用资产价格预测趋势

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英文标题：
《Forecasting trends with asset prices》
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作者：
Ahmed Bel Hadj Ayed, Gr\\\'egoire Loeper, Fr\\\'ed\\\'eric Abergel
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we consider a stochastic asset price model where the trend is an unobservable Ornstein Uhlenbeck process. We first review some classical results from Kalman filtering. Expectedly, the choice of the parameters is crucial to put it into practice. For this purpose, we obtain the likelihood in closed form, and provide two on-line computations of this function. Then, we investigate the asymptotic behaviour of statistical estimators. Finally, we quantify the effect of a bad calibration with the continuous time mis-specified Kalman filter. Numerical examples illustrate the difficulty of trend forecasting in financial time series.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑一个随机资产价格模型，其中趋势是不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程。我们首先回顾了卡尔曼滤波的一些经典结果。可以预期，参数的选择对于将其付诸实践至关重要。为此，我们得到了封闭形式的可能性，并提供了该函数的两个在线计算。然后，我们研究了统计估计的渐近行为。最后，我们用连续时间错误指定的卡尔曼滤波器量化了错误校准的影响。数值例子说明了在金融时间序列中进行趋势预测的困难。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Forecasting_trends_with_asset_prices.pdf (469.4 KB)

2022-5-8 19:44:51 上传

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关键词：价格预测 资产价格 Quantitative Applications Econophysics

资产价格预测趋势。在本文中，我们考虑一个随机资产价格模型，其中趋势是不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程。我们首先回顾了卡尔曼滤波的一些经典结果。可以预期，参数的选择对于将其付诸实践至关重要。为此，我们得到了封闭形式的可能性，并提供了该函数的两个在线计算。然后，我们研究了统计估计量的渐近行为。最后，我们用连续时间错误指定的卡尔曼滤波器量化了错误校准的影响。数值例子说明了在金融时间序列中进行趋势预测的困难。动机资产价格可以用随机游走很好地描述。Louis Bachelier（见[2]）于1900年提出的经济基础是，在一个高效的市场中，价格变化反映了新的信息，因此近似于随机变化。1959年，奥斯本（见[29]）提出了第一种分析和现实的方法，他将收益建模为普通的随机游走。在这种情况下，未来的回报是不可预测的。然而，人们对这一主题有不同的看法，趋势跟踪策略是大宗商品交易顾问的主要回报来源（见[21]）。此外，大多数定量策略都基于从资产价格中提取趋势的假设（见[24]，[26]）。该组件包含有关全球变化的信息，有助于预测。由于高测量噪声，这种估计是一个非常困难的问题。

例如，考虑具有常数trenddStSt=udt+σSdWSt的简单模型：时间t的最佳趋势估计为but=Trtdsss。如果| but |>qασs，学生的t检验将在时间t拒绝假设u=0√T、 qα>1（qα=1.96，相当于5%的显著水平）。例如，当σS=30%时，如果T>qα900年，估计值buT=1%在统计上是相关的。通常，考虑未观察到的随机趋势，并使用过滤方法（见[19]、[30]、[20]或[4]）。大多数过滤器都引入了参数化趋势模型。因此，这些方法面临着参数的选择。基于贝叶斯方法（例如卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器或粒子滤波器）或定量金融、实验室MAS、CentraleSup elecBNP-Paribas全球市场最大似然估计（见[22]、[28]、[3]、[9]或[11]），过去已经对隐过程的推断进行了几项研究。许多研究人员将这些方法应用于金融时间序列，但他们通常关注随机波动过程（见[16]、[13]、[18]或[10]）。这项工作的目的是评估由未观察到的均值回复差异建模的预测趋势的可行性。论文组织如下：第一部分介绍了模型，并回顾了卡尔曼滤波的一些结果。第二部分致力于利用离散时间观测推断参数。由于所有的统计估计都是基于似然的，因此给出了该函数的两个递归计算。

