转向非仿射随机波动率：一个封闭形式的扩展

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英文标题：
《Switching to non-affine stochastic volatility: A closed-form expansion
  for the Inverse Gamma model》
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作者：
Nicolas Langren\\\'e, Geoffrey Lee, Zili Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper introduces the Inverse Gamma (IGa) stochastic volatility model with time-dependent parameters, defined by the volatility dynamics $dV_{t}=\\kappa_{t}\\left(\\theta_{t}-V_{t}\\right)dt+\\lambda_{t}V_{t}dB_{t}$. This non-affine model is much more realistic than classical affine models like the Heston stochastic volatility model, even though both are as parsimonious (only four stochastic parameters). Indeed, it provides more realistic volatility distribution and volatility paths, which translate in practice into more robust calibration and better hedging accuracy, explaining its popularity among practitioners. In order to price vanilla options with IGa volatility, we propose a closed-form volatility-of-volatility expansion. Specifically, the price of a European put option with IGa volatility is approximated by a Black-Scholes price plus a weighted combination of Black-Scholes greeks, where the weights depend only on the four time-dependent parameters of the model. This closed-form pricing method allows for very fast pricing and calibration to market data. The overall quality of the approximation is very good, as shown by several calibration tests on real-world market data where expansion prices are compared favorably with Monte Carlo simulation results. This paper shows that the IGa model is as simple, more realistic, easier to implement and faster to calibrate than classical transform-based affine models. We therefore hope that the present work will foster further research on non-affine models like the Inverse Gamma stochastic volatility model, all the more so as this robust model is of great interest to the industry.
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中文摘要：
本文介绍了由波动动力学$dV_{t}=\\kappa_{t}\\ left（\\theta_{t}-V_{t}\\ right）dt+\\lambda_{t}V_{t}dB_{t}$定义的具有时变参数的逆伽马（IGa）随机波动模型。这种非仿射模型比经典的仿射模型（如赫斯顿随机波动率模型）更为现实，尽管两者都非常简洁（只有四个随机参数）。事实上，它提供了更现实的波动率分布和波动路径，在实践中转化为更稳健的校准和更好的套期保值准确性，解释了它在从业者中的流行性。为了对具有IGa波动率的普通期权定价，我们提出了波动率扩张的封闭形式波动率。具体而言，具有IGa波动性的欧洲看跌期权的价格由Black-Scholes价格加上Black-Scholes指数的加权组合来近似，其中权重仅取决于模型的四个时间相关参数。这种封闭式定价方法允许非常快速的定价和市场数据校准。近似值的总体质量非常好，在真实市场数据上进行的几次校准测试表明，在这些数据中，扩展价格与蒙特卡罗模拟结果进行了比较。本文表明，IGa模型比经典的基于变换的仿射模型简单、更真实、更容易实现和更快地校准。因此，我们希望，目前的工作将促进对非仿射模型的进一步研究，如逆伽马随机波动率模型，更重要的是，这个稳健的模型是业界非常感兴趣的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Switching_to_non-affine_stochastic_volatility:_A_closed-form_expansion_for_the_I.pdf (924.82 KB)

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关键词：波动率 Quantitative parsimonious Applications distribution

转向非有效随机波动率：逆伽马模型的封闭形式扩展Nicolas Langrené英联邦科学和工业研究组织实物期权和金融风险Nicolas。langrene@csiro.auGeo联邦科学和工业研究组织实物期权和金融风险杰弗里。lee@csiro.auZili联邦科学和工业研究机构实物期权和金融风险。zhu@csiro.auFirst版本：2015年7月8日修订版：2016年3月18日摘要本文介绍了具有时间相关参数的逆伽马（IGa）随机波动率模型，由波动率动力学dVt=κt（θt）定义- Vt）dt+λtVtdBt。这种非有效模型比经典的有效模型（如Heston随机波动率模型）更为现实，尽管两者都非常简约（只有四个随机参数）。事实上，它提供了更现实的波动率分布和波动路径，在实践中转化为更稳健的校准和更好的套期保值准确性，解释了它在从业者中的流行性。为了对具有IGa波动率的普通期权进行定价，我们提出了波动率扩张的封闭形式。具体而言，具有IGa波动性的欧洲看跌期权的价格近似为aBlack-Scholes价格加上Black-Scholes希腊组合的加权值，其中权重取决于模型的四个时间相关参数。这种封闭式定价方法允许非常快速的定价和市场数据校准。

