黄金市场的多重分形特征：多重分形去趋势分析

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英文标题：
《Multifractal characterization of gold market: a multifractal detrended
  fluctuation analysis》
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作者：
Provash Mali and Amitabha Mukhopadhyay
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The multifractal detrended fluctuation analysis technique is employed to analyze the time series of gold consumer price index (CPI) and the market trend of three world\'s highest gold consuming countries, namely China, India and Turkey for the period: 1993-July 2013. Various multifractal variables, such as the generalized Hurst exponent, the multifractal exponent and the singularity spectrum, are calculated and the results are fitted to the generalized binomial multifractal (GBM) series that consists of only two parameters. Special emphasis is given to identify the possible source(s) of multifractality in these series. Our analysis shows that the CPI series and all three market series are of multifractal nature. The origin of multifractality for the CPI time series and Indian market series is found due to a long-range time correlation, whereas it is mostly due to the fat-tailed probability distributions of the values for the Chinese and Turkey markets. The GBM model series more or less describes all the time series analyzed here.
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中文摘要：
采用多重分形去趋势波动分析技术，分析了黄金消费价格指数（CPI）的时间序列和世界三大黄金消费国，即中国、印度和土耳其在1993年至2013年7月期间的市场趋势。计算了各种多重分形变量，如广义赫斯特指数、多重分形指数和奇异谱，并将结果拟合到仅由两个参数组成的广义二项式多重分形（GBM）序列。特别强调的是确定这些序列中多重分形的可能来源。我们的分析表明，CPI序列和所有三个市场序列都具有多重分形性质。CPI时间序列和印度市场序列的多重分形起源于长期时间相关性，而这主要是由于中国和土耳其市场价值的厚尾概率分布。GBM模型系列或多或少描述了此处分析的所有时间序列。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Multifractal_characterization_of_gold_market:_a_multifractal_detrended_fluctuati.pdf (1.79 MB)

2022-5-8 11:22:03 上传

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关键词：趋势分析 黄金市场 去趋势 Multifractal Mathematical

黄金市场的多重分形特征：多重分形去趋势波动分析*Amitabha MukhopadhyayDepartment of Physics，University of North Bengal，West Bengal，Darj eeling 734013，India摘要多重分形预测分析技术用于分析黄金消费价格指数（CPI）的时间序列和世界三大黄金消费国，即中国、印度和土耳其在1993年至2013年7月期间的市场趋势。计算了各种多重分形变量，如广义赫斯特指数、多重分形指数和奇异谱，结果适用于仅由两个参数组成的广义二项多重分形（GBM）序列。特别强调的是识别这些序列中多重分形的可能性。我们的分析表明，CPI序列和所有三个市场序列都具有多重分形性质。CPI时间序列和印度市场序列的多重分形起源于长期时间相关性，而这主要是由于中国和土耳其市场价值的厚尾概率分布。GBM模型系列或多或少地描述了这里分析的所有时间序列。PACS麻醉：05.45。Tp；61.43.-J89.65.关键词：多重分形；去趋势波动分析；消费物价指数；长程时间相关；广义二项式多重分形模型1简介一般来说，分形是一种粗糙或支离破碎的几何形状，可以细分为几个部分，每个部分（至少大约）是整体的缩小副本。分形系统通常由一个称为分形维数[1]的尺度不变参数来描述。

