复杂期权定价

对于教学原因，[Shr04]使用r=1/4作为其主要重复示例，我们有时也采用该值对于n=0，期权将支付0，因为没有简单的字符串，而且情况在时间0时已经知道了对于n=1，实际字符串（0或1）在时间0时未知，但它不会影响payoff，因为没有长度为1的简单字符串，因此payoff为0对于n=2，上升因子u=2，下降因子d=和r=1/4，其中一个字符串00和11的风险中性概率为1/2，两者都支付1美元。所以这个值是（1+r）-2·· 1 =.一般来说，当风险中性概率为上下各1/2时，期权的价值与效率分布直接相关：n/2Xd=0d·P（Dn=d）·（1+r）-n=E（Dn）·（1+r）-n、 如果dn恰好是大n的泊松分布，这大约是λ（1+r）-n、 但是，我们刚刚看到，n=2的值比n=0和n=1的值高。长度EDn≤ Vn0 0=02 0.5=0.54 0.625<0.756 0.687<0.8758 0.765<1.07010 0.791<1.19112 0.720<1.236表2：非确定性自动复杂性的静态与动态演习策略。备注14。对于美国版本，一个问题是，在看到00后，是否在n=2时执行选项。如果我们锻炼，我们可以得到1美元。否则，每一时间步的效率最多会增加1，而r=1/4>0的利息系数是指数型的，因此我们的支付上限是（n/2）（1+r）-n=ne-n ln（5/4）。该表达式在n=4和n=5时最大化d。这两个地方都有价值。为了获得合理的抽象水平，有必要考虑具体的路径，并将其与有限的复杂度缺陷联系起来。

如果有限二进制序列的前导函数的不确定性自动复杂性几乎肯定是有界的（猜想15；见表1），我们可以这样做。猜想15。对于不确定的自动复杂性AN，P（supnDn<∞) = 1，但supnVn=∞.备注16。[PS13]研究了一种永久美式期权，该期权在行使时支付上下节拍序列（被认为是1和0）的复杂性。根据初步的数字证据，当利率设置为0（r=0）时，该证券的价格可能是真实的。也就是说，对于AN，supnVn=∞,尽管EDnseems将接近一个极限（见表2）。对于正利率，价格是有限的（见备注14）。他们发现了数字证据，证明r=1/4的价格是0.47。参见图2了解最长4条的字符串的效率，以及图3了解相应的计算期权价格。到期日为2k和到期日为2k+1的美式期权的价格是相同的，这很容易证明。（1111）：2（111）：1（11）：1（1101）：0（110）：0（1100）：0（1）：0（1011）：0（101）：0（1010）：1（10）：0（1001）：0（100）：0（1000）：1（）：0（0111）：1（0111）：0（0110）：0（0101）：1（010）：0（0100）：0（0011）：0（001）：0（0010）：0（0010）：0）：0（00）：1（0001）：1（000）：1（HT0000）：2HT2）：HT4 HT2效率图，参见备注16.1.20.5280.40.320.40.42240.40.320.40.5281.2HTHTHTHTHTHTHT图3：图2对应的期权价格。定义17。设Wn为欧式期权的价格，为价格路径x的长度n支付不确定的自动复杂度D（x）。决策问题：价格。实例：一对非负整数n和k，其中0≤千牛≤ n/2+ 1.问题：是Wn吗≥ k/2n？回想一下，E是一类单指数时间可决策问题。定理18。价格是电子版的。

[HKH15]考虑了在给定整数k和序列x的情况下，决定非确定性自动复杂度D（x）是否满足D（x）的问题≥ k、 他们证明了E中的不足之处。由于只有一条长度为n的指数多的价格路径，二项模型[Shr04]中期权定价的通常反向递归算法给出了定理。同样的证明表明，美国期权定理18的类似陈述也成立。3.2运行复杂性如果我们的期权的收益只是最长的一次，那么[Ali14]表明期权的价格为Θ（logn）。这对应于自动机总是进入一个新的状态，除了一个状态可能会重复（即最长运行的状态）。定义19。二进制序列x的运行复杂度cro由cr（x）=n+1定义-r、 其中n是x的长度，r是x中0s或1s的长行程的长度。这种复杂性概念的优点是它可以有效地计算。[KH14]更详细地研究了它，还考虑了多次运行，如沃尔夫威茨运行测试。在本小节的其余部分中，我们给出了[Ali14]的ar gument。我们假设熟悉基本离散选项[Shr04]。抛硬币的顺序是ω。ωn每个ωi在哪里∈ {H，T}。（H读作“正面”，T读作“反面”。）定义20。每0≤ N≤ N，共抛序列ω中的当前磁头运行。ωnis定义为byGn（ω）=max{r:ωn-r+1=···=ωn=H}。run期权是美式期权，在timen行使时支付≤ N是Gn（ω）。让我们看看跑步选项的价格。通过τt（ω）定义停止时间τt。

