多元短缺风险分配与系统性风险

对于每一个X，它保持sra（X+r）=RA（X）+r∈ Mθ和r∈ Rd.如果`另外是正齐次的，则它每X保持sra（λX）=λRA（X）∈ Mθ和λ>0证明。根据定理3.5，关于“确保风险分配的存在性和唯一性”的假设与拉格朗日乘数一起由一阶条件唯一表征。设m=RA（X+r），其中存在唯一的λ，使得λE[` （X+r）- m） ]=1和E[`（X+r）-m） 因此，n=m- r和λ满足一阶条件λE[`（十）- n） ]=1和E[`（X- n） ]=c，唯一性表明n=RA（X）=m- r=RA（X+r）- r、 至于第二个断言，根据命题2.7，对于每一个λ>0，它由A（λX）=λA（X）得出。备注3.7。一般来说，不需要风险分配的积极性。然而，如果积极性或任何其他凸约束被施加，例如由监管机构施加，它可以很容易地嵌入到我们的设置中。如果是阳性，这将修改R（X）intoR（X）=infxmk:E[`（X）的定义- m） ]≤ 0和mk≥ 每个ko为0，相应地修改了一阶条件。如前所述，以下示例说明了唯一性的重要性。请注意，此计算表明条件Z∩ 0+` = -Z∩ 0+`足以获得风险分配的存在。例3.8。（C1）类的任何损失函数，即，`（x）=h（Pxk），都是置换不变的。因此，风险分配*∈ A（X）通过定理3.5存在。然而，对于任何零和分配u，我们有R（X）=Pm*k+uk=Pm*k-E[h（PXk- （m）*k+uk）]=E[h（PXk- M*k） ]≤ c、 所以我*+ u是另一种风险分配。就监管成本而言，这是一个有问题的情况。事实上，考虑两家银行，分别要求它们提供1.1亿欧元和5亿欧元作为资本配置。在这种情况下，第一家银行可能同样需要610ME，第二家银行什么也不需要。

在那种情况下，这种武断是不可能被接受的。例3.8表明（C1）类损失函数缺乏风险分配的唯一性。相比之下，对于（C2）类损失函数，即，`（x）=Ph（xk），以下命题表明，虽然在非常温和的条件下存在唯一的风险分配，但风险分配仅取决于损失向量x=（x，…，Xd）的边际分布。换句话说，风险度量和风险分配并不反映系统的依赖结构。提案3.9。设`（x）：=Phk（xk）对于单变量损失函数hk:R→ (-∞, ∞] 严格凸R+，k=1，d、 每X∈ Mθ，对于每个Y，存在唯一的最优风险分配RA（X）和wehave RA（X）=RA（Y）∈ Mθ使得yk与Xk具有相同的分布，k=1，d、 证据。设x，y为αx+（1）- α） y 6∈ 研发部-每一个α∈ (0, 1). 因此，`（αx+（1-α） y）=Phk（αxk+（1）- α） yk）<Pαhk（xk）+（1- α） hk（yk）=α`（x）+（1）- α） `（y）。损失函数是无偏的。事实上，对于每一个零和分配u，假设在不损失一般性u>0的情况下，它的结果是`0+（u）≥ limr→∞h（ru）/r+Xk≥2hk（ruk）/r≥ limr→∞h（ru）/r+Xk≥2uk=∞因为他的严格凸和h（t）≥ t、 因此，`除了0之外，没有衰退的零和方向。香港收益率的严格凸性，根据定理3.5，存在唯一的风险分配外汇∈ Mθ。一阶条件（3.1）写为1∈ λE[香港（Xk- k=1，d、 andXE[hk（Xk- mk）]=c，仅取决于X的边际分布。遵循Rüschendorf[44]，我们可以用超模、方向凸和上等随机序来描述正相关风险。对于函数f:Rd→ R wede finek、 yf（x）=f（x，…，xk+yk，…，xd）- f（x），x，y∈ Rd，k∈ {1, . . .

