随机价格恢复下的动态最优执行策略

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英文标题：
《A dynamic optimal execution strategy under stochastic price recovery》
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作者：
Masashi Ieda
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In the present paper, we study the optimal execution problem under stochastic price recovery based on limit order book dynamics. We model price recovery after execution of a large order by accelerating the arrival of the refilling order, which is defined as a Cox process whose intensity increases by the degree of the market impact. We include not only the market order but also the limit order in our strategy in a restricted fashion. We formulate the problem as a combined stochastic control problem over a finite time horizon. The corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequality is solved numerically. The optimal strategy obtained consists of three components: (i) the initial large trade; (ii) the unscheduled small trades during the period; (iii) the terminal large trade. The size and timing of the trade is governed by the tolerance for market impact depending on the state at each time step, and hence the strategy behaves dynamically. We also provide competitive results due to inclusion of the limit order, even though a limit order is allowed under conservative evaluation of the execution price.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了随机价格恢复下基于限价订单书动力学的最优执行问题。我们通过加速补货订单的到达来模拟大订单执行后的价格恢复，补货订单被定义为Cox过程，其强度随着市场影响程度的增加而增加。我们的策略中不仅包括市场订单，还包括限制订单。我们将该问题描述为有限时间范围内的组合随机控制问题。数值求解了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式。得到的最优策略由三部分组成：（i）初始大额交易；（ii）该期间的计划外小额交易；（三）码头大型贸易。交易的规模和时间取决于每个时间步的状态，取决于对市场影响的容忍度，因此策略是动态的。由于包含了限价单，我们还提供了竞争结果，即使在执行价格的保守评估下允许限价单。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_dynamic_optimal_execution_strategy_under_stochastic_price_recovery.pdf (1.42 MB)

2022-5-8 19:21:39 上传

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关键词：Quantitative Conservative Applications Accelerating Computation

随机价格恢复下的动态最优执行策略*++创新管理研究生院东京技术研究所2-12-1日本东京美谷大山在本文中，我们研究了基于限价订单动态的仓促价格恢复下的最优执行问题。我们通过加快补货订单的到达来模拟大订单执行后的价格恢复，补货订单被定义为Cox过程，其强度随市场影响程度的增加而增加。我们的策略中不仅包括市场订单，还包括限制订单。我们将该问题描述为有限时间范围内的组合随机控制问题。数值求解了相应的Hamilton–Jacobi–Bellman拟变分不等式。获得的最优策略由三部分组成：（i）初始大额交易；（ii）该期间的计划外小额交易；（三）码头大型贸易。交易的规模和时间取决于每个时间步的状态，由市场影响的容忍度决定，因此策略是动态的。由于包含了限价订单，我们还提供了竞争结果，即使在执行价格的保守评估下允许限价订单。关键词：最优执行；市场影响；限价订单簿；价格回升；Hamilton–Jacobi–Bellman拟变分不等式1简介最优执行问题是市场从业者和学术界都关心的问题，它寻求清算或获得大型资产头寸的最佳方式*ieda@craft.titech.ac.jpresearchers.

Bertsimas和Lo[BL98]在最优执行问题上的开创性工作，提供了一种直观的最优策略，在离散时间网格和线性市场影响下最小化采购成本，特别是在时间网格上平均分配目标资产的数量。在Almgren和Chriss[AC01]以及Almgren[Alm03]的开创性论文中，执行的绩效标准不仅包括预期收入，还包括收入不确定性的惩罚。在这些论文中，市场影响由两部分定义：临时影响和永久影响。前者考虑离散时间模型，后者考虑连续时间模型。使用市场影响的方法包括连续时间的临时和永久组成部分，以及各种风险回报标准，见Schied and Sch"oneborn[SS09]、Forsyth[For11]、Gathereal and Schied[GS11]、Kato[Kat14]和Brigo and Graziano[BD14]等论文。在最优执行问题的研究中，最近的一个趋势是加入限制订单簿（LOB）的特性。LOB的形状，或限额订单在LOB中的堆积方式，是建模市场影响的一个关键方面。LOB的弹性也是LOB的一个重要特征，它导致在执行大订单后发现的价格恢复。关于LOB相关动力学的LOBand模型的经验特征研究，我们请读者参考Almgren【Alm05】、Large【Lar07】、Bouchaud et al.【BFL09】、Hall and Hautsch【HH07】、Mukeand Farmer【MF08】、Toke【Tok11】、Gould et al.【GPW+13】和Cont et al.【CST10】。Alfonsiand Schied[AS10]、Predoiu等人[PSS11]、Kharroubi and Pham[KP10]、Guilbaud等人[GMP13]以及Obizhaeva and Wang[OW13]对最优交易执行中反映LOB信息的研究进行了阐述。

