霍克斯过程

要看到这一点，让g（t）=E[λ*（t） ]。将为g构造一个更新型方程，然后确定其极限值。第一次跳跃时的条件作用，g（t）=Eλ*（t）= E“λ+Ztu（t- s） dN（s）#=λ+Ztu（t- s） E[dN（s）]。为了计算这个期望值，从λ开始*（s） =林↓0E[N（s+h）- N（s）|H（s）]H=E[dN（s）|H（s）]ds并取期望值（并应用塔的特性）g（s）=E[λ*（s） [E[dN（s）|H（s）]ds=E[dN（s）]dsto see[dN（s）]=g（s）ds。因此，g（t）=λ+Ztu（t- s） g（s）ds=λ+Ztg（t- s） u（s）ds。这个更新型方程（在卷积表示法中是g=λ+g？u）根据n的值有不同的解。Asmussen[24]将情况分为：缺陷情况（n<1）、适当情况（n=1）和过度情况（n>1）。阿斯穆森的命题7.4指出，对于缺陷情况g（t）=E[λ*（t） ]→λ1 - n、 作为t→ ∞. （6） 然而，在过度情况下，λ*（t）→ ∞ 以指数速度增长，因此N（·）最终会爆炸。s、 通过将到达视为一个分支过程来支持n>1的爆炸。由于E[Zi]=ni（见[23]第5.4节引理2），一个isE的预期后代数∞Xi=1Zi=∞Xi=1E[Zi]=∞Xi=1ni=（n1）-n、 n<1∞, N≥ 1.因此n≥ 1意味着一个移民平均会产生很多后代。当n∈ （0，1）分支比率可以解释为一种概率。它是一个移民的后代数量与整个家庭（所有后代加上原移民）的比例；那是伊瑟P∞i=1Zi1+EP∞i=1Zi=n1-n1+n1-n=n1-n1-n=n。因此，随机选择的任何HP入境者都是以概率（w.p.）n或概率（w.p.）1的内生（儿童）或外生（移民）产生的-N

HP的大多数特性都依赖于过程是静止的，这是另一种坚持n∈ （0,1）（第3.4节给出了严格的定义），因此在下文中进行假设。霍克斯过程93.4协方差和功率谱密度HPS源于一般平稳点过程的谱分析。根据备注2定义时，HP对于t的固定值是平稳的，因此我们将对第3.4小节的剩余部分使用该定义。找到HP的功率谱密度可以使用光谱分析领域的许多技术；例如，模型拟合可以通过使用观察到的实现周期图来实现。功率谱密度根据协方差密度定义。通过使用缩写thatdN（t）=limh，再次简化了说明↓0N（t+h）- N（t）。不幸的是，“平稳”一词在概率论中有许多不同的含义。在这种情况下，当跳转过程（dN（t）：t≥ 0）-取{0，1}中的值-是弱平稳的。这意味着E[dN（t）]和Cov（dN（t），dN（t+s））不依赖于t。平稳性在这个意义上并不意味着N（·）的平稳性或到达间隔时间的平稳性[25]。平稳性的一个结果是λ*（·）将具有长期平均值（如（6）所示）λ*:= E[λ*（t） ]=E[dN（t）]dt=λ1- n、 （7）对于τ>0，将（自）协方差密度定义为beR（τ）=CovdN（t）dt，dN（t+τ）dτ.由于协方差的对称性，R(-τ）=R（τ），但是R（·）不能扩展到整个rb，因为在0处有一个原子。

