多元短缺风险分配与系统性风险

让h:R→ R可以是一维损失函数，例如，对于instanceh（x）=x+- βx-, 0≤ β<1，h（x）=x+（x+）/2或h（x）=ex- 1.使用这些作为构建模块，我们获得了以下几类多元损失函数，这些函数将用于系统风险讨论中的说明目的，见第3节和第4节。（C1）`（x）=h（Pxk）；（C2）`（x）=Ph（xk）；（C3）`（x）=αh（Pxk）+βPh（xk），其中α，β≥ 0不同时为0。请注意，这些损失函数中的每一个都是置换不变的。出于可积性的原因，我们考虑以下多元Orlicz心脏中的损失向量：Mθ=十、∈ L:E[θ（λX）]<∞ 总而言之λ∈ R+,式中θ（x）=`（|x |），x∈ Rd；见附录B备注2.4。定义2.5。货币分配∈ RDI可用于X ifE[`（X- m） ]≤ 0.我们用a（X）表示：=M∈ Rd:E[`（X- m） ]≤ 0（2.1）相应的可接受货币分配。例2.6。在集中清算的交易设置中，每个清算成员k都需要提交违约基金供款，以使清算所的风险在考虑极端和系统性风险的风险度量方面可接受。违约基金是清算所的一种集合资源，即清算所不仅可以在清算该成员时使用该成员的违约基金出资，还可以在清算其他成员时使用该成员的违约基金出资。在确定违约基金供款时，本文的方法适用于定义为清算成员压力损失和收益向量的向量X。根据第3节和第4节的发现，在这种情况下，（C3）Orlicz空间等“系统”损失函数是自然空间。

Orlicz空间理论长期以来一直被用于风险度量理论，参见[11,12,18,21]。如果α>0，则符合违约基金的目的。但是请注意，我们应用于清算所的设置是一个封闭系统，因此需要进行内部评估。原则上，我们忽略了额外的系统性风险，如具有共同成员资格的清算所之间的竞争，或这些成员可能面临的外部风险，如[35]中所述。然而，我们的方法也可以通过将X作为每个清算所每个成员头寸的总体向量来评估这种系统性风险。下一个命题收集了可接受的货币分配集合的主要属性。（i）中的Convexity属性意味着两种可接受的货币分配之间的差异仍然可以接受。如果货币分配是可以接受的，那么任何更大数额的货币也应该是可以接受的，这是（i）中的单调性。至于（ii），它说，如果损失X几乎肯定小于Y，那么Y可以接受的任何货币分配也同样适用于X。其次，（iii）意味着在两个市场中可以接受的分配的凸组合在多元化市场中仍然是可以接受的。尤其是，可接受性概念推动了不同风险成分之间的更大差异。例如，从清算所的角度来看，其成员的分散头寸比集中头寸更可取，因此可能会强制执行默认基金分配，从而促使其成员实现这一目标。此外，从交易流监管来看，交易员的整体多元化地位更可取，这是一种激励，是一种当前的做法，见示例5.2。最后，（iv）意味着可接受的头寸在标量货币风险度量的意义上转化为现金[6,31,32]。

作为这些属性的直接后果，x7→ A（X）定义了[36]意义上的货币集值风险度量，即从Mθ到Rd命题2.7的单调、封闭和凸子集的集值映射A。对于Mθ中的X，Y，它认为：（i）A（X）是凸的、单调的和封闭的；（ii）A（X） A（Y）每当X 6 Y；（iii）A（αX+（1）- α） Y） αA（X）+（1）- α） A（Y），对于任何α∈ (0, 1);（iv）A（X+m）=A（X）+m，对于任何m∈ Rd；（五） 6=A（X）6=Rd。如果进一步（vi）`是正齐次的，那么A（λX）=λA（X）对于每个λ>0；（vii）`是置换不变量，则A（π（X））=每个置换π的π（A（X））；证据因为`是凸的、递增的和下半连续的，所以（m，X）7→ E[`（X）- m） ]是凸的和较低的半连续的，m减小，X增大。这意味着通过定义A（X）的2.5，性质（i）到（iii）。关于（iv），变量yieldsA（X+m）的变化=N∈ Rd:E[`（X+m）- n）≤ 0]=n+m∈ Rd:E[`（X- n） ]≤ 0= A（X）+m.至于（v），一方面，`（X）- m） &`(-∞) < 0作为m→ ∞ 组件方面。自从X∈ Mθ在`（X）之后∈ 五十、 因此，单调收敛产生E[`（X）- m） ]&`(-∞) < 0和m的存在∈ rde[`（X- m） ]≤ 0，表示A（X）6=. 另一方面，`在增加，这样`（x）≥Pxk- c、 它意味着`（X- m）≥PXk-Pmk- c%∞作为m→ -∞, 组件方面。因此，单调收敛产生E[`（X）- m） ]%∞ > 0，因此存在m∈ rde[`（X- m） ]>0，也就是说，m6∈ A（X）。对于（vi），如果`是正齐次的，对于任何λ>0，它都保持E[`（λX）- m） ]=λE[`（X）- m/λ）]。因此，m在A（λX）i中，且仅当m/λ在A（X）中，当且仅当m在λA（X）中。最后，如果`是置换不变量，则对于任何置换π，它保持E[`（π（X）- m） ]=E[`（π（X）- π-1（m））]=E[`（X）- π-1（m））]。

