通过投资结构进行模型风险分析

作为进一步的增强，我们还研究了非零相关（ρ=-70%）以及[5]中使用的零相关性。结果如图2所示。我们发现，许多与本地波动率记录的合理偏差不会导致重大模型风险。在上述实验的背景下，局部挥发模型似乎是一个很好的建模选择。可能需要随机局部波动请注意，我们不讨论对杠杆率σ/σi引入上限（显式或隐式）。根据合同，此类上限可能导致随机波动模型的重大重要性。只有当你相信真正极端的市场动态（如SLV所捕捉到的）-70%5/10).尽管谨慎的做法是针对极端市场保留储备，但应避免使用具有此类不切实际动态的模型进行对冲。正如我们已经提到的，任何风险分析都围绕两个基本问题展开——关于风险的起源和重要性。因此，在我们的例子中，我们研究了整体重要性的问题。我们发现，简单的预订方案每年的模型风险至少为6%——这是一个典型的数字。我们现在想确定这种风险的原因。换句话说，让我们来调查一下预定计划到底出了什么问题。设M和B是两组数。为了使其更具体，让我们把这些看作是我们在上述实验中用来构建分布{mi}和{bi}的实际蒙特卡罗样本。我们发现数字B的质量不好，我们希望使它们在统计上更接近M。显然，首先要做的是校正平均值，即在B中的每个数字上加一个常数校正，平均值（M）-平均值（B）。我们称之为平均值校正集B*.

同样，我们可以同时修正均值和方差——我们只需要两个常数：一个用于乘法，另一个用于加法修正。这个标准练习产生了一组新的B**现在它的均值和方差与M相同。我们可以继续用这种方法匹配矩，但让我们停在这里，建立分布{b*i} 和{b**i} 从B*B**与我们从B构建原始{bi}的方式完全相同。现在让我们更仔细地看看当地的Vol市场。将{bi}替换为{b}*i} 然后是{b**i} 我们看到模型风险溢价从6.06%下降到2.56%，然后下降到1.53%（每年）——见图1A。这意味着超过一半的模型风险来自于未能获得正确的预订建议。剩余的模型风险中有一半来自于错误的假设，即目标价值是完美实现的。为了理解剩余的1.53%，我们使用等式（3）和图f**i=b**i/mi（参见图1B中的绿线）。我们立即认识到了歪斜产品的风险逆转形态[7]。vol定位方案可以减少倾斜，但显然不能消除它。确认预订计划未能将偏差作为剩余MRP的主要贡献，即1.53%。思考一下我们刚刚获得的有关vol-targeted Index期权的具体示例的见解是很有启发性的。在进行分析之前，我们中有多少人会坚定地预测前锋的问题会抵消所有其他限制因素的总和？现在对我们来说，这似乎很明显，但是，如果没有直观的好处，有多少从业者会将前进作为一个潜在的问题提到呢？当被问及前三大限制时，有多少从业者会提到歪斜是最不重要的？即使在这个非常简单的例子中，我们也获得了重要的见解。作为Eq的进一步说明。

（3） 作为一种解释风险起源的工具，将我们刚刚讨论过的图1B与Black-Scholes市场进行的完全相同的分析进行对比（参见图1C）是有帮助的。这样的市场没有倾斜，因此，图1C提供了一个非常不同的画面。我们在ATM周围看到一个几乎恒定的债券式支付，在远处的机翼上有一些峰值。这是蒙特卡罗噪音的经典标志。这可以解释为，在大多数等距桶的网格中，收敛性很好，而在最远的桶中采样很差。3总结与讨论投资结合并对比了两种知识：市场隐含的和投资者相信的。在不丧失任何普遍性的情况下，我们可以将这两种知识视为模型。模型风险评估和投资设计合并为一个领域。通过vol目标指数期权的具体例子，我们展示了定量构造方法如何允许我们测量和剖析模型风险。必须强调的是，我们使用的技术完全独立于示例。方程（3）和（5）通过通用的矩匹配技术得到，我们都用来理解风险的起源和重要性。如果我们决定调查（比如）校准的质量，而不是模型cho ice，会有什么不同？以SLV模型及其适应Vanilla市场的能力为例。我们将使用终端股票价值作为变量，分别从市场和校准的SLV中暗示{mi}和{bi}，并以与上述完全相同的方式进行分析。

类似地，我们本可以给出实现风险的说明——使用同一模型的两个不同实现来计算{mi}和{bi}。不同的模型风险、不同的背景（如金融产品）——所有这些都会反映在分布{mi}和{bi}的构造中。在下文中，我们将该方法总结为一种易于生产的算法，从而进一步阐明该方法。列出所有相关变量这是一个指定调查所涵盖产品类型的机会。例如，普通股权选择取决于终端股权价值，圣亚裔和回望分别取决于pt<t和maxt<t。大多数自动可调用项都是对（Sτ，τ）的导数，其中τ是自动调用的时间。2.在变量上定义桶这是一个捕捉相关市场粒度的机会。在这里，我们记录了可能随时交易的液体冲击次数、障碍物水平等。例如，上述对vol targeted index期权的分析使用了N=20个等距桶，覆盖了模拟X6m的整个蒙特卡罗范围。如果我们看流动性股票指数上的vanillas，N的典型值将是数百。3.暗示概率分布这可以直接从上文所示的蒙特卡罗引擎中完成，也可以直接通过数字或vanillas的定价来完成。后一种方法在使用基于PDE的定价工具时非常重要，尤其是在使用早期运动衍生工具[7]时。判断重要的MRP，判断在你的业务领域，这是否是一个重要的回报率。5.

