霍克斯过程

然后，可能性将包括在时间间隔（tk，T）内没有到达的概率：L=hkYi=1f*(ti)i(1)- F*（T））。使用F的公式*（t） 从（15）开始，thenL=hkYi=1λ*（ti）iexp-ZTλ*（u） 杜.这项研究完成了证明。4.2指数衰减的简化利用（16）中的似然函数，区间[0，tk]的对数似然可导出为l=kXi=1log（λ*（ti）-Ztkλ*（u） du=kXi=1log（λ*（ti）- ∧（tk）。（17） 注意，[0，tk]上的积分可以分解为[0，t]，（t，t]，…，（tk-1，tk]，因此∧（tk）=Ztkλ*（u） du=Ztλ*（u） du+k-1Xi=1Zti+1tiλ*（u） 杜。如果λ*（·）指数衰减：∧（tk）=Ztλdu+k-1Xi=1Zti+1tiλ+Xtj<uαe-β（u）-tj）du=λtk+αk-1Xi=1Zti+1tiiXj=1e-β（u）-tj）du=λtk+αk-1Xi=1iXj=1Zti+1tie-β（u）-tj）du=λtk-αβk-1Xi=1iXj=1he-β（ti+1）-（tj）- E-β（ti）-最后，这个二次求和的许多项抵消了∧（tk）=λtk-αβk-1Xi=1he-β（tk）-（ti）- E-β（ti）-ti）i=λtk-αβkXi=1he-β（tk）-（ti）- 1i。（18） 请注意，这里的最终总结是不必要的，尽管它通常包括在内，请参见[33]。替换λ*（·）和∧（·）转化为（17）givesl=kXi=1loghλ+αi-1Xj=1e-β（ti）-tj）我- λtk+αβkXi=1he-β（tk）-（ti）- 1i。（19） Hawkes过程17这种直接方法在计算上是不可行的，因为第一项的二次求和需要如此（k）的复杂性。幸运的是，内部求和的类似结构允许l以O（k）复杂度计算[41,42]。因为我∈ {2，…，k}，设A（i）=Pi-1j=1e-β（ti）-tj），所以a（i）=e-βti+βti-1i-1Xj=1e-βti-1+βtj=e-β（ti）-钛-1)1+i-2Xj=1e-β（ti）-1.-（tj）= E-β（ti）-钛-1） （1+A（i）- 1)) .（20） 加上A（1）=0的基本情况，l可以重写为l=kXi=1log（λ+αA（i））- λtk+αβkXi=1he-β（tk）-（ti）- 1i。（21）Ozaki[8]也给出了该对数似然函数的偏导数和Hessian函数。

特别值得注意的是，当采用草书方法（类似于（20））时，每个导数计算都可以按O（k）的复杂度进行[43]。注10：递归意味着联合过程（N（t），λ*（t） ）是马尔可夫的（见[44]的备注1.22）。4.3讨论对HP最大似然估计方法的理解随着时间的推移发生了重大变化。鲁宾[45]知道对数似然函数（17）的一般形式。Ozaki[8]将其应用于HP，他导出了（19）和改进的递归形式（21）。Ozaki还发现（如前所述）一种计算导数和Hessian矩阵的有效方法。Ogata[41]证明了估计量的一致性、渐近正态性和有效性。很明显，最大似然估计通常对模型拟合非常有效。然而，[6]发现，对于小样本，估计器会产生显著偏差，遇到许多局部最优，并且对激励函数的选择高度敏感。此外，当样本变大时，theO（k）复杂度会使该方法变得无用；请记住，任何迭代优化例行程序都可能会计算数千次似然函数。因此，“hawkes”包在C++中实现了这个例程，以减轻性能问题。这种“性能瓶颈”主要是使用广义矩量法进行参数估计的最新趋势的原因。Da Fonseca和Zaatour[20]指出，该过程在他们的测试集上是“瞬时的”。该方法使用样本矩和样本自相关函数，这些函数通过用户选择的（相当任意的）过程进行平滑。5.优度本节概述了确定点数据HPs模型适用性的方法，这是其应用中的一个关键环节。18帕特里克·J。