因此m是inA（π（X））当且仅当π-1（m）在A（X）中，当且仅当m在π（A（X））中表示（vii）。图1显示了具有可变相关系数的二元正态分布的可接受货币分配集。这些集合的位置和形状随相关性而变化：相关性越高，可接受的货币配置的成本就越高，正如系统性风险方面所预期的那样。如第3节和第4节所述，这一特征并不总是直接的，取决于损失函数的具体情况。图1：与第3.13节不同相关性的案例研究相对应的验收集A（X）。考虑到可接受的货币分配∈ A（X），其总流动性成本为isPmk。成本越低越好，这激发了以下定义。定义2.8。X的多元短缺风险∈ MθisR（X）：=infnXmk:M∈ A（X）o=infnXmk:E[`（X）- m） ]≤ 0o。（2.2）例2.9。继中央结算所示例2.6之后，任何可接受的分配∈A（X）为默认基金生成相应的值。清算所之间存在竞争，因此它们正在寻找要求其成员提供的最便宜、可接受的分配。备注2.10。当d=1时，上述定义正好对应于[31]中的短缺风险度量，本文是对该度量的多变量扩展。集值风险测度x7→ （2.1）中介绍的A（X）可以被视为[28]中所述的集值系统风险度量的一个例子，在其符号中，其翻译为followsA（X）=R（Y，k）=M∈ Rd:Yk+m∈ A.其中，聚合由Yk+m=λ（X）给出- K- m） 对于∧（x）=`（x）和接受集isA:={x:E[x]≤ 0}.

他们的设置考虑了与k表示的资本分配相关的更一般的随机领域，例如金融网络的建模等。我们考虑的案例可以嵌入[28，案例（ii），第5页]。即使集值风险度量不是[10]的主要关注点，它也包含在接受系列的定义中，在它们的符号中，给出如下AM=AY={X:E[`（X- m） ]≤ 0}，Y∈ C=Rd和Y=Rd。由此产生的系统性风险度量也可以用聚合函数∧（x）=`（x），接受集A={x:E[x]的符号和命名进行转换≤ 0}和一个风险度量π（m）=Pmk，得到intoR（X）=inf{π（m）：λ（X）- m）∈ A} 。因此，我们考虑的案例可以嵌入到[10，第1.3节]中给出的类中。我们的下一个结果（使用附录B的概念和符号）表明，短缺风险度量的所有经典性质，包括其对偶表示，都可以推广到多变量情形。我们用byQθ表示*:=dQdP:=（Z，…，Zd）：Z∈ Lθ*, Z>0，使得E[1·Z]=EhXZki=1Lθ中的d维测度密度集*归一化为E[1·Z]=1。为了简单起见，我们使用符号EQ[X]：=E[dQ/dP·X]表示dQ/dP∈ Qθ*还有X∈ Mθ。定理2.11。函数（X）=infnXmk:m∈ A（X）o，X∈ Mθ是实值的、凸的、单调的和平移不变的。特别是，它是连续的和次可微的。如果`是正齐次的，那么R也是正齐次的。此外，它允许对偶表示R（X）=maxQ∈Qθ*{EQ[X]- α（Q）}，X∈ Mθ，（2.3），其中惩罚函数由α（Q）=infλ>0E给出λ`*dQλdP, Q∈ Qθ*. （2.4）备注2.12。这种稳健的表示也可以从[27]的一般结果中推断出来。

