由中央代理稳定的系统的风险分析

对于每个模拟，我们改变一个参数，其他参数固定在表中的值。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50123x 10-3数值模拟的波动方差。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50123x 10-3“xN0”波动的方差。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50123x 10-3 x0和¨xNh00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1024x 10的波动幅度-3 x0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1024x 10的波动方差-3“xN0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1024x 10的波动方差-3 x0和¨xNσ0数值模拟图1的波动性。我们将方差和协方差的解析公式与直接数值模拟进行了比较。在左边，水平轴是右手σ.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1012x 10-4波动的方差x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.51x 10-3“xN0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1012x 10的波动方差-4 x0和¨xN∑numericalanalytical1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.010.02 x0 numericalanalytical1 2 3 5 6 7 8 9 1000.010.02¨xN1 2 3 5 6 7 8 9 1000.010.02波动的方差图2。与图1相同，只是左侧的水平轴为σ，右侧的水平轴为θ。直接数值模拟得到的样本方差和样本协方差为100个不同的σ和θ均匀分布在感兴趣区域。我们看到，分析公式和模拟结果之间有很好的一致性，我们（16-18）确实捕捉到了（x（N）（t），-xN（t））平衡的影响。大偏差的数值结果。

在本小节中，我们通过数值求解σ=0和σ>0的相关边值问题（26）和（34），计算第3.2节中定义的最可能路径（x，`x）。我们使用MATLAB中的边值问题求解器bvp4c来解决这些问题。该算法的详细信息见[19]。16 JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI Yango对于非奇异情况，对于hsmall，我们使用x（t）≡ -1或x（t）=（2t/t）-1对于（26）和x（t）=x（t）≡ -1或x（t）=x（t）=（2t/t）- 1代表（34），取决于哪个结果更好。我们发现，即使对于非奇异情况，bvp4c有时也不能给出准确的解。数值解未能通过MATLAB例程的内部精度检查。原因尚不清楚。然而，通过多次迭代bvp4c可以绕过这个问题。更准确地说，我们使用不精确解作为新的初始猜测，并使用bvp4cto再次求解同一边值问题以获得新的解，等等。经过几次迭代后，bvp4c会找到通过精度检查的正确解决方案。对于几乎奇异的情况，当他的方法很大时，即使经过多次迭代，也无法找到正确的解。为了解决这个问题，我们使用上述技术获得的较少奇异情况的初始猜测解。例如，我们使用h=1的问题的解作为初始猜测来解决h=2的问题，依此类推。最终我们可以解决一些非常奇异的问题，例如，h=10.6.2.1。h的影响。在图3中，我们绘制了最可能的路径（x，\'\'x）作为时间的函数，从0到10。在左边，所有曲线图的σ=0，在右边，σ=0.5。我们注意到，当h=0时，（x，\'x）是光滑的，实际上它近似线性，而（x，\'x）对于h=10是非常弯曲的。

我们看到当n（t）≤ 0时，系统的失稳由¨x（t）驱动。事实上，\'x比x（t）具有更高的外部风险（σ=1）（σ=0或σ=0.5），并且没有内在稳定性（h=0），因此在最可能的路径中，\'x（t）会使x（t）不稳定。然而，一旦x（t）>0，系统转换由x（t）驱动，因为双阱势迫使xto进入失效状态1，而¨x（t）由x（t）驱动。由于双阱势在这种情况下起着更重要的作用，因此当他的能量较大时，这种影响会加强。在图4中，我们绘制了infx的值∈AI（x）表示不同的h。我们在x中看到了这一点∈AI（x）是h的一个递增函数。这是预期的，因为如果系统具有更高的内在稳定性（h），则系统更稳定。我们还可以在图4中看到∈对于大h.6.2.2，AI（x）具有与HF有关的二次行为，即小手线性行为。小偏差和大偏差之间的比较。在这里，我们比较了（13）中的过程zand\'z描述的（x（N），\'xN）的小波动，以及（x（N），\'xN）的大偏差，后者由速率函数infx的最大值描述∈AI（x）。对于小函数的表征，我们计算了IMT→∞Varz（t）in（49）和limt→∞在（50）中的Var’z（t）。对于大偏差的表征，我们计算（23）中σ=0的I（x，\'x），其中（x，\'x）是（26）的解，并计算（33）中σ=0.5的I（x，\'x），其中（x，\'x）是（34）的解。我们的目标是将infx所描述的系统性风险这一事实形象化∈AI（x）可能会发生显著变化，即使IMT测量的个体风险→∞Varèz（t）保持在固定水平。受（16）和（17）的激励，我们知道limt→∞Varz（t）和limt→∞如果我们增加σ和θ，但保持σ/θ的比率不变，则Varèz（t）不会受到显著影响。