Laub等人5.1将泊松过程转换为Hawkes模型评估某些点数据的拟合优度是一个重要的实际考虑因素。在进行这种评估时，点过程的补偿器是必不可少的，随机时变定理（此处改编自[46]）：定理4（随机时变定理）说{t，t，…，tk}是从具有条件强度函数λ的点过程在时间[0，t]上的实现*(·). 如果λ*（·）在[0，T]和∧（T）<∞ a、 然后变换点{∧（t），∧（t），…，∧（tk）}以单位速率形成泊松过程。随机时间变化定理是模型拟合过程（点过程）残差分析的基础。关于残差分析的原始工作[47]可以追溯到[48]、[49]和[50]。Daleyand Vere Jones的7.4提案。IV[9]改写并扩展了定理如下。定理5（残差分析）考虑无界、递增的时间点序列{t，t，…}在半行（0，∞), 和一个单调的连续补偿器∧（·），使得limt→∞∧（t）=∞ a、 s.变换序列{t*, T*, . . . } = {∧（t），∧（t），…}，其计数过程用N表示*（t） 是单位速率泊松过程的一种实现，当且仅当原始序列{t，t，…}是从∧（·）定义的点过程实现的。因此，配备了（18）中的闭合形式补偿器，可以使用泊松过程的标准适应性测试来确定统计参考的质量。图6显示了HP的实现和相应的转换过程。在图6中∧（t）与N（t）相同。

它们在区域上实际上略有不同（λ（·）是连续的），但由于补偿器的Doob–Meyer分解，预计会有相似之处。5.2泊松过程的测试5。2.1基本测试测试一系列点是否形成泊松过程有许多程序（参见[15]了解广泛的治疗）。作为第一个测试，可以运行假设测试来检查pi{t*我<t}~ Poi（t）。如果初始测试成功，则间隔时间，{τ，τ，τ，…}={t*, T*- T*, T*- T*, . . . },应进行测试，以确保τii。i、 d。~实验（1）。定性方法是使用指数分布创建τi的分位数-分位数（Q–Q）图（例如，见图7a）。否则，quantitativealternative将运行Kolmogorov–Smirnov（或者Anderson–Darling）测试。5.2.2独立性测试确认后，有理由相信τi呈指数分布的下一个测试是检查它们的独立性。这可以通过寻找τ序列中的自相关来实现。显然，零自相关并不意味着独立，但非零量必然意味着非泊松模型。可以通过绘制点（Ui+1，Ui）进行目视检查。如果有明显的模式，则τi是自相关的。否则，这些点应该看起来均匀分散；例如，参见图7b。存在数量扩展；例如，参见[51]第3.3.3节，或[52]中的序列相关性测试。霍克斯过程19（a）02040608010012004006008001000n（t）E[N（t）]（b）02040608010012002040λ*（t） E[λ*（t） [c）0 20 40 60 80 100 12002004006008001000∧（t）（d）200 400 600 800020004006001000N*（t） E[N]*（t） 图6：使用随机时变定理将霍克斯过程转换为aunit速率泊松过程的示例。（a） 一个Hawkes过程N（t）（λ，α，β）=（0.5,2,2.1），以及相关的（b）条件强度函数和（c）补偿器。

（d） 转化过程N*（t） ，在哪里*i=∧（ti）。5.2.3 Lewis-testA更具幂次的统计检验为[53]所述的Lewis检验。首先，它依赖于这样一个事实：如果{t*, T*, . . . , T*N} 单位速率泊松过程的到达时间是{t*/T*N、 t*/T*NT*N-1/t*N} 作为均匀[0,1]随机样本的顺序统计量分布。这种观察被称为条件一致性，并形成了测试本身的基础。Lewis检验依赖于应用Durbin的定义（在[54]中介绍，并由[55]进行了广泛适用的处理）。5.2.4布朗运动近似检验泊松性的近似检验可以通过使用泊松过程的布朗运动近似来构造。这就是说，将观测到的时间转化为（近似）布朗运动，然后利用布朗运动样本路径的已知性质来接受或拒绝原始样本。这一系列查询的动机来自算法7.4。[9]中的V，被描述为“近似科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫型式试验”。不幸的是，印刷错误会导致算法（印刷时）为不同的重要级别生成错误的答案。本文提出了一种基于布朗运动近似的测试方法。假设N（t）是速率t的泊松过程。定义M（t）=（N（t）-（tT）/√T代表T∈ [0, 1]. Donsker的方差原理意味着→ ∞, （M（t）：t∈ [0,1]）在分布上收敛于standard20 Patrick J.Laub等人（a）0 1 2 3 401234预期观测值（b）0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81UkUk+1Fig。7：（a）i.i.d.试验的Q–Q测试（1）到达间隔时间。（b） 定性自相关测试。Uk值定义为Uk=F（t*K- T*K-1) = 1 - E-（t）*K-T*K-1).布朗运动（B（t）：t∈ [0, 1]). 无花果