ωN）=min{s:Gs=[E（RN）]- t} ，其中RN是长度为N的共抛序列中最长的头部行程。因此，与τ相对应的交易策略是等待一个几乎与我们在时间N之前预期的SEE一样长的时间，而“几乎”是由参数t定义21限定和测量的。设[x]表示x的最近整数。特别地，[x]是k与k的整数- 1.≤ 十、≤ k+1。定理22。给定N，有一个t=tn的确定性选择，因此有一个带limN的数序列εnw→+∞εN=0，常数c，因此对于大N，E（GτtN）≥ （logN）- C- C√ln（N）（1）- εN）。证据设sn为{n，n+1，…]中取值的停止时间集，∞}[Shr04，第4.4节]。运行选项的价格过程满足美国风险中性公式=最大τ∈SnEn[Iτ≤n=0，1，N.所以每一个t，VAn≥ En[（Iτt≤N） Gτt]。现在我们找到了E（Gτt）的一个下界。E（Gτt）=E（Gτt | Gτt>0）Pr（Gτt>0）=（[E（RN）]- t） （Pr{RN）≥ [E（RN）]- t} )≥ （[E（RN）]- t） （Pr{RN）≥ E（注册护士）- t+1}）≥ （[E（RN）]- t） （Pr{|RN）- E（RN）|≤ （t）-1)})≥ （[E（RN）]- （t）1.-Var（RN）（t）- 1)（切比雪夫不等式）≥ （E）（注册护士）- 1.- （t）1.-Var（RN）（t）- 1).根据定理13，Var（RN）=π/6ln（2）+1/12+r（N）+ε（N）≤ 4对于大N.设E（RN）=a；然后我们得到（Gτt）≥ （a）- T- 1)1.-（t）- 1). （1） 现在我们求出t=tn，这样（1）的右手边就最大化了。三次多项式的误差具有负判别式。因此它有一个实根，由Mathematica计算：t=2/3r9磅（2）磅（N）+√q27 ln（2）ln（N）+4 ln（2）ln（2）-qln（2）r9 ln（2）ln（N）+√q27 ln（2）对数（N）+4 ln（2）。通过二阶导数检验，sinceddt（a- t） （1）- 4吨=-3t- 4.≤ 0，我们看到t最大化了(*).

我们有→∞-qln（2）r9 ln（2）ln（n）+√q27-ln（2）ln（N）+4-ln（2）=0和hencet（4/ln2）1/3(√ln（N）→ 1.因此，t=tN∈ Θ(√ln N）和soE（GτtN）≥ （logN）- C- C√ln（N）（1）- εN）。推论23。弗吉尼亚州~ 洛根。证据VAI受等待[E（RN）]-先用定理22中的tna，然后练习。另一方面，VAis在E（RN）上有界。因此（RN）- tN≤ 弗吉尼亚州≤ E（RN）。根据定理13，E（RN）=log（N/2）+γ/ln2- 1/2=logN+O（1），根据定理22，logN- C-√ln≤ 弗吉尼亚州≤ logN+O（1）。除以logN我们得到1- o（1）≤瓦洛根≤ 1+o（1）。w AN（w）1210 3表3：半径为0n左右的汉明球中的不确定性自动复杂性，n=23.4鲁棒性我们现在考虑，用匿名裁判的说法，输入序列上的小扰动是否会对我们所研究的复杂性度量产生重大影响。换句话说，序列测量中的错误是否会导致计算复杂度中的较大错误。设d（x，y）表示相同长度x和y的两个序列之间的汉明距离。让我们依次考虑三种类型的复杂性。运行复杂度。在这里，一个单音位的变化有时会缩短你的时间。也就是说，如果d（x，y）=1，那么CR（x）=n- Rx和CR（y）=n- rywhere rx≤ 2ry+1。另一方面，由于最长的运行时间只有logn[Boy72]，单个随机位中的随机变化往往会保持复杂性不变。自动复杂性。这里我们有数字证据表明，单个位的变化有时会产生很大的影响。例如，考虑字符串0n，它变成了0an-A.-1.见表3。科尔莫戈罗夫复杂性。

单个位的变化只会对数地影响复杂度（最多约2 logN），因为序列的描述可以包括关于变化位位置的硬编码信息。[FLV06]详细研究了带有误差的科尔莫戈罗夫复杂性。5增强内容自动复合。这个Android设备应用程序[KH13]可以让你查找特定字符串的非确定性自动复杂度值。该应用程序告诉你给定字符串的复杂性，并提供“证据”或“见证”。该见证是一个唯一可接受的状态序列，即在见证自动机运行期间看到的状态序列。它类似于最简短的描述x*关于字符串x，从科尔莫戈罗夫复杂性的研究中熟悉。该应用程序还提供了搜索引擎中使用的fa MiliaraAutoCompletion功能所建议的字符串的一些扩展。复杂性猜测博弈和复杂性选项博弈。这两款在线游戏[KH15b，KH15c]分别邀请玩家猜测复杂度，或为基于复杂度的财务选项实施锻炼政策。这些游戏包括数以百万计的相关自动机的图形显示。感谢这项工作得到了西蒙斯基金会的部分资助（315188给比约恩·克约斯·汉森）。本材料是美国国家科学基金会第0901020号基金资助的基础工作。参考文献[Ali14]Malihe Alikhani。美式期权定价和成功运行的最优停止。数学艺术硕士项目，2014年。D·W·博伊德。在伯努利审判中败北。1972年[DH10]罗德尼·G·唐尼和丹尼斯·R·赫施费尔特。算法的随机性和复杂性。可计算性的理论和应用。斯普林格，纽约，2010年。[FLV06]Lance Fortnow、Troy Lee和Nikolai Vereshchagin。科尔莫戈罗夫复杂的错误。在STACS 2006中，第3884卷计算机课堂讲稿。

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