正如对真实世界市场数据进行的几次校准测试所显示的那样，近似值的总体质量非常好，在这些数据中，扩展价格与蒙特卡罗模拟结果进行了比较。本文表明，IGa模型与经典的基于变换的模糊模型一样简单、更真实、更易于实现和更快地进行校准。因此，我们希望，目前的工作将促进对非有效模型的进一步研究，如逆伽马随机波动率模型，更重要的是，这个稳健的模型是业界非常感兴趣的。关键词：随机波动率，逆伽马，波动率扩展，封闭式定价，对数正态，均值回复萨布杰尔分类：G13，C63，C51，C32，C16，F31，MSC分类：91G60，41A58，65C201简介银行业，尤其是在股票和外汇方面，目前正在经历从赫斯顿模型等有效随机波动率模型的转变，以及非有效随机波动率模型，如逆伽马模型。非有效随机波动率模型已被用于产生更现实的波动率路径和波动率分布，更准确地捕捉市场隐含波动率表面的动态，并产生更可靠的校准，从而降低delta套期保值损益的已实现波动率。到目前为止，尽管经验不足，但有效模型的流行还是源于一点：可操作性。事实上，与非有效模型相比，有效模型通过转换方法为普通期权价格提供了准闭式公式。本文的目的是通过提出一种非有效随机波动率模型的快速定价方法来解决这个问题。

更准确地说，我们在非有效的反Gammastochastic波动率模型下开发了香草期权价格的封闭式展开式，由波动动力学dVt=κt（θt）定义- Vt）dt+λtVtdBt。实现这种新的封闭式扩展非常简单，定价速度也很快。事实上，封闭形式的扩展方法比用于有效模型的转换方法简单得多，速度也快得多。此外，我们的方法被设计成自然地处理与时间相关的参数。模型参数项结构的这种自由度使得各种成熟度的校准过程更加容易。我们在几个外汇市场数据集上说明了这种封闭形式展开方法的准确性。该方法的速度和准确性使其非常适合工业应用。通过快速校准程序生成的参数可用于在IGA随机波动率下直接定价和对冲期权，但也可用于校准更一般的局部随机波动率模型。论文组织如下：o第2节定义了逆伽马随机波动率模型，讨论了文献中的类似模型，并讨论了逆伽马模型相对于其他经典单因素随机波动率模型的优势第3节给出了逆伽马随机波动下欧式期权价格波动率展开的封闭形式。此外，我们还提供了一种算法，可以轻松计算分段常数参数的展开系数，从而实现快速校准第4节对外汇市场数据（澳元/美元、美元/日元、美元/新加坡元）的方法进行了几次数值测试。

