一次交易一笔——解开股票溢价之谜

在另一方面，我们不允许猜测这些观点到底是什么。重要的是，这些视图不是假设的，它们是使用Payoff函数的知识推导出来的。关于在经济学中使用我们的方法的讨论不可避免地会导致市场均衡的问题。事实上，如果一个模型中的所有投资者都被允许有他们想要的任何观点，那么该模型如何解释市场价格的存在呢？事实证明，可以很容易地导出唯一均衡市场（见附录V）。重要的是要记住，定量结构有其自身的动机，这与经济学是完全不同的。定量结构的内在动机是设计高质量的金融产品。独立动机增加了我们对股权溢价分析的可信度，但也有局限性。最终，量化结构应包括对冲和投资。然而，目前这种方法仅限于投资。对套期保值策略的深入理解（足以将其打包为金融产品）是未来工作的一个重要里程碑。附录I差事公式（5）的解析表达式可以改写为d ln f=R d ln f。（A1）对于常数R或任意R的情况，上述方程立即积分得到F（x）∝ erlnf（x）=FR（x）。（A2）这个结果与等式（4）一起给出了投资者相信的分布b（x）=f（x）m（x）=eR ln f（x）m（x）ReR ln f（y）m（y）dy，（A3），其中我们使用了b（x）被归一化的事实。对于预期的对数回报，wecomputeERR=Zb（x）ln F（x）dx=ZZR、 其中Z=ZFR（x）m（x）dx。（A5）在本文中，我们关注的是一项直接的股权投资。在这种情况下，F（x）=x，Z基本上成为m的Rth矩。

在对数正态市场隐含分布的特殊情况下，这可以通过分析计算得出（注释见等式（9））（Z=ZxRm（x）dx=DF·expnRu+Rσo，（A6），在这种特殊情况下，ERRbecomesERR→ ERLNR=u+Rσ。（A7）II误差的数值计算根据式（8），我们需要计算价格（xR）的能力。从一个更一般的情况开始是有帮助的：让我们考虑一个二次微分函数G（x），而不是xR。使用流行的符号（·）+=max（·，0），我们可以将g（x）写成a代表m，这在实际应用中是众所周知的（见参考文献[25]中的等式（1）），g（x）=g（k）+g′（k）·（x）-k） +Zkg′（y）（y）- x） +dy+Z∞kg′（y）（x）- y） +dy。（A8）因为x是投资于股票的一个单位财富的总回报，所以价格（x）=1，并遵循价格（g）=g（k）·DF+g′（k）·1-k·DF）+Z∞g′（y）O（y，k）dy，（A9），其中O（y，k）是由普通期权价格（看跌期权和看涨期权）O（y，k）组成的函数=行使y，y的看跌期权的价格P（y）≤ 行使y，y>k的看涨期权的kprice C（y）。让我们来看看。公式（A9）简单化toPrice（g）=g（1/DF）·DF+Z∞g′′（y）O（y，1/DF）dy。（A11）替换为g（x）=xRwe computePrice（xR）=DF1-R+（R- R） Z∞你-2O（y，1/DF）dy，（A12）和价格（xR）R=-DF1-Rln DF+（2R- 1） Z∞你-2O（y，1/DF）dy+（R- R） Z∞你-2O（y，1/DF）ln y dy。（A13）最后，等式（8）变得更简单=-DF1-Rln DF+（2R- 1） I（R）+（R）- R） I（R）DF1-R+（R- R） I（R），（A14），其中I=Z∞你-2O（y，1/DF）dy，I=Z∞你-2O（y，1/DF）ln y dy。（A15）这正是Err作为R的函数使用o pt离子价格计算的方法。然后将保费的年化值（ERR+ln DF）与独立报告值相匹配（见图1和参考文献[24]）。这是通过使用简单的二分法求解R来实现的。以这种方式表示的R值在F ig中绘制为实线。2.III推导公式（15）代入公式。

（16） giveshR ib=Zmbm′xx dx=Zxm dbm. （A16）通过部件进行集成，而不是覆盖xb∞= 0，我们得到hr ib=-Zbmd（xm）=-Zbm（mDX+xDM）=-1.-Zb xdmm。（A17）最后，使用公式（16）定义的符号，我们得出hr ib=-1.- hx（lnm）′xib。（A18）在本文的正文中，我们用一个特殊的例子来说明这个表达式，即alog正态市场隐含分布。为了了解在这种特殊情况下会发生什么，我们使用等式（9）并推导（lnm）′xLN=- ln x-（ln x）- u）2σ+常数′x=-十、-ln x- μσx（A19）代入式（A18）给定的ibLN=hln x ib- μσ=+hln x ib- rσ。（A20）重新排列我们导出的术语+hR ib- 1/2σ. （A21）IV hR-Ip的数值计算看等式（19），hR-Ip的计算很简单，只要我们能计算数量ln m（xi）′xi=m′（xi）m（xi）。（A22）设C（K）为行使K的看涨期权的价格。它通过定价公式C（K）=Z（x）与m有关- K） +m（x）dx（A23），这意味着m（xi）=C（十一）xi（xian\'m）=C（十一）xi（A24）使用市场数据计算期权价格作为行使的函数，这些数量很容易通过数值差异找到。在本文中，我们使用了直接的差异近似：ln m（xi）′xi=林→0-0.5摄氏度（xi）- 2h）+C（xi）- h）- C（xi+h）+0.5·C（xi+2h）h·C（xi）- h）- 2C（xi）+C（xi+h）. （A25）V均衡市场让我们考虑一个金融产品市场，这些产品的价值来自于一些变量。每一位投资者我都会通过购买一款具有一定支付功能的产品来投资widollars。

