一次交易一笔——解开股票溢价之谜

[18] 详细信息）b=f m（4）d ln Fd ln f=R，（5）其中风险平均系数R通过标准箭头-普拉特公式与效用U（f）相连：R=-F U′F F/U′F和F（x）可以作为增长最优产品的支付函数（R=1时的F=F——凯利投资者的情况[19]）。等式（4）的逻辑结构（2）很容易看出：市场隐含的m和投资者相信的b自然分别取代先验分布和后验分布，而增长的h-最优支付f与似然函数一致。从相关似然函数的角度理解更一般的支付，以及它如何导致等式（5）更复杂一些。更多关于EQ的详细解释。（4） （5）包括动机、推导、直观说明以及具体的数字示例（包括产品性能），我们建议读者参考[1,18,20-22]和[23]。1.2.4与消费优化的比较预期效用框架非常擅长统一不同的经济动机，从等式（3）来看，量化结构与基于消费的方法的区别可能并不明显，后者在有关股权溢价之谜的文献中使用。要清楚地看到这一点，请考虑一位与市场意见一致的投资者。将b（x）=m（x）代入式（4）中，我们发现投资者不会交易x（收益不取决于x）。在现实生活中，这样的投资者会说他们在市场上“没有优势”或“看不到可投资的机会”。等式（4）和（5）将学习转化为产品设计。对市场没有独到的见解就意味着没有交易。这与Mehra和Prescott[2]的设置形成对比，在这两个地方，没有一家公司对市场有任何看法。对他们来说，金融产品的价值来自其与消费的协方差。

这些代理的策略最好描述为对冲（平滑消费），而不是投资。图1:Damodaran的隐含权益溢价（年化复合收益）[24]。这些记录从2008年9月开始按月更新。图中最后一个数据点的日期为2015年4月。这些数值在每个月初被引用。在我们的计算中，我们将其解释为每个月的第一个工作日。结果2。1预期溢价股票溢价之谜是关于股票在债券之上已经实现的表现。然而，实现的性能仅是一半。投资者确实有预期。这些期望必须是合理的。如果没有这一点，这些投资几乎没有机会启动，更不用说长期生存了。我们必须了解投资预期保费。图1显示了Damodar an[24]使用SPX数据报告的预期股权溢价的独立经验报价。我们发现这些数值与Mehra和Prescott的历史记录一样大——至少在[2]中引用的每年0.35%以上一个数量级。本节的目的是解释这些价值观。利用（3）的公式，我们可以写出投资者期望的持续收益率asER=Zb（x）ln F（x）dx。（6） 让我们选择x作为投资于某些股票的一单位财富的总回报。选择x后，股权投资的回报很简单：F（x）=x。（7） 图2：隐含风险平均值低于3。实线和虚线显示了通过将等式（8）和等式（10）R分别与图1的数据进行协调而获得的R值。Mehra和Prescott认为投资者具有恒定的相对风险厌恶，R。在这种情况下，等式（6）变成（见附录I中的等式（A4））ERR=价格（xR）价格xRR

（8） 为了计算这个数量，我们只需要能够对电力支付进行定价，xR。关于这一点，我们使用了行业标准的静态复制方法和普通选项（参见参考文献[25]和附录II）。就市场信息而言，这种复制需要隐含的波动率曲线，其到期日与支付时间相同。根据Damodaran[24]，他对保费的报价准确地反映了未来五年内的详细市场信息（如市场隐含股息）。同样，我们的SPX波动面使用的是到期日长达五年的交易所交易期权。图2上的实线描绘了从调节eq获得的R值。（8） 图1中的数据使用了5年波动曲线的完整历史记录。为了验证我们计算的稳健性，减少对市场数据源的依赖，并开发一个更透明的计算示例，我们还考虑了波动率市场m（x）=DFxσ√2πexpn-（ln x）- u）2σo，u=r- σ/2，（9）图3:SPXT 5年期货币远期隐含波动率值（年化）。其中DF是贴现因子，r是无风险回报，σ是波动率。在这种情况下，ERR被简化为一个简单的解析表达式（见附录I中的等式（A7））：ERR→ ERLNR=r+（r- 1/2)σ. （10） 这为我们提供了（R）预期股权溢价的大致估计- 1/2)σ.图2上的虚线显示了R的值，该值等于保费的年化值（ERLNR）-r） 使用图1中的相关引用值。在本次计算中，我们使用了货币forwar d的5年隐含波动率（为方便起见，在图3中显示）。图2上的两个图表都显示了良好的一致性，表明了我们的计算的稳健性。Mehra和Prescott在其开创性的pa per[2]中提出，RMA的可接受值必须低于10。