对于简单点过程E[（dN（t））]=E[dN（t）]（自dN（t）∈ 因此对于τ=0E[（dN（t））]=E[dN（t）]=λ*dt。完全协方差密度（完全的，因为它的域都是R）定义为R（c）（τ）=λ*δ（τ）+R（τ）（8），其中δ（·）是狄拉克δ函数。备注5通常，R（0）的定义为R（c）（·）处处连续。Lewis[25，p.357]指出，严格来说R（c）（·）“在τ=0时没有‘值’”。详见[12,15]和[4]。相应的功率谱密度函数为thenS（ω）：=2πZ∞-∞E-iτωR（c）（τ）dτ=2π“λ*+Z∞-∞E-iτωR（τ）dτ#。（9） 到目前为止，讨论（不包括（7）的最终值）考虑了一般平稳点过程。为了将该理论具体应用于HPs，我们需要以下结果。10 Patrick J.Laub等人定理2（霍克斯过程功率谱密度）考虑了α<β的指数衰减强度的HP。然后，强度过程具有协方差密度，对于τ>0，R（τ）=αβλ（2β- α)2(β - α） e-(β-α)τ.因此，其功率谱密度为，ω ∈ R、 S（ω）=λβ2π（β- α)1 +α(2β - α)(β - α)+ ω.证据（改编自[4]。）考虑τ的协方差密度∈ R\\{0}:R（τ）=EdN（t）dtdN（t+τ）dτ- λ*. （10） 首先要注意的是，通过塔楼物业dN（t）dtdN（t+τ）dτ= E“E”dN（t）dtdN（t+τ）dτH（t+τ）#= E“dN（t）dtEdN（t+τ）dτH（t+τ）#= EdN（t）dtλ*（t+τ）.因此，可以将（10）与（3）结合起来，得出R（τ）等于dN（t）dtλ+Zt+τ-∞u（t+τ）-s） dN（s）！- λ*,哪个yieldsR（τ）=λ*u（τ）+Zτ-∞u(τ -v） R（v）dv=λ*u（τ）+Z∞u（τ+v）R（v）dv+Zτ（τ）-v） R（v）dv。（11） 详见附录A.1；这是一个维纳-霍普夫型积分方程。采用（11）givesL的拉普拉斯变换R（τ）（s） =αλ*(2β - α)2(β - α） （s+β）- α).详见附录A.2。

注意，（5）和（7）提供λ*= βλ/(β - α） ，这意味着R（τ）（s） =αβλ（2β- α)2(β - α） （s+β）- α).因此，R（τ）=L-1.αβλ(2β - α)2(β - α） （s+β）- α)=αβλ(2β - α)2(β - α） e-(β-α)τ.霍克斯处理λ的值*我呢R（τ）（s） 然后代入（9）中给出的定义：s（ω）=2π“λ*+Z∞-∞E-iτωR（τ）dτ#=2πλ*+Z∞E-iτωR（τ）dτ+Z∞eiτωR（τ）dτ=2πhλ*+ LR（τ）（iω）+LR（τ）(-iω）i=2π“λ*+αλ*(2β - α)2(β - α） （iω+β）- α)+αλ*(2β - α)2(β - α)(-iω+β- α)#=λβ2π(β - α)1 +α(2β - α)(β - α)+ ω.注6：定理2中出现的功率谱密度是一个移位标度的Cauchy p.d.f。注7：由于R（·）是实值对称函数，其傅里叶变换S（·）也是实值对称的，即S（ω）=2π“λ*+Z∞-∞E-iτωR（τ）dτ#=2π“λ*+Z∞-∞cos（τω）R（τ）dτ#，andS+（ω）：=S(-ω） +S（ω）=2S（ω）。通常，绘制S+（·）而不是S（·），如[15]第4.5节所示；这相当于将负频率覆盖到正半线。3.5概论移民-出生代表在理论和实践上都很有用。然而，它只能用来描述线性HPs。Br’emaud和Massouli’e[26]将HP推广到其非线性形式：定义6（非线性Hawkes过程）考虑具有λ形式的条件强度函数的计数过程*（t） =ψZt-∞u（t）- s） N（ds）！式中ψ：R→ [0, ∞), u:(0, ∞) → 那么N（·）是一个非线性的霍克斯过程。选择ψ（x）=λ+x可将N（·）降低为定义5的线性HP。关于非线性HPs的现代研究比最初的线性情况少得多（对于[7]第96-116页的模拟，以及[27]中的相关理论）。

这是多种因素共同作用的结果；首先，归纳法是最近才引入的，其次，复杂性的增加阻碍了七项简单的调查。现在回到前面提到的扩展，即自我激励和相互激励的HPs集合。正在研究的过程是一维HPs的集合，它们会“激发”自身和彼此。12 Patrick J.Laub等人定义7（相互激励的Hawkes过程）考虑了一组m计数过程{N（·），…，Nm（·）}表示N。说{Ti，j:i∈ {1，…，m}，j∈ N} 是每个计数过程的随机到达时间（以及观察到的到达时间的ti，jj）。如果每个i=1，那么Ni（·）具有λ形式的条件强度*i（t）=λi+mXj=1Zt-∞uj（t）- u） 对于某些λi>0和ui:（0，∞) → [0, ∞), 然后N被称为相互激励的霍克斯过程。当激励函数设置为指数衰减时，（12）可以写成λ*i（t）=λi+mXj=1Zt-∞αi，je-βi，j（t）-s） dNj（s）=λi+mXj=1Xtj，k<tαi，je-βi，j（t）-tj，k）（13）对于非负常数{αi，j，βi，j:i，j=1，…，m}。注8:HPs模型中的点本身是多维的，例如空间HPs或时空HPs[2]。人们不应将相互激励的HPs与这些多维HPs混淆。3.6财务应用本节主要回顾了Ait-Sahalia等人[28]和Filimonov和Sornette[6]的工作。它假设读者熟悉数学金融和随机微分方程的使用。3.6.1金融传染我们将注意力转向HPs最新的应用。自我激励和相互激励过程的一个主要领域是财务分析。通常可以看到，一个主要股市的大幅波动在国外市场传播，这是一个被称为金融传染的过程。

