一般扩散模型中的最优融资与股利分配

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英文标题：
《Optimal financing and dividend distribution in a general diffusion model
  with regime switching》
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作者：
Jinxia Zhu and Hailiang Yang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the optimal financing and dividend distribution problem with restricted dividend rates in a diffusion type surplus model where the drift and volatility coefficients are general functions of the level of surplus and the external environment regime. The environment regime is modeled by a Markov process. Both capital injections and dividend payments incur expenses. The objective is to maximize the expectation of the total discounted dividends minus the total cost of capital injections. We prove that it is optimal to inject capitals only when the surplus tends to fall below zero and to pay out dividends at the maximal rate when the surplus is at or above the threshold dependent on the environment regime.
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中文摘要：
我们研究了一个扩散型盈余模型中的最优融资和股利分配问题，其中漂移系数和波动系数是盈余水平和外部环境制度的一般函数。环境状况由马尔可夫过程建模。注资和股息支付都会产生费用。目标是最大化总贴现股息减去注资总成本的预期。我们证明了只有当盈余趋向于低于零时才注资是最优的，当盈余达到或超过取决于环境制度的阈值时，才以最大的利率支付股息。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：股利分配 扩散模型 Optimization distribution coefficients

制度转换的一般效用模型中的最优融资和股息分配朱金霞澳大利亚新南威尔士大学杨贵阳香港大学，Hon g Kon Gabstract我们在一个扩散型盈余模型中研究了股息率受限的最优融资和股息分配问题，其中漂移和波动系数是附加水平和外部环境制度的一般函数。环境状况由马尔可夫过程建模。注资和分摊cur费用。目标是最大化总贴现股息减去注资总成本的预期。我们证明了只有当盈余趋向于低于零时才注入资本是最优的，当盈余达到或超过取决于环境制度的阈值时，才以最大利率支付股息是最优的。关键词：股利；总体差异；优化；运营优化；政权更迭。2010年数学学科分类：49L20；91G80朱金霞，澳大利亚新南威尔士大学肯辛顿校区风险与精算研究学院，新南威尔士205 2；电子邮件：金霞。zhu@unsW埃杜。杨欧海良，香港大学统计与精算学系，香港普克富勒路；电子邮件：hlyang@hku.hk1引言最优股利策略问题已引起广泛关注。在差异背景下，许多有关股息优化的工作使用布朗运动模型来描述潜在的现金流动过程。B–auerle（2004）通过假设漂移系数是现金流水平的线性函数，扩展了基本模型，Cadenilas等人（2007）使用均值回归模型并解决了优化问题。

Hojgaard和Taksar（2001）考虑了模型下的优化问题，其中漂移系数与现金流水平成正比，扩散系数与现金流水平的平方根成正比。Shreve等人（1984）、Paulsen（2008）、Zhu（2014b）和其中的一些参考文献讨论了一般扩散模型的优化问题，其中漂移和扩散系数是现金流水平的一般函数。一个有趣且不同的扩展方向是将变化的外部环境/条件（例如宏观经济条件和天气条件）的影响纳入现金流的建模中。连续时间马尔可夫链可用于对外部环境条件的状态进行建模，其使用得到金融市场观察的支持。研究了马尔可夫调制风险过程的带调节控制的最优红利问题。Sotomayor和Cadenilas（2011）解决了马尔可夫调制布朗运动模型的红利优化问题，该模型的漂移系数和扩散系数均由两状态马尔可夫链调制。朱（2014a）解决了由多状态马尔可夫链调制的布朗运动模型的问题。上述工作的最优性结果表明，按照最优策略分配股利几乎必然导致破产。Dickson and Waters（2004）建议包括资本注入（融资），以防止盈余变为负值，从而防止破产。在布朗运动下，Lokka和Zervos（2008）研究了最优分割和融资问题，他和Liang（2008）通过控制再保险率研究了风险敞口控制问题。