图8显示了各种t的M（t）的示例实现，这些t至少在定性上是标准布朗运动的合理近似。另一种测试方法是利用布朗运动的第一个反正弦定律，即随机时间M*∈ [0,1]，由byM给出*= arg最大值∈[0,1]B（s），是反正弦分布的（即M*~ 贝塔（1/2，1/2）。因此，该测试采用在[0，T]和[1]上观察到的到达序列。将到达值转换为{t*/T、 T*/TT*这应该是一个泊松过程，速率为[0,1]，2。如上所述构造布朗运动近似M（t），找到最大值M*, 和3。如果M*位于（α/2,1-β（1/2，1/2）分布的α/2分位数；否则将被拒绝。最后，根据布朗运动的其他性质，可以进行许多其他测试。例如，测试可以简单地基于注意到M（1）~ N（0，1），因此接受ifM（1）∈ [Zα/2，Z1-α/2]，否则拒收。6.模拟方法模拟是概率建模中越来越不可或缺的工具。这里我们详细介绍了实现HPs的三种基本方法。6.1转换方法对于一般点过程，模拟算法是由随机时变定理（见第5.1节）的逆命题提出的。本质上，单位速率泊松过程{t*, T*, . . . } is transformedHawkes流程21（a）0.5 102tM（t）（b）0.5 102tM（t）（c）0.5 1-20tM（t）（d）0.51-20tB（t）图8：泊松过程近似布朗运动的实现。图（a）-（c）分别使用T=10、100和10000的观察窗。图（d）是用于比较的布朗运动的直接模拟。通过逆补偿器∧（·）-1进入该补偿器定义的任何一般点流程。

这种方法有时被称为逆补偿器方法，迭代地求解方程*=Ztλ*（s） ds，t*k+1- T*k=Ztk+1tkλ*（s） 对于{t，t，…}，所需的点过程（见[56]和[9]中的算法7.4.III]）。对于HPs，该算法最初由Ozaki[8]提出，但没有明确说明与时间变化的任何关系。它转而关注（14），Zttkλ*（u） du=-日志（1）- F*（t） ），它将下一次到达的条件c.d.f.与之前的到达历史{t，t，…，tk}和指定的λ相关联*（t） 。这种关系意味着下一个到达时间Tk+1可以通过逆变换方法轻松生成，即绘制U~ Unif[0，1]则通过求解ztk+1tkλ找到tk+1*（u） du=-日志（U）。（22）对于指数衰减强度，方程变成slog（U）+λ（tk+1）- （tk）-αβkXi=1eβ（tk-1.-（ti）-kXi=1e-β（tk）-（ti）= 0 .tk+1的求解可以使用（20）的递归在线性时间内实现。然而，如果使用不同的引用函数，则（22）必须进行数值求解，例如使用牛顿法[43]，这需要显著的计算效果。22 Patrick J.Laub等人6.2 Ogata改进的细化算法Hp生成与非均匀泊松过程生成类似。生成由强度函数λ（·）驱动的非均匀泊松过程的标准方法是通过细化。通常，该过程由算法1[57]描述。直觉是生成一个“更快”的均匀泊松过程，并概率地移除点，以便剩余点满足时变强度λ（·）。第一个过程的速率M不能小于λ（·）除以[0，T]。HP也可以使用类似的方法，称为Ogata的改进细化算法[43,44]。条件强度λ*（·）没有a.s.渐近上界，但在没有到达的时段，强度通常不增加。

这意味着对于t∈ （Ti，Ti+1]，λ*（t）≤ λ*（T+i）（即Ti之后的时间，即该到达已登记的时间）。因此，可以在每次模拟期间更新MVValue。算法2描述了该过程，图9显示了每个细化过程的示例。算法1通过细化生成非均匀泊松过程。1：程序泊松比稀释（T，λ（·），M）2：要求：λ（·）≤ [0，T]3:P上的M← []，t← 0.4:t<t-do5:E← 实验（M）.6:t← t+E.7:U← Unif（0，M）。8：如果t<t和U≤ λ（t）then9:P← [P，t].10:end if11:end while12:return P13:end ProcedureGorithm 2通过细化生成霍克斯过程。1： 程序Hawkesbything（T，λ*（·））2：要求：λ*（·）在未到达期间不增加。3: ε ← 10-10（一些微小值>0）。4:P← []，t← 0.5：而t<t do6：寻找新的上限：7:M← λ*（t+ε）。8：生成下一个候选点：9:E← 经验（M），t← t+E.10：保持一定的概率：11:U← Unif（0，M）。12：如果t<t和U≤ λ*（t） 然后13:P← [P，t].14:end if15:end while16:return P17:end ProcedureHowkes Processs 23（a）0 2 4 6 8 10 1201234tUλ（t）MAcceptedRejected（b）0 0 0.5 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40246tUλ*（t） MAcceptedRejectedFig。9：稀释产生的过程。（a） 强度为λ（t）=2+sin（t）的泊松过程，由M=4限定。（b） （λ，α，β）=（1，1，1.1）的霍克斯过程。每个（t，U）点描述了在时间t的估计到达，其U值在算法1和算法2中给出。加号表示弹出的点，圆圈表示接受，绿色正方形表示生成的点处理。6.3泊松过程的叠加移民-出生表示产生了一个简单的模拟过程：生成移民到达，然后为每个移民生成后代。算法3完整地描述了该过程，图。