在图5中，我们确认了这一预期，我们还观察到infx∈AI（x）随着σ的增加而增加，这意味着系统风险降低。这也意味着对由中央代理170 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10稳定的系统进行风险分析-1.-0.500.511.5tI=0.88899，T=10，h0=0，θ0=1，θ=1，σ0=0，σ=1 x0¨x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.-0.500.511.5tI=0.66393，T=10，h0=0，θ0=1，θ=1，σ0=0.5，σ=1 x0¨x0 1 2 3 4 6 7 9 10-1.-0.500.511.5tI=1.2943，T=10，h0=1，θ0=1，θ=1，σ0=0，σ=1 x0′x0 1 2 4 5 6 7 8 9 10-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tI=0.98633，T=10，h0=1，θ0=1，θ=1，σ0=0.5，σ=1 x0′x0 1 2 4 6 7 9 10-1.-0.500.511.52tI=8.1267，T=10，h0=5，θ0=1，θ=1，σ0=0，σ=1 x0′x0 1 2 4 5 6 7 8 9 10-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tI=5.3547，T=10，h0=5，θ0=1，θ=1，σ0=0.5，σ=1 x0′x0 1 2 3 4 6 7 9 10-1.-0.500.511.522.533.54tI=24.2897，T=10，h0=10，θ0=1，θ=1，σ0=0，σ=1 x0′x0 1 2 4 6 7 9 10-1.-0.500.511.52tI=13.0566，T=10，h0=10，θ0=1，θ=1，σ0=0.5，σ=1 x0′x图3。h=0,1,5,10的最可能路径（x，\'x）=arg minAI。我们假设T=10，θ=1，θ=1和σ=1。左栏是案例σ=0，右栏是案例σ=0.5.18。乔塞林加尼尔，乔治帕尼尼古拉诺，和慈卫Ya他们0.1 0.0.2 0.2 0.0.0 0.0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.6 0.6 0 0.6 0 0.6 0 0.6 0.0 0.0 0 0 0 0.7 0.0 0.0.0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0.0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.6 0 0.6 0.0 0 0 0 0.6 0.0 0.0 0 0 0 0.0.0 0.6 0 0 0.6 0.6 0 0 0.6 0 0.6 0 0 0.6 0 0 0 0 0 0.6 7 8 9 100510152025h0IT=10，θ0=1，θ=1，σ0=0，σ=10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1002468101214h0IT=10，θ0=1，θ=1，σ0=0.5，σ=1图4。I对A的上限：h=0，0.1，0.2，对于h=0，1，2，10.让T=10，θ=1，θ=1和σ=1。