定位模型风险使用矩匹配技术和支付的可视化显示相结合的方法（如本文所示），剖析和分析模型风险。最后，值得注意的是，尽管本文有明确的财务背景，但上述技术可以与一般统计技术一起考虑。事实上，我们也可以很容易地选择研究那些在建模方面与财务无关的风险因素：预期寿命、交通事故率、天气读数等。如果能看到财务直觉，例如认识到支付函数的形状，在财务之外被使用，那将是非常令人兴奋的。这可能是我们的行业向更广泛的科学界做出贡献的一个机会。4.ix4。1随机局部波动模型本文使用的随机局部波动模型SLVρη/κ与[5]中讨论的模型非常相似。该模型由两个相关的微分Ds=uS dt+σ（S，t）Z（t）S dWS，（7）d ln Z=(-κlnz- η/2）dt+ηdWZ，（8）dWSdWZ=ρdt。（9） 如果没有随机乘数zt，这将只是标准的局部波动模型。其他参数包括体积η的体积、平均回复κ和点体积相关系数ρ。局部波动函数σ（S，t）如[5]中所述建立，以满足市场需求。4.2投资绩效每一个投资理念都会自然而然地受到绩效问题的影响。在定量结构中，Every investment是作为一个优化问题的解决方案构建的，该优化问题抓住了客户的目标。在这样的环境下，每项投资都有自己的自然绩效衡量标准——这是优化的目标。例如，想象一下，某个基础x的期权市场。

在没有任何普遍性的实际损失的情况下，我们可以假设x取离散值，并且市场由二进制证券组成，每个证券为x的某个值支付1，否则为零。在实际应用中（如SPX期权市场s），x的不同值代表标的（如标准普尔50指数）的价格区间，x的不同值的数量取决于市场解决的此类区间的数量，即流动交易的罢工次数。进入上述市场的增长优化型投资者被定义为寻求具有支付函数Gx的产品的人，该函数使预期回报率最大化=Xxbxln Gx受预算约束xxgxpx=1。（10） 上述优化给出的数量px和bxis的含义是：bxis是投资者相信市场变量将以x值为x的概率，px是证券的市场价格，如果发生这种情况，则支付1，否则为零。从一个优化增长的投资者的角度来看，ER显然是衡量投资业绩的最佳和最自然的指标。对于更普通的投资者来说，这当然不是事实。然而，（10）的解对于理解普通投资者来说是非常方便的[2]。尽管存在众所周知的局限性，但增长率仍然是衡量绩效的直观且常用的指标。事实上，从小型初创企业的营销手册到世界经济的专家预测，这可能是唯一一个在各种规模的业绩报告中都能得到保证的数字。这是由于一个非常简单的实际事实——大多数曾经有过业务的人，甚至只是一个银行账户的人，都可以判断每年r%对他们来说是好是坏。

此外，人们对增长优化策略有着强烈的感觉[2]，这进一步加深了他们个人的判断，包括对进一步研究的知情需求。总之，理想情况下，每项投资的绩效都应该根据其目标来衡量。虽然理论上令人满意，但在实践中往往很难做到这一点。量化结构提出了一种增长优化策略，作为有用的实用基准。求解优化（10），我们计算x=bx/px。（11） 直觉上，价格{px}一定与x的概率有关。然而，它们是实际的市场价格，不一定等于1。这有两个相互矛盾的原因。首先，货币的时间价值通常具有降低（贴现）价格数值的效果。第二，任何一个生意人都必须谋生，因此做市商收取的佣金高于理论价值。总之，我们写了EXXPX=DF·CF，（12），其中我们引入了折扣和佣金系数DF和CF，以捕捉两种竞争效应。我们通过规范化价格mxdef=pxDF·CF来引入市场隐含概率分布mx。（13）注意，考虑到价格{px}，市场隐含概率分布mx总是很明确的。将标准化因子分解为D F和CF的具体数值反映了市场参与者所担保的特定融资安排。我们定义frfdef=- ln DF，CRdef=ln CF，（14）其中，为了给出一些名称，我们选择RFR和CR作为“无风险利率”和“佣金率”的缩写。把所有这些放在一起，我们计算出增长最优投资的结构gx∝ fxdef=bx/mx（15）及其性能系数=Xxbxln fx+RFR- CR。（16） ER的价值可以计算为任何投资。通过建设，gr OWTHO最优投资具有最高的ER可能值。

额外的风险规避[8]当然会降低ER，降低的金额将量化风险规避在预期回报中的价格。类似地，我们可以量化投资的任何其他修改的价格——从修整、临时调整到投资最基本假设的变化。本文考虑的模型风险分析就是后者的一个例子。对于一个完全不同的例子，请参考感兴趣的读者[9]。参考文献[1]索克拉科夫，A.，“支付结构的贝叶斯经验”，风险，2011年9月，115-119。arXiv:1106.2882。[2] 索克拉科夫，A.，“为什么要进行定量结构？”，2015年7月。arXiv:1507.07219。[3] 杜皮尔，B.，“微笑定价”，风险，1994年1月，18-20日。[4] Derman，E.和K ani，I.《微笑的骑行》，风险，1994年2月，第32-39页。[5] 任勇，马丹，D.，钱，M.Q.，“嵌入局部波动模型的校准和定价”，风险，2007年9月。[6] Kelly J L Jr，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，917-26（1956）。[7] 索克拉科夫，A.，“衍生衍生品”，2013年4月。arXiv:1304.75 33。[8] Soklakov，A.“结构弹性理论”，2013年4月。arXiv:1304.7535。[9] 索克拉科夫，A.，“定量结构与股权溢价之谜”，2015年7月。arXiv:1507.0721 4。