对所有市场参与者（包括市场参与者）进行总结，为了简单起见，假设不存在违约，我们计算Iwifi（x）=W/DF，（A26），其中W=Piwi是投资于市场的总金额，DF是货币市场贴现系数。这一论点的核心是投资者等价原则的直接应用（或者更准确地说，是一个例证）[18]。这一原则是一种思维工具，它表明，对于每个投资者来说，都可以想象一个选择相同产品的增长优化投资者。当所有注意力都集中在投资者的实际行动上时，这是有用的。假设βi（x）是一个增长优化投资者必须持有的信念，才能购买Fi（x）。从数学上讲，βi（x）=Fi（x）m（x），（A27），其中，假设价差可以忽略不计，m（x）是我们正在寻找的市场。将其代入式（A26）中，我们看到m（x）由表达式m（x）=DFWXiwiβi（x）给出。（A28）注意，m（x）是由投资者的行为唯一决定的。事实上，我们可以想象用同等的（即购买相同的产品）增长优化投资者取代每个投资者，并达到相同的市场m（x）。为了完整性，我们注意到这个推导并没有说明平衡的稳定性。事实上，我们看到每个市场参与者都会对市场产生一些影响。这种系统中的市场动态将取决于每个投资者的规模，以及新发现的信息如何在不同规模的市场参与者之间传播。Lux和Westerhoff论证了共生因子之间这种相互作用的重要性[26]。VI杂项注释和观察VI。1数据就数据要求而言，我们的方法在两个重要方面与基于消费的理论不同[2]。一方面，我们不需要任何消费数据。

另一方面，我们需要股票期权市场隐含的波动率的历史记录。期权隐含波动率表面在金融业中无处不在，SPX期权市场尤其发达。从2000年5月17日到2015年4月27日，本pa中使用的历史数据为每跨度almo st 15年。这一时期包括2007-2008年的全球金融危机，这场危机降低了历史股权溢价的幅度。然而，这种降低的强度或持续性不足以消除本文所用数据集中的大量股权溢价。在由水平线（绿色）表示的42项投资中，onFig。4.表现最差和表现最好的公司的年化股本溢价分别为2%和2.6%。所有这些值都远高于0.35%，Mehra和Presott报告称，这是主流方法可以解释的上限[2]。六、 2.让我们邀请读者回到关于等式的讨论中来。（17-18）将预期保费和已实现保费的两项独立调查结合在一起。尽管在意义和技术挑战上存在根本差异，但这两种类型的介词在数学上非常相似。本质上，它们都衡量了某些分布（投资者相信b或已实现P）与市场隐含m之间的差异。当投资者的信念正确时，即当b接近P时，这两个溢价在数值上是一致的。在我们的方法中，预期溢价和实际溢价之间的数字一致性是非常重要的因素，因为它证明了股权投资形成了可实现预期的可行策略。

为了生存，个体战略不必解释整个经济体总消费的波动性，但它必须实现自己的预期。我们赞同经典观点，即科学理论必须是可行的[27]。要改变你的方法，你需要找到一个纯粹的投资策略，该策略系统性地不能实现自己的预期业绩。在竞争激烈的经济中，这样一种战略的长期生存确实会构成一个有趣的谜题。这可能是图4中一些实验的风险厌恶度略低于z ero的部分原因，尽管平均值（由水平绿线表示）的显著正值表明，这也可能只是噪声。参考文献[1]A.Soklakov，“为什么是定量结构？”，2015年7月。arXiv:1507.07 219。SSRN-id2639383。[2] R.Mehra和E.Prescott，“股权溢价：一个谜”，《货币经济学杂志》第15期，第145-161页（1985年）。[3] R.Nelson和S.G.Winter，“经济学中的进化理论”，经济展望杂志，16（2），23-46（2002）。[4] I.V.Evstigneev，T.Hens和K.R.Schenk Hopp\'e，《金融市场手册：动力学和Evo lut ion》第9章，金融系列手册（ed.W.Ziemba），第507-566页（2009年）。也可在线获得athttp:ssrn。com/abstract=11550 14。[5] A.Damodara n，“投资哲学：成功的战略和使其发挥作用的投资者”（威利，2003年；第二版，2012年）。[6] R.J.Shiller，“消费、资产市场和宏观经济波动”，卡内基-罗彻斯特公共政策系列会议17，2 03-238（1982）。[7] R.Mehra和E.Prescott，《金融经济学手册》（爱思唯尔：荷兰阿姆斯特丹，2003年），第一卷B部分，第14章，887-936页，“回顾中的股权溢价”。[8] F。

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