分位数相关性：揭示金融市场的时间依赖性

其优点是，它为不同的概率对提供了一个更完整的画面，同时警告只显示一个滞后。2007年标准普尔500指数所有股票的结果（对应于图2）如图3所示，滞后时间分别为120秒、600秒、1200秒和3600秒。重要的是，这些图还包含相应负滞后的信息，因为如果我们交换概率（α，β）→ （β，α）在方程（2.4）中，滞后轴也会改变其符号l→ -l、 2021 9月7日（0.05，0.05）左右的小概率峰值13:47 WSPC/指令文件rankFigure数据集年份A1 ANF 2007 8%1 ANF 2008 5%2 SP500 2008 11%2 SP500 2008 5%4指数2007 19%4指数2008 6%7 GJR-GARCH 2007 7%7 GJR-GARCH 2008 1%8 GJR-GARCH 2007 4%8 GJR-GARCH 2008 1%表1。标准化差异A在（0.05,0.95）分位数的情况下，曲线下的面积。（0.95,0.95）附近的大概率是清晰可见的，并且衰减为较大的滞后。我们还观察到图的左侧和右侧概率α6=β的不对称性。在地块边缘的正负峰周围，我们观察到类似高原的区域。对于图4，我们计算了所有股票的均匀加权指数。我们观察到（0.05,0.95）分位数的不对称性变得更加明显。这种行为与Reigneronet等人（2011）研究的“相关性杠杆效应”有关。作者发现，指数的波动性由单个股票的波动性和这些股票之间的平均相关性组成，这导致指数的杠杆效应更强。然而，与图2.3.2相比，反相关的绝对值较小。GARCH过程图5显示了GARCH家族三个典型过程的基于分位数的相关函数。

对于这三种情况，我们都使用（1,1）阶的GARCH过程，请参见Bollerslev（2008）的综述。GARCH收益率由εt=σtzt（3.4）建模，其中zt是随机部分，即从强白噪声过程中提取的随机变量和条件方差σtareσt=ω+αεt-1+βσt-1，（3.5）其中ω、α和β是系数。EGARCH（1,1）根据对数σt=ω+α（|zt）对对数方差进行建模-1| - h | zt-1 | i）+γzt-1+βlogσt-1（3.6）和不对称参数γ。最后，GJR-GARCH（1,1）使用σt=ω+αεt-1+γεt-1I（εt）-1<0）+βσt-1（3.7）2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件秩（a）120秒的滞后（b）600秒的滞后（c）1200秒的滞后（d）3600秒的滞后。3.根据2007年标准普尔500指数中479只股票计算的固定滞后的平均分位数相关函数，用于四个不同的滞后。用指示函数I（·）表示条件方差。我们尽可能为所有过程选择相同的参数，ω=0.00001，α=0.05，β=0.9，漂移u=0.001。对于EGARCH和GJR GARCH，我们选择一个不对称参数γ=-分别为0.06和γ=0.06。不对称参数的不同符号是由于EGARCH和GJR-GARCH的构造。我们强调，选择参数是为了接收分位数相关性的显著特征。将在以下章节中研究将过程与经验数据进行拟合。根据9月7日的文献和rugarch套餐（Ghalanos 2014），2021 13:47 WSPC/指令文件秩-0.04-0.020.00.020.04-0.04-0.020.04corr-0.04-0.020.020.04corr-0.04-0.020.020.04corr-4000-2000 0 2000 4000秒滞后-2000 0 2000 4000秒滞后α=0.05β=0.05α=0.05β=0.5α=0.5α=0.05β=0.95α=0.95β=0.95α=0.5β=0.5β0.95图。4.

