转向非仿射随机波动率：一个封闭形式的扩展

另见附录B.Lewis[2000]，使用Rojo[1996]的尾部分类，例如（a）平均值=0.30，标准偏差=0.08（B）平均值=0.30，标准偏差=0.08，对数标度（c）平均值=0.30，标准偏差=0.16（d）平均值=0.30，标准偏差=0.16，对数标度（e）平均值=0.30，标准偏差=0.24（f）平均值=0.30，标准偏差=0.24，对数标度图2.1：波动密度2。3.1经验证据图2.1强烈表明，IGa模型2.1虽然与Heston（四个参数κ、θ、λ、ρ）一样简洁，但能更好地描述已实现和隐含的市场波动。事实上，大量实证研究表明（2.1）型非有效随机波动率模型与其他可能的模型相比，尤其是与赫斯顿模型等有效模型相比，更具优势。我们可以将这些研究总结如下。在股票市场方面：oBouchaud and Potters[2003]（第7章）对标准普尔500指数在1990-2001年间的波动性进行了实证分析。波动率的分布由两种分布精确拟合：对数正态分布和逆伽马分布。总体而言，逆伽马分布提供了最好的结果，尤其是波动率分布的右尾（图7.7 p.118和7.8 p.119）。在讨论赫斯顿随机波动率模型的缺点时，作者明确表示，“波动率的经验分布更接近逆伽马分布，而不是伽马分布”（第143页）Gander和Stephens[2007]测试了在纽约证券交易所交易的14只股票的波动率的几种可能分布（稳定、广义逆高斯（包括伽马）、正双曲、逆高斯和逆伽马）。

研究表明，InverseGamma分布为期权定价提供了最好的工具Gatheral[2008]表明，双对数正态随机波动率模型（其中包含（2.1）作为特例）比双Heston模型更适合SPX和VIX期权，且参数稳定Christo Offersen等人[2010]在1996年至2004年间的标准普尔500指数收益率、波动率指数期权和OTM标准普尔500指数期权数据上显示，GARCH扩散模型（逆伽马方差）显著优于其他几个模型，包括赫斯顿模型和3/2模型。（他们只考虑波动性参数化（而非方差）dVt=κθV2a-1t-κV2a+1t-λV4b-3tdt+λV2b-1tdBt，不包含反伽马模型。）此外，Kaeck和Alexander[2012]表明，允许非有效动态（如（2.1））比包含跳跃更重要。特别是，增加一个单一模型，如带有跳跃的Heston模型，会导致一个随机波动率模型，该模型仍然显著低于一个更为节俭的非单一模型，如没有跳跃的GARCH模型最后，Ma和Serota[2014]分析了标准普尔100指数、标准普尔500指数和道琼斯工业平均指数的波动性，以及1990年至2014年间的波动率指数。他们表明，广义逆伽马分布（包含逆伽马分布）最适合波动性。在固定收益市场中：oFornari和Mele[2001]校准了1991年至1997年间意大利10年期政府债券期货合约的Power Arch模型。在三个不同的子样本上估计功率p。结果为0.86、0.99和1.19，非常接近IGa波动率（p=1）。特别是，GARCH扩散模型（p=2）被拒绝Fornari和Mele[2006]随后研究了一个略有不同的随机波动率模型，其类型为DVPT=κ（θ）- Vpt）dt+λVηptdBt，具有两个参数p和η。

他们将这两个参数与1973年至1995年间的3个月期美国国库券利率相匹配。他们的估计值^p=1.0326和^η=1.0014在统计学上与1（伽马反比波动率）无法区分。请注意，资产S的波动性术语（在这种情况下为利率）的形式为Vt√StdWt，与（2.1）不同。然而，他们指出，Vt | St | ddWt形式的波动性≥ 0.5（d=1时包含（2.1））不会显著改变他们的实证结果。除了更好的校准和更现实的波动率分布和波动率路径之外，suchas 2.1模型为隐含波动率面生成了更现实的动力学（Tataru和Fisher[2012]），这降低了套期保值损益中的跟踪波动率（Sepp[2015]），并极大地改进了投资组合配置（Hansis[2010]）。3快速期权定价的封闭式扩展在上一节中，有许多原因被证明支持非有效的逆格玛随机波动率模型，而不是有效的模型。然而，在实践中使用各种模型的主要原因不是它们的真实性，而是它们的可操作性。实际上，他们的傅里叶（或拉普拉斯）变换是封闭形式的，这使得通过逆变换定价成为可能。非有效模型（如IGa模型）的傅里叶变换没有封闭形式的解，这使得它们在先验上不易处理。在Sepp[2014]中，对（2.1）的矩生成函数提出了一种有效的矩匹配近似，使得通过逆变换定价成为可能。这种方法的优点是在匹配过程中也考虑了jumpscan。在这里，我们提出了一种更直接的方法，即对普通期权价格的波动率展开的封闭形式。与Sepp[2014]相比，我们的方法的主要优点是：o更简单。

