3.3（i）我们有HD-dxR′f，π0，b（x，i）ix=b=limx↓b2hf，i，b（b，i）σ（b，i）和hd+dxR′f，π0，b（x，i）ix=b=limx↓b2hf，i，b（b，i）σ（b，i）。通过注记R′f，π0，b（b，i）=1+d，我们得出d-dxR′f，π0，b（x，i）ix=b=hd+dxR′f，π0，b（x，i）ix=b。对于任意序列{yn}，definekf，b（x，i；{yn}）=（δi+qi）- u′（x，i））R′f，π0，b（x，i）-Xj6=iqijlimn→∞f（yn，j）- f（x，j）yn- x、 （A-16）引理的证明3.5在整个证明中，我们假设f∈ D、 我∈ S和b≥ 0，除非州政府同意。我们用反证法。假设R′f，π0，b（0+，i）>0。由于Rf，π0,0（·i）是有界的，我们可以找到足够大的x，使得R′f，π0,0（x，i）<1-c=R′f，π0,0（0+，i），其中最后一个等式是引理3.3（i）。因此存在一个x>0，使得r′f，π0,0（x，i）<0。在b>0的情况下，注意R′f，π0，b（0+，i）=1-C≥ R′f，π0，b（b，i）。所以对于b>0，存在一个x∈ （0，b）使得R′f，π0，b（x，i）≤ 定义x=inf{x>0:R′f，π0，b（x，i）≤ 0} .在b=0和x的情况下，x>0∈ （0，b）在b>0的情况下，对于b≥ 0，R′f，π0，b（x，i）=0，R′f，π0，b（x，i）>0∈ [0，x）。（A-17）因此，对于b≥ 0，R′f，π0，b（x，i）>R′f，π0，b（0+，i）=1- 首席财务官∈ （A-18）写Rf，π0，b，i（x）=Rf，π0，b（x，i）。引理3.3表示b≥ 0，Af，i，bRf，π0，b，i（x）=0 fo rx>0。因此，b的（A-17）和（A-14）紧随其后≥ 0，hf，i，b（x）=σ（x，i）R′f，π0，b（x，i）>0对于0<x<x和hf，i，b（x）=σ（x，i）R′f，π0，b（x，i）=0。因此，我们得到了b≥ 0，hf，i，b（x，i）- hf，i，b（x，i）x- x<0，0<x<x。

（A-19）注意，在b=0的情况下x>b，在b>0的情况下x<b。因此，我们可以找到一个b<x1n的非负序列{x1n}≤ 在b=0，x1n的情况下≤ 在b>0的情况下x<b，并且limn→∞x1n=xsuch that limn→∞f（x1n，j）-f（x，j）x1n-xexists。将（A-19）中的x替换为x1和n→ ∞ 在（A-19）的两边给出kf，b（x，i；{x1n}）-（u（x，i）-\'lI{b=0}）R′f，π0，b（x，i）≥0，与（A-17）结合表示Pj6=iqijlimn→∞f（x1n，j）-f（x，j）x1n-十、- qiR′f，π0，b（x，i）+ （u′（x，i）- δi）R′f，π0，b（x，i）≤ 然后是这个不等式，R′f，π0，b（x，i）>1-c（见（A-18））和limn→∞f（x1n，j）-f（x，j）x1n-十、≤1.-c（由于f）∈ D） （μ′（x，i）- δi）R′f，π0，b（x，i）>0，与（A-18）结合意味着u′（x，i）-δi>0。这与tu′（x，i）的假设相反≤δi（条件2）。引理3.6我们考虑任何固定的f∈ D和我∈ 这是整个证据。我们首先证明了limn存在一个正序列{xn}→∞xn=∞ 这样对于b来说≥ 0，R′f，π0，b（xn，i）≤ 0.