分位数相关性：揭示金融市场的时间依赖性

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英文标题：
《Quantile Correlations: Uncovering temporal dependencies in financial
  time series》
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作者：
Thilo A. Schmitt, Rudi Sch\\\"afer, Holger Dette, Thomas Guhr
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We conduct an empirical study using the quantile-based correlation function to uncover the temporal dependencies in financial time series. The study uses intraday data for the S\\&P 500 stocks from the New York Stock Exchange. After establishing an empirical overview we compare the quantile-based correlation function to stochastic processes from the GARCH family and find striking differences. This motivates us to propose the quantile-based correlation function as a powerful tool to assess the agreements between stochastic processes and empirical data.
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中文摘要：
我们使用基于分位数的相关函数进行了实证研究，以揭示金融时间序列中的时间依赖性。这项研究使用了纽约证券交易所标准普尔500指数的日内数据。在建立了一个实证综述之后，我们将基于分位数的相关函数与GARCH家族的随机过程进行了比较，发现了显著的差异。这促使我们提出基于分位数的相关函数，作为评估随机过程和经验数据之间一致性的有力工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Quantile_Correlations:_Uncovering_temporal_dependencies_in_financial_time_series.pdf (3.81 MB)

2022-5-8 14:25:50 上传

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关键词：时间依赖 金融市场 依赖性 相关性 分位数

2021 9月7日13:47 WSPC/INSTRUCTION FILE rankQuantile correlations:Uncovering Temporary dependencies in FinancialTime seriesTHILO A.SCHMITTFakult（位于德国杜伊斯堡-埃森47048 Duisburg，Universit大学物理学院）。schmitt@uni-到期。德国杜伊斯堡-埃森47048杜伊斯堡德鲁迪·舍尔法科大学波鸿44780德国杜伊斯堡-埃森47048杜伊斯堡杜伊斯堡德特法科大学法尔马蒂克鲁尔大学德鲁迪·舍尔法科，德国我们使用基于分位数的相关函数进行实证研究，以揭示金融时间序列中的时间相关性。这项研究使用了纽约证券交易所标准普尔500指数股票的日内数据。在建立了一个实证综述之后，我们将基于分位数的相关函数与GARCH家族的随机过程进行了比较，并发现了显著的差异。这促使我们提出基于分位数的相关函数，作为评估随机过程和经验数据之间一致性的有力工具。1.引言金融时间序列具有各种非平凡的性质。收益的分布偏离正态分布，并显示出严重的尾部（奥利弗1926年、米尔斯1927年、曼德布罗特1963年）。米切尔（1915）首次观察到这种行为。非随机波动率模型正态分布与方差分布相结合。由此产生的收益分布显示出非正态性，见。g、 ，Clark（1973）和Yang（2004）。然而，仅仅从分布中提取波动率并不能解释经验观察到的波动率聚集，即时间不均匀性。为了实现这一点，随机过程的描述至关重要。

在他的开创性工作中，恩格尔通过引入ARCH过程，朝着这一目标迈进了一大步，见恩格尔（1982）。返回时间序列的自相关性为零（Pagan 1996）。然而，绝对收益或平方收益的时间序列的自动相关性是非零的，2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件对于较大的滞后缓慢衰减为零（Ding et al.1993，Cizeau et al.1997，Liu et al.1997）。这种影响可以追溯到波动性聚类Mandelbrot（1963年）。在高波动阶段，一个大（绝对）回报率随后是另一个大回报率的概率高于正常水平。对于波动性较小的阶段也是如此，小收益率之后是概率较高的小收益率。与之密切相关的是所谓的“杠杆效应”。根据经验可知，波动率和收益率呈负相关。Black（1976）首次观察到这一点，并将其归因于一个事实，即股价下跌的股票风险更大，因此波动性更高。相对于公司债务而言，市值的减少使其杠杆化程度更高，因此得名。这一解释在文献中经常受到质疑（Figlewski和Wang，2000年，Aydemiret等人，2006年，Ait-Sahalia等人，2013年）。对这些影响的研究通常集中于收益时间序列的自相关或收益与历史或隐含波动率之间的交叉相关性。分析时间序列中的时间依赖性的常用工具是LPPeriodogram，它本质上与均值和协方差有关，并且在分析高斯序列时具有若干最优性。

另一方面，众所周知，该周期图难以检测非线性动力学，例如条件形状（偏度、峰度）或重尾的变化，并且已经提出了一些修正来解决这些问题。Li（2008年、2012年）研究了Laplace周期图，作为普通周期图的替代，用于在频域分析心率变异性和太阳黑子数据。这些周期图基于分位数回归方法，见Koenker（2005）和扩展，Dette等人（2011）和Hagemann（2013）开发了与数据单调变换无关的扩展。这些作者提出了一个不同的周期图，它被定义为基于分位数的相关性的离散傅里叶变换，参见Kedem（1980），并发展了相应的统计理论。在这里，我们想表明，即使是直接使用基于分位数的相关性，也为在时域中研究金融序列的非线性动力学提供了一个非常强大的工具。为此，我们对2007年和2008年标准普尔500指数（s&P500）的日内数据进行了实证研究。此外，我们还表明基于分位数的相关性能够揭示随机过程和经验数据之间的差异。作为一个例子，我们研究了GARCH（Bollerslev 1986）、EGARCH（Nelson1991）和GJR-GARCH（Glosten et al.1993）过程的回归时间序列。2.基于分位数的相关性给定长度为T的时间序列x=（x，x，…，xT），我们用以下方法计算基于分位数的相关性。让α∈ [0,1]和β∈ [0,1]是概率水平。然后，让qα为时间序列x的α分位数处的值。