Scheer和Schmidli（2011）研究了克拉姆-伦德伯格模型中资本注入和股息分配的最优控制问题。Yao等人（2011）解决了具有交易成本的双重模型问题。本文的目的是在一个具有制度转换的一般扩散模型中，研究具有限制股息率的最优融资和股息分配问题。在该模型下，漂移系数和波动系数是盈余水平和外部环境制度的一般函数，外部环境制度由马尔可夫过程建模。与“再反射问题”类似，公司可以控制融资/注资流程（存款流程）和股息分配流程（提款流程）。注资和股息支付都会产生交易成本。必须进行充分的注资，以保持受控盈余过程非负，并限制股息支付率。本文可以被认为是现有研究的一个扩展，对于有或没有制度转换的扩散模型，研究了股息率受限的股息优化问题。考虑的模型更一般，因为它假设1。漂移和波动性是现金流的一般功能；和2。模型风险参数（包括漂移、波动性和贴现率）取决于外部环境制度。论文的其余部分组织如下。我们在第2节中提出了优化问题。第3节介绍并解决了一个辅助问题。第4节给出了最优结果。结论见第5节。证据被归入附录。2问题公式考虑概率空间(Ohm, F、 P）。

让{Wt；t≥ 0}和{ξt；t≥ 0}分别是标准布朗运动和具有有限状态空间S和传递强度矩阵Q=（qij）i，j的马尔可夫链∈两个随机过程{Wt；t≥ 0}和{ξt；t≥ 0}是独立的。我们使用{Ft；t≥ 0}表示随机过程{（Wt，ξt）生成的最小完整σ场；t≥ 0}. 让Xt表示在没有融资和股息分配的情况下，公司在t时的盈余。假设t Xis是可测量的，并且Xt遵循动力学，dXt=u（Xt-, ξt-)dt+σ（Xt）-, ξs-)德夫特≥ 0，其中函数u（·，j）和σ（·，j）是L-ipschitz连续的，可微分的，并且在[0]上线性增长最多，∞) 含u（0，u）≥ 此外，函数u（·，j）是凹的，函数σ（·，j）是正的且不消失。公司必须拥有非负资产才能继续经营。如有必要，公司需要从市场上筹集资金。每筹集一美元资金，它包括c美元的交易成本，因此导致n增加1- 通过资本注入的盈余中的c美元。设Ct表示截至时间t的累计注资金额。则截至时间t的注资总成本为1-c、 公司可以将部分资产作为股息分配给股东。股东收到的每一美元股息都会产生大量的成本。让dt表示截至t时公司分配的累计金额。那么截至t时股东收到的股息总额为t1+d。我们考虑股息分配率受到限制的情况。让随机变量Ls表示时间s的股息支付率，限制为0≤ ls≤其中，l（>0）是常数。然后Dt=Rtlsds。CTA和DTA均由公司决策者控制。定义π={（Ct，Dt）；t≥ 0}.

我们称π为控制策略。考虑到融资和股息分配，采用策略π的（受控）盈余过程的动力学变为Xπt=（u（Xπt-, ξt-) - lt）dt+σ（Xπt-, ξt-)离散小波变换+离散余弦变换≥ 0.（2.1）定义P（x，i）（·）=P（x=x，ξ=i），E（x，i）[·]=E[·········=x，ξ=i]，Pi（·）=P（·····=i）和Ei[·]=E[······ξ=i]。控制策略π的性能通过其返回函数来衡量，其定义如下：Rπ（x，i）=E（x，i）Z∞E-∧tlt1+ddt-Z∞E-∧t1- cdCt, 十、≥ 0，我∈ S、 （2.2）式中∧t=RtΔξsds，其中ΔξS表示时间S的贴现力。假设δi>0，i∈ S.A策略π={（Ct，Dt）；t≥ 如果（i）两个{Ct；t≥ 0}和{Dt；t≥ 0}是非负的、递增的、c`adl`ag和{Ft；t≥ 0}-适应过程，（ii）存在{Ft；t≥ 0}自适应进程{lt；t≥ 0}带lt∈ [0，\'l]使得Dt=Rtlsds和（iii）Xπt≥ 0表示所有t>0。我们用∏表示可容许策略类。自{Ct；t≥ 0}是右连续且递增的，我们有以下分解：Ct=~Ct+Ct- 计算机断层扫描-, 其中{Ct；t≥ 0}表示{Ct；t的连续部分≥ 0}.为了方便起见，我们用X，Xπ，ξ和（Xπ，ξ）来表示随机过程{Xt；t≥ 0}，{Xπt；t≥ 0}，{ξt；t≥ 0}和{（Xπt，ξt）；t≥ 分别为0}。注意，对于任何可容许策略π，随机过程Xπ是右连续的，并且适用于过滤{Ft；t≥ 0}.本文的目的是研究最大收益函数（值函数）：V（x，i）=supπ∈πRπ（x，i），（2.3），并确定相关的最佳容许策略（如果有）。遵循随机控制理论中的标准参数（如Fleming a and Soner，1993），我们可以证明价值函数满足以下动态编程原理：对于任何停止时间τ，V（x，i）=supπ∈πE（x，i）hZτlte-∧t1+ddt-Zτe-∧t1- cdCt+e-∧τV（Xπτ，ξπτ）i。