自然界中出现的许多分形比简单的分形具有更复杂的标度关系，需要一组参数来指定这些被称为多重分形的对象。到目前为止，已经有几种方法被开发并应用于探索分形性质的本质。例如，Hurst[2,3]（见lso[4]）引入了重标度调整范围分析方法，他自己将该方法应用于水文研究。由于重标度分析难以捕捉非平稳序列的长期相关性，Peng等人[5]提出了一种分析DNA序列的替代方法，称为去趋势分析*电子邮件：provashmali@gmail.com流动分析（DFA）。虽然DFA方法被广泛用于确定时间序列的非分形标度特性，但它不能正确描述时间序列数据的多尺度和分形子集。基于标准的配分函数多重分形形式[4,6]，发展了一种最简单的多重分形分析。这是一种非常成功的方法，用于归一化和平稳测度的多重分形表征，但它没有给出非平稳时间序列的正确结果。基于DFA方法的推广，Kantelhardt等人[7]介绍了多重分形去趋势波动分析（MF-DFA），用于非平稳时间序列的多重分形表征。作为一种非常强大的技术，MF DFAHA迄今已被应用于随机分析的各个领域，例如，市场收益分析[8,9,10,11,12,13,14,15]，地球物理学[16,17,20,18,19]，生物物理学[21,22,23,24]，以及基础和应用物理学的各个分支[25,26,27,28,29,30]。在过去几年中，金融时间序列的研究一直是物理学界深入研究的焦点。

现在，在这个主题上有一些优秀的编译，例如[31,32,33]，仅举其中一些例子。这种分析的主要目的是描述时间序列的统计特性，希望更好地理解潜在的动态性能够为创建新模型提供有用的信息。此外，这些知识可能对解决金融领域的相关问题至关重要，比如风险管理或最优投资组合的设计。此后，我们的讨论将限于中国、印度、土耳其黄金市场的时间序列分析和全球消费者物价指数（CPI）。黄金作为最稀有的金属之一，一直被认为是最安全的投资。目前，即使对常规交易者来说，黄金市场的波动也显得相当混乱，几乎不可能准确预测其涨跌。正如我们所知，在过去的2/3年里，黄金价格增长如此之快，以至于现在的黄金价格大约是2010年平均价格的两倍。2011年，该市场的最高价格约为1900美元/盎司，最近的价格约为1300美元/盎司。此外，在过去几年中，市场的日常变化也相当显著。现在人们认为，黄金无论如何都不是一种商品，而是一种始终与美国经济保持反向关系的货币。因此，很有可能黄金价格的部分变化实际上只是美元价值变化的反映。有时，这种改变是微不足道的，而事实往往恰恰相反。

不管是什么原因，黄金市场的动态本质是相当复杂的，人们需要从所有可能的方向研究黄金价格的时间序列，以了解其内在机制。在本文中，我们应用MF-DFA技术描述了1993年至2013年7月期间中国、印度和土耳其黄金CPI和黄金市场的时间序列。根据世界黄金理事会的数据，这三个国家是世界上主要的黄金消费国，总消费量约占总需求的70%。这些国家的个人消费为：中国33%、印度28%和土耳其9%。因此，预计黄金的CPI主要受消费者价格指数（CPI）的控制，CPI是对经济体中消费品和服务价格水平的估计，用于估计价格和通货膨胀的变化。消费者价格指数（CPI）记录一篮子共同商品和服务，例如一加仑汽油和柴油或一盎司黄金，并跟踪该篮子商品价格随时间的变化。根据世界黄金协会[34]，黄金消费价格指数由五大黄金消费国货币组成，按三年平均黄金需求进行排名和加权。这三个国家的市场。为了直观地了解最近的市场状况，我们分别分析了过去三年（2010年至2013年6月）的一系列数据。计算了与所研究时间序列多重分形相关的各种参数，并将其应用于双参数广义二项式多重分形（GBM）模型[4,16]。特别强调的是确定这些序列中多重分形的可能起源。为此，我们分析了一个随机序列和一个对应于原始序列的替代序列。

