由中央代理稳定的系统的风险分析

这涉及附录A.1中给出的基本计算。对于由中央代理7稳定的系统的风险分析，我们看到，zand’z极限的方差和协方差随着σ的增加或h的减少而增加。我们还注意到，这三个统计量放大为σ→ ∞ 即使σ/θ是有限且小的。这是因为当h精确为零时，\'xn不能作为稳定项，x（N）不能通过增加θ3.2来分散其风险。大偏差。3.2.1. 一般的大偏差原则。从平均场和函数分析中，我们可以看出，如果N很大，x（N）（0）=xj（0）=-1表示所有j=1，N、 那么我们可以预期（x（N）（t），\'xN（t））≈ （ye，’ye）=(-1.-1） 然而，只要N是有限的，x（N）（t）和¨xN（t）都是随机过程，因此整个系统在有限时间间隔内发生转变的概率很小，但非零。从数学上讲，我们考虑连续路径的事件（x（N）（t），\'xN（t））∈ C（[0，T]，R）从（ye）开始-, “耶-) :=(-1.-1） 在时间0到结束于（ye+，\'ye+：=（1，1）在时间T:（19）Aδ=（x（t），\'x（t））t∈[0，T]∈ C（[0，T]，R）：（x（0），\'x（0））=(-1.-1） ，k（x（T），\'x（T））- （1,1）k≤ δ,其中，k·k是R中的标准欧几里德范数。弗赖德林-温策尔理论[8，第5.6节]说，对于N大，P（（x（N），？-xN）∈Aδ）满足以下大偏差原则：- infx∈AδI（x）≤ 林恩芬→∞Nlog P（x（N），\'xN）∈ Aδ≤ 林尚→∞Nlog P（x（N），\'xN）∈ Aδ≤ - infx∈\'AδI（x），其中Aδ和\'Aδ分别是标准C（[0，T]，R）拓扑下Aδ的内部和闭合，I（x）是概率指数衰减的速率函数，稍后将具体说明。

通过使用[10，引理5.2]中类似的论点，我们可以证明对于任何 > 存在足够小的δ>0，因此- infx∈AI（x）≤ 林恩芬→∞Nlog P（x（N），\'xN）∈ Aδ≤ 林尚→∞Nlog P（x（N），\'xN）∈ Aδ≤ - infx∈AI（x）+,其中（20）A=（x（t），\'x（t））t∈[0，T]∈ C（[0，T]，R）：（x（0），\'x（0））=(-1.-1） ，（x（T），\'x（T））=（1,1）.换句话说，对于大N和小δ，（21）P（x（N），\'xN）∈ Aδ≈ 经验-N infx∈AI（x）,我们将这种可能性定义为整个系统的系统性风险。下面我们将分别讨论8 JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI Yango中σ=0和σ>0的情况下的速率函数I（x）。接下来我们将计算速率函数infx的最小值∈AI（x）以获得（21）中的系统性风险。极小值x*= 阿格水貂∈AδI（x）是事件Aδ的最可能路径，条件概率P（·Aδ）的质量集中在x附近*以N的指数速度→ ∞ . 的确，如果x*存在且唯一，那么对于任何开放邻域N（x*) 包含x*,（22）P（（x（N），\'xN）∈ N（x）*)|（x（N），\'xN）∈ Aδ=1- P（（x（N），\'xN）/∈ N（x）*)|（x（N），\'xN）∈ Aδ=1-P（（x（N），\'xN）∈ NC（x）*) ∩ Aδ）P（（x（N），\'xN）∈ Aδ）&1-经验(-N infx∈NC（x）*)∩AδI（x））exp(-N infx∈AδI（x））N→∞→ 1，利用x*是唯一的，δ是闭合的。3.2.2. 堕落的案例。我们首先考虑退化情况，其中σ=0且σ>0。然后（12）变成dTdTx（N）=-hV（x（N））- θ（x（N）- \'xN），d\'xN=-θ（°xN）- x（N））dt+σ√（21）中的速率函数I（x）的形式为（23）I（x）=I（x，\'x）=2σZT（˙x（t）+θ（\'x（t）- x（t））dt，if（\'x（t））t∈[0，T]在时间上绝对连续且˙x=-高压（x）- θ（x）- \'x）和I（x，\'x）=+∞ 否则这里的点代表时间导数。