10展示了一个实现的例子。移民形成率λ的齐次泊松过程，因此在[0，T]区间内，移民的数量是Poi（λT）分布的。前提是知道有k个移民，他们的到达时间C，C，Ck分布为i.i.d.Unif[0，T]随机变量的顺序统计量。每个移民的后代形成一个不均匀的泊松过程。第i个移民的后代抵达时的强度为u（t- Ci）对于t>Ci。表示Dito是移民i的后代数，则E[Di]=R∞u（s）ds=n，因此为Dii。i、 d。~Poi（n）。假设移民的后代在某个时间到达（Ci+E，Ci+E，…，Ci+EDi）。在已知Di的条件下，Ejare i.i.d.随机变量以p.d.f.u（·）/n分布。对于指数衰减强度，这简化了Eji。i、 d。~Exp（β）。6.4其他方法本节内容绝不是HPS可用模拟技术的完整汇编。Dassios和Zhao[58]以及Moller和Rasmussen[59]给出了所列方法的替代方法。同样没有讨论的是模拟相互激励的HPs的问题，但是有24个Patrick J.Laub等人。算法3通过集群生成Hawkes过程。1：程序HawkesByClusters（T，λ，α，β）2:P← {}.3：移民：4:k← Poi（λT）5:C，C，Cki。i、 d。←- Unif（0，T）。6：后代：7:D，D，Dki。i、 d。←- Poi（α/β）。8：对于i← 1到kDo9：如果Di>0，那么10:E，E，伊迪。i、 d。←- Exp（β）.11:P← P∪ {Ci+E，…，Ci+EDi}.12:end-if13:end-for14:Remove[0，T]：15:P之外的子体← {Pi:Pi∈ P、 圆周率≤ T}.16：添加移民和排序：17:P← 排序（P∪ {C，C，…，Ck}）.18:返回P19:结束过程（a）01 2 3 4 5 6 7 8 9 100246810t家族号（b）01 2 3 4 5 6 7 8 9 100246810t TintEnsityFIG。10：由集群产生的霍克斯-泊松过程。

图（a）显示了移民出生代表所产生的点；它可以被视为一系列垂直堆叠的“家谱”。移民点被绘制成正方形，下面是相同高度和颜色的圆圈。强度函数（λ，α，β）=（1，2，1.2）绘制在（b）中。由此产生的Hawkesprocess到达被绘制为轴上的十字。提供此功能的免费软件包。图11显示了使用R包“hawkes”生成的实现示例（另请参见Roger D.Peng的相关R包“ptproc”）。Hawkes处理25（a）010 20 30 40 50 60 70 80 90 100050100150200 t计数（b）010 20 30 40 50 60 70 80 90 1000510TintSensityFig。11：一对相互刺激的霍克斯过程。（a） 参数为λ=λ=1，α1,1=α1,2=α2,1=α2,2，β1,1=β1,2=β2,2=8的两个计数过程N（t）和N（t）。（b） 过程的实现强度（注意λ*（t） =λ*（t） 因此，只有一个是绘制的。）7结论HPS从根本上说是迷人的现实模型。许多标准的概率模型都是马尔可夫模型，因此忽略了过程的历史。惠普的架构是基于历史的重要性，这部分解释了为什么它们出现在如此广泛的应用中。如果可以利用指数衰减强度，则联合过程（N（·），λ*（·））满足马尔可夫条件，两个过程都表现出惊人的分析可处理性。确保α<β可避免爆炸。协方差密度是一条简单的对称标度指数曲线，功率谱密度是一条移位标度的Cauchy p.d.f.似然函数和补偿器非常优雅，并且能够高效地使用递归结构进行计算。精确的模拟算法可以以最佳效率生成这种类型的HP。