基于Valentine-Genon-Catalot的结果（详情参见[15]），通过给出统计估计的渐近行为，并以闭合形式提供Cramer-Rao界，来评估统计估计的性能。在第三节中，我们介绍了连续时间误码卡尔曼滤波器（如[25]中所述，作者考虑了Anaset的情况，其趋势在未知随机时间发生变化），该滤波器考虑了参数的错误校准。首先，参数规格错误对趋势过滤的影响通过过滤器（规格错误与否）和隐藏过程之间的残差法进行量化。然后，我们推导出了在知道一个正估计的情况下，有一个正结果的概率。由于趋势和过滤器之间的非零相关性，该概率始终优于0。5.最后，数值例子说明了这种校准的困难，并表明参数规格错误对趋势过滤的影响不容忽视。1.框架本节首先介绍模型，该模型对应于未观察到的均值回复差异。在离散模型后，我们回顾了卡尔曼滤波方法。1.1. 模型1.1.1. 连续时间模型。以一个生活在惊世骇俗基础上的金融市场为例(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft}是对Ohm, andP是客观的概率度量。假设风险资产S的动态由以下公式给出：dStSt=utdt+σSdWSt，（1）dut=-λutdt+σudWut，（2）带有wsw和u两个不相关的维纳过程，且u=0。我们还假设（λu，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+趋势μ和布朗运动是F适应的。备注1.1。让FS=FSt是价格过程产生的强化过滤。只有FS适应的过程是可观察的，这意味着该市场的代理商没有观察到趋势u1.1.2。离散时间模型。设δ为离散时间步长。

为了简化符号，k用于tk=kδ。离散时间模型为：yk+1=Sk+1- SkSkδ=uk+1+uk+1，（3）uk+1=e-λΔuk+vk，（4）其中英国~ N0，σSδ和vk~ N0,σu2λu1.- E-2λuδ. 系统（3）-（4）对应于AR（1）加噪声模型。1.2. 最佳趋势估计器。1.2.1. 离散卡尔曼滤波器。在本小节中，参数θ=（λu，σu）和σ是已知的。离散时间系统（3）-（4）对应于线性高斯空间状态模型，其中观测为y，状态为u（详见[5]）。在这种情况下，卡尔曼滤波器给出了最佳估计量，它对应于条件期望E[uk | y，…，yk]。下面，为了简化符号，bXk/lrepresents E[Xk | y，…，yl]。附录A详细介绍了离散卡尔曼滤波器。该过滤器包含两个不同的阶段：（1）给定^uk+1/和Γk+1/k=E[（uk+1）的先验估计-^uk+1/k）（uk+1）- ^uk+1/k）T. 这个估计是使用过渡方程（4）进行的。（2） 后验估计。当新的观察结果可用时，对第一个估计值进行校正，以获得^uk+1/k+1和Γk+1/k+1=E（uk+1）- ^uk+1/k+1）（uk+1- ^uk+1/k+1）T. 这种校正的标准是最小二乘法。因此，μk/kis是趋势μk的最小方差线性无偏估计。为此，它是线性高斯模型的最佳递归状态估计。形式上，迭代方法由以下公式给出：buk+1/k+1=e-λμδbuk/k+Kk+1yk+1- E-λδbuk/k, （5） Γk+1/k+1=（1）- Kk+1）Γk+1/k，（6）其中Kk+1=Γk+1/kΓk+1/k+σSδ，Γk+1/k=e-2λuΔΓk/k+σu2λu1.- E-2λuδ.1.2.2. 平稳极限和连续时间表示。

寻找Γk+1/k+1=Γk/k（对应于稳态状态），我们发现：∞=g（σS，λu，σu）- f（σS，λu，σu）2e-2λuδ，其中f（σS，λu，σu）=σSδ+σu2λu1.- E-2λuδ,g（σS，λu，σu）=sf（σS，λu，σu）+2σSσ∑λ∑Δ（e-2λuδ- E-4λuδ).使用平稳协方差误差Γ∞, 稳定增益K∞定义并将估计值改写为修正的指数平均值：bun+1=K∞∞Xi=0e-λδi（1）- K∞)艾因+1-i、 （7）稳态卡尔曼滤波器也有一个连续的时间限制，这取决于资产回报率：方案1。dbut=-λμβ（λu，σu，σS）butdt+λu（β（λu，σu，σS）- 1） dStSt，（8）其中β（λu，σu，σS）=1+σ-λ-σS. （9） 证据。根据[19]，卡尔曼滤波器由以下公式得出：ut | FSt= φ（t）bu+σSZtP（u）φ（u）dSuSu,φ（t）=e-λut-σSRtP（u）du，其中估计误差方差P是以下Riccati方程的解：P（t）=-1σSP（t）- 2λuP（t）+σu。在这个稳态区域，P（t）=0。然后，这个方程的正解是：P∞= σSλu（β（λu，σu，σS）- 1） 稳态卡尔曼滤波器如下：but=φ∞（t）bu+σSZtP∞φ∞（u） 德苏,φ∞（t） =e-λμβ（λu，σu，σS）t.自：dφ∞（t） φ∞（t） =-λμβ（λu，σu，σS）dt，稳态卡尔曼滤波器满足随机微分方程（8）。这种连续表示法可用于趋势跟踪策略的风险收益分析（详见[7]）。卡尔曼滤波器是高斯不确定性线性系统的最优估计器。实际上，参数θ=（λu，σu）是未知的，必须进行估计。2.趋势参数的推断在本节中，将处理参数推断的问题。基于离散时间观测，可以考虑两类方法。第一种基于回溯测试。每组参数定义一个趋势估计器，并可应用于多个交易策略。