我们说一个连续函数f:Rd→ R是超模块化的，如果k、 yl、 yf（x）≥ 每1取0≤ k<l≤ d、 o方向凸的，如果k、 yl、 yf（x）≥ 每1取0≤ K≤ L≤ d、 o-单调，如果i、 你。in，yf（x）≥ 每{i，…，in}0 {1，…，d}；对于rdy>0的每一个x和y。我们用<sm、<Dc和<Uo表示相应函数类给出的积分阶。我们参考[44]来讨论这些订单的依赖风险。注意X>uoY当且仅当P[X>X]≥ P[Y>x]每x∈ 第3.10号提案。短缺风险测度R对于<sm是单调的，<dcor<uo`是超模的，方向凸的，或-分别是单调的。证据这个断言直接源于这样一个事实：if`是超模、定向凸或-单调，“（·也一样-m） 因此，如果X<xY，则E[`（X- m） ]≥E[`（Y- m） ]显示A（Y） A（X）。备注3.11。任何形式（C1）、（C2）和（C3）的损失函数都是方向凸的，因此是超模的。他们是-如果d=2，则为单调。至于本文中使用的特定损失函数，插图x（x+k）+αXk<jx+kx+jXx+k+αXk<j（xj+xj）+中的几个位置都是方向凸的，并且-单调。然而，如果α=0，它们在单调性方面退化，因为k、 yj、 对于每k6=j，y`（x）=0。一旦α>0，这些损失函数在Rd+上严格单调。备注3.12。损失函数可以根据风险度量和分配方面的预期属性的先验列表来选择，正如上述命题所述。然而，损失函数也可能在系统性风险问题中作为系统的固有属性出现，如艾森伯格和诺伊[25]所述，或最近由Awiszus和韦伯[7]所述。例3.13。

下面的简单示例显示了在损失函数`（x，x）=1+α的简单情况下依赖性的影响e2x+e2x+αexex- 1.（3.2）也就是说-单调二元正态向量X=（X，X）~ N（0，∑）带∑=σρσσρσσσ.求解一阶条件yieldRAi（X）=σi+SRC（ρ，σ，σ，α）R（X）=σ+σ+SRC（ρ，σ，σ，α），表明风险分配被分解为各自的个体贡献σi，i=1，2和系统风险贡献rc=ln1+αeρσ-(σ+σ), （3.3）这取决于相关参数ρ和损失函数的系统权重α。图2显示了作为ρ和σ函数的系统风险贡献值。计算关于σi和ρ的部分导数SRCσ=α (ρσ- σ） eρσ-（σ+σ）1+αeρσ-(σ+σ),SRCρ=ασeρσ-（σ+σ）1+αeρσ-(σ+σ).表明系统性风险贡献如图2所示：在α=1的情况下，SRC（3.3）作为不同相关系数ρ值σ的函数相对于相关系数ρ增加如果相关性为负，则与σ相关的值降低如果相关性为正，则上升至ρσ，然后下降至σ，因为X的个体风险决定了系统的风险。4.短缺风险的系统敏感性及其分配之前的结果强调了使用损失函数的重要性，该函数能够充分捕捉系统固有的系统风险。这推动了对短缺风险及其分配敏感性的研究，以确定损失函数的系统特征。定义4.1。

Y的边际风险贡献∈ Mθ对X∈ Mθ定义为X风险对Y影响的敏感性，即isR（X；Y）：=lim supt&0R（X+tY）- R（X）t.在R（X+tY）允许每个t有一个唯一的风险分配RA（X+tY）的情况下，关于Y的影响，X的风险分配边际由byRAk（X；Y）=lim supt&0RAk（X+tY）给出- RAk（X）t，k=1，d、 定理2.11及其证明表明，风险测度R（X）的确定归结为鞍点问题R（X）=minmmaxλ>0L（m，λ，X）=maxλ>0minmL（m，λ，X）。使用[42]，鞍点的“argminmax”集合（m*, λ*) 是一个乘积集，我们用B（X）×C（X）表示。定理4.2。假设`是置换不变的，那么r（X；Y）=minm∈B（X）maxλ∈C（X）λE[` （十）- m） ·Y]。进一步假设`是二次可微的，并且（m，λ）∈ B（X）×C（X）是这样的=λE`（十）- m）-1/λ1 0是非奇异的，那么存在t>0，使得B（X+tY）×C（X+tY）对于每0是一个单态≤ T≤ t、 o相应的唯一鞍点（mt，λt）=（RA（X+tY），λt）作为t的函数是可微的，我们有RA（X；Y）λ（X；Y）= M-1V，其中λ（X；Y）=lim supt&0（λt- λ） /t和v=λE`（十）- m） YR（X；Y）.证据设L（m，λ，t）=Pmk+λE[`（X+tY）- m） ]。定理2.11 yieldsR（X+tY）=minmmaxλL（m，λ，t）=maxλminmL（m，λ，t）=L（mt，λt，t），对于每个选择（mt，λt）∈ B（X+tY）×C（t+tY）。关于该定理的第一个断言，由于`没有除0以外的零和衰退方向，因此从定理3.5可以看出B（X）×C（X）是非空且有界的。因此，Golshtein关于鞍形值扰动定理的假设（见Rockafellar和Wets[43，定理11.52]）得到满足，第一个断言如下。至于第二个断言，Fiacco和McCormick的假设[29，定理6，pp。