然而，为了完整性，并且由于多元短缺风险度量与优化确定性等价物的多维版本密切相关，我们根据我们的上下文给出了一个自包含的证明。在这个意义上，R（X+m）=R（X）+Pmk。该论证遵循了[31]的原始论证，但不能直接应用于产品空间Ohm ×{1，…，d}因为这里的优化是根据多维分配m进行的∈ RDM而非一维分配∈ R.此外，在推导对偶表示的过程中，我们将优化确定性等价物与[9，第5.2章]R（X）=infm中提供的短缺风险之间的以下关系扩展到多维设置∈R{m:E[`（L- m） ]≤ 0}=supλ>0infm∈R{m+λE[`（X- m） ]}，其中（λ，X）=infm∈R{m+λE[`（X- m） ]}=supQP等式[X]- Eλ`*dQλdP是X的优化确定性等价物。证据根据命题2.7（v），我们有一个（X）6= 反过来R（X）<∞. 如果R（X）=-∞ 为了someX∈ Mθ，则存在一个序列（mn） A（X）这样的PMNK→ -∞, 与…相矛盾≥ E[`（X）- mn）]≥ E[PXk]-Pmnk- c、 因此，R（X）>-∞. 单调性、凸性和平移不变性分别来自命题2.7（ii）、（iii）和（iv）。特别地，Ris是Banach格Mθ上的凸实值增泛函。因此，根据[18，定理4.1]，R是连续的和次可微的。因此，附录B和芬切莫罗定理implyR（X）=supY中回顾的结果∈Lθ*{E[X·Y]- R*（Y）}=maxY∈Lθ*{E[X·Y]- R*（Y）}，（2.5）其中R*（Y）=sup{E[X·Y]- R（X）：X∈ Mθ}，Y∈ Lθ*. 根据双极定理，对于y6>0，存在K∈ Mθ，K>0，带E[Y·K]<-对于某些ε>0的情况，ε<0。通过R的单调性，它跟随R(-λK）≤ R（0）<∞ 每λ>0。

亨瑟*（Y）=supX∈Mθ{E[Y·X]- R（X）}≥ supλ>0{-λE[Y·K]- R(-λK）}≥ supλε- R（0）=∞,此外，通过平移不变性，为r设置X=（r，…，r）∈ R、 接下来就是*（Y）≥ rE[1·Y]- R（0）- rd=r（E[1·Y]- d）- R（0），其中只要E[1·Y]6=d，右侧可以任意变大。这表明（2.5）中的上确界和最大值可以限制在这些Y的集合中∈ Lθ*使得Y>0且E[1·Y]=1，也就是说，可以识别为Qθ*. 为了得到罚函数α（Q）的一个更明确的表达式：=R*（dQ/dP）=R*（Y），我们设定l（m，λ，X）=Xmk+λE[`（X）- m） [S（λ，X）=infm∈RdL（m，λ，X）=infm∈RdnXmk+λE[`（X- m） [o.功能性X 7→ S（λ，X）是所谓的优化确定性等价物的多元版本，见[9]。显然，R（X）=infm∈Rdsupλ>0L（m，λ，X）≥ supλ>0infm∈RdL（m，λ，X）=supλ>0S（λ，X）。这里是一个一维损失函数，X是一个一维随机变量。由于A（X）是非空且单调的，因此存在m∈ Int（A（X）），因此Slater条件已满。根据[42，定理28.2]，不存在对偶间隙。也就是说，R（X）=supλ>0S（λ，X）。通过证明的第一部分，对[9，第4章]和[23，第2章]的产量（λ，X）=supQ进行了简单的多元调整∈Qθ*等式[X]- E(`λ)*dQdP,式中`λ（m）=λ`（m），因此`*λ（m）*) = λ`*（m）*/λ). 将其与R（X）=supλ>0S（λ，X）相结合，得到对偶表示（2.4）。例2.13。我们考虑了实证研究中的两个正齐次损失函数：`（x）=βXx+k- αXx-k（2.6）`（x）=βXx+k- αXx-k+βXk<j（Xk+xj）+- αXk<j（Xk+xj）-（2.7）对于0<α<1<β。一个简单的计算就会得出这个结论`*i=δ（·| Ci），其中c={x:α≤ xk≤ 所有k}C的β=x=X1≤J≤dx0jek+X1≤k<j≤dxkj（ek+ej）：α≤ xkj≤ β为0≤ k<j≤ D注意，[α，β]=C C [α，dβ]其中α和β与其相等分量的向量相同。

此外，dβ是C的一个极值点。因此，R≤ R.正均质性，α*ionly取值为0或∞. 因此α*i（Q）=0当且仅当存在λ>0使得dQ/dP∈ 毫无疑问。因为1必须在λcif中才能发生，所以我们可以限制1/β≤ λ ≤ 1/α，对于Cd1/（dβ）≤ λ ≤ 1/α对于C.ThusR（X）=sup等式[X]：dQkdP∈ λc对于某些1/β≤ λ ≤ 1/αR（X）=sup等式[X]：dQdP∈ λc对于某些1/（dβ）≤ λ ≤ 1/α3.风险分配我们在定理2.11中确定，所有分配的最小值为∈ 用于定义的RDR（X）是实值的，具有风险度量的预期属性。除了整体流动性储备的问题外，在不同风险组成部分之间分配该金额对于系统风险而言至关重要。因此，我们在本节中讨论以下问题：o是否存在风险分配；o风险分配的唯一性相互依赖结构的影响，第一个问题在某些应用中很重要，例如清算所每个成员的默认资金贡献或银行不同业务线之间的资本分配。至于第二个问题，当这种分配是不同成员或办公桌的监管成本时，非唯一性可能会成为一个问题。如果没有提供额外的明确规则，成员国将面临相同总体风险的任意性供款。至于最后一个问题，系统性风险应该反映系统的依赖程度。例如，高度相关的损失虽然具有相同的边际风险，但会导致更高的系统风险和不同的最优配置。定义3.1。风险分配是一种可接受的货币分配∈ A（X）使得R（X）=Pmk。当一个风险分配是唯一确定的时，我们用RA（X）表示它。备注3.2。