可以使用回溯测试来选择参数，但即使使用了几个样本内和样本外周期，也无法确保模型的良好性能。还有另一种更严格的方法：使用统计估计器。例如，最大似然度和贝叶斯估计具有良好的性质（如一致性）。为此，考虑了第二种方法。对于模型（3）-（4），Peter Lakner（见[14]）和Ofer Zeitouni（见[12]）开发了基于算法EM的方法，以获得最大似然估计量，但Fabien Campillo和Franois Le Gland建议在某些情况下应首选直接最大化（详见[8]）。由于贝叶斯估计也基于似然性，我们给出了该函数的两个在线计算。使用Valentine-Genon-Catalot的结果（详情参见[15]），我们通过分析统计估计量的渐近行为和提供封闭形式的Cramer-Rao界来结束本节。2.1. 可能性计算。这种可能性可以用两种方法计算。第一种方法基于直接演算，而第二种方法使用卡尔曼滤波器。2.1.1. 直接计算可能性。第一种方法是直接计算可能性。离散时间模型（3）-（4）的矢量表示为：Y伊恩=u...uN+U联合国,其中（u，··，uN）和（u，··，uN）T，已知θ=（σu，λu），是两个独立的高斯过程。因此，向量（y，·，yN）T，已知θ，也是一个高斯过程。然后，通过平均值My1:N |θ和协方差∑y1:N |θ：My1:N |θ=0（假设为u=0），（10）∑y1:N |θ=∑u1:N |θ+∑u1:N |θ，（11）其中∑u1:N |θ=σSδin和∑u1:N |θ=（Cov（ut，uS））1≤t、 s≤N.由于提取u是一个奥恩斯坦-乌伦贝克过程，那么：Cov（ut，us）=σu2λe-λu（s+t）e2λus∧T- 1..

（12） 最后，可能性由以下公式给出：f（y，…yN |θ）=（2π）N/2√det∑y1:N |θe-1（y，…，yN）∑-1y1:N |θ（y，…，yN）T. （13） 备注2.1。当维数N较大时，直接将协方差矩阵∑y1:N |θ求逆并计算该矩阵的确定度非常困难。可以使用迭代法代替，其细节见附录B.2.1.2。使用卡尔曼滤波器计算可能性。这种可能性也可以通过预测误差分解来评估（详见[31]）：f（y，…yN |θ）=f（yN | y，…yN-1，θ）f（y，…yN-1|θ) .=NYn=1f（yn | y，…yn-1，θ），条件定律由以下命题给出：命题2。过程（yn | y，…yn）-1，θ）是高斯函数：（yn | y，…yn-1, θ) ~ NMyn |n-1，瓦林| n-1.,安德明|n-1=e-λΔ^un-1/n-1，瓦林| n-1=e-2λΔΓn-1/n-1+σu2λ1.- E-2λδ+σSδ。趋势的后验估计-1/n-1和协方差误差-1/n-1由卡尔曼滤波给出（见等式（5）和（6））。证据因为过程yn是高斯的，所以过程（yn | y-1，θ）也是高斯分布。此外，使用方程（3）-（4） ，我们有：Myn |n-1=^un/n-1+0，μn/n-1=e-λΔ^un-1/n-1+0，安德瓦林| n-1=Γn/n-1+σSδ，Γn/n-1=e-2λΔΓn-1/n-1+σu2λ1.- E-2λδ.备注2.2。在实践中，波动性并不是恒定的。然而，如果对波动率σFS进行调整，则可以对这两种方法进行调整和实施。如果波动率是一个连续的时间过程，则满足该假设。2.2. 统计估计器的性能。在这一小节中，我们研究了经典估计量的渐近行为。2.2.1. 统计估计的渐近行为。离散时间模型（3）-（4）可以使用以下命题重新表述（详见[15]）：命题3。考虑（λu，σu，σS）的模型（3）-（4）∈ R*+×R*+×R*+.