我们首先根据过滤规则ξ（α）t将2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件ranktime series x映射为过滤后的时间序列ξ（α）=1，xt≤ qα0，否则。（2.1）例如，如果时间序列isx=（1，-5, 10, 0, -6.-2.-我们有q0。对于0.5分位数，5=0，过滤后的时间序列为ξ（0.5）=（0,1,0,1,1,1,1,0,1,0）。（2.3）类似地，我们基于第二个β分位数构建了第二个滤波时间序列ξ（β）。然后，我们计算每个滞后l的过滤时间序列的滞后互相关∈ (-T/2，T/2）qcfl（ξ（α），ξ（β））=TT-lXt=1（ξ（α）t-ξ（α））（ξ（β）t+l-其中，ξ（α）表示经过过滤的时间序列ξ（α）的平均值。过滤后的时间序列的标准偏差用σ（α）表示。Kedem（1980）首次提出了基于量化滤波的二进制时间序列的基本思想。Lintonand Whang（2007）和Hagemann（2013）讨论了时域中等概率水平的情况，他们提出了（2.4）中的相关性的离散傅里叶变换，α=β固定，以发展稳健的光谱分析。关于替代估计和α6=β的情况，见Dette等人（2011年）。我们计算分位数相关函数的95%置信区间，方法是取（0.5,0.5）分位数在0附近的函数的标准偏差，并将其乘以对应于0.95置信水平的标准分数1.96。这缓解了使用置信区间标准方法引入的问题，即1.96除以样本大小的平方根，该方法假设时间序列的元素为i.i.d。该假设对我们在下文中考虑的财务数据无效。从分位数相关函数的设置中，我们立即看到，对于等概率，α=β等式（2.4）产生了滤波时间序列的自相关。

在这种情况下，分位数相关函数是对称的，即qcfl（ξ（α），ξ（α））=qcf-l（ξ（α），ξ（α））。如果概率不同，α6=β，则量化相关函数不一定是对称的。现在我们澄清α和β的可能组合的含义。我们表示概率与（α，β）的组合。例如，如果我们选择（0.05,0.05）分位数，经过过滤的时间序列将包含5%的分位数，根据等式（2.1），这些分位数对应于时间序列x中最小的5%值。在这种情况下，我们将等式（2.4）中时间序列的最小值关联起来。另一方面，考虑（0.95,0.95）分位数。在这里，我们将时间序列x中最小值的95%关联起来。然而，在金融时间序列的情况下，更有趣的是知道最大值的5%是如何关联的。（0.95，0.95）分位数也是2021 12月7日13:47 WSPC/指令文件对此进行了说明。我们注意到，如果我们将公式（2.1）中的小于或等于符号更改为滤波时间序列ξ（α）和ξ（β）的大于符号，我们得到滤波时间序列的补码，即1变为0，0变为1。有计算机科学背景的读者会注意到，这相当于对每个经过过滤的时间序列进行二进制NOT运算。只要在两个经过过滤的时间序列上都执行此操作，分位数相关函数的符号就不会改变，比较公式（2.4）。这就引出了一个有趣的例子，我们想知道最小的5%值与最大的5%值是如何关联的。我们选择（0.05,0.95）分位数，并有效地将最小的5%值与最小的95%值关联起来。为了回答这个问题，我们必须仅对第二个过滤时间序列ξ（0.95）更改小于或等于符号。这导致分位数相关函数的符号变化。

假设我们发现（0.05,0.95）分位数的负相关性。这意味着最小的5%和95%的时间序列呈负相关。同时，这意味着时间序列中最小的5%和最大的5%是正相关的。为了保持符号简单，我们将始终根据公式（2.1）计算过滤后的时间序列，并说明如何在给定上下文中解释分位数相关函数。3.实证研究我们使用纽约证券交易所（NYSE）2007年和2008年的日内数据进行实证研究。我们只关注标准普尔500指数中的股票，该指数主要由美国最大的公司组成。这些股票交易频繁，每天的交易量足以进行有意义的统计。这些交易的时间序列精确到第二位。我们放弃每个交易日最后十分钟的倒立，以尽量减少因收盘和开盘拍卖造成的影响。这导致了每天22200秒的时间序列，确保所研究的时间序列完全是连续交易的结果，该交易使用双重拍卖订单簿机制。如果在给定的一秒内没有交易发生，我们将使用前一秒的价格。纽约证券交易所的数据集包含大量数据，在使用前需要做一些准备。我们只考虑常规订单，并要求每天至少在800秒的不同时间内对给定库存进行交易。否则我们就不用今天的交易了。基于分位数的相关性总是根据22200秒的日间序列进行计算。这是必要的，因为下一个交易日的收盘价和开盘价之间存在日差。我们在每年大约250天的所有可用交易日内平均基于分位数的相关函数。