如果要进行近似，直接近似价格比转换价格更直接、更直观。这也使得定价和后续校准更快无需力矩匹配。首先，将时刻与有效模型匹配可能会产生意想不到的问题（回想图2.1e）。其次，对于大多数随机波动率模型，对于大型到期日，大于1的动量不再存在（Andersen和Piterberg[2007]）。在Sepp[2014]中，作者建议不要超越二阶近似，因为只存在5个矩。我们的方法对近似的阶数没有这样的限制重要的是，我们的近似方法自然适用于时间相关参数。在下面的第3.1小节中，我们提供了具有时间相关参数（方程式（3.1））的逆伽马波动率（2.1）下欧洲看跌期权价格的封闭式展开式。该方法基于Benhamou等人[2010]开发的方法，适用于逆伽马模型，并扩展到依赖时间的κ。Benhamou等人[2010]将封闭形式的波动率扩展方法应用于具有时间相关参数的Heston随机波动率。它被证明是非常准确的，并且比傅立叶方法快得多。闭式展开式的系数由（与时间相关的）参数（方程式（3.5））的时间积分明确给出。重要的是，参数的时间演化的任何形状都可以处理。然而，在实践中，分段常数参数可以被视为丰富性和可处理性之间的良好折衷。因此，当模型参数为分段常数时，我们给出了系数（3.5）的通用递推公式。

这些通用递归易于实现，可用于将系数扩展到任意阶。最后，为了将我们的价格与另一种方法进行比较，并且由于转换方法不可用，我们解释了如何在IGa波动性下实施有效的蒙特卡罗方案来定价期权。3.1闭式展开图3.1。具有反伽马波动率的欧洲看跌期权价格PIGa=PIGa（S，K，T，rd，rf；κ，θ，λ，ρ）的二阶展开式由PIGa=PBS（x，ψT）+Xi=0ai，T显式给出i+1xiyPBS（x，ψT）+Xi=0b2i，T2i+2x2iyPBS（x，ψT）+E（3.1），x=log（S）v0，T=E-\'tκzdzv+^tκsθse\'sκzdzds！（3.2）ψT=^Tv0，tdt（3.3）a0，T=^Te\'s2κzdzλsv0，sds^Tse-\'t2κzdzdt（3.4）a1，T=2^Te的κzdzρsλsv0，sds^Tse-tκzdzv0，tdta2，t=2^Te的κzdzρsλsv0，sds^Ts2ρtλtv0，tdt^Tte-uκzdzv0，udu+2^Te的κzdzρsλsv0，sds^Tse的tκzdzρtλtv0，tdt^Tte-\'u2κzdzdub0，T=4^Te\'s2κzdzλsv0，sds^Tse-\'tκzdzv0，tdt^Tte-uκzdzv0，udub2，T=a1，T（3.5），其中PBS（x，y）=PBS（x，y；K，T，rd，rf）是具有现货Ex和积分方差y，PBS（x，y）=Ke的Black Scholes看跌期权价格-\'\'Trd（t）dtN√伊洛克-\'\'Trd（t）dtexe-\'\'Trq（t）dt+√Y-exe-\'\'Trq（t）dtN√伊洛克-\'\'Trd（t）dtexe-\'\'Trq（t）dt！-√Y（3.6）E是二阶展开式的误差项。证据附录C中提供了证明或扩展（3.1）。基于Benhamou等人[2010]中Hestonexpansion的证明，我们将其扩展到非常数κ，并适用于IGA模型。备注3.1。通过对定理3.1的证明进行修改，也可以很容易地为希腊人获得闭式展开式。更普遍地说，定理3.1中采用的方法可以适用于任何具有与时间相关参数的封闭形式Black-Scholes价格的期权，例如barrieroptions（Lo等人[2003]，Rapisarda[2003]）。3.2扩张系数的递推上述系数（3.5）表示为一般确定性参数（κt，θt，λt，ρt）0≤T≤T

