最小化退休时破产的概率

实际账户余额（t=0）0（RF（0）*（1+1/1）射频（1）10/1（1）无线射频（1）10/1（1）微波（1）无线（1）无线（1）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）实际账户余额（0）射频（0）射频（0）射频（0）射频（0）真实账户余额（0）射频（0）真实账户余额（0）真实账户余额（0）真实账户余额（t（t（t（t）射频（0）射频（0）射频（0）实际账户（t（0）实际账户（t）实际账户余额（t（t）10）10）10）数字（t（t（t（t=1）1）1）1）1）1）1）1）1）10）10）数字（t（t（t（t（t（t（t=1）1）1：（$A）*RF（0）/RF（t-1）实际账户余额（t=t）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*（（t，α））–（$A）*WR）引理A1。（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.3）（A.4）（A.4）（A.1）（A.1）（A.1）（A.1）（A.1）（A.1）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（A.2）（剩下的是肌萎缩侧索硬化症。这句话是A1命题的直接结果。也就是说，1/RF（t）=在时间t剩余的实际提款的#，和RF（t）=1/（在时间t剩余的实际提款的#）。附录B.给定破产标准C（t-1）命题B1：给定破产标准C(≤ t-1），破产（t）发生在（t，α）≤ 射频（t-1）。证明：实际账户余额（t=t-1）：（$A）*RF（0）/RF（t-1）实际账户余额（t=t-1）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1实际账户余额（t=t）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1*（1+R（t，α））*（1–ER）实际提款金额（t=t）：（$A）*（WR）*∏1.我我1破产所需的条件（t）：≤（1+R（t，α））*（1-ER）*[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1. ≤  （$A）*（WR）*∏1.我我1.<-> （1+r（t，α））*（1-ER）*[1/RF（t-1）] ≤  1.<-> （t，α） ≤  RF（t-1）该值是提取前的值。引理A1。（A.7a）（A.7b）（A.7c）（A.7d）由提案A1提出。账户余额（t=t）提款金额（t=t）（A.8a）（A.8b）（A.8c）（A.8d）（A.8e）（A.8f）（A.8g）附录C.固定TDC的归纳法。1时间t=t的入职假设退休人员在时间t=t到达并进行最后一次退出。

受限样本空间S={C(≤ TD）}包含单个事件，如右图所示。退休人员无需计算RF（TD），因为不再有提款，但自RUNC以来，RF（TD）>0（如果计算）(≤ TD）已经发生。当t=TD，P（破产（>TD））=0，且值函数的充分条件（bc.）为V（TD，RF（TD））=0，RF（TD）>0。C.2 t=TD时入职——假设退休人员在t=TD-1时到达，进行第二次最后退出，并有一次剩余。破产因子RF（TD1）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-1，α）计算得出的。退休人员现在面临限制样本空间S={ruint（TD），RuinC(≤ 如图所示，并寻求使P（破产（TD））最小化的α。这个直接的决定是使用第II-F节中介绍的框架做出的。也就是说，TheRetrie比较了各种资产配置的尾部概率，并选择了使P（破产（TD））最小的一个。这种优化可以表示为：V（TD-1，RF（TD-1））=Min  P（破产（TD）→ V（TD-1，RF（TD-1））=Min  1-P（C（TD））→ V（TD-1，RF（TD-1））=Min  1-P（（TD，α）>RF（TD-1））→ V（TD-1，RF（TD-1））=Min  1–（1–F（TD，α）（RF（TD-1）），已知破产因子RF（TD-1）。这里，F（TD，α）（·）表示（TD，α）的已知/估计CDF。注意，由于V（TD，RF（TD））=0，我们可以将V（TD-1，RF（TD-1））等价地表示为：（C.1b）（C.1c）（C.1a）（C.1d）V（TD-1，RF（TD-1））=Min1–（1–F（TD，α）（RF（TD-1）））*（1–E（TD，α）+[V（TD，RF（TD））），具有最佳的=α（TD-1，RF（TD-1））。C.3 t=TD时入职–2假设退休人员在t=TD-2时到达，最后一次退出，并有两次剩余。破产系数rf（TD-2）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-2，α）计算得出的。

