霍克斯过程

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英文标题：
《Hawkes Processes》
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作者：
Patrick J. Laub, Thomas Taimre, and Philip K. Pollett
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Hawkes processes are a particularly interesting class of stochastic process that have been applied in diverse areas, from earthquake modelling to financial analysis. They are point processes whose defining characteristic is that they \'self-excite\', meaning that each arrival increases the rate of future arrivals for some period of time. Hawkes processes are well established, particularly within the financial literature, yet many of the treatments are inaccessible to one not acquainted with the topic. This survey provides background, introduces the field and historical developments, and touches upon all major aspects of Hawkes processes.
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中文摘要：
霍克斯过程是一类特别有趣的随机过程，已应用于从地震建模到金融分析的各个领域。它们是点过程，其定义特征是“自我激励”，这意味着每次到达都会在一段时间内增加未来到达的速率。霍克斯过程已经很成熟，尤其是在金融文献中，但许多治疗方法对于不熟悉该主题的人来说是无法实现的。这项调查提供了背景，介绍了该领域和历史发展，并涉及霍克斯过程的所有主要方面。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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2022-5-8 12:40:36 上传

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关键词：Applications Differential Developments Quantitative epidemiology

霍克斯过程帕特里克·J·劳布·托马斯·泰姆雷·菲利普·K·波莱特拉斯特编辑：2015年7月13日摘要霍克斯过程是一类特别有趣的随机过程，已应用于从地震建模到金融分析的各个领域。它们是点过程，其定义特征是“自我激励”，这意味着每次到达都会在一段时间内增加未来到达的速率。霍克斯过程已经很成熟，尤其是在金融文献中，但许多治疗方法对于不熟悉该主题的人来说都是无法实现的。这项调查提供了背景，介绍了该领域和历史发展，并触及了霍克斯过程的所有主要方面。1.在时间上观察到的事件通常是自然聚集的。地震通常会增加其发生地区的地质张力，随后可能会发生余震[1]。竞争之间的争斗可能会引发一连串的刑事报复[2]。大量抛售股票可能会引发交易流，或者在更大范围内，华尔街投资银行的倒闭可能会给世界金融中心带来冲击波[3]。霍克斯过程（HP）是这些“自激”过程的数学模型，以其创造者艾伦·G·霍克斯[4]的名字命名。HP是一个计算过程，它模拟了随着时间推移某种类型的“到达”序列，例如地震、帮派暴力、交易订单或银行违约。每一次旅行都会激发这一过程，因为在最初到达后的一段时间内，后续到达的机会会增加。因此，它是泊松过程的非马尔可夫扩展。一些数据集，如每年拖欠贷款的公司数量[5]，表明潜在的过程确实令人兴奋。

此外，使用基本泊松过程建模表示股票交易订单的到达是非常不合适的，因为股票市场的参与者抑制了羊群行为，这是经济波动的标准例子[6]。本次调查考察了HPs优度的生成、模型拟合和测试过程。由于惠普在金融领域的文献尤其发达，因此在这些领域的应用被认为是最重要的。昆士兰大学数学系，昆士兰州4072，澳大利亚；奥胡斯大学数学系，丹麦奥胡斯C区DK-8000，纽约蒙克加德。电子邮件：昆士兰大学数学系，昆士兰州4072，澳大利亚邮政：T。taimre@uq.edu.auP.昆士兰大学数学系，昆士兰，昆士兰4072，澳大利亚邮政：pkp@maths.uq.edu.au2Patrick J.Laub等人t1t2t3t4t5t6t7N（t）T1234567图。1：一个示例点过程实现{t，t，…}背景在讨论HPs之前，必须阐明一些关键概念。首先，我们简要地给出计数过程和点过程的定义，从而设置基本符号。其次，我们讨论了鲜为人知的条件强度函数和补偿器，这两个概念都是清晰理解HPs的核心概念。2.1计数和点数过程我们从计数过程的定义开始。定义1（计数过程）计数过程是一个随机过程（N（t）：t）≥ 0）在满足N（0）=0的情况下，取N的值几乎肯定是（a.s.）有限的，是一个右连续阶跃函数，增量为+1。此外，表示为（H（u）：u≥ 0）直到美国的入境历史。

（严格地说，H（·）是一种过滤，即σ-代数的递增序列。）计数过程可以被视为截至当前时间系统中“到达”数量的累积计数。描述这种过程的另一种方法是考虑随机到达时间T={T，T，…}计数过程N（·）跳到该点。定义为这些到达时间的过程称为点过程，如定义2中所述（改编自[7]）；参见图1以获取示例点过程及其相关计数过程。定义2（点过程）如果随机变量序列T={T，T，…}，取[0]中的值，∞), 有P（0≤ T≤ T≤ . . . ) = 1，并且有界区域中的点的数量是有限的，那么t是一个（简单的）点过程。计数和点处理术语通常可以互换。例如，如果提到泊松过程或HP，那么读者必须从上下文中推断出是在讨论计数过程n（·）还是时间T的点过程。霍克斯过程3描述特定点过程的一种方法是指定以过去为条件的下一个到达时间的分布函数。根据上一次到达之前的历史，确定（根据[8]）下一次到达时间Tk+1asF的条件c.d.f.（和p.d.f.）*（t | H（u））=ZtuP（Tk+1∈ [s，s+ds]|H（u））ds=Ztuf*（s|H（u））ds。然后，根据链式规则，实现{t，t，…，tk}的联合p.d.f等于f（t，t，…，tk）=kYi=1f*（ti | H（ti-1)) . （1） 在文献中，符号很少明确指定H（·），而是使用上标星号（参见示例[9]）。我们遵循这个惯例，缩写为F*（t | H（u））和f*（t|H（u））豆腐*（t） 和f*（t） 分别为。备注1功能f*（t） 可用于对某些类别的点过程进行分类。

