非局部抛物型偏微分方程组及其在期权定价中的应用

我们还将使用以下identiest~n（t+v，x，j，0）=v~n（t+v，x，j，0）和αv=-αββv+2vtoobtainy~n（t，s，i，y）=-f（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+1- F（T）- t+y | i）（1）- F（y | i）F（y | i）ηi（t，s）+F（y | i）1- F（y | i）×~n（t，s，i，y）-1.- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+ E-r（i）（T）-t） f（t）- t+y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+T）- t） Z∞ν（T，x，j，0）α（x；s，i，T）- t） dx-f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）~n（t，s，j，0）-ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Z∞α（x；s，i，v）(- r（i）Xj6=ipij（y+v）Д（t+v，x，j，0）-Xj6=ipij（y+v）~n（t+v，x，j，0）ββv+2v+Xj6=ipij（y+v）ν（t+v，x，j，0）t） dxdv。（13） 通过将方程（12）和（13）相加，我们得到t~n（t，s，i，y）+y~n（t，s，i，y）=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）t+f（y | i）1- F（y | i）~n（t，s，i，y）-Xj6=ipij（y）~n（t，s，j，0）+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）r（i）+ββv+2vdvdx。（14） 现在我们分别对（10）w.r.t.的两面进行一次和两次区分，并获得s~n（t，s，i，y）=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）s+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）βσ（i）√vsdxdv，（15）s~n（t，s，i，y）=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）s+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）sβσ（i）v-βσ（i）√五、-σ（i）vdxdv。（16） 从方程（15）和（16）中，我们得到r（i）sφs+σ（i）sφs=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）r（i）sηi（t，s）s+σ（i）sηi（t，s）s+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）r（i）βσ（i）√v+β2v-σ（i）√vβ-2vdxdv。

（17） 最后，从等式（10），（8），（9），（14）和（17）我们得到t~n（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssа（t，s，i，y）+σ（i）（i）ss~n（t，s，i，y）=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）t+r（i）sηi（t，s）s+σ（i）sηi（t，s）s-f（y | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y）（φ（t，s，j，0）-ν（t，s，i，y））+r（i）~n（t，s，i，y）-1.- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）= -f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）（φ（t，s，j，0）-~n（t，s，i，y））+r（i）~n（t，s，i，y）。因此方程（4）成立。从引理3.1和命题3.2可知（4）有一个经典解。我们在下面的部分中证明了唯一性。4唯一性命题4.1。假设（A1）（i）-（iii）。设φ为（4）的经典解。然后（i）φ解积分方程（10）-（11）；（ii）（s）-（K）+≤ ~n（t，s，i，y）≤ s、 证据。（i） 让我们Ohm,~F，~P）是一个概率空间，其中包含标准布朗运动~W和泊松随机测度~ 独立于W。设St为下列方程的强解St=~St（r（Xt）dt+σ（Xt）dWt），S>0，其中Xt为（3）的解，定义为（~Ohm,~F，~P）并由~. 设Ft为（St，Xt）满足通常假设所产生的隐藏过滤。我们观察到，过程{（~St，Xt，Yt）}是马尔科夫过程，具有极小的生成器A，其中φ（s，i，y）=φy（s，i，y）+r（i）sφs（s，i，y）+σ（i）sφs（s，i，y）+Xj6=iλij（y）~n（s，j，0）-~n（s、i、y）对于紧支撑Cin s和Cin y的每一个函数φ，如果φ是（4）的经典解，则使用Nt=e上的It^o公式：-Rtr（Xu）du~n（t，St，Xt，Yt），我们得到dnt=e-Rtr（徐）杜-r（Xt）~n（t，~St，Xt，Yt）+φt（t，St，Xt，Yt）+Aа（t，St，Xt，Yt）这里mt是一个局部鞅。因此，从（4）及以上表达式来看，NTI也是一个Ftlocal鞅。Nt的定义表明，存在常数和K，例如| Nt |≤ 每t的k+kstt，因为φ最多呈线性增长。

