非局部抛物型偏微分方程组及其在期权定价中的应用

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英文标题：
《A system of non-local parabolic PDE and application to option pricing》
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作者：
Anindya Goswami, Jeeten Patel, Poorva Shevgaonkar
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper includes a proof of well-posedness of an initial-boundary value problem involving a system of degenerate non-local parabolic PDE which naturally arises in the study of derivative pricing in a generalized market model. In a semi-Markov modulated GBM model the locally risk minimizing price function satisfies a special case of this problem. We study the well-posedness of the problem via a Volterra integral equation of second kind. A probabilistic approach, in particular the method of conditioning on stopping times is used for showing uniqueness.
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中文摘要：
本文证明了一类退化非局部抛物型偏微分方程组的初边值问题的适定性，这类问题在广义市场模型中的导数定价研究中自然出现。在半马尔可夫调制GBM模型中，局部风险最小化价格函数满足该问题的一个特例。我们通过第二类Volterra积分方程来研究问题的适定性。采用概率方法，尤其是停车时间条件化方法来显示唯一性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_system_of_non-local_parabolic_PDE_and_application_to_option_pricing.pdf (198.04 KB)

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关键词：偏微分方程 期权定价中 微分方程 期权定价 偏微分

非局部抛物型偏微分方程组及其在optionpricingAnindya-Goswami中的应用*Jeeten Patel+Poorva Shevgaonkar2021年9月17日摘要：本文包括一个涉及非局部抛物偏微分方程（PDE）系统的初边值问题适定性的证明，该系统自然出现在广义市场模型（称为半马尔可夫调制几何布朗运动（GBM）模型）中的微分定价研究中。我们通过第二类Volterra积分方程来研究问题的适定性。使用概率方法，尤其是停车时间条件化方法来显示唯一ss。关键词：半马尔可夫过程，Volterra积分方程，非局部参数偏微分方程，局部风险最小化定价，最优混合分类号：60K15，91B30，91G20，91G6 0.1介绍Black Scole s-Merton期权定价模型中股票价格的动态≥假设0由几何布朗运动（GBM）产生，即dSt=uStdt+σStdWt，S>0，其中u和σ为正常数，且{Wt}t≥0是标准的维纳过程。还假设存在一个具有常数增长率r的确定性无风险资产。在这些模型假设下，欧式看涨期权价格函数满足抛物线偏微分方程t~n（t，s）+rss~n（t，s）+σssа（t，s）=rа（t，s）。这被称为B-S-M偏微分方程（B-S-M PDE），其解可以显式得到[3]。然而，对金融资产的实证研究表明，恒定确定性σ（波动系数）的假设是不现实的。为了克服这一缺点，人们对将σ视为马尔可夫过程的市场模型越来越感兴趣。

在随机波动模型中，σ的平方被视为伊藤扩散[14]，而在区域切换模型中，σ由有限状态连续时间马尔可夫链[2]、[4]、[5]、[6]、[7]、[12]、[13]、[16]和[18]驱动。这两种类型的市场模型都不完整。这类市场中的期权定价已经被几位学者用不同的方法研究过。利用局部风险最小化方法，证明了在制度转换市场中的欧式看涨期权价格满足广义B-S-M偏微分方程[2]，[5]，[6]。文献[9]研究了半马尔可夫区域的随机切换模型中的局部风险最小化期权定价问题。其中，市场参数u、σa和r由有限状态半马尔可夫过程{Xt}t驱动≥0*印度浦那411008 IISER；电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in+印度浦那岛IISER 411008；电子邮件：jeetenp03@gmail.com印度哈拉格布尔IIT；电子邮件：poorvashevgaonkar@gmail.comSojourn或者，在有限状态连续时间马尔可夫链中，每个状态的保持时间都是以指数随机变量的形式分布的，而在半马尔可夫情况下，它可以是任何正随机变量。因此，半马尔可夫过程类包含马尔可夫链类。文献中有一些统计结果（见[15]和其中的参考文献）强调了使用半马尔可夫切换模型优于简单齐次马尔可夫切换模型的优势。例如，它主要用于应对不断变化的环境（即商业周期）的影响，这种环境表现出持续时间依赖性。