在（21）中，为了计算系统性风险，我们需要解决优化问题：（24）inf\'x（t）2σZT（˙x（t）+θ（\'x（t）- x（t））dt，约束条件为∈[0，T]在时间上是绝对连续的，˙x=-高压（x）-θ（x）- \'x），x（0）=\'x（0）=-1和x（T）=x（T）=1。通过使用‘x=θ˙x+hθV（x）+x，约束优化问题等价于（25）infx2σZTθ¨x+hθV（x）˙x+（1+θθ）˙x+θhθV（x）dt，有边界条件x（0）=-1，x（T）=1和˙x（0）=˙x（T）=0。从基本的变分演算来看，极小化X表示我们在流动命题中描述的四阶边值问题。由中央代理稳定的系统的风险分析。inf（x，\'x）的极小值（x，\'x）∈速率函数（23）的AI（x，`x）满足以下边值问题Ddtx- （θ+θ）ddtx+h“V（x）ddtx+ 3V（x）ddtxddtx(26)- θV（x）ddtx- 2θV（x）ddtx#+ hV（x）”-V（x）ddtx- V（x）ddtx+ θV（x）#=0，其中x（0）=-1，x（T）=1，ddtx（0）=ddtx（T）=0，以及‘x（T）=θddtx（T）+hθV（x（T））+x（T）。证据见附录A.2。如果h=0，我们可以显式地解x和¨x。边值问题（26）是（27）ddtx- （θ+θ）ddtx=0，边界条件x（0）=-1，ddtx（0）=0，x（T）=1，ddtx（T）=0。相关的极小值x是x（t）=x（t）+θddtx（t）。（27）isx（t）=（1+e）的解-（θ+θ）T）（2t- T）+（θ+θ）e-（θ+θ）t-（θ+θ）e-（θ+θ）（T）-t） t（1+e）-（θ+θ）T）+（θ+θ）（e）-（θ+θ）T- 1） ，（28）`x（t）=x（t）+θ（1+e）-（θ+θ）T）- E-（θ+θ）t- E-（θ+θ）（T）-t） t（1+e）-（θ+θ）T）+（θ+θ）（e）-（θ+θ）T- 1).（29）这是两个过程实现与系统性风险相关的事件的最可能路径。请注意，x（t）在x（t）之前，这意味着单个代理驱动了转换。我们还得到了以下命题。提议3。

如果h=h=0，则跃迁概率为（30）P（x（N），\'xN）∈ Aδ≈ 经验-2N（θ+θ）σθ1+e-（θ+θ）TT（1+e）-（θ+θ）T）-θ+θ(1 - E-（θ+θ）T）！。对于大T（即（θ+θ）T 1） ，最可能的路径是（31）x（t）≈ \'x（t）≈ -1+2tT，跃迁几率为（32）P（x（N），\'xN）∈ Aδ≈ 经验-2NσT（θ+θ）θ.这表明稳定性随θ增加而增加，随θ减少。这是因为当σ=0且σ>0时，xis是一个稳定项，而“x”是一个不稳定项。10 JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI Yango当θ增加时，x（不稳定）被迫接近x（稳定），因此系统风险降低。另一方面，如果θ增加，系统性风险会更高，因为我们使xstay接近“x.3.2.3”。非退化情况。接下来我们考虑σ和σ为正的非退化情况。在这种情况下，（21）中的速率函数I（x）的形式为（33）I（x）=I（x，\'x）=2σZT（˙x+hV（x）+θ（x）-˙x）dt+2σZT（˙x+θ（˙x-x） ）dt，if（x（t））t∈[0，T]和（\'x（T））T∈[0，T]在时间和I（x，\'x）上绝对连续=+∞ 否则同样，通过变分法，inf（x，\'x）的极小值（x，\'x）∈AI（x，`x）满足一个二阶常微分方程组。提议4。inf（x，\'x）的极小值（x，\'x）∈速率函数（33）的AI（x，`x）满足以下二阶边值问题系统dtx=σ（σθ）- σθ）滴滴涕x+σ（σθ+σθ）（x）- \'x）（34）+hθ[V（x）+V（x）（x）- \'x]+hV（x）V（x）ddt\'x=σ（σθ）- σθ）ddtx+σ（σθ+σθ）（\'x- 十）- hσθσV（x），其中x（0）=x（0）=-1和x（T）=x（T）=1。证据该证明与附录A中命题2的证明基本相同。2，因此省略。虽然（34）在h=0时是可解的，但对于零h，显式解是非常复杂的。