同样，由于下面的表达式<<St=>>SexpZt（r（徐）-σ（Xu））du+Ztσ（Xu）dWu因此，有人得出结论认为，仍然是一个具有有限期望的子角色。refore-Doob不等式可用于d获得E sups∈[0，t]| Ns |<∞ 对于每一个t，其中E是期望w.r.t.~P。因此{Nt}tis amartingale。因此φ（t，St，Xt，Yt）=eRtr（Xu）duNt=~E[eRtr（Xu）duNt | | Ft]=~E[E-RTtr（徐）杜- K） +|St，Xt，Yt]。（18） 通过在过渡时间进行调节，并使用St的条件对数正态分布，我们得到了（t，~St，Xt，Yt）=E[~E[E-RTtr（徐）杜- K） +|St，Xt，Yt，Tn（t）+1]|St，Xt，Yt]=P（Tn（t）+1>t|Xt，Yt）~E[E-RTtr（徐）杜- K） +||St，Xt，Yt，Tn（t）+1>t]+ZT-t~E[E-RTtr（徐）杜- K） +|St，Xt，Yt，Tn（t）+1=t+v]f（t-Tn（t）+v | Xt）1- F（Yt | Xt）dv=1- F（T）- Tn（t）| Xt）1- F（Yt | Xt）ηXt（t，~St）+ZT-te-r（Xt）vf（Yt+v|Xt）1- F（Yt | Xt）×XjpXtj（Yt+v）Z∞~E[E-RTt+vr（徐）都- K） +St+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（t）+1=t+v]e-1（（ln（xSt）-（r（Xt）-σ（Xt））v）σ（Xt）√v）√2πσ（Xt）√vxdxdv=1- F（T）- t+Yt | Xt）1- F（Yt | Xt）ηXt（t，~St）+ZT-te-r（Xt）vf（Yt+v|Xt）1- F（Yt | Xt）×XjpXtj（Yt+v）Z∞ν（t+v，x，j，0）e-1（（ln（xSt）-（r（Xt）-σ（Xt））v）σ（Xt）√v）√2πxσ（Xt）√vdxdv。最后，通过使用不可约性条件（A1），我们可以用上述关系中的变量（s，i，y）替换（~St，Xt，Yt），从而得出结论：ν是（10）-（1）的解。这就是证据。（ii）我们注意到-RTtr（徐）杜- K） |英尺]≤~E[E-RTtr（徐）杜- K） +英尺]≤~E[E-RTtr（Xu）du|ST|Ft]。现在利用e的鞅性质-Rtr（徐）都街，从（18）及以上我们得到街-K≤ ν（t，~St，Xt，Yt）≤再次，从（18）中，我们知道φ是一个非负量的期望值，因此是非负的。因此（ii）成立。定理4。2.初边值问题（4）在最大线性增长的函数类中有唯一的经典解。证据引理3.1和命题3.2的存在性。

为了唯一性，首先假设φ和φ是规定类别中（4）的两个经典解。然后使用命题4.1，我们知道als-osolve（10）-（11）。但是从引理3.1来看，在规定的类中只有一个类。因此φ=φ。备注4.1。上述定理也可以用不同的方式证明，这在很大程度上取决于mildsolution技术[20]和[1]中的命题3.1.2。[9]中采用了这种替代方法来确定（4）的一个特例的适定性。采用当前方法的原因是，它使我们能够一次性建立PDE和IE之间的等效性。这反过来又暗示了解的偏导数的另一种表达式。在下一节中，我们解释了这种代表性的重要性。5定价和最优混合在本节中，我们考虑了第2节中给出的股票动态的欧式看涨期权。与该选项相关联的terminalclaim是（ST-K） +。我们证明了它在时间t的局部风险最小化价格(≤ T）可以用（4）的解来表示。我们进一步证明了相应的最优套期保值具有价格函数的积分表示。定理5.1。设ψ为（4）在至多线性增长的函数类中的唯一经典解。1.设（ξ，ε）由ξt给出：=~n（t、St、Xt）-, Yt-)砂εt:=e-Rtr（徐）杜（а（t，St，Xt，Yt）- ξtSt）。（19） 然后（ξ，ε）是最优容许策略。2.ψ（t，St，Xt，Yt）是（St）的本地风险最小化价格- K） +时间0≤ T≤ T证据在市场模式l下，平均方差交易（MVT）过程^Kt（如Pham等人[21]所定义）采用以下形式^Kt=Ztu（Xs）- r（Xs）σ（Xs）ds。因此，^Ktis在[0，T]上有界且连续。

