由中央代理稳定的系统的风险分析

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英文标题：
《A risk analysis for a system stabilized by a central agent》
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作者：
Josselin Garnier, George Papanicolaou, Tzu-Wei Yang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We formulate and analyze a multi-agent model for the evolution of individual and systemic risk in which the local agents interact with each other through a central agent who, in turn, is influenced by the mean field of the local agents. The central agent is stabilized by a bistable potential, the only stabilizing force in the system. The local agents derive their stability only from the central agent. In the mean field limit of a large number of local agents we show that the systemic risk decreases when the strength of the interaction of the local agents with the central agent increases. This means that the probability of transition from one of the two stable quasi-equilibria to the other one decreases. We also show that the systemic risk increases when the strength of the interaction of the central agent with the mean field of the local agents increases. Following the financial interpretation of such models and their behavior given in our previous paper (Garnier, Papanicolaou and Yang, SIAM J. Fin. Math. 4, 2013, 151-184), we may interpret the results of this paper in the following way. From the point of view of systemic risk, and while keeping the perceived risk of the local agents approximately constant, it is better to strengthen the interaction of the local agents with the central agent than the other way around.
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中文摘要：
我们为个体和系统风险的演化建立并分析了一个多代理模型，其中本地代理通过一个中央代理相互作用，而中央代理又受本地代理的平均场的影响。中央代理由双稳态势稳定，这是系统中唯一的稳定力。局部代理仅从中心代理获得其稳定性。在大量本地代理的平均场极限中，我们表明，当本地代理与中央代理的交互强度增加时，系统风险降低。这意味着从两个稳定准平衡中的一个过渡到另一个的概率降低。我们还表明，当中央代理与本地代理的平均场的相互作用强度增加时，系统风险增加。根据我们之前论文（Garnier，Papanicolaou and Yang，SIAM J.Fin.Math.42001151-184）中给出的对此类模型及其行为的财务解释，我们可以用以下方式解释本文的结果。从系统性风险的角度来看，在保持本地代理的感知风险大致不变的同时，加强本地代理与中央代理之间的互动比反过来更好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_risk_analysis_for_a_system_stabilized_by_a_central_agent.pdf (1.22 MB)

2022-5-8 20:43:36 上传

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关键词：风险分析 Mathematical Quantitative interaction mathematica

由非中心机构Josselin GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI YANGAbstract稳定的系统的风险分析。我们为个体和系统风险的演化建立并分析了一个多代理模型，其中本地代理通过一个中央代理相互作用，而中央代理又受到本地代理平均场的影响。中央代理由双稳态势稳定，这是系统中唯一的稳定力。局部代理仅从中心代理获得其稳定性。在大量本地代理的平均场极限中，我们表明，当本地代理与中央代理的相互作用强度增加时，系统风险降低。这意味着从两个稳定准平衡中的一个过渡到另一个的概率降低。我们还表明，当中心因子与局部因子平均场的相互作用强度增加时，系统性风险增加。根据我们之前论文（Garnier，Papanicolaou and Yang，SIAM J.Fin.Math.42001151-184）中给出的对此类模型及其行为的财务解释，我们可以用以下方式解释本文的结果。从系统性风险的角度来看，在保持本地代理的感知风险大致不变的同时，加强本地代理与中央代理之间的互动比反之更好。平均场模型，动态相变，系统风险1。简介近年来，相互作用的粒子系统被广泛用于为复杂、相互关联的系统建立金融系统风险模型。文[4]考虑了一个具有二元风险变量的相互作用粒子系统，推导了该模型的大数定律、中心极限定理和大偏差原理。