在本例中，过程（yi）是ARMA（1，1）。经典估计量的渐近行为如下。事实上，在平稳ARMA高斯过程中，最大似然估计的可识别性和渐近正态性是众所周知的（见[6]，第10.8节）。此外，过程（yi）的ARMA（1，1）性质也保证了贝叶斯估计量的渐近行为。如果先验密度函数在实数参数的开放邻域中是连续且正的，则贝叶斯估计量是渐近正态的（参见[32]，其中给出了平稳“短记忆”过程的广义Bernstein-Von Mises定理，或者[27]讨论了阿尔玛过程的贝叶斯分析）。2.2.2。克拉默·拉奥去了。这个界是无偏估计量的最小方差。下面是Cramer-Rao边界定理的推论，给出了CRB的形式化描述。推论2.3。考虑模型（3）-（4）和N个观测值（y，···，yN）T。假设（λu，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+. 如果θ是θ=（λu，σu）的无偏估计量，我们有：Covθ^θN> CRB（θ）。这个界由CRB（θ）=I给出-1N（θ），其中IN（θ）是fishering信息矩阵：（IN（θ））i，j=-E对数f（y，…yN |θ）θiθj,IN（θ）=NI（θ）。此外，最大似然估计量bθmln满足这个界限：√NbθMLN- θ→ N0，我-1(θ).这个结果是命题3的结果（见[6]第10.8节）。我们还可以提供Fisher信息矩阵的解析表示：定理2.4。对于模型（3）-（4），如果（λu，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+,我们有：I（θ）=4∏Z∏-πf-2θ(ω)fθθi（ω）fθθj（ω）dω1.≤i、 j≤2，其中fθ是过程的光谱密度（yi）：fθ（ω）=σu2λu1.- E-2λuδ+σSδ1+e-2λuδ-2e-λ|ΔσSδcos（ω）1+e-2λuδ- 2e-λuδcos（ω）。证据Whittle公式（详见[33]）给出了Fisher信息矩阵的积分表示。

由于过程（yi）是ARMA（1，1），其光谱密度的表达式如下（见[6]第4.4节）。最后，可以使用定理2.4.3计算趋势参数的Cramer-Rao界。参数错误规格的影响在本节中，我们考虑在稳态状态下校准不良的连续时间卡尔曼滤波器。首先，我们描述了过滤器（是否指定错误）和隐藏过程之间的残差定律。最后，我们研究了参数错误指定对检测积极趋势的影响。3.1. 上下文假设风险资产S由带θ的模型（1）-（2）给出*=σ*u, λ*u, 假设一个代理认为这些参数等于θ=（σu，λu）。假设稳态区域，并使用这些估计和命题1，代理实现连续时间错误指定的卡尔曼滤波器：dbut=-λuβbutdt+λu（β- 1） dStSt，（14），其中β=β（λu，σu，σS）（见等式（9））和bu=0。下面的引理给出了错误指定卡尔曼滤波器的定律：引理3.1。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u. 在这种情况下，方程式（14）的错误规定的连续时间滤波器由以下公式给出：but=λu（β- 1） e-λβt中兴λμβsu*sds+σSZteλ|βsdWSs. （15） 此外，bu是一个中心高斯过程，其方差为：Var[but]=Ebut=λu(β - 1)σ*uλ*uλuβ - λ*u\"1 - E-(λuβ+λ*u）tλμβ+λ*u+2e-(λuβ+λ*u）t- E-2λ*ut- E-2λμβtλμβ- λ*u+e-2λβt- 12λuβ#+λu(β - 1） σS2β1.- E-2λβt.证据将其^o引理应用于函数f（bu，t）=eλμβtbut，并从0积分到t，方程（15）如下。因此，bu也是高斯过程。其平均值为零（因为*= 0).