例如，如果一个点进程有一个f*（t） 它独立于H（t），那么这个过程就是一个更新过程。2.2条件强度函数：很难使用条件到达分布f*（t） 。相反，使用了点过程的另一个特征：条件强度函数。事实上，如果条件强度函数存在，它唯一地表征了点过程的有限维分布（见[9]第7.2.IV节）。最初，该函数被称为危险函数[10]，定义为λ*（t） =f*（t） 一,- F*（t） 。（2） 虽然这一定义是有效的，但我们更倾向于直观地表示条件强度函数，作为以H（t）为条件的预期到达率：定义3（条件强度函数）考虑计数过程N（·）与相关历史H（·）。如果a（非负）函数λ*（t） 存在λ*（t） =林↓0E[N（t+h）- N（t）|H（t）]H过去只依赖于N（·）的信息（即λ*（t） 是H（t）-可测的，则称为N（·）的条件强度函数。通过使用条件强度函数，术语“自激”和“自我调节”可以变得精确。如果到达导致条件强度函数增加，则该过程称为自激。这种行为导致T的时间聚集。在此设置中λ*（t） 必须选择以避免爆炸，其中我们使用爆炸的标准定义为N（t）- N（s）=∞对于t- s<∞. 关于这种λ的示例实现，参见图2*（t） 。或者，如果条件强度函数在到达后下降，则该过程称为自我调节，到达时间在时间上非常规则。

尽管一个说明性的例子是，随着时间的推移，超速罚单会到达驾驶员手中（假设每次到达都会导致驾驶时一段时间的高度谨慎）。4 Patrick J.Laub et al.λ*（t） TT1T4T5λT6T7图。2：自激过程的条件强度函数示例。2.3补偿器通常需要综合条件强度函数（例如，在参数估计和拟合优度测试中）；定义如下。计数过程N（·）的定义4（补偿器）非递减函数∧（t）=Ztλ*（s） 数字信号被称为计数过程的补偿器。事实上，补偿器的定义通常更为普遍，即使λ*（·）不存在。从技术上讲∧（t）是唯一的H（t）可预测函数，其∧（0）=0，并且是非递减的，因此N（t）=M（t）+∧（t）几乎肯定是t的≥ 其中M（t）是H（t）局部鞅，其存在性由Doob–Meyer分解定理保证。然而，对于HPsλ*（·）总是有性别歧视者（事实上，正如我们将在第3节中看到的，HP是根据这一功能定义的），因此定义4对我们来说是足够的。3文献综述在第2节概述了基本背景和核心概念之后，我们现在开始讨论HPs，包括其有用的移民-出生表征。在转向用于金融应用的HPs说明性说明之前，我们简要地讨论了一般性。3.1 20世纪50年代和60年代，霍克斯过程点过程在统计领域获得了大量关注。首先，Cox[10]引入了双随机泊松过程（现在称为Coxprocess）的概念，Bartlett[11,12,13]研究了基于功率谱密度的点过程统计方法。

在IBM研究实验室，刘易斯[14]制定了一个点过程模型（用于计算机故障模式），这是朝着惠普的方向迈出的一步。这项活动在Cox和Lewis[15]关于时间序列分析的重要专著中达到高潮；现代研究人员认为霍克斯过程5这篇文章是点过程理论的一个重要发展，因为它展示了它们的广泛应用[9，第16页]。正是在这种背景下，霍克斯[4]开始将巴特利特的光谱分析方法引入一种新的过程：自激点过程。霍克斯描述的过程是一个一维点过程（尽管最初是为t∈ R与t相对∈ [0, ∞)), 定义如下。定义5（霍克斯过程）考虑（N（t）：t≥ 0）一个计数过程，以及相关的历史（H（t）：t≥ 0），表示满足（N（t+h）- N（t）=m | H（t））=λ*（t） h+o（h），m=1o（h），m>11- λ*（t） h+o（h），m=0。假设过程的条件强度函数的形式为λ*（t） =λ+Ztu（t- u） 对于某些λ>0和u：（0，∞) → [0, ∞) 分别称为背景强度和激发函数。假设u（·）6=0，以避免常见情况，即齐次泊松过程。这样的过程N（·）是霍克斯过程。备注2上述定义将t视为非负面，但HP的另一种形式是考虑t的到达∈ R并将N（t）设置为（0，t）中的到达人数。通常，HP结果对这两种定义都有效，但我们将指定第二个t∈ 定义在需要时使用。（a） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000020406080100t计数（t）E[N（t）]（b）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000123色度λ*（t） E[λ*（t） ]无花果。