34–45]已满。向量的雅可比矩阵mL（m，λ，0）λE[`（X）- m） ]用于指定一阶条件的参数由矩阵M给出。因此，第二个断言来自[29，定理6，第34-35页]。定理4.2允许明确推导出独立外生冲击的影响，如下命题所述。提案4.3。在定理4.2确保鞍点唯一性的假设下，假设Y独立于X。nRc（X；Y）=XE[Yk]和RA（X；Y）=E[Y]。证据由于Y独立于X，用m=RA（X；Y）表示，因此根据一阶条件rc（X；Y）=λE[`（十）- m） ·Y]=λE[`（十）- m） 此外，我们还有=λA-公元前0年和V=λE`（十）- m） YR（X；Y）=λAE[Y]CE[Y]式中A=E[`（十）-m） [B]=1/λ · · · 1/λ|, C=1.1.. 利用块矩阵求逆的经典公式，我们得到了ra（X；Y）=A.-1λ-A.-1BCA-1λCA-1BA-1BCA-1BλAE[Y]CE[Y]= E[Y]-A.-1BCE[Y]CA-1B+A-1BCE[Y]CA-1B=E[Y]。根据第4.3节中关于因果责任的讨论，可以得出这样的结论：如果该系统独立，每个成员都会为所承担的额外风险支付少量费用。特别是，如果风险系数k受到独立于系统的冲击Yk的影响，则它遵循R（X；Y）=E[Yk]=RAk（X；Y），表明成员k为其承担的全部风险支付了费用。4.1. 外生冲击的影响下一节说明了外生冲击可能依赖于X的情况。我们考虑了一种双变量情况，其中X=（X，X），外生因子Y=（Y，0）仅影响第一组分。我们考虑损失函数`（x，x）=（x++）（x+）+αx+x+- 1, 0 ≤ α ≤ 1，它根据定理3.5给出了唯一的风险分配。请注意“是”-单调，如果α>0，则严格在R+上。

为了便于注释，我们假设X~ 十、 因为`是置换不变的，这意味着m=RA（X）=RA（X）。设p=：p[X≥ m] =P[X≥ m] r=P[X≥M十、≥ m] 。根据定理4.2和一阶条件（3.1），我们有r（X；Y）=E[Y（X- m） +]+αpE[Y（X）- m） +|X≥ m] E[（X）- m） +]+αpE[（X- m） +|X≥ m] 至于这个边际风险贡献的分配，在定理4.2的符号中，我们有：m=λpλαr-1/λαrλp-1/λ1 1 0和V=λpE[Y | X≥ m] λαrE[Y | X≥ M十、≥ m] R（X；Y）,通过反转M yieldsRA（X；Y）=R（X；Y）+EY{X≥m}- αEY{X≥M十、≥m}P- αrRA（X；Y）=R（X；Y）-EY{X≥m}- αEY{X≥M十、≥m}P- αR根据命题4.3，如果Y独立于X，则R（X；Y）=RA（X；Y）和RA（X；Y）=0，通常观察到：o两个风险组成部分在R（X；Y）/2之间的外部影响的额外成本上大致相等关于第二项的修正反映了仅与轴有关的冲击的不对称性，第二项加在第一项上，减去第二项。此外，1{X≥m}≥α1{X≥M十、≥m} 每0≤ α ≤ 1.这意味着第一个风险因素承担的额外风险始终与Y成正比例，而第二个风险因素与Y成负比例。o如果α=0，则边际变化会根据±（E[Y]影响风险因素- E[Y | X≥ m] ）/2.o如果α=1且X和X是强反相关的，那么1{X≥M十、≥m} 可能非常小，因此影响与α=0的情况类似。另一方面，如果X和X有很强的相关性，那么1{X≥m}≈ 1{X≥M十、≥m} 在这种情况下，RA（X；Y）≈ RA（X；Y）≈ R（X；Y）/2表明α=1的完全依赖性产生了同等份额的边际风险变化。4.2.