在这一小节中，我们提出了一种显式递归算法来计算参数为分段常数时的系数。设T=0<T<T<··<TN=T是[0，T]的一个划分。现在我们假设参数在每个区间上是常数：（κt，θt，λt，ρt）：=（κi，θi，λi，ρi）T∈ [Ti，Ti+1[（3.7）3.2.1积分算子首先，我们递归定义以下积分算子ω（κ，l）t，t=^Tte\'uκzdzluduT∈ [0，T]（3.8）ω（κn，ln），。。。，（κ，l）t，t=ωκn，lnω（κn-1，ln-1),...,（κ，l）。，Tt、 tT∈ [0，T]（3.9）使用这种符号，价格扩展3.1的系数可以表示为：ψT=ω（0，v0，.）0，Ta0，T=ω（2κ，λv0，），(-2κ，1）0，Ta1，T=2ω（κ，ρλv0，），(-κ、 v0，）0，Ta2，T=2ω（κ，ρλv0，），（0,2ρλv0，），(-κ、 v0，）0，T+2ω（κ，ρλv0，），（κ，ρλv0，），(-2κ，1）0，Tb0，T=4ω（2κ，λv0，），(-κ、 v0，），(-κ、 v0，）0，T（3.10）3.2.2递归集l，l，l。必须是确定性函数。当这些函数是分段常数时，lk（t）：=lk，i，t∈ [Ti，Ti+1[，k=1，2，…，那么在Ti+1时刻的下列积分算子可以表示为在Ti时刻积分算子的函数：ω（nκ，lvp0，.）0，Ti+1=ω（nκ，lvp0，）0，Ti+en0，Til1，iа（n，0，p）Ti，Ti+1（3.11）ω（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，）0，Ti+1=ω（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，）0，Ti+ω（nκ，lvp0，）0，Tien0，Til1，iа（n，0，p）Ti，Ti+1+en+n0，Til2，il1，iа（n，0，p），（n，0，p）Ti，Ti+1（3.12），对应于Def。5.1在Benhamou等人[2010]中，扩展到非常数κω（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，）0，Ti+1=ω（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，）0，Ti+ω（nκ，lvp0，），（nκ，lvp0，）0，Tien0，Til1，iа（n，0，p）Ti，Ti+1+ω（nκ，lvp0，.）0，Tien+n0，Til2，il1，iа（n，0，p），（n，0，p）Ti，Ti+1+en+n+n0，Til3，il2，il1，iа（n，0，p），（n，0，p），（n，0，p）Ti，Ti+1（3.13）等等，其中n，n，n。p，p，p。

是整数e0，t=e′tκzdz，对于所有Ti≤ T≤ Ti+1，~n的定义如下：^（n，m，p）t，Ti+1=^Ti+1tenKsTiκzdzγ（s）mvp0，sds=^Ti+1tenκiTiγ（s）γ（s）mvp0，sds~n（nk，mk，pk），··，（n，m，p）t，Ti+1=^Ti+1tenk’sTiκzdzγ（s）mkvpk0，s~n（nk-1，mk-1，主键-1） ，·，（n，m，p）t，Ti+1ds=^Ti+1tenkκiTiγ（s）γ（s）mkvpk0，sа（nk）-1，mk-1，主键-1） ，·，（n，m，p）t，Ti+1dswhereγ（s）=s-钛蒂维思Ti=Ti+1- Ti和n，m，p，nk，mk，pk是整数。应注意的是，当参数为分段常数（方程式（3.7））时，可通过递归显式计算出φ。定义κi=κi+1-κi，θi=θi+1-θi，λi=λi+1-λ土地ρi=ρi+1-ρi，设t∈ [Ti，Ti+1]。

然后v0，t=θi+（v0，Ti- θi）e-κiTiγ（t），并且，使用、基本积分和部分积分的定义，以下递归保持（n，m，p）t，Ti+1=θi~n（n，m，p）-1） t，Ti+1+（v0，Ti- θi）ν（n）-1，m，p-1） t，Ti+1p>0蒂姆+11.- γ（t）m+1n=0，p=0enκi钛-enκiTiγ（t）nκin6=0，m=0，p=0enκi钛-γ（t）menκiTiγ（t）nκi-mnκiTi~n（n，m）-1,0）t，Ti+1n6=0，m>0，p=0，对于每个整数k>1:~n（nk，mk，pk），（nk-1，mk-1，主键-1） ，·，（n，m，p）t，Ti+1=θi~n（nk，mk，pk）-1） ，t，Ti+1+（v0，Ti- θi）ν（nk）-1，mk，pk-1） t，Ti+1pk>0-Timk+1γ（t）mk+1а（nk）-1，mk-1，主键-1） ，t，Ti+1+Timk+1~n（北卡罗来纳州）-1，mk+mk-1+1，主键-1） ，t，Ti+1nk=0，pk=0-恩克κiTiγ（t）nkκiа（nk-1，mk-1，主键-1） ，···t，Ti+1+nkκiа（nk+nk-1，mk-1，主键-1） ，t，Ti+1nk6=0，mk=0，pk=0-恩克κiTiγ（t）nkκiPmkj=0γ（t）jmk！J-1nkκi钛mk-J~n（nk）-1，mk-1，主键-1） ，··t，Ti+1+nkκiPmkj=0mk！J-1nkκi钛mk-j~n（nk+nk）-1，mk-1+j，pk-1） ，··t，Ti+1nk6=0，mk>0，pk=0所有这些方程都能有效地计算任意整数（n，m，p）的φ（nk，mk，pk），··，（n，m，p）Ti，Ti+1，从而实现积分递归（3.11），（3.12）和（3.13），当随机波动率模型的参数为分段常数时，可以显式计算膨胀系数（3.10）。3.3蒙特卡罗在IGa随机波动率模型下，计算欧洲看跌期权价格的一种明显的替代方法是蒙特卡罗方法。使用表达式piga（x，v）=E“PBSx+^TρtVtdBt-^T（ρtVt）dt，^T1.- ρtVtdt！#，（参见方程式（C.4）），只需要对波动性进行模拟。