[9]中使用了扩散过程的相互作用粒子系统来模拟银行间借贷系统。在[3]中，考虑了一个由[9]中的模型简化而来的模型，在该模型中，每个代理都可以控制贷款利率并优化单个目标函数，因此系统可以放在平均场博弈的框架中。在[15]中，作者使用相互作用的贝塞尔样扩散过程来模拟系统风险，并建立大偏差原则。在[10,11]中，我们考虑了一个具有双稳态势的相互作用粒子系统，我们使用大偏差原理来解释整体系统风险可能会增加，而个体风险则会降低。[10,11]中的大偏差原理在[17]中进行了数值求解。在[1]中，作者考虑了相互作用的跳跃扩散过程，对银行间借贷进行建模，并证明了随着个体数量的增加，经验测度的弱大数定律（LLN），并根据LLN结果确定系统指标。在[13,20,14,21]中，作者对大型投资组合和违约聚类进行了建模，并推导出了大数定律、波动分析和大偏差。2 JOSSELIN GARNIER、GEORGE PAPANICOLAOU和Zi-WEI Yango在我们之前的工作[10]中，我们使用了一个基于交互代理的平均场模型来表明个人风险可能不会以明显的方式影响系统风险。也就是说，通过风险分担进行分散，每个代理人的个人风险可能相对较低，而整体系统风险则因分散而增加。我们考虑了[5,6,12,7]之前广泛研究的以下模型：（1）dxj（t）=-hV（xj（t））dt- θ（xj（t）- \'xN（t）dt+σdWjt，j=1，N、 式中，xj（t）代表时间t时代理人j的风险变量，N是代理人的数量。

势V（x）=x-xis被认为是双稳态，有两个稳定状态±1，常数h>0表示每种试剂的内在稳定性。Wede fine-1表示代理的正常状态，+1表示失败状态。经验主义者xN（t）：=NPNj=1xj（t）是平均风险，常数θ是正的，因此xjt接近于xN。标准布朗运动{Wjt}Nj=1依赖于外部风险因素，且σ>0的外部风险因素的强度。[5]表明，经验测度UN（t，dx）：=NPNj=1δxj（t）（dx）在概率上弱收敛于u（t，dx）=u（t，x）dx，非线性福克-普朗克方程的弱解：tu=hx[V（x）u]- θ十、Z∞-∞余（t，dy）- 十、U+σ徐，从u（0，dx）=limN开始→∞UN（0，dx）（前提是存在弱极限）。给定nh和θ，对于足够小的σ，u（t，x）有两个平衡ue±ξb（x）：=limt→∞u（t，x），其中¨xN（t）收敛到ξb>0或-ξbas t→ ∞, 取决于初始条件。因此，我们定义-ξbas表示系统的正常状态，ue+ξbas表示系统的故障状态。考虑到N很大但有限，且为UN（0，dx）≈ ue-ξb（x）dx，我们证明了[10，定理6.2和推论6.4]，通过使用[6]中的大偏差原理并假设h很小，系统风险定义为UN（t，dx）从ue转移的概率-ξb（x）dx在时间0到ue+ξb（x）dx在某个时间t≤T<∞ 具有以下指数小但非零值：（2）PUN（0，dx）≈ ue-ξb（x）dx，UN（t，dx）≈ ue+ξb（x）dx t≤ T<∞N1小时1.≈ 经验-N2ξbσT,式中ξb=r1- 3σ2θ1+hσσ2θ1.- 2(σ/2θ)1 - 3(σ/2θ)!+ O（h）。对（1）[10，引理6.5]的波动分析表明，每种因素的风险具有形式xj（t）=-1+zj（t）和limt→∞Varzj（t）。σ2θ.

因此，数量σ2θ可被视为每个代理的个体风险。然后我们看到，如果外部风险σ的强度增加，无论是因为代理人更容易发生风险，还是因为经济环境更不确定，那么代理人可以增加风险分散参数θ，从而使其个人风险仍然较低。然而，从对系统风险的分析（2）中，我们看到，即使个体风险σ/（2θ）非常低，当σ增加时，系统风险也会增加：存在系统水平的σ影响，这是代理无法观察到的，它往往会破坏系统的稳定。在本文中，我们通过引入一个带有风险变量x（N）（t）的中心代理来扩展先前的模型（1）。本文研究的模型由dx（N）=-hV（x（N））dt- θ（x（N）- \'-xN）dt+σ√NdWt，`xN=NNXj=1xj，（3）dxj=-hV（xj）dt- θxj- x（N）dt+σdWjt，j=1，N.（4）这里V（x）和V（x）是两个稳定态的势，本文假设V（x）=V（x）=x-稳定状态为±1。参数h，h≥ 0分别是中央代理和本地代理固有稳定性的优势。参数θ，θ≥ 0确定平均场相互作用的强度。当h>0时，中心剂x（N）本质上是稳定的，在θ>0时，中心剂x（N）可能通过与局部剂的平均场相互作用而不稳定。取决于h>0还是h=0，局部代理{xj}Nj=1本质上是稳定的还是不稳定的。它们可以通过与中心剂x（N）的相互作用而稳定。独立的、标准的布朗运动{Wjt}Nj=0对中央和地方代理具有外部风险。