假设{Xt}是一个半马尔可夫过程，股票价格{St}由dst=u（Xt）Stdt+σ（Xt）StdWt给出，S>0。然后在[9]中显示，看涨期权价格函数满足抛物线偏微分方程的非局部系统t~n（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssа（t，s，i，y）+σ（i）ss|（t，s，i，y）+f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij[~n（t，s，j，0）-ν（t，s，i，y）]=r（i）~n（t，s，i，y），定义为：={（t，s，i，y）∈ （0，T）×R+×X×（0，T）| y∈ （0，t）}，（1）并带有条件slims↓0~n（t，s，i，y）=0T∈ [0，T]~n（T，s，i，y）=（s- K） +；s∈ (0, ∞); 0≤ Y≤ Ti=1，2，k（2）式中，k是Xt的所有可能状态的数量，r（Xt）是时间t的即期利率，（pij）是状态j的转移概率形式i，F（·| i）是持有时间的条件分布函数，F（y | i）=ddyF（y | i），k是履约价格，t是到期时间。在本文中，我们将半马尔可夫过程{Xt}替换为更一般的年龄相关过程，这是一个比[9]中出现的更广泛的切换类。年龄相关的过程{Xt}t≥0i由其瞬时传输率确定，瞬时传输率是一组可测量函数λij:[0，∞) →(0, ∞) 式中i 6=j∈ X:={1,2，…，k}。的确{Xt}t≥0定义为以下随机积分方程组的斯特朗解xxt=X+Z（0，t]ZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）（3）Yt=t-Z（0，t]ZRg（Xu）-, 于-, z）（杜，dz）在哪里（dt，dz）是强度为dtdz的泊松随机测度，与Xandh（i，y，z）无关：=Xj∈X，j6=i（j- i） 1∧ij（y）（z），g（i，y，z）：=Xj∈X，j6=iy1∧ij（y）（z），其中∧ij（y）是实线的连续（关于X×X上的字典顺序）左闭区间和右开区间，每个区间的长度为λij（y）。关于这种纯跳转过程的更多细节，请参考[10]。

在λij（y）的光滑性和尾部假设下，W和, 我们得到了看涨期权的局部风险最小化价格方程t~n（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssа（t，s，i，y）+σ（i）ss~n（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）~n（t，s，j，0）- i，y，~n= r（i）~n（t，s，i，y），（4）根据第（1）项中的D定义，并根据第（2）项中的条件定义。[2]、[5]、[16]、[9]、[18]和[6]中出现了该等式的一些特例，用于在某些体制假设下对欧佩克的含天然气开采权进行定价。由于特例的简单性，作者通常参考抛物型偏微分方程理论中的一些标准结果来证明其存在唯一性。但在本文中出现的一般形式中，没有这样的参考文献。在这方面，我们想强调，（4）是非矩形区域上的非局部退化抛物偏微分方程。因此，我们使用Banach不动点定理给出了一个自包含的证明。我们通过两个步骤来实现这些目标。首先，我们考虑了一类二次Volterra积分方程，并证明了它的存在唯一性。然后我们在一组命题中证明，微分方程和积分方程（IE）问题是等价的。因此，我们在定理M4.2中得到了偏微分方程的存在性和唯一性。还得到了一些进一步的性质，即正性和增长性。本文还表明，解的偏导数构成了相应索赔的最优套期保值策略。我们进一步证明了φ的偏导数可以写成一个包含φ的积分，这使得我们能够开发一个robus t数值格式来计算希腊语。这项研究为解决涉及这组新PDE的许多其他有趣问题铺平了道路。本文件其余部分的安排如下。