特别是，Obizhaeva和Wang[OW13]研究了线性市场影响和指数型确定性价格恢复，找到了一个由初始大额交易、在此期间预先安排的小额交易和终端大额交易组成的最优策略。本文基于LOB动力学研究了随机价格恢复下的最优执行问题。从LOB的角度来看，执行大订单后的价格恢复被视为以优先价格重新填充堆叠的限价订单。我们通过加快重新填充订单的到达来模拟价格恢复。在研究了[CST10]和[Lar07]等LOB的动态之后，我们采用了Cox过程模型来描述补货订单的到达。协同过程的强度随着市场影响的程度而增加。我们定义了两种类型的强度函数，线性函数和指数函数，前者称为弱恢复强度，后者称为强恢复强度。价格回升可能会导致等待时间，以缓解市场影响。为了缩短等待时间，我们在执行策略中不仅包括市场秩序，还包括限制秩序。在以往关于最优执行问题的研究中，与市场指令相比，限价指令是一种易于控制的指令方法，因此很少被纳入最优执行策略中。此外，据我们所知，由于大量限价订单，市场影响的动态仍然不确定。为了避免限价令带来的复杂性，包括市场影响，我们允许对限价令进行限制。我们的限价订单策略被视为一种准冰山策略。

我们再次使用考克斯过程模型来描述对应市场订单到达的动态，在我们的限制条件下，该动态过程变为泊松过程。本研究的第一个主要结果是根据每个时间步的状态提供动态执行策略。我们新的价格恢复模型被定义为一个随机过程，是策略中动态行为的来源。理解我们策略的关键是，根据剩余时间和当前状态，对市场影响的容忍度。容忍度决定了交易的规模和时间。第二个主要结果是，定量地证明在策略中包含有限顺序的有用性。提出的优化策略在数值模拟中给出了竞争性结果，即使在执行价格保守的情况下允许限制顺序。本文的组织结构如下。第2节介绍了执行问题的数学公式。我们使用组合随机控制框架，市场和限价订单策略分别由脉冲和规则随机控制来制定。本节的目标是推导相应的Hamilton–Jacobi–Bellman拟变分不等式（HJBKVI）。在第3节中，我们提出了一种求解HJBKVI的数值方法，其过程与[Ied13]中的类似。HJBKVI通过有限差分格式离散，并转化为等效的定点问题。在第4节中，我们给出了几种条件下的数值结果，特别是恢复强度函数的类型，包括或不包括极限顺序。2模型公式我们考虑销售订单的执行问题：我们必须在终端时间之前出售所有持有的股份。

让(Ohm, F，{Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，xbe是持股的初始数量，T是终点时间。我们将执行问题定义为有限时间范围内的组合随机控制问题。我们将剩余持股数量称为库存。2.1执行策略我们首先分别使用脉冲和随机控制策略制定市场和限价订单策略。我们注意到，在此框架中，我们不能同时使用限额和市场订单。市场订单策略包括每次执行的时间和每次订单的数量。设{τj}j>0为Ft停止时间序列，即市场订单执行时间序列，并设ζjbe为时间τjd定义为Fτj-可测Zj值随机变量的市场订单量，其中Zj R+\\{0}。我们禁止卖空，即在时间τj时受存货限制的ZJI。我们表示v={τj，ζj}j>0，并注意到v满足脉冲控制策略的定义。。我们在以下限制条件下允许限价订单：（i）订单量足够小；（ii）无论报价如何（见第2.3节方程式（5）），限价单的执行价格评估为略高于最佳投标价格的价格（按固定价差大小s）。然后，我们的限价订单策略由一个因素组成，即限价订单量。我们用L表示控制集 R+，这是允许我们选择作为限制订单量的一组值。我们通过泊松过程（例如参见[CST10]）来描述counterpart订单到达我们的限制订单。我们用lt表示∈ 五十、 NLandλL时间t的极限阶体积，泊松过程分别描述对应阶的到达和nl的强度。2.2价格过程和市场影响我们接下来定义与资产价格相关的过程。

设Pt为时间t时市场销售订单的资产价格过程中未受影响的部分，并假设Pt遵循随机微分方程dPt=σ（t，Pt）dWt，P=P∈ R+。我们注意到，PTI是最佳出价，而不是中间价。我们用Ξvt表示时间t的市场影响程度，它由dΞvt=-ΔΞdNΞt，τj≤ t<τj+1，Ξvτj+1=Ξvτ-j+1+Γ（ζj+1），j=0，1，2，··，Ξv=0，（1）其中NΞ是强度为λΞ（Ξv）的Cox过程。市场秩序通过函数Γ增加市场影响，影响随着过程nΞ恢复。NΞ过程是本研究的重点。以前的研究用确定性函数描述Ξtwi的动力学。相比之下，我们的新模型更准确地描述了动力学，因为它在动力学中包含了LOB的特征。价格恢复被视为与LOB中限价单的到达相对应的随机事件。该价格恢复模型基于以下观点：（i）一个大的市场订单消耗了叠加的限价订单；（ii）以第一价格消费的订单由新的限额订单重新填写；（iii）补足消费订单的限价订单的到达频率高于通常的限价订单。在我们的模型中，通过增加强度λΞ实现了极限阶的频繁到达。[Lar07]等实证研究也采取了类似的方法。基于上述观点，我们将λΞ（ξ）定义为ξ的增函数，并提出以下两种候选方案：由指数函数λΞ（ξ）=λλ定义的强恢复强度e′λξ- 1., （2） 在文献中，到达由Cox过程建模，其强度取决于传播大小。我们的情况与固定的传播规模一致，因此强度是固定值。