我们注意到归一化因子为1/√（3）中的N使x（N）和¨xn具有与N相当的外部风险，我们将假设σ<σ或σ=0，因为我们希望中央代理比本地代理的风险更低。在不合作的情况下，θ=θ=0，中心代理和局部代理相互独立，Kramers的大偏差定律指出，当σ和σ较小时，在时间间隔[0，T]内从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态的概率与T exp成正比(-2hV（0）/σ）和T exp(-2hV（0）/σ），分别适用于中央和地方代理。我们想分析合作机制θ，θ>0时的稳定效应。在本文中，我们将假设局部代理的内在稳定性h恰好为零，而在[10]中我们只假设h很小。由于这一简化假设，我们不需要将对（x（N）（t），NPNj=1δxj（t）（dx））视为标量和度量值过程，而只需将（x（N）（t），`xN（t））视为二维过程，并得到比[10]设置中可能更详细的结果。首先，我们数值计算了相关大偏差问题的最小化路径，我们能够探索各种参数如何影响代理人的行为和系统风险。我们还讨论了[10]中的主要结果，即如果我们以σ/θ的比率增加σ和θ，系统性风险增加，局部风险保持不变。另一个结果是，因为我们假设0=h<handσ<σ，所以中心代理比局部代理的经验平均值更稳定。

在这种情况下，我们发现θ和θ往往扮演相反的角色：θ越高，系统风险越高，因为我们迫使稳定项x（N）接近相对不稳定项x，但另一方面，增加θ会降低系统风险，因为x趋于接近tox（N）。这是本文的主要结论。这里的第三个结果，对于前一篇文章中未考虑的情况，涉及对局部代理引入最优控制。我们使用最优控制理论，发现使用控制意味着用更大的有效控制取代θ，从而降低系统风险。4约瑟林·加尼尔、乔治·帕帕尼科洛和杨紫薇本文组织如下。在第2节中，我们将线对（x（N）（t），NPNj=1δxj（t）（dx））的平均场极限表示为N→ ∞. 然后讨论极限福克-普朗克方程的平衡。在第3节中，我们分析了H正好为零的特殊情况。在这种情况下，可以获得波动分析的显式解，并且我们使用弗莱德林-温策尔理论得到了（x（N）（t），\'xN（t））的大偏差原理。在第4节中，我们给出了经验测度（x（N）（t），NPNj=1δxj（t）（dx））的形式大偏差原理，这在h>0时是必要的。我们不使用这个一般公式，但我们确实证明了当h=0时，（x（N）（t），？（xN（t））和（x（N）（t），NPNj=1δxj（t）（dx））的大偏差问题是相同的。在第5节中，我们为（4）中的局部代理构造了一个控制问题，并使用最优控制理论分析了控制对系统的影响。最后，在第6节中，我们给出了大量数值模拟的结果。证据的技术细节见附录。2.