根据每个股票k的价格序列Sk（t），我们计算周转时间序列Sk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t）（3.1）一分钟返回t=60秒。在下面的研究中，我们只考虑返回时间序列。我们注意到分位数相关函数是不变量的，2021 9月7日13:47 WSPC/指令文件rankunder单调变换。因此，二元时间序列不受收益选择的影响，即非对数或对数。3.1. 经验数据我们研究了六个不同分位数对（α，β）基于分位数的相关性。图1显示了Abercrombie&Fitch Co.（ANF）基于分位数的相关性。（0.05,0.05）分位数仅与最大负回报相关，而（0.95,0.95）分位数间接与最大正回报相关。这需要进一步解释。根据toEq，原则上，（0.95,0.95）分位数是相关的。（2.1），所有小于0.95分位数的收益。这相当于最大5%的收益是相关的，因为如果我们将等式（2.1）中的两个较小的符号切换为较大的符号，分位数相关函数将不会改变，如第2节所述。在这两种情况下，相关性都是非零的，并且衰减到大约一小时后为零。我们注意到，相关性的绝对值小于通常使用绝对或平方收益的自相关性观察到的值。这是因为过滤后的时间序列只包含0和1。因此，这些缩减时间序列的绝对相关性较小。（0.5,0.5）分位数对应于收益符号的相关性，前提是收益分布为零均值且对称。至于收益的自相关性，该函数应为零，即所有值均在置信区间内，因此不显著。

否则就会有套利机会。对于经验收益分布，我们不能假设收益分布是完全对称的。因此，（0.5,0.5）分位数的相关函数形状在置信区间内不同。对于具有对称收益分布的随机过程，我们在第3.2节中发现零相关性。如果分位数的概率选择相同，即α=β，则基于分位数的相关函数必须对称于正滞后和负滞后。相比之下，对于不同的分位数，即α6=β，我们观察到显著的不对称性。乍一看，（0.05,0.95）分位数的不对称性可能很难预测，但仔细观察就会发现，正分位数的曲线下面积较小。我们计算归一化差异A=A-- A+A-+ 负滞后和正滞后曲线下区域之间的A+（3.2），其中A±isA±=±T/2Xl=±1 | qcfl（0.05,0.95）|。（3.3）措施在于间隔[-1, +1]. 例如，如果曲线下的面积为零表示负滞后，大于零表示正滞后，则测量值为负1。如果曲线下的面积平均分布在第7节的正和负之间，2021 13:47 WSPC/指令文件秩-0.04-0.020.00.020.04-0.04-0.020.04corr-0.04-0.020.020.04corr-0.04-0.020.020.04corr-4000-2000 0 2000 4000秒滞后-2000 0 2000 4000秒滞后α=0.05β=0.05α=0.05β=0.5α=0.5α=0.05β=0.95α=0.95β=0.95α=0.5β=0.5β0.95图。1.Abercrombie&Fitch Co.（ANF）2007年（黑色）和2008年（灰色）的分位数相关函数。滞后，标准化差异为零。结果如表1所示。

我们发现，分位数相关函数负滞后的曲线下面积比正滞后的曲线下面积大8%（2007年）和5%（2008年）。在这里，我们必须小心解释概率α和β。我们在图1中看到的是最小5%的回报与最小95%的回报之间的相关性。这种相关性是负的。如果我们想将最小的5%与最大的5%的收益相关联，我们必须调整基于量化的相关函数的符号，因为这等于将第二个较小的符号等式（2.1）更改为较大的符号。这样做只会反转第二次过滤的时间序列，从而导致基于分位数的相关函数的符号发生变化。因此，我们观察到最小和最大收益正相关的不对称性。缓慢衰减的相关性令人想起2021第7期第13:47 WSPC/指令文件rank-0.04-0.020.00.020.04-0.04-0.020.00.020.04corr-0.04-0.020.00.04corr-0.04-0.020.00.020.04corr-4000-2000-2000-2000-4000秒滞后α=0.05β=0.05α=0.5β=0.5β=0.05β=0.05β=0.05 95α=0.95β=0.95α=0.5β=0.95图。2.2007年标准普尔500指数479只股票的平均分位数相关函数（黑色）和2008年488只股票的平均分位数相关函数（灰色）。观察到等概率α=β的聚类。然而，不对称性表明杠杆效应的出现。图2显示了2007年（黑色）和2008年（灰色）标准普尔500指数所有股票的平均分位数相关函数。与单个股票相比，基本特征基本相同。可视化分位数相关函数的另一种方法是查看固定滞后的概率图。