左栏为σ=0，右栏为σ=0.5。对于固定水平的个人风险σ/θ，θ的降低，即本地代理与中央代理的相互作用，降低了系统风险。人们也可能认为θ对极限影响不大→∞Varz（t）和limt→∞变量z（t）；然而，在图6中，我们看到θ对极限的影响→∞Varz（t）和limt→∞Var’z（t）是不可忽略的。换句话说，limt的独立性→∞Varz（t）和limt→∞关于θ的Var’z（t）仅适用于极限（16）和（17）。6.3。最优控制的数值结果。在本小节中，我们使用尤勒方案模拟（12）的最优控制：x（N）（N+1）=σ√NWn+1- hV（x（N）（N））T- θ（x（N）（N）- \'xN（n））t、 （46）`xN（n+1）=σ√N\'Wn+1- θ（°xN（n）- x（N）（N））t+α∞j（n）twith x（N）（0）=xN（0）=-1和{Wn+1}n{\'Wn+1}ni。i、 d.均值为0且方差为0的高斯随机变量t、 式中（47）α∞j（t）=-θcB∞（x（N）（N）+1）+d∞（xj（n）+1）+e∞（\'xN（n）+1）和（a）∞, B∞, D∞, E∞) 满足代数Riccati方程（44）。由中央代理稳定的系统的风险分析191 1.52 2.53 3.50.811.21.41.61.822.22.42.6σ2，σ2/θ=1T=10，h0=0，θ0=1，σ0=0，σ2/θ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y1 1.5 2.5 3 3.50.610.620.630.640.650.660.670.680.690.7σ2，σ2/θ=1T=10，h0=0，θ0=1，σ0=0.5，σ2/θ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y1 1.5 2.5 3 3.50123456σ2，σ2/θ=1T=10，h0=1，θ0=1，σ0=0，σ2/θ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y1.5 2.5 3 3.500.20.40.60.811.21.41.6σ2，σ2/θ=1T=10，h0=1，θ0=1，σ0=0.5，σ2/θ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y1 1.5 2.5 3 3.5024681012σ2，σ2/θ=1T=10，h0=2，θ0=1，σ0=0，σ2/θ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y1 1.5 2 2.5 3 3.500.511.522.533.5σ2，σ2/θ=1T=10，h0=2，θ0=1，σ0=0.5，σ2/θ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y图5。infx的情节∈AI（x），limt→∞瓦尔兹（t）和利姆特→∞σ从1到10，σ/θ=1时的Var¨z（t）。我们letT=10，θ=1。

左栏为σ=0，右栏为σ=0.5。获得（a）∞, B∞, D∞, E∞), 对于足够大的T，我们数值求解（42），使得（a（0），b（0），d（0），e（0））本质上是（a）∞, B∞, D∞, E∞). 表2列出了（46）中使用的参数值。从图7中我们可以看出，在x（N）和¨xNjump之间的意义上，非受控问题非常不稳定-1和+1。另一方面，在相同的参数值下，受控的x（N）和¨xNar更加稳定，没有从-1到+1.20乔塞林·加尼尔、乔治·帕帕尼科洛和杨子伟051015205305045000.511.522.533.544.55θ0T=10，h0=0，θ=10，σ0=0，σ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.20.30.40.50.60.70.80.91θ0T=10，h0=0，θ=10，σ0=0.5，σ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.511.522.533.544.55θ0T=10，h0=1，θ=10，σ0=0，σ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.511.522.5θ0T=10，h0=1，θ=10，σ0=0.5，σ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.511.522.533.544.55θ0T=10，h0=2，θ=10，σ0=0，σ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.511.522.533.544.5θ0T=10，h0=2，θ=10，σ0=0.5，σ=1→∞Varδy0limt→∞Varδ′y图6。infx的情节∈AI（x），limt→∞瓦尔兹（t）和利姆特→∞θ从1到50的Var’z（t）。我们让T=10，θ=10，σ=1。左栏为σ=0的情况，右栏为σ=0.5的情况。不thσθσθ100 10-20.7 0.5 1.0 5.0 1.0表2。秒中使用的参数值。

6.3对于受控问题（46）和非受控问题（45）。由中央代理210 100 200 300 500 600 800 900 1000稳定的系统的风险分析-1.5-1.-0.500.511.5N=100，h0=0.7，σ0=0.5，θ0=1，σ=5，θ=1时间x0无控制x0有最佳控制1002003005008001000-2.5-2.-1.5-1.-0.500.511.522.5N=100，h0=0.7，σ0=0.5，θ0=1，σ=5，θ=1时间x无控制，最优控制如图7所示。有最优控制和无最优控制的x（N）（t）和¨xN（t）的样本路径。在最优控制下，x（N）（t）和¨xN（t）比不受控的要稳定得多。7.总结和结论当系统中有一个中央代理充当稳定器时，我们制定并分析了个人和系统风险演化的多代理模型。当地特工没有稳定机制。本文的主要结果如图5和图6所示，简要描述如下。当本地代理对中央代理的依从率增加时，系统性风险降低，但当中央代理对本地代理的平均依从率增加时，系统性风险增加。这是在观察到的个体风险保持近似恒定的条件下进行的。我们还表明，漂移控制对本地代理的影响是始终稳定系统风险。确认这项工作部分由能源部[国家核安全管理局]支持，授予编号为NA28614，部分由AFOSRgrant FA9550-11-1-0266支持。作者感谢高等教育科学研究所（IHES）在开展部分工作期间的热情款待。附录A.第3A节中的证明。1.命题1的证明。