（2.4）3一个由Jiang和Pistorius（2012）提出的辅助优化问题，该问题引入了一个辅助问题，其中目标函数的修改方式是，仅包括从开始到第一个区域切换期间的“回报”加上第一个区域切换时刻的终值，我们首先从一个类似的辅助问题开始。这个问题的最优性结果将对原优化问题的求解起到至关重要的作用。在本文中，我们定义了δ=minj∈Sδj，qi=-qii和σ=inf{t>0:ξt6=ξ}。这里，σ是马尔可夫过程ξ的第一个过渡时间。对于任意函数g:R+×S→ R+，我们使用g′（·）和g′（·）分别表示第一个参数的一阶导数和二阶导数。我们首先介绍两类特殊的函数。定义3.1（i）让C表示函数类g:R+×S→ R这样对于每个人来说∈ S、 g（·，j）是n递增的，d g（·，j）≤lδ（1+d）。（ii）设D表示函数类g∈ C每个j∈ S、 g（·，j）是凹的，g（x，j）-g（y，j）x-Y≤1.-cfor 0≤ x<y.（iii）通过f定义距离- g | |=maxx≥0，我∈S | f（x，i）- g（x，i）|f o r f，g∈ 引理3.1度量空间（D，| |·| |）是完备的。定义修正的回报函数和相关的最优回报函数byRf，π（x，i）=E（x，i）Zσlte-∧t1+ddt-Zσe-∧t1- cdCt+e-∧σf（Xπσ，ξσ）, 十、≥ 0，我∈ S、 （3.5）Vf（x，i）=supπ∈πRf，π（x，i），x≥ 0，我∈ S.（3.6）引理3.2适用于任何f∈ C、 V，Vf∈ C注意，非受控过程（X，ξ）是一个马尔可夫过程。

对于任何f∈ C和任何我∈ S、 通过使用随机控制中的标准参数，可以获得修正值函数Vf（·i）的以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：≥ 0最大马克斯∈[0，\'l]σ（x，i）V′f（x，i）+u（x，i）V′f（x，i）- δiVf（x，i）+l1+d- V′f（x，i）, V′f（x，i）-1.-C= 0.现在我们定义了一类特殊的可容许策略，文献中已经证明，如果只有1个区域，则包含原始优化问题的最优策略。由于改进优化的回报函数仅包括第一种制度下的股息和资本注入，因此该问题可被视为一个问题，即对于具有1种制度的风险模型，在独立指数时间内最大化回报。我们正在研究上述特殊类别的策略，以确定修改后的问题的最优策略是否也属于这一类别。定义3.2适用于任何b≥ 0，定义策略π0，b={（C0，bt，D0，bt）；t≥ 0}在这种情况下，当盈余等于或超过b时，公司以最高利率支付股息，当盈余低于b时，公司不支付股息，并且当盈余趋于低于0时，公司注入资本以将盈余保持在0水平，而不注入资本。现在，我们研究对于修改后的优化问题，具有适当值fRB的stra tegyπ0，b是否是最优的。我们开始研究相关的返回函数。为了方便起见，我们把X0，b=Xπ0，b通篇写下来。注3.1（i）不难看出π0，bis可容许，并且π0，带X0，都是bareMarkov过程。

