用资产价格预测趋势

因为这个过程*假设Ws是独立的，则bu的方差由等式（15）中各项的方差之和给出。此外：Var中兴λβdWSs=e2λβt- 12λβ，Var中兴λμβsu*十二烷基硫酸钠=中兴通讯λμβ（s+s）Covu*s、 u*sDSD和Covu*s、 u*s由等式（12）给出。过程的变化如下。3.2. 过滤参数规格错误。参数规格错误对趋势过滤的影响可以通过过滤器和隐藏过程之间的差异来衡量。下面的定理给出了残差定律。定理3.2。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u以及公式（15）中定义的趋势估计。在这种情况下，过程bu-u*是一个中心高斯过程，其方差有一个平稳极限：limt→∞Var[but- u*t] =σS2βλu(β - 1)+ λ*u(β*)- 1.λ*uβ + λuλuβ + λ*u,（16） 其中β=β（λu，σu，σS）和β*= βλ*u, σ*u，σS（见等式（9））。此外，如果（σu，λu）=σ*u, λ*u, 等式（16）变成：limt→∞Var[bu*T- u*t] =λ*σS（β）*- 1) . （17） 证据。使用方程式（15），可以得出过程bu- u*是一个中心高斯过程。这种差异的方差可以用封闭形式计算：Var[but- u*t] =Var[but]+Var[ut]*[t]- 2.*Cov[but，u*t] ，其中Var[u*t] =（σ）*u)2λ*u1.- E-2λ*ut, Var[but]由引理3给出。1.由于工艺和工艺*应该是独立的，我们有：Cov[but，u*t] =λu（β）- 1)σ*u2λ*u1 - E-(λuβ+λ*u）tλμβ+λ*u-E-2λ*ut- E-(λuβ+λ*u）tλβ- λ*u！。渐近方差是通过使t趋于一致性：limt获得的→∞Var[but- u*t] =λu（β）- 1)2β\"(β - 1） σS-σ*u(β + 1)λ*uλuβ + λ*u#+σ*u2λ*u，方程式（16）如下。最后，通过将θ趋向于θ得到方程（17）*. 备注3.3。考虑具体情况（σu，λu）=σ*u, λ*u. 利用等式（17），可以得出以下结论：limt→∞Var[bu*T- u*t] Var[u*t] =1+s1+（σ）*u)(λ*u）σS。

（18） 然后，特定残差的渐近相对方差是λ的递增函数*μ和σ的递减函数*u.3.3. 检测到积极的趋势。在实践中，趋势估计（是否有误）可用于投资决策。例如，积极的估计会导致多头仓位。所以，知道正趋势的概率，知道正估计，是很有趣的。我们以封闭形式导出这个概率。下面的命题给出了趋势（μ）的渐近条件定律*t|^ut=x）：命题4。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u以及公式（15）中定义的趋势估计。在这种情况下：（u）*t|^ut=x）L→T→∞NM∞u*|^u，Var∞u*|^u, （19） 与：M∞u*|^u=λ*uβ(β*)- 1.(β - 1)λuβ + λ*u(β*)x、 （20）Var∞u*|^u=Var∞u*1.-λ*uλuβ(β*)- 1.λ*u+ λuβλuβ + λ*u(β*)!, （21）凡∞u*=(σ*u)2λ*u.此外，如果（σu，λu）=σ*u, λ*u, 等式（19）变成：（u）*t|^u*t=x）L→T→∞Nx、 2Var∞u*β*+ 1., （22）在哪里*= βλ*u, σ*u，σS（见等式（9））。证据自估算以来^u和趋势^*是两个中心相关的高斯过程（见引理3.1和定理3.2的证明），条件定律（u*t|^ut=x）是高斯分布，其均值和方差为：Mu*t|^ut=Cov（^ut，u*t） Var[^ut]x，Varu*t|^ut=Var[u*[t]-冠状病毒（微特，微特）*t） Var[^ut]。使用引理3.1和Cov的表达（^ut，u*t） 在第3.2条的证明中：limt→∞Mu*t|^ut=M∞u*|^u，limt→∞Varu*t|^ut=Var∞u*|式（19）如下。此外，公式（22）是通过将θ趋向于θ得到的*. 以下命题是前一命题的结果。它给出了正趋势的渐近概率，知道正估计等于x。命题5。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u以及公式（15）中定义的趋势估计。