在fact中，他们引用的所有支持其论点的R的实际估计值都低于3。这与国际体操联合会的观点非常一致。2.即使对波动性知之甚少，标准假设为20%的典型股票波动率，高达3的风险规避值允许我们解释连续复合年回报率高达10%的溢价。我们的结论是，就投资者的预期而言，定量结构与观察到的股权溢价是一致的。风险规避数据通常来自于实验，在实验中，人们被呈现出单一交易，就像伯努利最初对圣彼得堡悖论的研究一样。有人可能会说，对这些数据的所有细分解释都应该使用类似的单一贸易视角。2.2已实现溢价在上一节中，我们对投资者预期的权益做出了合理解释。我们还注意到，投资者预期的溢价与实际实现的溢价在相同的范围内下降。在本节中，我们想了解这种情况是如何发生的：投资者的预期是如何实现的，投资者所做的只是将资金留在股票中。设St为某个股票指数在时间t时的总回报值。股票的回报可以任意划分为N个想象的再投资步骤：SN=S·SS·SS·SN-1.（11）定义xi=Si/Si-我们计算n=SNYi=1xi=SePNi=1ln xi=SeN·Rate，（12）其中Rate=NNXi=1ln xi。（13） 现在让我们用标准的统计方法来研究这个数量。在这种方法中，单个元素{xi}被视为具有某些（可能未知）分布P（X）的随机变量X的实现。

为了使基本统计概念具有实用意义，假设大数定律成立。在这个框架中，随着N的增加，平均值e（13）几乎肯定会收敛到期望值：Ratea。s-→ZP（x）ln x dx。（14） 将其与公式（6）进行比较（记住，对于股权投资，F（x）=x）。我们发现，当投资者的市场信念与实际相符时，即当b=P时，就可以获得预期的回报。正确的信念确实是一个非常自然的条件，让现实的回归者与期望达成一致。事实证明，同样的条件，b=P，决定了股权投资者必须具备的风险规避水平。事实上，将bo t h F和m代入等式。（4-5）将b和R之间的联系留给我们。设置b=P决定R的值。我们应使用“历史”或“已实现”这两个词来引用R的值（因为它们是从已实现收益的分布P中暗示出来的）。遵循Mehra a和Prescott[2]，我们希望计算这些风险规避的历史值，并检查它们是否现实。在我们这样做之前，让我们简单地讨论一下等式（11）中的分区选择。尽管我们可以自由地研究任何这样的划分，但有些选择比其他选择更具吸引力。N非常小的分区是没有用的，因为它们不能提供足够的数据来实现统计意义上的收敛（14）。如果单个元素{xi}彼此完全独立，则非常大的相反极端是正确的。将我们带到高频交易领域，通常情况下，人们的心态与长期投资截然不同。理想情况下，我们希望将重点放在最小可能的N上，该N足够大，以确保收敛（14）。总和（13）与其平均值（14）的标准偏差为N-1/2.

为了使总和（13）的第一个重要数字以合理的概率出现，收敛必须将标准偏差降低一个数量级（N-1/2~ 0.1). 这意味着我们必须选择不低于100的N。我们设法找到SPXT（SPX的总回报版本）2000年5月17日的完整市场数据，包括波动率表面。在撰写本文时，这是大约15年的数据（每日记录）。一些研究人员可能会认为需要更长的历史记录。然而，15年的投资已经达到了许多人认为可行的极限，所以我们选择接受它。将15年的全部再投资历史（11）视为一系列两个月的再投资，我们得到N=90个再投资周期。相应的返回值{xi}Ni=1可以用作P（x）的蒙特卡罗化。正如上面所讨论的，这一数量的数据仅足以从预期（14）的角度讨论（13）这样的平均值。使用Eqs。（4） （5）对于简单股权投资，F（x）=x，wecomputeR=d ln fd ln F=d ln（b/m）d ln x=mbbm′xx。（15） 从理论上讲，这为我们提供了有关投资者的全部风险平衡。然而，现在我们只有最低限度的统计数据。因此，正如我们之前的许多研究人员所做的那样，我们选择关注风险规避的整体水平，并将风险规避曲线形状这一非常有趣的话题推迟到进一步的研究中。作为整体风险规避的衡量标准，我们考虑平均ibdef=ZR（x）b（x）dx。（16） 将上述两个等式加在一起，得出（见附录III中的等式（A18））hR ib=-1.- hx（lnm）′xib。（17） 这个公式不太直观，所以在使用它之前，让我们花几行时间来理解它。为此，让我们看看它对对数正常市场隐含的分配意味着什么。代入等式。