3：（a）典型的霍克斯过程实现N（t）及其相关λ*（t） 在（b）中，两者都根据其预期值绘制。注释3在现代术语中，定义5描述了线性HP，非线性版本在定义6中给出。除非另有限定，本文中的HPs将指这种线性形式。HP的实现如图3所示，带有条件强度处理的相关路径。霍克斯[16]很快将这一单点过程扩展为一系列自我和相互激励的点过程，在详细阐述了这一一维过程之后，我们将讨论这些点过程。6 Patrick J.Laub等人3.2 Hawkes条件强度函数（3）中Hawkes条件强度函数的形式与文献一致，尽管它在一定程度上掩盖了其背后的直觉。用{t，t，…，tk}表示观测到的时间t点过程的最后到达时间序列，霍克斯条件强度为λ*（t） =λ+Xti<tu（t- ti）。这个λ的结构*（·）非常灵活，只需要指定背景强度λ>0和激发函数u（·）。激励函数的一个常见选择是指数衰减；霍克斯[4]最初使用这种形式，因为它简化了他的理论推导[17]。在这种情况下，u（t）=αe-βt，由常数α、β>0和λ参数化*（t） =λ+Zt-∞αe-β（t-s） dN（s）=λ+Xti<tαe-β（t-ti）。（4） 常数α和β具有以下解释：系统中的每个到达瞬间都会增加α的到达强度，然后随着时间的推移，该到达的影响以β的速率衰减。u（·）的另一个常见选择是幂律函数，给出λ*（t） =λ+Zt-∞k（c+（t- s） pdN（s）=λ+Xti<tk（c+（t- ti）p带有一些正标量c、k和p。

幂律形式由名为Omori定律的地质模型推广，该模型用于预测地震引起的余震率[18]。与这两种激励函数相比，更具计算效率的是分段线性函数，如[19]所示。然而，剩下的讨论将集中在激发函数的指数形式上，有时被称为强度呈指数衰减的HP。可以考虑设置初始条件λ的影响*（0）=λ，可能是为了在流程启动后的某段时间对其进行建模。在这种情况下，条件强度过程（使用u（·）的指数形式）满足随机微分方程dλ*（t） =β（λ）- λ*（t） dt+αdN（t），t≥ 0 .应用随机微积分得到λ的通解*（t） =e-βt（λ）- λ） +λ+Ztαeβ（t-s） dN（s），t≥ 0，这是（4）[20]的自然延伸。3.3移民——出生代表性如果被视为一个分支过程，HP的稳定性通常更容易预测。想象一下，在一个人口通过移民或出生到达的国家，计算人口。假设移民流以λ的速率形成同质泊松过程。然后，每个个体独立地产生零个或多个孩子，而婴儿的到来形成了一个非均匀的泊松过程。霍克斯处理7tFig。4:Hawkes过程表示为一系列家谱（移民-出生表示）。方格() 表示移民，圆圈（）表示春天/后代，十字架（×）表示生成的点过程。这种解释的说明如图4所示。

在分支理论术语中，这个移民-出生表征描述了一个具有修改的时间维度的高尔顿-沃森过程。霍克斯[21]使用这种表示法来推导过程的渐近特征，例如下面的结果。定理1（霍克斯过程渐近正态性）如果0<n:=Z∞u（s）ds<1和z∞su（s）ds<∞那么（0，t）中的HP到达数是渐近的（t→ ∞) 正态分布。更准确地说，写N（0，t]=N（t）- N（0），PN（0，t]- λt/（1）- n） pλt/（1）- n）≤ Y→ Φ（y），其中Φ（·）是标准正态分布的c.d.f。备注4：更现代的工作使用移民出生表示法来应用贝叶斯技术；例如，参见[22]。对于在ti时进入系统的个人∈ R、 在未来时间t>Ti时，它们产生反作用力的速率为u（t- ti）。说这个人的直接影响包括第二代，他们的影响包括第二代，以此类推；这几代人的联盟成员被称为这个皇室的后裔。使用[23，第5.4节]中的符号，将Zito定义为第三代中弹簧的随机数（Z=1）。随着第一代OFF-spring从泊松过程中诞生~ Poi（n），其中平均值n称为分支比。这个分支比率（可以取（0，∞)) 在定理1和指数衰减强度isn=Z的情况下定义∞αe-βsds=αβ。（5） 分支比的知识可以为仿真算法的开发提供信息。对于每一位移民来说，第一代春天到来的时间取决于他们的总数量Z-是每个i.i.d.的密度u（t-ti）/n.第6节更详细地探讨了由移民-出生描述激发的HP模拟方法。8 Patrick J.Laub等人。n的值也决定了HP是否会爆炸。