因此，我们使用（x（T），\'x（T））是联合高斯随机变量的事实来计算转移概率，并获得概率衰减的指数率。提议5。如果h=h=0且x（0）=x（0）=-1，那么跃迁的概率具有以下指数衰减率：（35）P（x（N），\'xN）∈ Aδ≈ 经验- N2（θ+θ）T（θσ+θσ）,对于大T。证据见附录A.3。3.2.4. h>0的情况。本节中的大多数大偏差分析都是在h=0的情况下进行的，以便得出明确的结果。虽然也可以考虑0<h的情况 1和使用小分析，我们将用数值方法解决大偏差问题，因为相关的边值问题（2）和（34）可以用标准数值方法轻松解决。第6节介绍了数值分析的细节。由中央代理114稳定的系统的风险分析。经验测量的形式大偏差在本节中，我们从重新估值过程空间（x（N）（t），\'xN（t））t中扩展了大偏差公式∈[0，T]到概率测度值的空间处理（x（N）（T），UN（T，dx））T∈[0，T]，其中UN（T，dx）：=NPNj=1δxj（T）（dx）。我们考虑一个更一般、更复杂的空间的原因是，当h>0时，对于¨xN没有闭式方程，因为（4）对于非零h不是线性的。此外，我们通过考虑更一般的空间，甚至对于h=0，获得了更多的信息，并且我们表明，当h=0时，广义问题（至少形式上）等价于我们在上一节中考虑的问题。我们还注意到，（x（N）（t），UN（t，dx））t没有存在大偏差结果∈[0，T]满足（3）和（4），即使h=0；目前弱相互作用粒子系统最普遍的大偏差原理是[2]，但不幸的是，我们的模型仍然无法涵盖。

因此，本节中的结果是正式的。受[6]的启发，（x（N）（t），UN（t，dx））t的（形式）速率函数∈[0，T]满足（3）和（4）isJ（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]=2σZT（˙x+hV（x）+θ（x- \'x）dt+2σZTsupf（x）：hφ，（f（x））i6=0hφt- Hx[V（x）φ]-σφxx- θx[（x- 对于σ>0和σ=0，J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]=2σZTsupf（x）：hφ，（f（x））i6=0hφt- Hx[V（x）φ]-σφxx- θx[（x- x（t））φ]，f（x）ihφ，（f（x））idt，如果˙x+hV（x）+θ（x-\'x）=0或J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]= ∞ 否则这里f在Schwartz空间中，hφ，f（x）i=Rf（x）φ（t，dx），以及偏导数(T十、x） 是在弱意义上定义的。根据收缩原理[8，定理4.2.1]，如果（x（N）（t），UN（t，dx））t的大偏差原理∈[0，T]存在，然后使用投影x（N）（T）7→x（N）（t）和UN（t，dx）7→ \'xN（t）=hUN（t，dx），xi，（x（N）（t），\'xN（t））t的大偏差原理∈[0，T]也存在于速率函数（36）I中（x（t），\'x（t））t∈[0，T]= infφ（t，dx）：hφ（t，dx），xi=\'x（t）T∈[0，T]J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T].以下结果表明，当h=0时，对于σ=0或σ>0，I（x（t），\'x（t））t∈[0，T]= 我（x（t），\'x（t））t∈[0，T]分别在（23）或（33）中。提议6。如果h=0，则高斯密度函数路径（37）p（t，x）=q2πσ2θexp达到（36）中的最大值-（十）- \'x（t））σ2θ！。此外，我（x（t），\'x（t））t∈[0，T]= 我（x（t），\'x（t））t∈[0，T]in（23）表示σ=0，in（33）表示σ>0.12，JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI YANGProof。见附录B。