在每个例子中，逆伽马模型被校准到整个隐含波动率表面，并将扩张价格与蒙特卡罗价格进行比较。这使我们能够评估校准误差和扩展误差第5节总结了提出的方法，并提供了我们在该领域未来工作的一些计划。2逆伽马随机波动率模型本节定义了逆伽马随机波动率模型，并讨论了其性质。在本文中，我们使用特定于外汇（即国内和国外利率）的符号，但请注意，该模型本身并不限于外汇应用，当然也可以用于其他市场（股票、固定收入等）。2.1定义注：汇率及其在时间t和时间范围t的瞬时波动率。具有时间相关参数的逆伽马（IGa）随机波动率模型的动力学由DST=（rd（t）给出- rf（t））Stdt+vtstdvt=κt（θt- Vt）dt+λtVtdBt（2.1）d hW，位=ρtdtwhere（Wt，Bt）0≤T≤这是一个二维相关布朗运动，rd=（rd（t））0≤T≤这是国内利率，rf=（rf（t））0≤T≤这是国外利率。有四个确定性参数：oκ=（κt）0≤T≤这是波动率平均回复到θ水平的速率θ=（θt）0≤T≤这是波动率的平均回归水平λ=（λt）0≤T≤这就是波动的波动性ρ=（ρt）0≤T≤这是基础S各自的布朗运动与其波动性V之间的相关性。当参数保持不变时，波动率（2.1）由反伽马过程驱动，产生波动率平稳分布的反伽马分布（cf。

附录A.2）。因此，我们将该模型表示为具有时间相关参数的逆伽马随机波动率模型（简称IGa模型）。2.2文献中提出的几类随机波动率模型中的IGa模型将具有常数参数的IGa模型作为特例。为了简化比较，我们对每一类的参数（κ、θ、λ、ρ）使用相同的符号，并从底层的动力学中去除漂移项幂拱（或PARCH）随机波动率模型（Fornari和Mele[2001]），dSt=VtStdWtdVpt=κ（θ- 当p=1时，Vpt）dt+λVptdbt对应于IGa随机波动率模型。请注意，p=2对应于GARCH扩散模型（参见表2.1）双对数正态随机波动率模型（Gatherel[2007,2008]，Henry Labordère[2009]）及其两个协整方差因子：dSt=pVtStdWtdVt=κ及物动词- 及物动词dt+λVtdBt（2.2）dVt=κθ -及物动词dt+λvtdb与布朗运动W，B和B之间的相关性。

事实上，IGa模型的方差公式可以重新表述为：dSt=pVtStdWtdVt=2κθVt-2κ - λ及物动词dt+2λvtdbdvt=κθ -及物动词dt+λvtdbth是双对数正态随机波动率的特例，nb和B之间有100%的相关性。另见附录B.oλ-SABR模型（Henry Labordère[2008]第6章），也称为均值回复SABR:dSt=VtSβtdWtdVt=κ（θ- Vt）dt+λVtdBtOne可以看出，IGa模型对应于情况β=1，这与情况β=1/2一起，在实践中经常被考虑（例如，见Shiraya和Takahashi[2011]或Shiraya和Takahashi[2014]）Ma和Serota的广义逆伽马（GIGa）随机波动率模型[2014]：dSt=VtStdWtdVt=κθV1-γt- 及物动词dt+λvtdbt特例γ=1对应于波动性的IGa差异最后，文献中与（2.1）最接近的模型是Sepp[2014,2015]的所谓“对数正态贝塔随机波动率模型”：dSt=VtStdWtdVt=κ（θ）- Vt）dt+βVtdWt+εVtdBt（2.3）d hW，Bit=0该模型（2.3）实际上相当于逆伽马模型（2.1），就好像W和B是相关的布朗运动（具有相关ρ），那么B=ρW+p1- ρW⊥W在哪里⊥是另一个布朗运动，独立于W。因此（2.3）相当于（2.1），β=λρ，ε=λp1- ρ.

例如，典型的股权案例β≈ -1和ε≈ Sepp[20142015]中提到的1对应于波动率λ的波动率=√2.≈ 1.41和相关系数ρ=-1/√2.≈ -0.71.包含IGa模型的其他随机波动性类别包括dVt=κ（θ- Vt）dt+λVηtdBt（Jerbi[2011]，η=1时的IGa）和一般dVt=q（t）增值税- s（t）Vbtdt+l（t）Vγ+1tdBt（Itkin[2013]，当q≡ κθ，s≡ κ、 l≡ λ、 a=0，b=1，尽管他们关注的是当a=1和b=2γ+1时可以导出的闭合形式，这不包括IGa模型）。该模型列表确实表明，IGa模型（2.1）是建立波动性模型的合理和可靠的基础，但目前尚不清楚节约地丰富模型的最有效方法。这个问题留给未来的研究，本文的其余部分将集中于IGa模型（2.1）。2.3其他模型随着时间的推移，文献中已经提出了许多随机波动率模型。表2.1回顾了一些经典的单因素随机波动率模型，这些模型具有均值回归和波动率与常数参数下的相关性。