在本例中：limt→∞P（u）*t> 0|^ut=x）=P∞(u*> 0|^u=x，（23）式中∞(u*> 0|^u=x）=1- Φ-M∞u*|^u=xqVar∞u*|^u=x, （24）其中M∞u*|^u=x和Var∞u*|^u=方程（20）和（21）中定义的x，Φ是标准正态分布律的累积分布函数。此外，如果x>0且（σu，λu）=σ*u, λ*u, 这种渐近概率成为σ的递增函数*μ和λ的递减函数*u.证据等式（23）和（24）来自命题4。现在，考虑一下具体情况（σu，λu）=σ*u, λ*ux>0。使用等式（22），可以得出以下结论：Var∞u*|^u*=x=fσ*u, λ*u，σS,何处σ*u, λ*u，σS=σ*uλ*u1+s1+（σ*u）σS（λ）*u)!.自从Fλ*uσ*u, λ*u，σS=-σ*uλ*u1+s1+（σ*u）σS（λ）*u)+(σ*u）σS！≤ 0,Fσ*uσ*u, λ*u，σS=λ*uσ*σSs1+（σ*u）σS（λ）*u)σ*u+ σSλ*u≥ 0表示具有正趋势的渐近明确概率，知道等于x的正估计是σ的递增函数*μ与λ的增函数*u. 备注3.4。这个概率是x的一个递增函数。事实上，高估计比低估计更容易检测到真实趋势的迹象。而且，这个概率总是优于0。5.这是由于趋势和过滤器之间的非零相关性。如前几节所示，趋势过滤更容易，现货波动较小。这里，良好检测的概率也是σS.4的递减函数。模拟在本节中，计算数值示例是为了让读者了解趋势过滤问题。首先，在不同的趋势模式下，说明了使用统计估计器进行趋势预测的可行性。然后，还讨论了不良预测对趋势过滤和积极趋势检测的影响。4.1. 趋势预测的可行性。

假设只有离散时间观测可用，且离散时间步长等于δ=1/252。在这种情况下，代理使用风险集的每日收益来校准趋势。我们还假设代理使用无偏估计。考虑到T年的观测，Cramer-RaoBound由以下公式得出：CRBT（θ）=I-1（θ）T* 252，其中I（θ）由定理2.4给出。该矩阵得到了最小置信域。在实践中，参数θ的实际值未知，并计算渐近置信域（用Fisher信息矩阵I中的估计值^θ代替θ）^θ).由于本小节的目的是评估这个问题的可行性，我们假设我们知道参数的实际值。然后可以计算出真正的Cramer-Rao界。假设参数θi的目标标准偏差xi是固定的。在这种情况下，为了达到精度xi，观测值的长度必须优于：Txi=我-1(θ)ii252* xi我们考虑固定现货波动率σS=30%，每个参数θi的两个目标精度，并计算几个配置的txi。图1、2、3和4代表了结果。众所周知，对于高测量噪声，这意味着高现货波动性，由于低信噪比，问题更难解决。波动率越高，观测时间就必须越长。在这里，我们观察到，漂移波动率σu越高，λu越低，问题就越容易解决。事实上，漂移值更高，更容易检测。此外，仿真结果表明，经典估计器不能适应如此微弱的信噪比。即使经过长时间的观察，估计量也表现出很高的方差。事实上，最短的观测周期优于29年。