换句话说，当h=0时，我们可以简单地考虑第3节中的（x（t），\'xN（t））的大偏差问题，而不是复杂空间中的（x（t），xN（t，dx））。然而，如果h>0，则有必要考虑（x（N）（t），UN（t，dx））t∈[0，T]带速率函数J（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]就像现在（x（N）（t），\'xN（t，dx））t的大偏差一样∈[0，T]不能通过Freidlin-Wentzell理论获得。受命题6和[10，第7节]的启发，我们知道，因为对于h=0，经验测度UN（t，dx）的最可能路径是高斯概率测度p（t，x）dx，因此合理假设对于0<h 1，最可能的UN（t，dx）是阿加西概率测度加上h中的高阶修正。此外，由于基本情况（h=0）是高斯的，我们通过埃尔米特展开将密度φ（t，x）的最可能路径参数化：φ=p+hq（1）+hq（2）+··，其中p（t，x）=q2πσ2θexp-（十）- u（t））σ2θ！，u（t）=hφ（t，x）dx，xi，q（1）（t，x）=∞Xn=2βn（t）Nxnp（t，x），q（2）（t，x）=∞Xn=2γn（t）Nxnp（t，x）。然后是minx，φJ（x（t），φ（t，dx））t∈[0，T]= minx，u，βn，γnJ（x（t）、u（t）、βn（t）、γn（t））t∈[0，T]+o（h），我们可以解决x（t）、u（t）、βn（t）和γn（t）的相关变分问题，如【10，第7节】。这项任务不是在本文中完成的。5.中心代理的最优控制在本节中，我们通过在（4）中引入控制项αj（t）来考虑一个最优控制问题。为了能够以可管理的方式解决这个问题，并讨论参数的作用，我们将把它写成一个线性二次高斯控制问题，如[3]所示。我们假设h=0，定义X（N）（t）=X（N）（t）-ye=x（N）（t）+1和Xj（t）=Xj（t）- \'ye=xj（t）+1。假设X（N）（t）很小，所以hV（X（N）（t））=hV（ye+X（N）（t））≈ HX（N）（t）与H≥ 0，我们有dx（N）=-HX（N）dt- θ（X（N）-\'-XN）dt+σ√NdWt，`XN=NNXj=1Xj，（38）dXj=-θ（Xj）- X（N））dt+σdWjt+αjdt，j=1。

N.（39）最优控制αjare适应于过去的{（Xj（s））j=0，…，N，0≤ s≤ t} 使下列代价函数最小化：（40）J（α，…，αN）=NXj=1E“ZTαJ（t）+θc（X（N）（t）- Xj（t））dt#。这个成本函数意味着最优控制试图以二次成本使xjc损失到X（N）。我们可以考虑-θ（Xj）-X（N））作为被动反馈，而αjis是来自中央代理的主动反馈。一种可能的控制（但正如我们将看到的那样不是最优的）是采用主动反馈αj=-θc（Xj）- X（N））用于对由中央代理13稳定的系统进行风险分析，其中一些是精心选择的θc。本节的目标是研究最优控制产生的反馈形式，以及它是否不同于被动反馈-θ（Xj）- X（N））。利用标准理论，我们得到了（X（N）（t），‘XN（t））的最优控制αj（t）。提议7。使j在（40）中最小化的最优控制αj（t），其中（X（N）（t），\'XN（t））t∈[0，T]满意度（38）和（39）是（41）αj（T）=-θcb（t）X（N）（t）+d（t）Xj（t）+e（t）`XN（t）, j=1，N、 式中（a（t），b（t），d（t），e（t））t∈[0，T]是下列Riccati方程的解：˙a（T）=2（θ+H）a（T）- 2θb（t）+θcb（t）- θc，（42）˙b（t）=（θ+H+θ）b（t）- θd（t）- θa（t）+θcb（t）d（t）+θc- θe（t）+θcb（t）e（t），˙d（t）=2θd（t）+θcd（t）- θc，˙e（t）=-2θb（t）+2θe（t）+θc（2d（t）e（t）+e（t）），终端条件（a（t），b（t），d（t），e（t））=0,0,0。证据见附录C。