（9） 在上述公式中，我们推导出（见附录I II中的公式（A21）hln x ibLN=r）+hR ib- 1/2σ. （18） 将其与我们上面研究的等式（10）进行比较。我们认为公式（17）是公式（10）的推广。概括的程度是相当大的：市场可以有一个隐含的分布，投资者可以有一个任意的风险规避。然而，请注意，P的蒙特卡罗定义{xi}Ni=1确保预期（14）的数值计算与实际回报率（13）完全一致。图4：历史风险规避。10年移动平均线按正文中所述的双月网格计算。在15年的历史中，这会产生30（或29）个值的序列（取决于上一时期数据的可用性）。现在，我们回忆起采用逻辑路线，其中b（x）=P（x），并使用公式（17），我们得到了风险规避总体水平的最终公式hr iP=-1.-NNXi=1xiln m（xi）′xi（19） 如果我们有足够的市场数据来计算m，我们现在可以计算任何一天的人力资源投资回报率（见附录四）。然而，我们应该记住，我们的投资者从15年的角度来看，完全忽略了市场的所有中间更新。此类投资者的风险规避水平应以代表大部分实际投资期的方式进行衡量，且对中间市场波动不敏感。下面我们报告两组实现这一目标的实验。在我们描述实验之前，让我们回顾一下我们选择将历史投资视为两个月再投资的序列。这有一个有用的副作用。一个单一的实验跳过了大部分可用的市场数据，只使用了两个月间隔所需的数据。

跳过的市场数据可用于重复实验（总计42次）——我们只需要在有数据的前两个月内的不同工作日开始两个月的序列。在第一组实验中，我们考察了整个15年投资期内的人力资源平均价值。这些平均值在图4中以水平线l（绿色）表示。不同的线条对应于42次不同的实验。我们认为所有42个级别的风险规避都是完全现实的。这是本节乃至本文的主要数值结果。我们看到，风险厌恶程度完全正常的投资者获得了观察到的股权溢价。第二组实验纯粹是为了诊断。我们通过用10年移动平均值代替15年平均值来定义这些实验。目的是检查我们的结论相对于设置的显著变化的稳定性。移动平均实验也让我们对风险规避的期限结构有了一个大致的了解，尽管严格来说，这些问题不在本文的讨论范围之内。图4中坚实的上升趋势（红色）线是2000年5月17日开始的投资的10年平均人力资源流动指数的双月报告，这是我们有市场数据的第一天。这项实验的42次运行是由横跨同一个g图的微弱虚线绘制的。虽然这个实验只使用了数据的2/3（15年中有10年），我们可以预期会有显著的额外噪音，但我们看到风险规避水平仍然是现实的。这一增长趋势与图2所示的预期相符，也与全球市场上越来越厌恶风险的趋势相符（从危机前的边缘疏忽到危机后的强烈厌恶风险）。

这些定性观点支持我们对主要结果的信心。我们对历史已实现保费的分析到此结束。更多技术说明和观察见附录VI.3讨论经济学是一个由战略构成的生态系统。一个人可以主持许多策略，一个策略可以在许多人中流行。每种策略都是合理的。然而，人们可能会犯错误，并且可能有复杂的性格（被冲突策略占据）。高级策略的生存依赖于学习机制。这就给策略带来了压力，使其变得有意义，即实现由现实生活中的表现证实的可理解的预期。在本文中，我们使用基于理性学习的定量结构框架来理解股权投资。我们详细展示了风险厌恶程度一般的投资者是如何预期看似很高的股权溢价的，以及这种预期如何在长时间内实现（从而自我确认）。换句话说，我们的方法既能预测股权溢价的正确价值，又能为其在现实世界中的持续性提供一种机制。基于消费的模型无法解释观察到的股权溢价（股权溢价之谜），这意味着此类模型无法捕捉相关行为。在fact中，我们看到不需要用消费的概念来解释保费。在几乎看不到或根本看不到市场的情况下进行消费平滑，最好用对冲来描述。观察到的股权溢价不是由对冲引起的。这是投资的标志。股权溢价的定量解释总结了本文的主要部分。除了股权投资，我们本可以轻松地研究任何其他投资策略。事实上，我们几乎可以研究任何支付函数。

看来，我们可能有一个通用的工具，可以从个体战略的层面来审视经济生态系统。现在，让我们通过了解这种工具的操作和当前的局限性来总结本文。正如我们已经提到的，试图从微观层面理解经济学并不是什么新鲜事。大多数经济学家已经同意，理想理论应该反映战略的真正多样性。问题是，每一次接近理想的尝试都不可避免地面临着实用性的挑战。更详细的模型需要更详细的信息。传统上，节俭是通过特别简化来实现的：发明代表性代理，用美国方差图上的一个点代替投资的详细描述。由此造成的信息损失很难量化，甚至更难补偿，即使是最合理的假设。信息丢失不利于理解投资，因为投资对信息极其敏感。幸运的是，投资本身提供了很多信息。我们看到它反映在它们的结构中——支付功能。支付功能可能看起来非常简单，也可能非常复杂——这样的外观并不重要。重要的是，我们知道在所有可能的情况下的确切报酬，这给了我们很多工作的信息。当我们使用Payoff函数得出投资者的观点时，它的深层信息内容变得既明显又有用（参见公式（4），以获得增长型投资者orEq。（A3）参见附录I中更一般的情况）。这些观点非常详细——它们是完全概率分布。这就是我们维护公共关系的方式。一方面，我们将投资者视为个体，他们可以自由学习，可以表达他们认为合乎逻辑的任何观点。