（ii）对于任何功能f∈ C和任何我∈ S、 通过应用引理3.2中用来证明V（·，i）和Vf（·，i）的非递减性质的比较定理，我们可以证明函数Rf，π0，b（·，i）在[0，∞) 好的。对于任何f∈ C、 我∈ S和b≥ 0，定义运算符Af，i，bbyAf，i，bg（x）=σ（x，i）g′（x）+（u（x，i）-\'l）g′（x）- （δi+qi）g（x）+l1+d+Xj6=iqijf（x，j）=0。（3.7）主要定理需要满足以下条件。条件1：函数u（·，i）和σ（·，i）是指函数f或任何函数f∈ D和任何给定的i∈ S、 普通微分方程Af，i，bg（x）=0，任何初始值为x=0时，其有界解超过（0，∞).条件1成立的一个有效条件是函数u（·，i）和σ（·，i）都有界于[0，∞) （参见Krylov（1996）中的定理5.4.2）。然而，这远远不是必要的。例如，当u（·，i）是具有正斜率的线性函数且σ（·，i）是常数时，条件1也成立（见朱（2014b）第4.4节）。条件2：u′（x，i）≤ δifor all x≥ 0和我∈ S.定义任何函数f∈ C和我∈ S、 Af，i=\'l/（1+d）+Pj6=iqijf(∞, j） qi+δi.（3.8）引理3.3假设条件1成立。

对于任何函数f∈ D，任何我想要的∈ S、 （i）任意b的函数rf，π0，b（·，i）≥ 0是[0]上的一个连续可微溶液，∞) 方程σ（x，i）g′（x）+u（x，i）g′（x）- （δi+qi）g（x）+Xj6=iqijf（x，j）=0,0<x<b，（3.9）σ（x，i）g′（x）+（u（x，i）-\'l）g′（x）- （δi+qi）g（x）+Xj6=iqijf（x，j）=-\'l1+d，x>b，（3.10）g′（0+）=1- c、 利克斯→∞g（x）<∞, （3.11）并且在（0，b）上是两次连续可微分的∪ （b），∞); （ii）函数hf，i（b）：=R′f，π0，b（b，i）相对于b连续0<b<∞.在整篇论文中，我们使用了-dxg（x，i）a ndd+dxg（x，i）分别表示g从左侧和右侧相对于x的导数。推论3.4假设条件1成立。对于任何f∈ D、 我∈ S和b≥ 0，（i）Rf，π0，b（·，i）在（0，∞ ), 在（0，b）上两次连续可微∪ （b），∞) R′f，π0，b（0+，i）=1-c、 高清-dxR′f，π0，b（x，i）ix=b=limx↑bR′f，π0，b（x，i）和hd+dxR′f，π0，b（x，i）ix=b=limx↓bR′f，π0，b（x，i）；（ii）如果R′f，π0，b（b，i）=1+d，那么Rf，π0，b（x，i）在x=b时相对于x是两个连续可微的。我们分别使用R′f，π0，b（0，i）和R′f，π0，b（0，i）来表示R′f，π0，b（0+，i）和R′f，π0，b（0+，i）。引理3.5假设条件s1和2成立。对于任何Fix ed f∈ D、 我∈ S和b≥ 我们有R′f，π0,0（0+，i）≤ 当b>0时，R′f，π0，b（0+，i）≤ 如果R′f，π0，b（b，i）≤1.-c、 引理3.6假设条件1和2成立。对于任何f∈ D和D我∈ S、 （i）R′f，π0,0（x，i）≤ 0代表x≥ 当b>0时，R′f，π0，b（x，i）≤ 0代表x≥ 如果R′f，π0，b（b，i）=1+d；对于b>0，如果R′f，π0，b（b，i）>1+d，R′f，π0，b（x，i）≤ 0代表x∈ [0，b）和R′f，π0，b（b）-, 0) ≤ 0.设I{·}为指示函数。