这种现象的例子在资产价格的历史序列中清晰可见；图5示出了一种这样的情况。[28]引入的“霍克斯扩散模型”试图扩展以前的股票价格模型，以包括金融传染。现代股票价格模型通常建立在[29]中流行的模型之上，其中股票的对数收益遵循几何布朗运动。虽然这篇开创性的论文受到了经济学界的赞扬，但该模型没有充分捕捉到收益分布的“fattails”，因此交易员并不常用[30]。默顿[31]试图通过加入泊松跳跃过程来模拟股票收益率中的繁荣和崩溃，从而纳入重尾；这种模型通常被称为默顿扩散模型。霍克斯扩散模型通过将泊松跳跃过程替换为相互激励的HP来扩展该模型，从而使崩溃能够在市场中以及全球市场之间自我激励和传播。基本霍克斯扩散模型描述了m个资产{X（·），…，Xm（·）}的对数收益，其中每个资产i=1，m与预期收益ui相关联∈ R、 恒定波动率σi∈ R+，和标准布朗运动（WXi（t）：t≥ 0). 布朗运动具有常数相关系数{ρi，j:i，j=1，…，m}。跳跃由一个自激和相互激励的HP（根据定义7，带有一些常数α·、·和β·、·的选择）与随机跳跃大小（Zi（t）：t）相加≥ 0). 然后假设资产动态满足yDxi（t）=uidt+σidWXi（t）+Zi（t）dNi（t）。Hawkes过程13一般的Hawkes扩散模型用Heston模型指定的随机波动率{V（·），…，Vm（·）}代替恒定波动率。每个资产i=1，m有a：长期平均波动率θi>0，回到该平均值的速率κi>0，波动率的波动率νi>0，以及标准布朗运动（WVi（t）：t）≥ 0).

WX·（·）之间的相关性是可选的，但效果将由跳跃分量主导。然后用dxi（t）=uidt+pVi（t）dWXi（t）+Zi（t）dNi（t），dVi（t）=κi（θi）捕捉整个动力学- Vi（t））dt+νipVi（t）dWVi（t）。然而，霍克斯扩散模型的附加现实主义代价高昂。恒常波动率模型需要5米+3米的参数（假设Zi（·）具有两个参数的特征），而随机波动率扩展需要额外的3米参数（假设Zi（·））i、 j=1，m E[Wi（·）VWj（·）V]=0）。在[28]中，假设检验拒绝了默顿扩散模型，而支持了霍克斯扩散模型，但是没有对数据进行过度拟合的检验（例如，Akaike-orBayesian信息标准比较）。还记得约翰·冯·诺依曼（据说）说过“有四个参数，我就可以找到一头大象”[32]。出于计算的必要性，作者做出了一些简化假设，将参数的数量减少到fit（例如，所有市场的崩溃背景强度相同）。即便如此，霍克斯扩散模型只能适用于成对的市场（m=2），而不是整个全球。由于该模型根据市场指数的每日回报率进行了校准，因此很容易获得历史数据（对于exmaple，来自谷歌或雅虎金融）；必须小心转换时区，处理不同的市场开盘和收盘时间。[28]使用的参数估计方法是广义矩量法，但推导出的理论矩满足长且卷积的方程。3.6.2中价变化和高频交易一个更简单的系统模型是单个股票的价格随时间的变化，尽管有许多不同的价格需要考虑。