本文组织如下：第2节描述了MF-DFA方法以及G BM模型的概述。在第3节中，我们描述了数据和我们的分析结果，第4.2节MF-DFA方法对本文进行了总结。尽管如今MF-DFA技术已成为时间序列分析的标准工具，但为了完整性，我们在本节中简要描述了该方法，随后概述了用于比较经验数据的GBM模型。设{xk:k=1,2，…，N}为长度为N的时间序列。MF-DFA程序包括以下五个步骤：步骤1：确定参数（i）=iXk=1[xk- hxi]，i=1，2，N、 （1）式中，hxi=（1/N）PNk=1xkis为所分析时间序列的平均值。第2步：将文件Y（i）分成Ns=int（N/s）等长的非重叠段。必须根据序列的长度选择s值。在这种情况下，长度N不是所考虑的时间尺度s的倍数，从序列的另一端开始重复相同的分割过程。因此，为了不忽略级数的任何部分，通常总共得到2个等长的分段。第3步：计算2个分段中每个分段的局部趋势。这是由分段（或子系列）的最后一个平方英尺完成的。线性、二次、三次或甚至更高阶的多项式可以用来表示级数，因此程序被称为MF-DFA1、MF-DFA2、MF-DFA3。分析设Yp为级数任意段p的最佳拟合多项式。然后确定方差f（p，s）=ssXi=1{Y[（p- 1） s+i]- 对于p=1。对于p=Ns+1，2 Nsit给定了一个s，F（p，s）=ssXi=1{Y[N- （p- Ns）s+i]- yp（i）}。

（3） 第4步：定义第四阶MF-DFA函数fq（s）=（2Ns2NsXp=1[F（p，s）]q/2）1/q（4）对于所有q 6=0，对于q=0，上述定义修改为以下形式fq（s）=exp（4Ns2NsXp=1ln[F（p，s）]。（5） 第5步：然后针对指数q的几个不同值检查函数的标度行为。如果序列{xk}具有长程（幂律）相关性，则s的拉格值Fq（s）将遵循幂律类型的标度关系，如Fq（s）~ sh（q）。（6） 一般来说，指数h（q）依赖于q，被称为广义Hurstexp-onent。对于平稳时间序列h（2）=h–众所周知的赫斯特指数[16]。另一方面，对于单分形级数，h（q）独立于q，因为所有子级数的方差F（p，s）是相同的，因此eqn。（4） 和（8）所有q的产量值相同。请注意，只能为s定义函数Fq≥ m+2，其中m是去趋势多项式的阶数。此外，Fq（s）对于非常大的s在统计上是不稳定的(≥ N/4）。如果小的和大的波动标度不同，则h（q）对q有显著的依赖性。对于q的正值，Fq（s）将由大的方差控制，该方差对应于去趋势多项式的大偏差，而f或负的q值，则Fq（s）中的主要影响来自于去趋势多项式的小波动。因此，对于q的正值/负值，h（q）描述了具有较大/较小波动的分段的标度行为。可以很容易地将h（q）指数与标准多重分形指数联系起来，例如多重分形（质量）指数τ（q）。考虑序列{xk}是静态的和规范化的。

然后，不需要MFDFA方法第3步中的去趋势化程序，该序列的方差fn由fn（p，s）={Y（ps）给出- Y[（p- 1） s]}。（7） 然后用fq（s）=（2Ns2NsXp=1 | Y（ps）给出了函数及其标度律- Y[（p- 1） s]| q）1/q~ sh（q）。（8） 现在，如果我们假设序列N的长度是标度s的整数倍，那么上面的关系可以重写为，N/sXp=1 | Y（ps）- Y[（p- 1） s]| q~ sqh（q）-1.（9）在上述关系中，|·|下的项只不过是长度s的任意pth段内{xk}的和。在多重分形的标准理论中，已知序列xk的盒概率P（s，P）。因此，P（P，s）≡psXk=（p-1） s+1xk=Y（ps）- Y（（p- 1） s）。（10） 多重分形标度指数τ（q）通过配分函数Zp（s）Zp（s）确定≡N/sXp=1 | P（P，s）| q~ sτ（q），（11），其中q是实参数。来自Eqns。（9） -（11）很明显，多重分形元τ（q）通过以下关系与h（q）相关：τ（q）=qh（q）- 1.（12）知道τ（q）可以计算多重分形分析中最重要的参数——通过勒让德变换与τ（q）相关的多重分形奇异谱（也称为谱函数）f（α）[4,35]：α=τ（q）/q、 由f（α）=qα给出- τ（q）。（13） 这里α是奇点强度或Holder指数。奇异谱在多重分形理论中的重要性在于，谱的宽度是多重分形程度的直接度量。对于一个单分形物体，它在相应的α处是一个δ函数。N=2nmaxnumbers的二项式多重分形序列定义为，xk=an（k-1)(1 - a） nmax-n（k）-1） ，（14）k=1，N、 N（k）是索引k的二进制表示中等于to1的位数，0.5<a<1是一个参数。