第2节描述了市场模型假设和定价方法。在第3节和第4节中，建立了柯西问题（4）的充分性。在第五节中，利用适定性结果来解决定价和套期保值问题。在第6节中，我们用几句话来结束我们的论文。2市场模型我们考虑了地图λij:[0，∞) → (0, ∞) 式中i 6=j∈ X:={1,2，…，k}和定义λii（y）：=-Pj6=ij∈所有i的Xλij（y）∈ X和y∈ [0, ∞). 我们将进一步讨论以下内容。（A1）（i）对于每个i和j，λij是一个可微分函数，（ii）limy→∞∧i（y）=∞, 式中∧i（y）：=Ry |λii（y）| dy。定义F（y | i）：=1-经验(-λi（y）），f（y | i）：=ddyF（y | i），对于每个i6=j，pij（y）：=λij（y）|λii（y）|对于所有i和y，pii（y）=0。设置^pij:=R∞dF（124y）。（A1）（iii）矩阵（^pij）是不可约的。让(Ohm, F、 P）是潜在的完全概率空间，其中泊松随机m度量 一个标准的维纳过程是确定的，它们是独立的。设（Xt，Yt）是方程组（3）的强解，其中映射λij满足（A1）（i）-（iii）。从（3）中可以明显看出，Xt是一个右连续（因为积分超过（0，t））跳跃过程，具有左极限，取X中的值。让Tn表示Xt的n次跳跃时间，而t:=0，τn:=Tn-Tn-1.对于固定t，设n（t）：=max{n:Tn≤ t} 。因此Tn（t）≤ t<Tn（t）+1和Yt=t- 总氮（t）。文献[10]表明，F（y | i）是霍尔丁时间的累积分布函数，而pij（y）是X转移到j的条件概率，假设它在i的持续时间为y。从（A1）（ii），limy→∞F（y | i）=1。因此，逗留时间几乎肯定是有限的。我们还注意到，对于i6=j，λij（y）=pij（y）f（y | i）1-等一下。

因此，瞬时跃迁率由映射λij给出。让{Bt}t≥0是货币市场账户在时间t的价格，其中即期利率为rt=r（Xt）和B=1。因此我们有Bt=eRtr（Xu）du。让{St}t≥0是股票的价格过程，由半马尔可夫调制GBM控制，即dSt=u（Xt）Stdt+σ（Xt）StdWt，S>0（5），其中u：X→ R是漂移系数，σ：X→ (0, ∞) 对应于波动性。让FTF成为满足通常假设的F的过滤，以及XtandSt生成的过滤的正确连续版本。显然，上述SDE的解是具有几乎超连续路径的FTSEMI鞅。我们认为这是可以观察到的。容许策略是对这些资产的动态分配，定义为可预测过程π={πt=（ξt，εt），0≤ T≤ T}满足以下（A2）中给出的条件。（A2）（i）ξtis平方可积w.r.t St，（ii）E（εt）<∞,（三）a>0 s.t.P（Vt≥ -a、 t∈ [0，T]）=1，其中Vt=ξtSt+εtBt。[8]表明，如果市场是无套利的，对冲可测量索赔的最优策略的存在性等价于贴现索赔的F¨ollmer-Schweizer分解的存在性*:= B-表格中的1*= H+ZTξH*tdS*t+LH*T（6）其中H∈ L(Ohm, F、 P），LH*= {LH*t} 0≤T≤这是一个平方可积鞅，从零开始，与St的martingale部分和ξH成直角*= {ξH*t} 满意度A2（i）。进一步ξH*出现在分解中，构成最优策略。实际上，最优策略π=（ξt，εt）由ξt:=ξH给出*电视*t:=H+ZtξudS*u+LH*t、 （7）εt:=V*T- ξtS*t、 和BtV*Tre给出了索赔H的时间t时的局部风险最小化价格。因此，F¨ollmer-Schweizer分解是解决给定市场中定价和套期保值问题（尤其是当其不完整时）的关键验证。

我们参考[22]了解更多细节。在[9]的类似行中可以看出，这个市场模型承认存在一个等价的鞅测度。因此，在可接受的策略下，市场是无套利的。为了在上述不完全市场中对Europeantype索赔H进行定价，我们将采用F¨ollmer和Schweizer的局部风险最小化定价方法，即（7）型分解，然后证明由此获得的策略是可行的。3存在性考虑以下初始边值问题，即每个i的B-S-M P DEηi（t，s）t+r（i）sηi（t，s）s+σ（i）sηi（t，s）s=r（i）ηi（t，s）（8）表示（t，s）∈ （0，T）×（0，∞) ηi（T，s）=（s- K） +，lims↓0ηi（t，s）=0表示所有t∈ [0，T]。这是一个经典的解决方案，最多具有线性增长（见[17]）。我们还引入了对数正态概率密度函数α（x；s，i，v）：=e-β√2πxσ（i）√v、 β（x，s，i，v）：=lnxs-r（一）-σ（i）vσ（i）√v、 通过直接计算，可以得出ββv+r（i）βσ（i）√v+βv-σ（i）β√v=0。（9） 组B:=nа：D→ R、 连续| lims↓0|（·s，·s，·）=0，k|k:=supD|~n（t，s，i，y）1+s |∞o、 引理3.1。考虑以下积分方程φ（t，s，i，y）=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞带lims的φ（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）dxdv（10）↓0~n（t，s，i，y）=0T∈ [0，T]，i∈ χ、 y∈ [0，t]（11），其中η如（8）所示。然后（i）问题（10）-（11）在B中有唯一的解，（ii）积分方程的解在C1,2,1（D）中，（iii）φ（t，s，i，y）是非负的。证据