我们首先考虑A:A=Q∧Q的本征分解-1，其中∧=λ0 λ, Q=θλ- λ1 +λθ1 +λθ1 1, Q-1个=1.-(1 +λθ)-1 1 +λθ,λ=-[hV（ye）+θ+θ]+q[hV（ye）+θ+θ]- 4θhV（ye）,λ=-[hV（ye）+θ+θ]-q[hV（ye）+θ+θ]- 4θhV（ye）.我们注意到，如果h、θ和θ为正，则λ和λ为实且为负。然后从（14）开始，limt→∞z（t）=limt→∞\'z（t）=0。此外，根据本征分解22约瑟林·加尼尔、乔治·帕帕尼科洛和杨子伟（48）Varz（t）Cov（z（t），\'z（t））Cov（z（t），\'z（t））Varz（t）= 中兴通讯（t）-s） λQ-1.σ0 σ（Q）-1） Te（t-s） ∧dsQT。我们观察到这一点-1.σ0 σ（Q）-1） T=σ+ σ(1 +λθ)-σ- σ(1 +λθ)(1 +λθ)-σ- σ(1 +λθ)(1 +λθ) σ+ σ(1 +λθ).特林姆→∞中兴通讯（t）-s） λQ-1.σ0 σ（Q）-1） Te（t-s） λds=-2λ[σ+ σ(1 +λθ)]λ+λ[-σ- σ(1 +λθ)(1 +λθ)]λ+λ[-σ- σ(1 +λθ)(1 +λθ)] -2λ[σ+ σ(1 +λθ)]!.所以我们得到了限制→∞Varz（t）=θ（λ）- λ)(-2λ1 +λθ\"σ+ σ1 +λθ#(49)+λ+ λ1 +λθ1 +λθσ+ σ1 +λθ1 +λθ-2λ1 +λθ\"σ+ σ1 +λθ#),极限→∞Var′z（t）=θ（λ）- λ)(-2λ\"σ+ σ1 +λθ#(50)+λ+ λσ+ σ1 +λθ1 +λθ-2λ\"σ+ σ1 +λθ#),极限→∞Cov（z（t），\'z（t））=θ（λ）- λ)(-2λ1 +λθ\"σ+ σ1 +λθ#(51)+λ+ λ1 +λθσ+ σ1 +λθ1 +λθ+λ+ λ1 +λθσ+ σ1 +λθ1 +λθ-2λ1 +λθ\"σ+ σ1 +λθ#).由中央代理稳定的系统的风险分析23我们感兴趣的是σ和θ趋于一致，而α=σ/θ的比率是固定的。对于θ大，使用近似√1+x=1+x+O（x），我们有以下展开式：λθ=2θ(-[hV（ye）+θ+θ]+[hV（ye）+θ+θ]s1-4θhV（ye）[hV（ye）+θ+θ]=-hV（ye）hV（ye）+θ+θ+Oθ,1 +λθ=2θ(2θ - [hV（ye）+θ+θ]- [hV（ye）+θ+θ]s1-4θhV（ye）[hV（ye）+θ+θ]=-θ[hV（ye）+θ]+hV（ye）hV（ye）+θ+θ+Oθ.因此λ→ hV（ye）asθ→ ∞ 1+λθ=O（θ），最后我们得到了极限（16），（17）和（18）。A.2。命题2的证明。