因此，到达过程实际上是由泊松过程描述的。由线性函数λΞ（ξ）=λξ定义的弱恢复强度。（3） 2.3存货和现金持有量假设XWT是时间t时的存货，即剩余股份的数量。那么XWT由dXwt=-ltdNLt，τj≤ t<τj+1，Xwτj+1=Xwτ-j+1- ζj+1，j=0,1,2，···，Xw=x，（4）其中NLT是一个泊松过程，描述对应订单到达我们的订单。我们用ywt表示时间t的现金持有量。ywtar的动态描述为dYwt=lt（Pt- Ξt+s）dNLt，τj≤ t<τj+1，Ywτj+1=Ywτ-j+1- ζj+1（Pτj+1- τj+1），j=0，1，2，·Yw=0。（5） 我们注意到，销售订单执行的利润是保守评估的。如等式（5）第二行所示，市场订单的执行价格被认为是受市场订单影响的最低价格。有限订单的执行价格略高于最佳投标价格Pt+Ξt，该价格被视为可报价的最低价格。因此，在当前设置下，限价令的优势主要是避免市场影响。2.4 HJBQVIWe定义了Jwt，时间t时的性能标准，asJwt（x，y，p，ξ）=Ehg（XT，YT，PT，Ξt）Xt=x，Yt=y，Pt=p，Ξt=ξi，其中w=（l，v）是组合随机控制策略，g:R+×R×R×R+→ R.我们指出，我们的性能标准仅取决于终端状态。值函数vt由vt（x，y，p，ξ）定义：=supwJwt（x，y，p，ξ），相应的HJBQVI由（参见。

[OS07]）最大tVt（x，y，p，ξ）+supl∈LnLlVt（x，y，p，ξ）o，supζ∈Z（x）nMζVt（x，y，p，ξ）o- Vt（x，y，p，ξ）= 0（6），终端条件VT（x，y，p，ξ）=g（x，y，p，ξ），其中Llis是多维随机过程（Xt，Yt，Pt，Ξt）的最小生成元LlVt（x，y，p，ξ）=σ（t，p）pVt（x，y，p，ξ）+λLVt（x）- l、 y+（p- ξ+s）l，p，ξ）- Vt（x，y，p，ξ）+ λΞ(ξ)Vt（x，y，p，ξ）- δΞ) - Vt（x，y，p，ξ）, （7） λLis是NLt的强度，Mζ是描述干预的算子：MζVt（x，y，p，ξ）：=Vt十、- ζ、 y+P- ξ - Γ(ζ)ζ、 p，ξ- Γ(ζ). （8） 3.数值方法3。1终端财富标准和价值函数的简化形式为了数值求解HJBQVI，我们首先指定函数g的形式。在对市场影响进行实证研究（如[Alm05]）之后，我们使用幂律函数来描述市场影响：Γ（x）=θxθ，（9）其中θ，θ∈ R+。我们将性能标准定义为终端财富，包括终端执行。函数g由g（x，y，p，ξ）=y+（p）决定- ξ - Γ（x））x。

（10） 上述等式的第二项表示终端执行。在当前设置中，我们可以通过替换ansatz Vt（x，y，p，ξ）=y+x（p），从valuefunction中删除参数y和p-ξ） +φt（x.ξ），使HJBQVI（6）变得最大tφt（x，ξ）+supl∈LnλLhφt（x- l、 ξ）- φt（x，ξ）+lsio+λΞ（ξ）hφt（x，ξ）- δΞ) - φt（x，ξ）+xΔΞi，（11）supζ∈Z（x）nφt（x）- ζ, ξ + Γ(ζ)) - xΓ（ζ）- φt（x，ξ）o= 0终端条件φT（x，ξ）=-xΓ（x）.3.2 HJBQVI的离散化我们使用有限差分格式对HJBQVI（11）进行离散化，网格大小（δt，δx，δξ）：maxφtk+1（xix，ξiξ）- φk（xix，ξiξ）δt+supl∈LδnλLhφtk（xix- l、 ξiξ）- φtk（xix，ξiξ）+lsio+λΞ（ξiξ）hφtk（xix，ξiξ）- δΞ) - φtk（xix，ξiξ）+xixΔΞi，（12）supζ∈Zδ（xix）nφtk（xix）- ζ、 ξiξ+Γ（ζ））- xixΓ（ζ）- φt（xix，ξiξ）o= 其中k，ix，iξ∈ N、 tk=kδt，xix=ixδx，ξiξ=iξδξ，Lδ和Zδ（x）是L和Z（x）的离散集。离散化的终端条件表示为φtNt（xix，ξiξ）=-xixΓ（xix），其中Nt=TδT，其他网格数由Nx=xδx和Nξ=g（x）Δξ表示。