依赖敏感性在前面的章节中，损失函数依赖于影响风险因素之间依赖程度的风险分配的α，我们应用定理4.2的技术来研究关于α的敏感性。为此，我们考虑以下形式的损失函数`（x）=Xg（xk）+αh（x），其中g是一维损失函数，h是多维函数，因此`是所有α的损失函数≥ 0接近0。例如，类（C3）的损失函数。我们还假设gis是两次可微的。使用与定理4.2证明中相同的策略，我们可以提供边际风险贡献和分配，作为α在0附近的函数，强调损失函数的依赖部分。计算结果αR（X）=λE[h（X）- m） ]和αR（X）λ= M-1.λE[h（X）- m） ]αR（X）其中M由M给出=λA-公元前0年A=diag（g（Xk- 以及第4.3条中的B和C。在`（x）=Xk=1（x+k）+αX1的情况下≤k<j≤3x+kx+j- 1和X=（X，X，X）和X~ 十、~ 十、 （X，X）~ （X，X）和xin依赖于（X，X），每k=1，2，3，m=RAk（X）。定义Z=（X）-m）+~ （十）-m）+~ （十）-m） +，计算结果αR（X）=E[Z]2+E[（X）- m） +（X）- m） +]E[Z].因此，随着X和X之间的相关性增加，边际风险增加。

至于对风险分配的影响，由于E[（X- m） +|X≥ m] =E[（X）- m） +|X≥ m] 这很简单αRA1或2（X）=E[Z]1+E[（X）- m） +|X≥ m] E[Z]+E[（X- m） +（X）- m） +]E[Z]αRA（X）=E[Z]4.- 2E[（X）- m） +|X≥ m] E[Z]+E[（X- m） +（X）- m） +]E[Z]由于系统的不对称依赖性：o一方面，如果X和X高度反相关，那么αRA1或2（X）≈E[Z]和αRA（X）≈ 4E[Z]与其他人相比，系统性风险因素有利于反相关的人另一方面，如果X和X高度相关，那么对于p=p[X≥ m] ，则，αRA1或2（X）≈E[Z]p+1p+E[Z]E[Z]虽然αRA（X）≈E[Z]P- 1p+E[Z]E[Z]自从p≤ 1、系统性风险因素会惩罚那些高度相关的人，并降低独立于前一个案例的人的成本。图3说明了在3变量正态分布X的情况下，不同相关值的情况~ N0,1 ρ 0ρ 1 00 0 1图3：不同相关性下风险分配和总风险的系统因素边际变化ρ4.3。无风险分配、因果责任和可加性我们根据[14]中介绍的风险分配的以下经济特征，通过对其性质的讨论，总结本节关于风险分配及其敏感性的内容。（FA）完全分配：PRAk（X）=R（X）；（RA）无风险分配：RAk（X）=Xkif Xkis；（CR）因果责任：R（X+Xk）- R（X）=RAk（X+Xk）- RAk（X），在哪里Xkis第k个风险组成部分的所有增量；如前所述，根据设计，短缺风险分配始终满足完全分配属性（FA）。从上述案例研究中可以看出，无风险分配（RA）和因果责任（CR）总体上并不令人满意。事实上，从系统风险的角度来看，我们认为（RA）和（CR）是不可取的属性。

事实上，两者都意味着冒险或不冒险只会影响Concerndrisk部分。然而，风险因素是相互依赖的，其中一个因素的任何变化都会影响系统的其他部分。寻找最优分配是不同系统组件之间的非合作博弈，每个组件分别寻找自己的最小风险分配，同时通过这样做影响其他组件。换句话说，每个人都要对自己的风险负责，但也要对自己与他人的相对风险承担责任。然而，本节的敏感性分析表明，外部冲击主要由至少在初始阶段受到冲击的风险成分产生。在这种冲击独立于系统的情况下，根据命题4.3，这是完全的因果责任。否则，将出现修正，并根据其他风险成分对相关成分的相对暴露程度和对冲击的依赖程度，将一部分冲击加载到其他风险成分。5.风险分配的计算方面在本节中，我们根据示例2.3的损失函数给出计算结果，即，`（x）=dXk=1xk+dXk=1（x+k）+αX1≤j<k≤dx+jx+k- 1，（5.1）表示α=0或1。在这种情况下，约束问题（2.2）变成：R（X）：=inf（Xmk:dXk=1E[Xk）- mk]+dXk=1Eh（Xk- mk）+i+αX1≤j<k≤dEh（Xj- mj）+（Xk- mk）+i≤ 1） （5.2）根据定理3.5，风险分配由一阶条件（3.1）决定，在这种情况下：λE[（Xk- mk）+]+αλdXj=1，j6=kE[（Xj- mj）+{Xk≥mk}]=1- λ、 对于k=1，DdXk=1E[（Xk- mk）]+E[（（Xk- mk）+]+ αX1≤j<k≤dE[（Xk- mk）+（Xj- mj）+]=1。（5.3）我们使用平均向量u和方差-协方差矩阵∑的高斯分布作为损失向量。