（i） 我们首先注意到（10）-（11）的解是算子a的固定点，反之亦然，其中φ（t，s，i，y）：=1- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ψ（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）dxdv，显然B是Banach空间（B，k·k）的一个闭子空间，其中B是s变量中最多线性增长的所有连续函数的集合。也很容易检查每种类型的∈ B、 答：D→ (0, ∞)是连续的，而且是直线的↓0A~n（·，s，·，·）=0。现在，为了证明prescr ibedclass中的存在性和唯一性，有必要证明A是B中的收缩。因为，那么A:B→ B也是一个收缩函数，Banach不动点定理证明了B中的不动点的存在性和唯一性。为此，我们需要证明∈ B、 |A|- A| |≤ J | |~n- 其中J<1。IndeedkA~n- A~nk=supDA k- A~n1+s= 苏普德ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞(φ- （t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）1+sdxdv≤ 苏普德ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞（1+x）supDφ- ~n1+xα（x；s，i，v）1+sdxdv= 苏普德ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）k|- ~nka（s）1+sdv式中，a（s）=R∞（1+x）α（x；s，i，v）dx=1+eln-s+r（一）-σ（i）v+σ（i）v=1+ser（i）v，因此，kA- A~nk≤ Jk~n- 其中，J=supDZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）1+ser（i）v1+sdv≤ 苏普德1.- F（y | i）ZT-tf（y+v | i）dv= 苏普德F（y+T）- |i）-F（y | i）1- F（y | i）<1.- F（y | i）1- F（y | i）=1使用r（i）≥ 0和（A1）。（ii）使用（A1）和ηi的平滑度，对于每个i，右侧的第一项为C1,2,1（D）。根据假设（A1），第二项在y中是连续可微分的，在s中是两次连续可微分的，紧随其后。

t中的连续差异性源于以下事实，即项а（t+v，x，j，0）乘以C（（0，∞)) 函数在v中，然后在v上集成∈ （0，T-t） 。因此φ（t，s，i，y）在C1,2,1（D）中。（iii）我们注意到问题m（8）有一个封闭形式的解，这是非负的。因此，非负系数的Volterra（非负系数的Volterra）等于10。提议3.2。（10）-（11）的唯一解也解决了初边值问题（4）-（2）。证据设φ为（10）-（11）的解。因此使用（10），ν（T，s，i，y）=ηi（T，s）=（s- K） +，即条件（2）成立。从引理3.1（ii）开始，φ在C1,2,1（D）中。因此，我们可以对新南威尔士州进行部分区分。r、 （10）两侧的t.t和y。我们获得t~n（t，s，i，y）=f（t- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+1- F（T）- t+y | i）（1）- F（y | i））ηi（t，s）T- E-r（i）（T）-t） f（y+t）- t|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+T）- t） Z∞ν（T，x，j，0）α（x；s，i，T）- t） dx+ZT-te-r（i）vf（y+v|i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞φt（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）dxdv（12），通过在积分符号下微分w.r.t.t。现在，在（10）的两边取偏导数w.r.t.y之后，我们得到y~n（t，s，i，y）=-f（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+1- F（T）- t+y | i）（1）- F（y | i）F（y | i）ηi（t，s）+F（y | i）1- F（y | i）×~n（t，s，i，y）-1.- F（T）- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）+Xj6=iZT-te-r（i）vqij′（y+v）1- F（y | i）Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）dxdv。其中q′（u）：=dduq（u）和qij（u）=f（u|i）pij（u）。为了进一步简化，我们将使用w.r.t.v部分的积分简化右侧的最后一个加法项，其中q\'被视为s seco nd函数。