（A-20）假设相反：对于一些M>0，R′f，π0，对于all x，b（x，i）>0≥ 这意味着R′f，π0，b（x，i）>R′f，π0，b（M+1，i）>R′f，π0，b（M，i）≥ 0表示x>M+1，其中最后一个不等式由Rf，π0，b（·，i）的递增性质决定（见推论Y3.4（i））。因此，Rf，π0，b（x，i）>Rf，π0，b（M+1，i）+R′f，π0，b（M+1，i）（x）- M- 1） for x>M+1，这意味着limx→∞Rf，π0，b（x，i）=∞. 这与Rf，π0，b（·i）（推论3.4（i））的有界性相矛盾。写Rf，π0，b，i（x）=Rf，π0，b（x，i）。由引理3.3可知，当x>0时，af，i，bRf，π0，b，i（x）=0。（A-21）（i）通过引理3.3和推论3.4，我们可以看到Rf，π0，b，i（·）是[0，∞) 差异性为0表示右侧的差异性。然后记下R′f，π0，b，i（b）=R′f，π0，b（b，i）=1+d≤1.-对于b>0，引理3.5 thatR′f，π0，b，i（0+）≤ 0代表b≥ 0

（A-22）我们使用矛盾证明来证明（i）中的陈述。假设（i）中的陈述不正确。然后存在一个b≥ 并且a y>0，使得R′f，π0，b，i（y）=R′f，π0，b（y，i）>0。设{xn}为之前定义的序列。我们可以找到一个正整数N，使得xN>y。注意R′f，π0，b，i（xN）=R′f，π0，b（xN，i）≤ 0（由于（A-20）），（A-22）和R′f，π0，b，i（·）的连续性，我们可以找到y，y和0≤ y<y<y≤ xNsuch that R′f，π0，b（y，i）=0，R′f，π0，b（y，i）=0，对于x，R′f，π0，b（x，i）>0∈ （y，y）。（A-23）因此，R′f，π0，b，i（y）>R′f，π0，b，i（y）。（A-24）之后是（A-21）和（A-14）-当x>0时，σ（x，i）R′f，π0，b，i（x）=hf，b，i（x）。注意，对于x>0，I{x≥ b} =I{x>b}在b=0的情况下，以及在b>0,1+d的情况下- R′f，π0，b（b，i）=0，因此，\'l1+d- R′f，π0，b（x，i）I{x≥ b} =`l1+d- R′f，π0，b（x，i）I{x>b}表示x>0。因此，对于x>0，σ（x，i）R′f，π0，b（x，i）=hf，i，b（x），与（A-23）结合意味着对于x∈ （y，y），\'hf，i，b（y）=σ（y，i）R′f，π0，b（y，i）=0<σ（x，i）R′f，π0，b（x，i）=\'hf，i，b（x），x，（A-25）\'hf，i，b（y）=σ（y，i）R′f，π0，b（y，i）=0<σ（x，i）R′f，π0，b（x，i）=\'hf i，i，b（x）。（A-26）设{y1n}和{y2n}是具有y1n的两个序列↓ yand y2n↑ 亚斯n→ ∞ 这样的→∞f（y1n，j）-f（y，j）y1n-杨德林→∞f（y2n，j）-f（y，j）y2n-是的∈ 然后是（A-25）和（A-26）\'hf，i，b（y1n）-\'hf，i，b（y）y1n-y> 0>高频，i，b（y2n）-“hf，i，b（y）y2n-y、 让n→ ∞, 我们得到kf，b（y，i；{y1n}）- u（y，i）R′f，π0，b（y，i）+lR′f，π0，b（y，i）i{y>b}≥ 0和kf，b（y，i；{y2n}）- u（y，i）R′f，π0，b（y，i）+lR′f，π0，b（y，i）i{y>b}≤ 因此，通过notingR′f，π0，b（y，i）=0=R′f，π0，b（y，i）（见（A-23））我们得到kf，b（y，i；{y1n}）≥ 0≥ kf，b（y，i；{y2n}）。