然后，可以利用逆伽马扩散的强解（Zhao[2009]）Vt=ZtV+^tκsθsZsds其中Z是几何布朗运动dzt=κt+λtZtdt- λtZtdBtie。Zt=exp^tκs+λsds-^tλsdBs,推导以下无条件稳定的离散化方案（Kahl and Jackel[2006]中称为“路径自适应线性化”）←κtn+λtntn- λtnBnVtn+1← Vtne-δn+κtnθtn1- E-δnδn其中0=t≤ . . . ≤ tn≤ . . . ≤ tN=T是区间[0，T]的时间离散化，其中tn:=tn+1- 特南德Bn:=Btn+1- 顺便说一句。该方案特别保证了V的路径是正的。4数值试验本节对本文提出的快速定价方法进行了数值试验。InverseGamma随机波动率模型将使用定价公式（3.1）根据市场数据进行校准。将使用三套外汇数据集，详见第4.1小节。对于每个测试案例，我们将提供隐含波动率表面的校准误差和扩展误差（第4.2小节）。4.1数据集这里提供了三套完整的外汇市场数据，以便进行基准测试。我们提供了用于隐含波动率表面的冲击，以及每个到期日的等效恒定利率（恒定利率要求（T）相当于时间相关利率r（T），0≤ T≤ T由需求（T）定义：=T\'Tr（T）dt）。第4.2小节（表4.4、4.5和4.6）将提供相应的市场隐含波动率表面，以及相应的校准误差和扩展误差。

此处引用的所有数字均已四舍五入。4.1.1第1套：2014年6月17日澳元/美元（S=0.9335）罢工率达到10台Put 25台ATM 25通话10台国外国内1M 0.9103 0.9233 0.9356 0.9469 0.9572 1M 2.80%0.21%3M 0.8906 0.9168 0.9401 0.9605 0.9795 3M 2.89%0.31%6M 0.8664 0.9100.9469 0.9780 1.0078 6M 3.03%0.45%1Y 0.8322 0.9027 0.9 1.0096 1.056 1美元市场数据表，2014年6月17日44.1.2第二组：美元/日元2014年6月11日（S=102.00）罢工率在10台Put 25台Put ATM 25通话10台Call Mat国外国内1M 99.78 100.88 101.99 103.09 104.16 1M 0.20%-0.04%3M 97.47 99.77 101.98 104.15 106.31 3M 0.29%0.07%6M 94.75 98.47 102.00 105.46 109.06 6M 0.40%0.16%1Y 90.04 96.34 102.01 107.67 114.06 1Y 0.52%0.21%表4：市场数据，美元/日元，6.adadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadad0.19.19%0.19%0.19%0 0.19%0.19%3.19%0.19%3.19%3.19%3.19%3 3 3）3 3 3 3 3.3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3.3 3.3.3）3 3 3 3 3）3 3 3.3 3 3 3 3 3 3 3.3 3 3 3 3 3 3.3 3.3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0.57%表格4.3：市场数据，USDSGD，2014年9月4日我们的实证分析表明，这三个数据集代表了模型和扩展的市场数据行为。特别是，我们的经验发现对于每个数据集都是相似的，因此我们只给出了三个例子，因为提供更多的例子并不能提供更多的额外信息。4.2校准使用闭式展开（3.1），我们可以分别将逆伽马模型校准到三个市场数据集。校准四个（分段常数）随机参数κ、θ、λ和ρ，以及初始波动率V。该校准过程可通过隐含波动率校准误差进行评估。