退休人员现在面临限制样本空间S={ruint（TD-1），ruint（TD），RuinC(≤ 如图所示，并寻求做出最优资产配置决策，以最小化P（破产（>TD-2））=P（破产（TD-1）∪破产（TD）），即未来任何时间点破产的可能性。使用（6b）和（6c），我们将P（破产（>TD-2））表示为：P（破产（TD-1）∪破产（TD））=1-P（破产C（TD-1）∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-1））*P（RuinC（TD）|RuinC（TD-1））。值函数表示为：V（TD-2，RF（TD-2））=Min1-P（RUNC（TD-1））*P（RUNC（TD）| RUNC（TD-1））→  V（TD-2，RF（TD-2））=Min  1-P（（TD-1，α）>RF（TD-2））*P（（TD，)> RF（TD-1）|（TD-1，α）>RF（TD-2））→ V（TD-2，RF（TD-2））=Min  1-P（（TD-1，α）>RF（TD-2））*,∩,,为了便于标注，添加了最右边的术语。回想一下，V（TD，RF（TD））=0RF（TD）>0，因此它是0的期望值。此外，如第II-G.1节所示，（TD，α）+=（（TD，α）|（TD，α）>RF（TD-1）。我们的惯例是让 指的是在未来某个时间点处于最佳状态的α，并让α表示在当前时间点处于最佳状态的α。最优 始终需要将电流V（·）降至最低。（C.3a）（C.3b）（C.4a）（C.4b）（C.4c）对于所有RF（t）>0的情况，该概率的最佳值刚刚在时间t=TD-1时推导出来。时间t=TD时诺鲁因的概率。预期的问题。考虑到破产c（TD），在t=TD之后没有破产。（C.2）（C.4c）中比率的分子反映了在t=TD-1和TD时避免破产的概率。根据定义，这是联合PDF f（（TD-1，α），（TD，)) 概率论中定义的区域。该区域存在于（TD-1，α）–（TD，)平面和关节PDF定义了一个位于平面上的三维对象。

我们通过对给定区域上的联合PDF进行积分来计算所需体积。由于（TD）的积分限制，)依赖于（TD-1，α），我们必须处理（TD，)首先，（TD，)范围从RF（TD-1）到∞.  在这个诱导步骤中，（TD-1，α）的范围从恒定的RF（TD-2）到∞.  （TD-1，α）–（TD，)平面如图A1的横剖面线所示。假设转弯是钟形的，那么一个三维山丘物体（见右图）描绘了SF（（TD-1，α），（TD，)).  所需的概率是该物体在所示区域上的体积，我们必须在时间t=TD-2时对所有α进行评估。改变α会改变山丘的形状和位置，从而改变概率。（C.4c）中比率的分母是RF（TD-2）右侧同一固体的体积。我们寻求使（C.4c）中的整体表达式最小化的α，其中这些概率是两个分量，见下文（C.4d）。图A1。

f（（TD-1，α），（TD，)) 对于（C.4c）中分子和分母的导数→ V（TD-2，RF（TD-2））=Min    1-（1-F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,,,通过调节并假设各时间点之间的回报率是独立的，我们在比率的分子中拆分jointPDF（见附录G.2）：→ V（TD-2，RF（TD-2））=Min 1-（1-F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,,→ V（TD-2，RF（TD-2））=分钟 1-（1-F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,现在，由于RF（TD-1）是（TD-1，α）的函数，即RF（TD-1）=,（C.4f）中的值函数可以写成，一个直观的解释是，对于所有正因子X，V（TD-1，X）已经被发现，将X视为常数。在当前的诱导步骤中，我们通过α发现X是随机的，我们的控制是已知的。在对α的优化中，EX[V（TD-1，X）]然后在X.（C.4d）（C.4e）（C.4f）（C.5）的各种PDF中进行评估。根据定义，该积分是R.V.（TD-1，α）+上[1–V（·）]的期望值。这个术语是[1–V（TD-1，RF（TD-1））]之前发现的。

在DP的每个阶段都必须遵循一个优化策略。由于RF（TD-1）是（TD-1，α）的函数，因此这些积分必须保持嵌套，且排序不能互换。V（TD-2，RF（TD-2））=Min1-（1-F（TD-1，α）（RF（TD-2））*（1-E（TD-1，α）+五、T1.,)在达到最佳状态时=α（TD-2，RF（TD-2））和条件RV（TD-1，α）+=（（TD-1，α）（TD-1，α）>RF（TD-2））上的期望，其中{（TD-1，α）>RF（TD-2）}≡ {RF（TD-1）>0}。C.4 t=TD时入职–3假设退休人员在t=TD-3时到达，进行第四次最后退出，并剩余3次。破产系数rrf（TD-3）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-3，α）计算得出的。退休人员面临限制样本空间S={ruint（TD-2），ruint（TD-1），ruint（TD），ruint C(≤ 并寻求做出最优资产配置决策，以最小化P（破产（TD-2）∪废墟（TD-1）∪破产（TD）），即未来任何时间点的破产概率。