当T→ ∞ 我们有（43）αj（t）=-θcB∞X（N）（t）+d∞Xj（t）+e∞\'-XN（t）,其中参数（a∞, B∞, D∞, E∞) 满足代数Riccati方程：0=2（θ+H）a∞- 2θb∞+ θcb∞- θc，（44）0=（θ+H+θ）b∞- θd∞- θa∞+ θcb∞D∞+ θc- θe+θcb∞E∞,0=θd∞+ θcd∞- θc，0=-2θb∞+ 2θe∞+ θc（2d）∞E∞+ E∞).在这些条件下（X（N），\'XN）满足SDE:dX（N）=-HX（N）dt- θ（X（N）-\'-XN）dt+σ√NdWt，d’XN=-θ（°XN）- X（N））dt+σ√钕钨（N）t- θcB∞X（N）+（d）∞+ E∞)\'\'XNdt，其中W（N）t=√NPNj=1Wj（t）是标准的布朗运动。为了获得最优控制（43），我们需要有系数（b∞, D∞, E∞) 一般来说，这不能通过分析得到，必须通过数值计算得到。然而，我们能够在某些情况下找到近似解。我们注意到，从（44）开始∞= (-θ+pθ+θc）/θc，我们考虑以下情况：（1）如果θ=0，H=0，那么我们发现b∞= -D∞还有e∞= 0，这样我们就得到了系统dx（N）=-HX（N）dt+σ√σndd=NdWt‘√钕钨（N）t-pθ+θc（`XN- X（N））dt，14 JOSSELIN GARNIER，GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI Yango，这表明被动控制-θ（Xj）-X（N））和最优控制α以二次方式组合，形成反馈-pθ+θc（`XN-X（N））。（2） 如果0<θ 1和H=0，然后我们找到b∞= -D∞+θd∞/pθ+θc+o（θ）和e∞= -θd∞/pθ+θc+o（θ），得到系统dx（N）=-θ（X（N）-\'-XN）dt+σ√NdWt，d’XN=σ√钕钨（N）t-pθ+θc- θpθ+θc- θpθ+θc！（`XN）- X（N））dt，这表明最优控制选择减少反馈，可能是因为X（N）因θ而不稳定。（3） 如果0<θ 1和0<H 1，然后我们找到b∞= -D∞+ （H+θ）d∞/pθ+θc+o（θ，H）和e∞= -θd∞/pθ+θc+o（θ，H），所以我们得到系统dx（N）=-HX（N）dt- θ（X（N）-\'-XN）dt+σ√NdWt，d’XN=σ√钕钨（N）t-pθ+θc- （θ+H）pθ+θc- θpθ+θc！（`XN）- X（N））dt- Hpθ+θc- θpθ+θc\'XNdt，这表明最优控制选择减少反馈，但它也直接控制。6.数值结果6。1.函数的数值结果。

在本小节中，我们将分析计算结果（16-18）与（12）中（x（N）（t），-xN（t））的数值模拟得到的计算结果进行比较。我们使用欧拉格式离散（12）：x（N）（N+1）=σ√NWn+1- hV（x（N）（N））T- θ（x（N）（N）- \'xN（n））t、 （45）`xN（n+1）=σ√N\'Wn+1- θ（°xN（n）- x（N）（N））t、 x（N）（0）=xN（0）=-1和{Wn+1}n{\'Wn+1}ni。i、 d.均值为0且方差为0的高斯随机变量t、 我们模拟（45）到时间t，并使t足够大，以便（x（N）（t），\'xN（t））在t/10后处于平衡状态。因此，Var（limt→∞x（N）（t）），Var（limt）→∞\'xN（t））和Cov（limt→∞x（N）（t），极限→∞\'xN（t））近似为{x（N）（N）：t/10的样本方差和样本协方差≤NT≤ T}和{xN（n）:T/10≤ NT≤ T} 分别为。对于每个模拟，我们改变一个参数，以获得在感兴趣区域均匀分布的100个不同值，并使用表1中的值作为其他参数。结果如图1和图2所示。在图1中，我们将分析公式（16-18）与直接数值模拟得出的样本方差和样本协方差进行了比较，其中100个不同的手σ均匀分布在感兴趣的区域内。在图2中，我们将分析公式（16-18）与由中央代理15N T稳定的系统的风险分析进行了比较thσθσθ100 10-30.5 0.1 0.1 1.0 10表1。第6.1节中使用的典型参数值。