如果xis是极小值，那么对于φ（0）=φ（T）=˙φ（0）=˙φ（T）=0的任何扰动φ，I的方向导数必须为零：dd=0I（x）+φ） =2σZTθ¨x+hθV（x）˙x+1 +θθ˙x+θhθV（x）×θ¨φ+hθV（x）φ˙x+hθV（x）˙φ+1 +θθ˙φ+θhθV（x）φdt=0。通过分段积分并利用φ是任意的这一事实，极小值x必须满足以下等式：θddtθ¨x+hθV（x）˙x+1 +θθ˙x+θhθV（x）+hθV（x）˙xθ¨x+hθV（x）˙x+1 +θθ˙x+θhθV（x）-滴滴涕hθV（x）θ¨x+hθV（x）˙x+1 +θθ˙x+θhθV（x）-1 +θθ滴滴涕θ¨x+hθV（x）˙x+1 +θθ˙x+θhθV（x）+θhθV（x）θ¨x+hθV（x）˙x+1 +θθ˙x+θhθV（x）= 0.在边界条件x（0）=-1，x（t）=1和ddtx（0）=ddtx（t）=0。在重新排列上述方程后，我们得到（26）。A.3。命题5的证明。如果h=0，（12）是一个线性SDE系统，可以找到显式解：x（T）`xN（T）= 埃塔-1.-1.+√NZTe（T-s） AσdWsσd\'Ws, A=-θθθ -θ.24 JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI Yango因为（12）是线性的，（x（T），\'xN（T））是联合高斯的，并且可以完全由其均值和协方差矩阵来表征。

我们注意到(-1.-1） 这是在安和图塞的空白处x（T）`xN（T）= 埃塔-1.-1.=-1.-1..此外，AHA还有以下特征分解：A=Q∧Q-1，其中∧=0 00 -(θ+ θ), Q=θ+θ1.-θθ1 1, Q-1个=θθ-1 1.然后协方差矩阵是Varx（T）Cov（x（T），\'x（T））Cov（x（T），\'x（T））Var（T）（52）=NQZTe（T-s） λQ-1.σ0 σ（Q）-1） Te（T-s） ∧dsQT=NQ∑QT，其中∑=T（σ+θσ/θ）θ+θ(-σ+ θσ/θ)[1 - E-T（θ+θ）]θ+θ(-σ+ θσ/θ)[1 - E-T（θ+θ）]2（θ+θ）（σ+σ）[1- E-2T（θ+θ）！。当终端时间T较大时，我们可以将（52）中的中间矩阵分为主项和校正项：∑=T（σ+θσ/θ）00 0+θ+θ(-σ+ θσ/θ)[1 - E-T（θ+θ）]θ+θ(-σ+ θσ/θ)[1 - E-T（θ+θ）]2（θ+θ）（σ+σ）[1- E-2T（θ+θ）！。然后我们得到协方差矩阵的近似值：Varx（T）Cov（x（T），\'x（T））Cov（x（T），\'x（T））Var（T）≈NQT（σ+θσ/θ）00 0QT（53）=TNθσ+θσ（θ+θ）1 11 1.从（53）中我们得出结论，当T变大时，x（T）和¨x（T）近似相等，（35）中的概率约为P（x（T）∈ （1，1+dx）），利用x（T）是高斯平均值的事实给出期望的衰减率-1和（53）中的近似方差Varx（T）表示大T。附录B.命题6的证明我们分三步证明。第一步是证明J在所有可行φ上存在一个统一的下界。由中心代理稳定的系统的风险分析25引理8。如果h=0，则对于所有φ（t，dx），使得hφ（t，dx），xi=(R)x（t），J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]≥2σZT（˙x+hV（x）+θ（x- ˙x）dt+2σZT（˙x+θ（˙x- x） 对于σ>0和σ=0，J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]≥2σZT（˙x+θ（\'x- x） ）dt，如果˙x+hV（x）+θ（x- \'x）=0或J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]= ∞ 否则证据通过取f（x）=x，我们得到ztsupf（x）：hφ，（f（x））i6=0hφt-σφxx- θx[（x- x（t））φ]，f（x）ihφ，（f（x））idtf（x）=x≥ZThφt-σφxx- θx[（x- x（t）φ），xihφ，1idt=ZT（˙x+θ（\'x- x） ）dt。然后我们就得到了想要的结果。