根据标准普尔500指数计算的2007年（黑色）和2008年（灰色）等权指数的分位数相关函数。R、 我们用α和β表示GARCH参数，并且不会将它们与（α，β）分位数的概率混淆。经典的GARCH过程（灰色）在设计上是对称的。毫不奇怪，我们没有观察到明显的不对称。我们选择了经典GARCH的两个常见修改，EGARCH（黑色）和GJR-GARCH（虚线），它们还有一个额外的不对称参数。GARCH过程只显示了大量正回报的聚集，而小负回报则没有相关性。对于（0.05,0.95）分位数，只有正滞后显示负相关，而负滞后显示零相关。GJR-GARCHshows对（0.05,0.95）分位数的大量负收益和正收益以及不对称非零相关性进行了聚类。这种不对称性在（0.05,0.05）和（0.95,0.95）分位数基于分位数的相关函数的绝对高度中也可以观察到。这里，基于分位数的（0.5,0.5）分位数相关性实际上是，2021 13:47 WSPC/指令文件秩-0.08-0.040.00.040.08corr-0.08-0.040.040.08-0.040.00-0.040.040.08corr-0.08-0.040.00.040.08-0.040.08corr-100-100-100-100-100-100-100-100-100 5α=0.5β=0.5α=0.05β=0.95α=0.95β=0.95α=0.5β=0.95图。5.三个随机过程的分位数相关函数GARCH（灰色）、GJR-GARCH（虚线）和EGARCH（黑色）。返回符号的关系，因为GARCH过程的创新来自正态分布。因此，收益分布是对称的，基于分位数的相关函数为零。在图6中，我们给出了两个固定滞后的GJR GARCH和EGARCH的概率图。

虽然GJR-GARCH从质量上保证了整体形状相当好，但我们发现EGARCH的外观存在显著差异。然而，GJR-GARCH并没有揭示我们所看到的标准普尔500指数股票平均水平的平台状结构。GJR-GARCH曲线图显示了（0.05,0.05）和（0.95,0.95）概率周围的峰值，以及（0.05,0.95）概率周围的不对称性。相比之下，EGARCH在（0.95,0.05）概率周围有一个正峰值，在（0.05,0.05）概率周围有一个负峰值。虽然非对称GARCH过程确实表现出非对称行为，但在非常小和非常大的返回相关中，分位数相关函数2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件秩（a）GJR-GARCH，l=2步（b）GJR-GARCH，l=10步（c）EGARCH，l=2步（d）EGARCH，l=10步SFIG。6.图5所示GJR-GARCH和EGARCH过程计算的固定滞后分位数相关函数。请注意，我们对GJR-GARCH和GARCH使用不同的量表，以更好地显示其特征。揭示与经验数据的差异。对于（0.05,0.5）和（0.5,0.95），GJRGARCH和EGARCH分别显示出正性和负性的非零行为。此外，EGARCH仅显示（0.05,0.95）分位数正滞后的非零相关性。3.2.1. 根据前一节中的讨论拟合每一天，我们认为GJR-GARCH是描述实证数据的三个过程中的最佳候选者。因此，2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件rank-0.04-0.020.00.020.04-0.04-0.020.00.020.04corr-0.04-0.020.020.04corr-0.04-0.020.00.020.04corr-4000 2000 0 2000 4000秒滞后-4000 2000 0 2000 0 4000秒滞后α=0.05β=0.05α=0.05α=0.5β=0.5α=0.05β=0.95β=0.95α=0.5β=0.95图。7.

GJR-GARCH的分位数相关函数适用于2007年（黑色）和2008年（灰色）等权重标准普尔500指数的每个交易日。将GJR-GARCH模型与标准普尔500指数在2007年和2008年的每个交易日的平均加权指数进行比较。每年产生250个单独的参数集（u、ω、α、β、γ）。对于每个参数集，我们模拟一个时间序列并计算分位数相关函数。图7显示了2007年和2008年的平均值。然而，这种方法不会产生与指数实证结果一致的结果，见图4。我们观察到（0.05,0.05），（0.95,0.95）和（0.05,0.95）概率的分位数相关函数的衰减要慢得多。2007年的不对称性较小，曲线下面积的标准化差异为7%，而指数的标准化差异为19%，2008年的标准化差异可忽略不计（1%）。对于（0.05,0.5）和（0.5,0.95）概率，我们发现衰变的程度至少与2007年的经验数据相似。然而，分位数相关函数的定性形状与经验数据不一致。该测试是在2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件rankwhich将时间序列从22200个条目缩短为370个条目的非重叠一分钟回报上进行的。我们推测，初始时间序列太短，这会导致在某些日期出现不准确和不切实际的参数集，从而使结果产生偏差。3.2.2. 平均参数第一种方法，即我们使用250个时间序列，这些时间序列是通过每天拟合获得的单个参数集生成的，并不能提供令人满意的经验数据一致性。在这里，我们通过对前一节中的250个参数集进行平均，为每年生成一个参数集，然后分别模拟这两个参数集的250个时间序列。