为了便于与IGa模型进行比较，给出了波动率和方差公式。用我们的符号更准确地描述为κ- SABR模型。d hW，Bit=表2.1中所有模型中的ρdt名称波动率公式方差公式St=（rd- rf）Stdt+VtStdWtdSt=（rd）- rf）Stdt+√VtStdWtSch"obel ZhudVt=κ（θ）- Vt）dt+λdBtdVt=λ+ 2κθ√及物动词- 2κVtdt+2λ√VtdBtHestondVt=hκθ-λiVt-κVtdt+λdBtdVt=κ（θ）- Vt）dt+λ√VtdBt3/2-modeldVt=κθVt-hκ+λiVtdt+λvtdbdvt=κθVt- 及物动词dt+λVtdBtLog-Normal4,5dVt=hκθ+λiVt- κVtlog（Vt）dt+λvtdbdvt=κθ+λ及物动词- κVtlog（Vt）dt+2λVtdBtGARCHdVt=κθVt-hκ-λiVtdt+λvtdbdvt=κ（θ- Vt）dt+λVtdBtInverseGammadVt=κ（θ）- Vt）dt+λvtdbdvt=2κθ√及物动词-2κ - λ及物动词dt+2λVtdBtTable 2.1：单因素随机波动率模型在表2.1中列出的模型中，Sch"obel Zhu和Heston的模型是有效的，这意味着可以明确计算原木价格的傅里叶变换。由于其易处理性，有效模型在文献中受到了大量关注，而非有效随机波动率模型则受到了关注。不幸的是，实证分析表明，非有效模型更能描述市场波动的动态。让我们通过比较赫斯顿模型和逆伽马模型来说明这一点。图2.1显示了Heston和反向Gammamodels下波动率的平稳分布，具有相同的平均值（0.30）和相同的标准偏差（图2.1a和2.1b为0.08，图2.1c和2.1d为0.16，图2.1e和2.1f为0.24）。一方面，表2.1（Sch"obel Zhu，Heston）中的净模型中的波动率分布具有短右尾，而在非净模型（3/2模型、对数正态、GARCH和逆伽马）中，它具有更真实的长右尾。

图2.1b、2.1d和2.1f（对数刻度）说明了赫斯顿和逆伽马之间的差异。赫斯顿波动率的右尾比IGa波动率的右尾下降更快，因此总有一个波动率水平，在这个水平上，赫斯顿波动率永远低于IGa波动率。用非有效模型也可以更好地描述左尾。例如，在Heston模型中，如果参数（κ、θ、λ、ρ）不满足Feller条件（2κθ/λ>1），波动率可以达到零。从图2.1a和图2.1b（2κθ/λ=3.63）到图2.1c和图2.1d（2κθ/λ=0.96）到图2.1e和图2.1f（2κθ/λ=0.49），可以看出这种情况对左尾的影响。人们可以清楚地看到，分布是如何堆积到接近于零的位置，以至于零成为波动性的最可能值（图2.1e）。不幸的是，Feller条件在实践中几乎总是被违反（Clark[2011]、da Fonseca and Grasselli[2011]、Ribeiro and Poulsen[2013]、…），这意味着图2.1代表了赫斯顿模型在真实数据上的正常行为。Sch"obel and Zhu[1999]Heston[1993]Lewis[2000]Wiggins[1987]更自然的定义是dSt=（rd- rf）Stdt+EVTSTDWT，dVt=κ（θ）- Vt）dt+λdBt。