对于每只股票，可以使用：最后交易价格、最佳卖出价格、最佳买入价格或中间价格（定义为最佳卖出价格和最佳买入价格的平均值）。最后一个交易价格包括内在的微观结构噪音（例如，买卖反弹），最好的买卖价格不能代表市场上买卖双方的行为。菲利莫诺夫和索内特[6]将中端价格的变化作为惠普的模型。他们特别关注（估计的）分支比率的长期趋势。在这种情况下，n表示价格变动的比例，这些变动不是由外部市场信息引起的，而只是对其他市场参与者的反应。这一比率可视为经济自由原则的量化。作者得出结论，分支比例已从1998年的30%大幅增加到2007年的70%。同年晚些时候[33]批评了该分析中使用的测试程序。Filimonov和Sornette[6]使用了一个时间戳精确到一秒的数据集，这通常会导致名义上同时出现多个事件（对于简单的点过程来说，这是不可能发生的事件）。通过向所有时间戳中添加Unif（0，1）秒的随机分数来实现伪造精度，这一技术也被[34]使用。Lorenzen发现，这种方法为数据添加了一种平滑元素，使其比实际毫秒精度数据更适合模型。随机性也导致了HP参数估计的偏差，尤其是α和β的偏差。Lorenzen对高频交易活动进行了粗略测量，从而在观察期内，这种活动与n之间形成了有趣的相关性。14 Patrick J.Laub等人图5：全球市场中相互激励的例子。

该图描绘了2008年10月3日至2008年10月10日期间美国国际股票市场经历的一连串下跌；拉丁美洲（洛杉矶）；英国；欧洲发达国家（欧盟）；太平洋发达国家的数据是每小时一次的。每个价格指数系列的第一次观察值被标准化为100，以下观察值被同一因子标准化。来源：彭博社MSCI MXRT国际股票指数（转载自[28]）。备注9幸运的是，我们收到了裁判的意见，建议考虑其他非常重要的工作，我们将在此简要列出。Bowsher[34]的重要性得到了强调，查韦斯·德穆林等人[35,36]的系列文章也是如此。他们指出McNeil等人[37]的书中有一节专门讨论HP应用，并强调巴黎学派在应用HPs微观结构建模方面的相关性，例如，Bacry等人[38]的论文[4]参数估计本节研究了在假定来自HP的到达时间t={t，t，…，tk}的有限集合中生成参数估计sbθ=（bλ，bα，bβ）的问题。为了简洁起见，这里的符号将省略函数中的bθ和t参数：L=L（bθ；t）、L=L（bθ；t）、λ*（t） =λ*（t；t，bθ）和∧（t）=∧（t；t，bθ）。为了简单和缺少相关数据，在模拟数据上对估计器进行了测试。

不幸的是，这种方法绕过了RealDataSet提出的许多重大挑战，这些挑战导致[39]指出霍克斯过程15“我们的总体结论是，霍克斯过程的校准类似于胺领域内的偏移，在采取任何结论性步骤之前，需要专家和仔细的测试。”所考虑的方法是最大似然估计，该方法首先确定似然函数，并将模型参数估计为使该函数最大化的输入。4.1似然函数导数Daley和Vere Jones[9，命题7.2.III]给出了以下结果。定理3（霍克斯过程似然）设N（·）是[0，T]上的正则点过程，对于某些正T，设T，[0，T]上N（·）的一种实现。然后，N（·）的似然L可表示为L=hkYi=1λ*（ti）iexp-ZTλ*（u） 杜.证明首先假设该过程在第k次到达时被观察到。（1）isL=f（t，t，…，tk）=kYi=1f的节理密度函数*（ti）。这个函数可以写成条件强度函数。重新排列（2）以找到f*（t） 关于λ*（t） （根据[40]）：λ*（t） =f*（t） 一,- F*（t） =ddtF*（t） 一,- F*（t） =-d日志（1）- F*（t） ）dt。在间隔（tk，t）内整合两侧：-Zttkλ*（u） du=log（1- F*（t） （）- 日志（1）- F*（tk））。HP是一个简单的点流程，这意味着不能同时发生多次到达。因此F*（tk）=0表示tk+1>tk，依此类推-Zttkλ*（u） du=log（1- F*（t） ）。（14） 进一步重新安排产量*（t） =1- 经验-Zttkλ*（u） 杜, F*（t） =λ*（t） 经验-Zttkλ*（u） 杜. （15） 因此，可能性变为l=kYi=1f*（ti）=kYi=1λ*（ti）exp-Ztiti-1λ*（u） 杜=hkYi=1λ*（ti）iexp-Ztkλ*（u） 杜. （16） 16 Patrick J.Laub等人现在假设在一段时间内观察到该过程[0，T] [0，tk]。