在有限样本空间下，P（破产（>TD-3））现在定义为：P（破产（TD-2）∪废墟（TD-1）∪破产（TD））=1-P（破产C（TD-2）∩ RUNC（TD-1）∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-2））*P（RuinC（TD-1）∩ RuinC（TD）|RuinC（TD-2））值函数为：V（TD-3，RF（TD-3））=Min 1-P（RUNC（TD-2））*P（RUNC（TD-1）∩ t=TD-3时的诱导与t=TD-2时的诱导几乎相同，下一步将该过程推广到t=TD-k时，然后在第II-G.1节中报告任何时间t。注意，对于所有RF（t）>0的情况，该概率的最佳值是在t=TD-2时得出的。（C.6）（C.7a）（C.7b）（C.8a）射频（TD-1）→ V（TD-3，RF（TD-3））=Min  1-P（（TD-2，α）>RF（TD-3））*P（（TD-1，)> 射频（TD-2）∩ （TD，)> RF（TD-1）|（TD-2，α）>RF（TD-3））→ V（TD-3，RF（TD-3））=Min  1-P（（TD-2，α）>RF（TD-3））*,∩,∩,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=Min  1-（1-F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,,,,,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=Min  1-（1-F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,,,,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=Min  1-（1-F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,我们要求在未来的每个阶段都要遵循一个最优的政策反映这些最佳值。

否则，V（·）不能取最小值。应用条件概率的定义。在无破产的条件下，下3个真实收益的多元密度积分。通过调节和独立性，我们将联合PDF拆分（见附录G.2）。注意，在这个时间点，退休人员可以通过选择α来控制下一个破产因子。（C.8b）（C.8c）（C.8d）（C.8e）（C.8f），因为RF（TD-2）是（TD-2，α）的函数，即RF（TD-2）=,根据定义，上面的表达式是[1-V（TD-2，RF（TD-2））]在条件RV（TD-2，α）+上的期望值，值函数可以写成：V（TD-3，RF（TD-3））=Min1-（1-F（TD-2，α）（RF（TD-3））*（1-E（TD-2，α）+五、T2.,)最优性是在=α（TD-3，RF（TD-3））和期望在条件RV（TD-2，α）+=（（TD-2，α）（TD-2，α）>RF（TD-3））上，其中{（TD-2，α）>RF（TD-3）}≡ {RF（TD-2）>0}。C.5 t=TD时的入职培训——kAssume退休人员在t=TD-k时到达，对于k=0,1，…，TD-1，并在剩余k的情况下进行（k+1）次最后退出。破产因子RF（TD-k）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-k，α）计算出来的。退休人员面临着严格的样本空间S={ruint（TD-k+1），ruint（TD-k+2），…，ruint（TD），RuinC(≤ 并寻求最优资产配置以最小化P（破产（>TD-k））=P（破产（TD-k+1）∪废墟（TD-k+2）∪… ∪ 破产（TD）），即未来任何时间点的破产概率。

在有限样本空间下，我们将P（破产（>TD-k））表示为：P（破产（TD-k+1）∪废墟（TD-k+2）∪… ∪ 破产（TD））=1-P（破产C（TD-k+1）∩ RUNC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-k+1））*P（RuinC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD）|RuinC（TD-k+1））（C.8g）（C.9）RF（TD-2）（C.10a）（C.10b）对于所有RF（t）>0的情况，在时间t=TD-k+1时得出该概率的最佳值。值函数由以下公式给出：V（TD-k，RF（TD-k））=Min 1-P（RUNC（TD-k+1））*P（RUNC（TD-k+2）∩ … ∩ 瑞恩克（TD）|瑞恩克（TD-k+1））让我来吧,=,,,,  和,:,射频T1..在t=TD-k时，向量（TD-k+2，TD）将在t=TDk+1之后的所有时间点保持随机回报，假设使用了最佳资产配置。

布景,将以k-2维表示空间，在该空间上（TD-k+2，TD）满足RuinC（>TD-k+1）的条件。→ =TD-k，TD-k  1-P（（TD-k+1，α）>RF（TD-k））*P（,∈,| （TD-k+1，α）>RF（TD-k））→ V（TD-k，RF（TD-k））=Min  1-P（（TD-k+1，α）>RF（TD-k））*,∩,∈,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=Min  1-（1-F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,,,,（C.10c）（C.10e）应用条件概率的定义。（C.10f）在无破产条件下积分的下一个k实收益的多元密度。（C.10g）（C.10d）→ V（TD-k，RF（TD-k））=Min1-（1-F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=Min  1-（1-F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=Min1-（1-F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*（1-E（TD-k+1，α）+五、TK1.,)最优性是在=α（TD-k，RF（TD-k）），期望值大于条件RV（TD-k+1，α）+=（（TD-k+1，α）（TD-k+1，α）>RF（TD-k）），其中{（TD-k+1，α）>RF（TD-k）}≡ {RF（TD-k+1）>0}。附录D.随机TDD的归纳法。1在t=smax时入职假设退休人员在t=smax时到达并进行最后一次退出。无需计算RF（SMax）（>0），因为不再有取款和破产(≤ SMax）已经发生。时间t=SMax，P（破产（>SMax））=0，a B.C。