它对应于实际参数λu=1的目标标准偏差等于0.5，趋势标准偏差等于σu（2λu）-1/2≈ 63%. 因此，对于这种配置，经过30年的观察，标准偏差等于实际参数值λu的50%。742年后，这个标准偏差等于10%。即使在这种情况下，趋势预测也不可能达到很高的精度。达到标准的时间（σ^u）=0.05σμλ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.97891011121314图1。达到目标标准偏差的时间σu等于0.05（ln（年））达到标准偏差的时间σu=0.01σuλ11.52.53.54.50.1 0.20.30.40.40.50.5 0.6 0.70.8 0.910111213114151617图2。达到目标标准偏差的时间σu等于0.01（ln（年））达到标准偏差的时间（λ^）=0.5σuλ1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.94681012141618图3。达到目标标准偏差的时间λu等于0.5（ln（年））达到标准偏差的时间（λ^）=0.1∑λ1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.968101214161820图4。达到目标标准偏差λu等于0.1（ln（年））4.2的时间。参数规格错误对趋势过滤的影响。本小节说明了参数规格错误对趋势过滤的影响。利用定理3.2的结果，我们表示，对于不同的配置，以及对于良好和错误指定的情况，趋势和过滤器之间残差的共有标准偏差。图5和图6代表了不同配置在特定情况下（代理使用参数的实际值）趋势和残差的渐近标准偏差。

如等式（17）所示，特定残差的渐近标准偏差是漂移波动率σ的递增函数*u和参数λ的递减函数*u. 对于λ*u=1和σ*u=90%，残差的标准偏差（\'44%）低于趋势的标准偏差（\'64%）。对于高λ*u和微小漂移波动，这两个量大致相等。该图得出的结论与等式（18）相同。事实上，与校准问题一样，趋势过滤问题在λ最小的情况下更容易解决*u和高漂移波动率σ*u.现在考虑最坏的配置σS=30%，λ*u=5和σ*u=10%. 图7表示不同估计（λu，σu）的残差的渐近标准偏差。该状态对应于等于σ的趋势标准偏差*u2λ*u-1/2≈ 3.2%，在特定情况下，残差的标准偏差等于3.16%。如果代理使用λu=1和σu=90%的卡尔曼滤波器，残差的标准偏差将优于25%。最后，考虑最佳配置σS=30%，λ*u=1和σ*u= 90%. 图8表示不同估计（λu，σu）残差的渐近标准偏差。该制度对应于等于σ的趋势标准偏差*u2λ*u-1/2≈ 63%，在特定情况下，残差的标准偏差等于44%。如果代理使用λu=5和σu=10%的卡尔曼滤波器，残差的标准偏差将超过60%。即使有一个良好的制度，参数误判对趋势过滤的影响也不容忽视。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.00.10.20.30.40.50.6图5。

趋势的渐近标准偏差作为趋势参数的函数，σS=30%。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.050.100.150.200.250.300.350.400.45图6。特定卡尔曼滤波器残差的渐近标准偏差，作为趋势参数的函数，σS=30%。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.050.100.150.200.25图7。误指定卡尔曼滤波器残差的渐近标准偏差，作为趋势估计参数的函数，σS=30%，λ*u=5和σ*u= 10%.σμλ1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.450.500.550.60图8。误指定卡尔曼滤波器残差的渐近标准偏差，作为趋势估计参数的函数，σS=30%，λ*u=1和σ*u= 90%.4.3. 检测到积极的趋势。在本小节中，使用等式（24）说明了具有正趋势的渐近概率，已知等于阈值x的趋势估计。为了比较不同趋势状态的概率，我们选择了一个等于过滤器标准偏差的阈值。首先，这个数量在实践中是可分的。此外，由于连续时间错误指定的滤波器^u是一个中心高斯过程，因此^u达到或低于其标准偏差的概率与参数无关σ*u, λ*u，σu，λu，σS. 首先，假设代理使用参数的实际值，并考虑渐近概率（u）*> 0|^u*=pV^u*有一个积极的趋势，知道一个估计等于它的标准偏差。图9代表了不同制度的这种可能性。如命题5所示，在特定情况下，这种概率是趋势波动率σ的递增函数*μ和λ的递减函数*u.