具有两个正值参数（如A和b）的这一级数的推广≡ (1 - a） ）表示为，xk=an（k-1） bnmax-n（k）-1). （15） [16]中使用了上述二项式多重分形序列（14）的广义形式来描述河流径流数据。文中称之为广义二项多重分形（GBM）级数。通过这种推广，我们可以很容易地导出多重分形观测值h（q）和τ（q）的表达式，其形式如下：h（q）=q-ln[aq+bq]qln2。（16） τ（q）=-ln[aq+bq]ln2，（17）注意，对于a=b，h（q）=- lna/ln2独立于q和τ（q）~ qlna/ln2是q的线性函数，即对于a=b，级数（15）简化为单分形级数。那么显然是数量| a- b |是多重分形强度的度量。从数量上来说，强度参数α由h（q）的渐近值的差异确定，即：。，α ≡ h(-∞) - h(+∞) = （在a- ln b）/ln 2，这与f（α）=0.3时的奇异谱宽度无关。结果和讨论本文中使用的go-ld市场数据取自Wo rldGold Council[34]的数据库。连续两个交易日之间的对数hmic差异，03006009000 1000 2000 4000 5000-0.10-0.050.000.0503006009000 100 200 300 500 600 700 900-0.10-0.050.00指数（a）1993年至2013年7月返回时间[天数]指数（b）2010年至2013年7月返回时间[天数]图1：（a）1993年至2013年7月期间黄金消费价格指数a的时间序列和相应的返回时间，（b）与（a）相同，但在2010年至2013年7月期间为f。也被称为s返回：R（T）=lnp（T+1）- LnP（T）用作本分析的原始l系列。为了说明我们在图1（a）中展示的序列的性质，CPI时间序列（上面板）及其收益（下面板）。

这些系列的最后一部分以蓝色显示，时间为2010年至2013年7月，并在inFig中放大。1（b）。在正文中，第一部分，即1993年至2010年，被确定为第一阶段的系列，最后一部分（从2010年至2013年7月）被确定为第二阶段。请注意，图表中明确提到了时间段。图1展示了全球黄金市场如何随时间演变。在图2中，我们展示了中国（a）CPI和（b）市场序列黄金价格指数标准化收益的累积分布函数（CDF）的对数图。此处分析的其他系列的CDF或多或少类似于2（b），因此此处未显示。然而，尾部指数（ζ）给出了动量散度的临界阶，它是从所有序列的幂律回归中提取出来的。对于长系列，ζ值从3.04 t到3.5变化，而对于第二阶段（2010-2013）系列，ζ值高达5.0（对于CPI系列）。市场收益率波动的幂律型CDF的第一个迹象可以追溯到[36]并明确地在股票市场[38,37]幂律被发现10-110010110-310-210-110010-1100101累积分布函数归一化收益期1993-2013-1993-2010-2013（a）消费物价指数（b）中国期1993-2013-1993-20102010-2013年标准化收益图2：三个不同时期黄金价格指数的非恶意收益的累积分布函数：（a）全球消费者价格指数和（b）中国时间序列。是倒立方的。Gabaix等人[39]对上述经验观察给出了理论解释。就1968年至2010年期间的黄金市场回报而言，尾部指数估计为≈ 3，即。