根据定义，如果存在风险分配，则完整分配属性自动保持；另见第4.3节。与单变量情况不同，在单变量情况下，唯一风险分配由m=R（X）给出，在多变量情况下，存在性和唯一性不再简单。下面的例子表明存在可能会失败。例3.3。考虑损失函数`（x，y）=x+y+（x+y）+/（1）- y）- 如果y<1，则为1，并且∞否则因此A（0）={m∈ R:m>-1和1≥ -M-m+(-M-m） +/（1+m）}。计算得到R（0）=infm>-1{m- （m+3m+1）/（m+2）}=-1.然而，该数字并未达到。我们的下一个结果引入了风险分配存在唯一性的条件。定义3.4。如果向量x分量的每个置换π都成立，我们称损失函数为置换不变量。请注意，示例3.3中使用的损失函数不是置换不变量。我们用Z={u表示∈Rd:Puk=0}零和分配的集合。定理3.5。如果`是一个置换不变的损失函数，那么，对于每个X∈ Mθ，风险分配M*存在它们的特点是一阶条件1∈ λ*E[` （十）- M*)] 和E[`（X- M*)] = 0，（3.1）式中λ*是拉格朗日乘数。特别地，当`没有衰退Except0的零和方向时，解的集合（m*, λ*) 一阶条件（3.1）是有界的。如果`（x+·）沿零和严格凸，则为每个x分配`（x）≥ 0，则风险分配是唯一的。证据设m在A（X）中，根据定理A.1，它保持+A（X）=U∈ Rd:E[`（X- M- （ru）]≤ 0，对于所有r>0=U∈ Rd:supr>0E`（十）- M- （ru）- `（0）r≤ 0=U∈ Rd:Esupr>0`（X- M- （ru）- `（0）r≤ 0= -关于衰退锥和函数的概念和性质，我们请读者参考附录A。

特别是，如果`除了0之外没有衰退的零和方向，那么`是一个无偏损失函数。此外，我们定义了f（m）=Pmk+δ（m | A（X））。由此可知，f是递增的，凸的，下半连续的，适当的，因此R（X）=inf≥Pxk-c和R（X）>-∞, 为了b∈ A（X）它能保持-∞ < R（X）≤Xbk+rXuk≤ γ < ∞ b+ru∈ A（X）表示0+f=Z∩ 0+A（X）=-Z∩ 0+`. 根据[42，定理27.1（b）]，风险分配的存在取决于f沿其衰退方向0+f为常数，根据定理a。1，相当于u∈ 0+f意味着(-u）∈ 0+f。然而，由于`是置换不变的，所以0+`=-0+`因此u∈ 0+f意味着-U∈ 0+f。因此存在风险分配。特别是，如果0+`=0，那么根据[42，定理27.1，（d）]，风险分配集是非空且有界的。此外，由于E[`（X- m） ]<0对于一些足够大的m，凸优化问题R（X）=infmf（m）的Slater条件已满。因此，根据[42，定理28.1,28.2和28.3]，最优解m*其特点是（3.1）。最后，让m6=n为两个风险分配。因此αm+（1- α） n也是每个α的风险分配∈ [0, 1]. 此外- n） 是零和分配。通过凸性，0=E[`（X- αm- (1 - α） n）]≤ αE[`（X）- m） ]+（1- α） E[`（X）- n） ]=0每0≤ α ≤ 1，这表明α`（X- m） +（1）- α） `（X）- n） =`（X）- αm- (1 - α） n）P——几乎可以肯定的是，每0≤ α ≤ 1.由于`（x+·）对于每个x在Z上是严格凸的，所以`（x）≥ 0，它跟在p[`（X）后面- αm- (1 - α） n）<0]=1，每0≤ α ≤ 1，特别表明E[`（X- m） 这是一个矛盾。推论3.6。设`是一个置换不变的损失函数，使得`（x+·）是严格凸的，并且每个x都有`（x）的零和分配≥ 0