我们计算每个时间序列的分位数相关函数-0.04-0.020.00.020.04-0.020.00.020.04corr-0.04-0.020.020.04corr-0.04-0.020.00.020.04corr-4000-2000-2000-4000秒滞后α=0.05β=0.05α=0.05β=0.5α=0.5α=0.05β=0.95α=0.95β=0.95β=0.95Fig。8.GJR-GARCH过程的分位数相关函数，根据2007年（黑色）和2008年（灰色）等权标准普尔500指数的平均参数集进行模拟。并对结果进行平均。2007年，我们发现u=-0.0008，ω=0.0009，α=0.0527，β=0.8986，γ=0.0218。2008年，我们发现u=-0.0026，ω=0.0667，α=2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件rank0。0484，β=0.9191，γ=0.0025。至少在2007年，我们能够收到在绝对规模上相当好地再现经验数据的结果。然而，westill将观察到质量差异，尤其是（0.05,0.5）和（0.5,0.95）概率。这种不对称性显而易见，我们发现正滞后和负滞后之间的标准化差异为4%。与2007年相比，2008年我们获得了一个十倍于2007年的小对称参数γ。由于不对称参数在交易日之间可以是负的或正的，它们可以补偿到接近零的水平。因此，我们观察到2008年没有明显的不对称。两种将GJR-GARCH与日内实证数据进行拟合的方法都未能获得令人满意的结果。4.结论分位数相关函数给出了基本时间序列中时间相关性的详细图像。

它提供的信息超出了绝对收益或平方收益的自相关性，并揭示了滞后相关性中的不对称性，这些相关性与杠杆效应有关。除了用于分析经验时间序列之外，它还是一个强大的工具，用于发现从随机过程中获得的时间序列中的细微差异，这些随机过程旨在重现某些特征。作为一个例子，我们研究了具有不对称参数的GARCH族的两个随机过程，发现与经验数据相比存在差异。复制收益时间序列的所有时间特征对于实现更好的波动性预测至关重要。Martens等人（2009）发现，考虑杠杆效应可以显著改善样本外波动率预测。Corsi和Ren`o（2012）分析了GJR-GARCH的一个变量，并进一步支持纳入不对称性的重要性。Hansen和Lunde（2005）注意到，GARCH（1,1）过程明显不如tomodels，后者解释了股票波动性预测的杠杆效应。就汇率而言，他们没有发现任何证据表明GARCH（1,1）模型优于更复杂的模型。大量研究表明，对于哪个随机过程会产生最佳的金融数据波动率预测，没有明确的答案，请参见Poon和Granger（2003）的详细回顾。特别是，对于EGARCH或GJR GARCH是否表现最好，目前尚无共识，例如Bluhm和Yu（2001）。结果在很大程度上取决于所考虑的数据集、时间范围、测试程序和fit的稳定性。分位数相关函数提供了一种手段，可以进一步研究不同数据集出现这些偏差结果的原因。

研究每一个随机过程超出了本文的范围，参见Bollerslev（2008）对GARCH型过程的概述。然而，我们提醒读者使用分位数相关函数来更详细地研究他最喜欢的随机过程及其时间依赖性。一般来说，分位数相关函数可以作为检验随机过程和经验时间序列之间一致性的敏感工具。2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件rank5。感谢德国研究基金会（DFG）的合作研究中心“非线性动态过程的统计建模”（SFB 823，TeilprojektA1和C1）部分支持了H.Dette的工作。2021 9月7日13:47 WSPC/INSTRUCTION FILE rankReferencesYacine Ait-Sahalia，Fan Jianqing，and Yingying Li。杠杆效应之谜：解开高频偏差的来源。《金融经济学杂志》，109（1）：224–2492013。A.Cevdet Aydemir、Michael Gallmeyer和Burton Holli field。财务杠杆不会导致杠杆效应。AFA 2007芝加哥会议论文，2006年。菲舍尔·布莱克。股票价格波动变化的研究。1976年《美国统计协会1976年会议记录》，商业和经济统计部分，第177-181页。黑根·布卢姆和余军。预测波动性：来自德国股市的证据。2001年，蒂姆·博勒斯列夫。广义自回归条件异方差。《经济计量学杂志》，31:307-3271986。蒂姆·博勒斯列夫。从词汇表到ARCH（GARCH）。创建研究论文，492008年。皮埃尔·齐佐、刘延辉、马丁·迈耶、彭志强和H·尤金·斯坦利。标准普尔500指数的波动性分布。Physica A，245:441–445，1997年。彼得·K·克拉克。投机价格的有限方差从属随机过程模型。

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