与校准和滤波问题一样，较小的λ更容易检测*u和高波动性。现在，假设代理使用了错误的估计值（σu，λu）。在这种情况下，代理实施连续时间错误指定卡尔曼滤波器。图10和图11表示渐近概率Pu*> 0|^u=pV^u对于图9中最好和最差的配置。如备注3.4中所述，即使参数校准不好，该概率也始终小于或等于0.5。在每种情况下，如果知道一个估计值等于其标准偏差，则出现正趋势的概率不会随着参数的误差而有很大变化。这一数量似乎对参数规格具有鲁棒性。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.500.550.600.650.700.750.800.85图9。给定一个明确的估计值，其正四分之一的渐近概率等于其标准偏差，σS=30%。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.800.810.820.830.840.85图10。给定一个误报估计值等于其标准偏差且σS=30%，λ为正的渐近概率*u=1和σ*u= 90%.σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.51000.51050.51100.51150.51200.51250.51300.5135图11。给定一个误报估计值等于其标准偏差且σS=30%，λ为正的渐近概率*u=5和σ*u= 10%.5. 结论本研究试图用一个基于未观察到的均值回复差异的模型来说明趋势过滤的困难。

该模型属于线性高斯空间状态模型。这种系统的优点是有一种在线估计方法：卡尔曼滤波器。在实践中，模型参数未知，因此过滤参数的校准至关重要。线性和高斯情形允许以闭合形式计算可能性。卡尔曼滤波器也可用于此演算。这些方法可以推广到非常数波动率，经典估计量可以很容易地应用。虽然这种框架特别便于预测，但分析结果表明，经典估计量并不适应如此微弱的信噪比。此外，线性和高斯模型也存在不足。在实践中，由于跳跃、波动和波动，金融资产回报率是重尾的（见[23]）。因此，在很长的观测范围内，这种稳定性是无法保证的。然后，与线性和高斯框架相比，用真实数据进行趋势过滤的问题更加困难。在这个简单的模型中，可接受精度所需的观测范围太长。因此，不能保证收敛性，错误规定对趋势过滤的影响也不容忽视。我们肯定得出结论，不可能精确地估计趋势。尽管存在这些困难，但趋势和估计值之间的非零相关性（无论是否有误报）可用于检测正（或负）趋势。附录A：离散卡尔曼滤波器框架。本节以[17]为基础。离散卡尔曼滤波器是一种递归方法。考虑两个对象：观测值{yk}和系统状态{xk}。该滤波器基于高斯-马尔可夫一阶模型。

考虑以下系统：xk+1=Fkxk+vk，yk=Hkxk+uk。第一个方程是一个先验模型，即系统的过渡方程。矩阵FK是转移矩阵，vkis是转移噪声。第二个方程是测量方程。矩阵XHKIS命名为测量矩阵，UK表示测量噪声。其目的是确定潜在的过程{xk}。这两种噪声分别为白噪声、高斯噪声、中心噪声和去相关噪声。特别是：E“ukvkulvlT#=Ruk0 Rvkδkl。这两种噪声也被认为与x无关，并且初始状态是高斯的。所以，可以用一个递归证明，所有状态都是高斯的。因此，只需要平均值和协方差矩阵来描述状态。估计分两步进行。第一个是给定^xk+1/k和Γk+1/k=E的先验估计（xk+1）- ^xk+1/k）（xk+1）- ^xk+1/k）T. 当新观测值可用时，对估计值进行校正，以获得^xk+1/k+1和Γk+1/k+1=E（xk+1）- ^xk+1/k+1）（xk+1- ^xk+1/k+1）T.这是一个后验估计。后验估计所考虑的标准是最小二乘法，它对应于Γk+1/k+1轨迹的最小化。滤器