黄金市场的多重分形特征：多重分形去趋势分析

CDF遵循逆立方幂律[40]。[41、42、43]还显示了近期金融数据中更快偏离逆立方幂律的影响，类似于本手稿中显示的2010-2013年黄金价格时间序列。最近，Rak等人[44]指出，Gaba-Ixa等人[3 9]的概念可能更普遍地适用于价格波动偏离立方幂反比定律的情况。具有零均值和单位方差的长期相关记录{xi:i=1,2≡ 1/（N）-s） PN-si=1xixi+s。如果{xi}是不相关的，则s>0时C（s）为零。{xi}的短程相关性用C（s）指数递减来描述：C（s）~ exp（s/s×）与阿德凯时间s×。对于长程相关性，C（s）呈幂律递减：C（s）~ sγ，其中相关指数γ在0和1之间。由于序列{xi}及其噪声因子的潜在趋势，直接计算C（s）通常是不可取的。为了测试长期相关性，采用去趋势函数分析（DFA）提取Hurst（H）expo-nent是有用的，它与γ指数有关，如：H=1- γ/2 [5]. 然而，作为对本文分析的黄金价格时间序列数据中存在的相关性性质的初步估计，我们评估了序列函数的自动相关性。在图3中，我们展示了消费者价格指数时间序列以及印度市场时间序列的自相关函数。我们观察到，黄金指数的日收益率与市场的ir不相关（图3（a））。

但是个体的最大值和最小值10010110210-310-210-110010010110210-310-210-11005-11005-15-20-25-30-35-0.20.00.00.20.40.61010110210-310-210-11000-200-400-600-1000-0.06-0.030.000.06（d）最小值期间：1993-2013年印度消费物价指数（c）最大值（f）最小值：2010-2013年印度消费物价指数滞后期：2010-2013年印度消费物价指数（e）最大自相关指数（b）最大周期：2007-2013年印度消费物价指数（a）滞后自相关指数印度消费物价指数（a）周期：1993-2013图3：黄金消费物价指数（CPI）系列的自相关函数与印度市场的价格时间序列进行比较。（a） 包括1993年至2013年7月期间的总系列，这是完全不相关的。（b）-（f）是针对图中所示的几个不同时间段的最大/最小收益率，在长度为5的窗口中绘制的。注意（b）-（d）中长程相关的特征。（b）中的相关函数在大约6年的时间内捕捉到了非常弱的相关性，而（e）和（f）不具有任何明显的相关模式。在R=5天（1个交易周）的窗口内，合理时间段（至少5-6年）内的市场回报率分别表现出长期相关性（图3（b）-（f））。因此，我们预计2010-2013年期间的序列不会出现长期相关性。请注意，与原始序列中的每个序列相对应的最大（最小）收益序列是通过在每个长度R的间隔上选择每日收益的最大（最小）值来构造的。显然，两个子序列包含的RTIME点都比原始序列少。市场收益自相关函数的另一个重要意义是，它可以作为市场流动性的代理，尽管后者是一个难以捉摸的概念，因此不是一个直接可观察的概念。

此外，市场流动性有几个测量维度（例如，见[45]）。因此，对黄金市场流动性的严格估计超出了当前手稿的范围，否则将被视为黄金市场收益及其（多重）分形性质的短期/长期相关性。我们计算了所有系列欠敏感和指数q:-10至+10范围内的MF-DFA2函数Fq（s），步长为0.5。图4显示了根据CPI序列计算的一些函数的标度行为。为整个系列、第一阶段和第二阶段绘制了单独的图表。这里的时间刻度s从6到N/5不等，其中N是序列长度。在同一张图中，我们还展示了随机序列（中间面板）以及原始序列对应的替代序列（下面板）生成的Fq（s）函数。为考虑中的其他系列计算的函数也遵循图中所示的几乎相同的尺度依赖性，因此这些图不包括在这里。我们注意到，多重分形结果在一阶和二阶去趋势之间存在合理的差异，但在二阶和三阶或更高阶去趋势之间的变化几乎不显著。因此，本分析考虑了二次（二阶）去趋势。从图1可以清楚地看出，Fq（s）在所有三个时间间隔中的缩放行为，以及它们的替代和替代对应物，都很好地遵循了Fq（s）的缩放规律（6）≥ 10.众所周知，时间序列数据中可能存在两种不同类型的多重分形，即（i）由于大小波动的长期时间相关性而产生的多重分形，以及（ii）由于序列中值的f尾概率分布函数而产生的多重分形。

第一类多重现实可以通过给定序列的随机压缩来消除，相应的压缩序列将呈现单分形标度。显然，概率分布不会因r和OM而改变，因此第二类多重分形将继续存在。如果一个给定的序列同时包含这两种多重分形，那么对应的SHUêed序列将比原始序列表现出较弱的多重分形。另一方面，替代（相位随机化）分析是检验时间序列非线性的经验技术。目的是测试动力学是与线性过滤噪声一致，还是与非线性动力学系统一致[46,47]。替代数据方法的基本思想是首先指定某种线性随机过程，模拟原始数据的“线性特性”。如果原始数据的预测（统计）与替代序列的预测（统计）存在显著差异，我们可以考虑存在一些高阶时间相关性，即动态非线性的存在。在本分析中，我们使用零假设、振幅调整傅里叶变换（AAFT）算法[48]生成替代序列。广义赫斯特指数h（q）是从Fq（s）与s的对数对数数据的直线拟合中提取出来的。我们在50≤ s≤ 第一阶段系列的总NDA范围为800，而第二阶段系列的范围为10≤ s≤ 60.请注意，发现在不同的标度区域，函数更符合标度定律（6）。图5f显示了中国、印度和土耳其的CPI序列以及价格时间序列的h（q）指数顺序依赖性。图中的线条代表了GBM模型对数据点的最佳拟合（如果可能）。

表1给出了最佳fit参数值。表中缺失的值（以及图中的行）表示GBM模型无法描述相应的时间序列。图中显示，无论序列持续时间如何，代表原始序列的所有h（q）谱都是顺序相关的，尽管周期II序列的相关性较弱。此外，从原始系列中获得的光谱或多或少地符合GBM模型，得出了方程。(16 ) . 然而，在某些情况下，经验值和q附近的模型之间不存在可验证的偏差~ 0个地区。另一方面，shu*ed系列产生的h（q）光谱与它们或原始对应的光谱截然不同。