我们还知道，几乎可以肯定，STM有连续的路径。自从，H*∈ L(Ohm, F、 P）对于H=（ST-K） +我们应用[21]的推论5和引理6得出结论H*具有被积函数ξH的F¨ollmer-Schweizer分解（6）*满足A2（i）和LH*是平方整数。因此，为了证明该定理，有必要证明（a）~n（t，St，Xt，Yt）=εtBt+ξtst对于所有t≤ T（b） P（φ（t，St，Xt，Yt）≥ 0T≤ T）=1（c）Bt~n（T，St，Xt-, Yt-) = H+RtξtdS*t+LTT≤ T（d） 存在可测量的手，使得Lt:=E[Lt | Ft]是或正交的σ（Xt）S*tdWti。e、 ，S的鞅部分*坦德H*= H+RTξtdS*t+LT；式中，ψ是（4）在规定类别中的唯一经典解，（ξ，ε）如（19）所示。根据εtin（19）的定义，（a）如下。在引理3.1和命题4.1中，证明了ψ是一个非负函数。因此（b）项成立。接下来我们展示条件（c）和（d）。我们将其应用于e-测量P下的Rtr（Xu）du~n（t，St，Xt，Yt），并使用（5）、（4）和（3）对所有t<Te的术语进行适当的重新排列后获得-Rtr（Xu）duа（t，St，Xt，Yt）=а（0，S，X，Y）+Zt~n（u、苏、徐）-, 于-)十二烷基硫酸钠*u+Zte-Rur（Xv）dvZR[~n（u，Su，Xu-+ h（徐）-, 于-, z） ，于-- g（徐-, 于-, z） )-~n（u、苏、徐）-, 于-)] ^（du，dz）其中最后一个积分是w.r.t.的compensator. 我们的etLt:=Zte-Rur（Xv）dvZR[~n（u，Su，Xu-+ h（徐）-, 于-, z） ，于-- g（徐-, 于-, z） )-~n（u、苏、徐）-, 于-)] ^（杜，dz）。我们注意到，P位置4.1（ii）意味着上述表达式中的被积函数以K为界。因此，e是一个积分w.r.t。一个补偿泊松随机测度，是一个鞅。再次强调Wtand的独立性 意味着LTS与S的鞅部分的正交性*t、 因此，我们通过让t↑ T，B-1吨（圣- K） +=ψ（0，S，X，Y）+ZTξtdS*t+LT.（20）因此（c）和（d）保持不变。定理5.2。设~n为（4）的唯一解决方案。

集ψ（t，s，i，y）：=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）s+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞ν（t+v，x，j，0）e-1（（ln（xs）-（r（i）-σ（i）v）σ（i）√v）√2πxsσ（i）√五、ln（xs）- （r（i）-σ（i））vσ（i）vdxdv（21）式中（t，s，i，y）∈ D然后ψ（t，s，i，y）=s~n（t，s，i，y）。证据我们需要证明ψ（如（21）所示）等于φs、 事实上，我们通过区分（10）的右边与s的关系来获得（21）的RHS。因此证明。备注5.1。众所周知，在数值微分中，孤立摄动得到增强，而在数值积分中，孤立摄动得到减弱。在（21）中，函数ψ是一个包含ψ的积分，是ψ的偏导数。因此，上述定理本质上提供了一种可靠的方法使用逐步求积法求sа（t，s，i，y）。我们进一步证明φS建立或有索赔的本地风险最小化套期保值，其价格由φ给出。我们想提及的是，通过施加适当的终端和边界条件，其他类型期权（如障碍期权、复合期权、篮子期权等）的价格也可以以类似方式呈现。所以这些对冲策略也会有类似的积分表示。不用说，这一发现支持马尔科夫调制市场模型，这是当前模型的一个特例。6.结论据我们所知，文献中没有讨论制度转换市场套期保值的稳健计算问题。本文给出了最优套期保值的一个积分表示，并给出了套期保值的计算方案。此外，还有其他重要贡献。这里建立的积分方程展示了政权转换情况下的期权价格如何依赖于布莱克斯科尔斯的期权价格。

在等式（21）中，我们确实使用Black-Scholes Deltaheding和一些附加项来表示最优套期保值。同样重要的是要注意，λij是Black-Scholes情况下唯一的附加（函数）参数。使用一些非参数e估计程序，如[19]中所述，如果观察到区域，则可能对λij函数有一致的估计。在一篇文献[11]中，研究了相应的近似期权价格函数的收敛性。参考文献[1]Arendt W.，Batty C.，Hieber，M.和Neubrander，F.，向量值拉普拉斯变换和高加索问题，Birkhauser 2001。[2] Basak G.K.，Ghosh Mrinal K.和Goswami A.，马尔科夫调制市场中一类exo-Tic期权的风险最小化期权定价，Stoch。安。应用程序。29:2(2011), 259-281.[3] Black F.and Scholes M.，期权定价与公司责任，政治经济学杂志，第81卷，第3期（1973），637-659页。[4] Bungton J.和Elliott R.J.，《政权转换的美国期权》，国际理论出版社。阿普尔。《金融5》（2002），第497-514页。[5] Deshpande A.和Ghos h M.K.《体制转换市场中的风险最小化期权定价》，斯托赫。安。应用程序。26(2008).[6] DiMasi G.B.，Kabanov Y.和Runggaldier W.J.，s股票期权的马尔可夫波动率均值方差对冲。Theo ry Probab。应用程序。，第39卷（1994），第173-181页。[7] 艾略特·R·J。，Chan L.and Siu T.K.，《体制转换下的期权定价和埃舍尔转换》，金融年鉴1423-432（2005）。[8] F¨ollmer H.和Schweizer，M.，《不完全信息下的未定权益对冲》，应用随机分析，随机专著，第5卷（1991），389-41 4。[9] Ghosh M.K.和Goswami A.，半马尔可夫调制市场中的风险最小化期权定价，暹罗J.控制优化。48(2009), 1519-1541.[10] Gho sh M.K.和Saha，S.，具有年龄依赖性转换率的随机过程，Stoch。

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