大量局部介质的平均场极限在下一节中，我们首先回顾平均场极限理论应用于问题（3）、（4）的主要结果，然后讨论极限非线性福克-普朗克方程的平衡解。2.1. 非线性福克-普朗克方程。随机模型（3）、（4）是[5,12]中模型的简单扩展（另见[23,22,18,16]）。我们让M（R）表示被赋予武器收敛度量的概率测度空间，C（[0，T]，M（R））表示被赋予[0，T]中最大距离的时间间隔[0，T]中连续M（R）值过程的空间。在有限的范围内→ ∞, 对（x（N）（t），NPNj=1δxj（t）（dx））在概率上收敛于（R，M（R））到（y（t），p（t，x）dx），非线性福克-普朗克方程和一般微分方程的弱解dDty=-hV（y）- θY-Zxp（t，x）dx,(5)tp（t，x）=hx[V（x）p（t，x）]+θx[（x- y（t））p（t，x）]+σ初始条件为y（0）=limN的xp（t，x），（6）→∞x（N）（0）和p（0，dx）=limN→∞NPNj=1δxj（0）（dx），假设存在极限。等价地，我们可以通过注意到p（t，x）是过程Xt的转移概率密度来刻画对（y（t），p（t，x）dx），dTy的解=-hV（y）- θ（y）- EXt），dXt=-hV（Xt）dt- θ（Xt）- y） dt+σdWt，其中wt是标准布朗运动。此外，如果h=0且‘y（t）：=E（Xt），则（y（t），‘y（t））满意度=-hV（y）- θ（y）- “y）、（7）滴滴涕”y=-θ（`y）-y） 。（8） 由中央代理稳定的系统的风险分析52.2。平衡态。假设存在一个定态（ye，pe（x；ye））：=（limt→∞y（t），limt→∞p（t，x）），它满足（9）pe（x；ye）=Z（ye）exp-2hV（x）+θ（x）- ye）σ,这是从（6）得到的，并且满足从（5）得到的一致性方程（10）Zxpe（x；ye）dx=ye+hθV（ye）。

如果h=0，那么pe（x；ye）是一个高斯密度函数，由（9）给出，平均值yeand（10）意味着V（ye）=0。因此，叶=±1。系统的平衡状态由中心剂的平衡状态决定。事实上，如果中央代理取平衡值ye=-1，则个体代理采用平均值为高斯分布-1和方差σ/（2θ）：（11）pe（x）=qπσθexp-θ（x+1）σ.当h为正但很小时，我们让ye0=±1，因此V（ye0）=0，V（ye0）>0。这样就有可能找到平衡状态-, 响应。ye+，接近ye0=-1、分别。ye0=1，我们有Ye=ye0+hye1+o（h），其中Ye1=-θhθV（ye1）Re-θx/σV（ye0+x）dxRe-θx/σdx。如果V（x）=V（x）=x-X当ye0=±1和ye1=3θσ4hθ。这一结果表明，当单个主体具有自身的稳定电位时，中心主体的平衡态位置将发生改变。美国-ye+是中央主体的两个平衡态-+ （h/θ）V（ye）-) 和ye++（h/θ）V（ye+）是两种单独作用剂的相关平衡方式。3.局部代理（h=0）无内在稳定性的情况在本节中，我们考虑个别代理无内在稳定性的特殊情况，即h=0。在这种情况下，（4）是线性的，因此我们不必考虑经验分布NPNj=1δxj（t）（dx），而可以关注经验平均值¨xN（t）=NPNj=1xj（t）。这对（x（N）（t），\'xN（t））满足联合SDEs:dx（N）=-hV（x（N））dt- θ（x（N）- \'-xN）dt+σ√NdWt，（12）d’xN=-θ（°xN）- x（N））dt+σ√Nd\'W（N）t，其中\'W（N）t=√NPNj=1WJT是独立于Wt的标准布朗运动。平均场极限（y（t），\'y（t））：=limN→∞（x（N）（t），\'xN（t）），满足（7）平衡：极限→∞y（t）=±1和‘ye:=limt→∞“y（t）=±1，取决于初始条件（y（0），”y（0））。6约瑟林·加尼尔、乔治·帕帕尼科劳和杨子伟3。1.h=0情况下的波动分析。

这里，我们分析了当N较大时，（x（N）（t），\'xN（t））以（y（t），\'y（t））为中心的函数。为了简化，我们假设y（0）=ye=-1和y（0）=ye=-1，因此y（t）≡ 叶=-1和y（0）≡ “ye=-1.定义z（N）=√N（x（N）- ye）和“zN”=√N（`xN）- 是的。AsN→ ∞, （z（N），\'zN）在分布上收敛于过程（z，\'z），其中dz=-hV（ye）zdt- θ（z）- \'z）dt+σdWt，（13）d\'z=-θ（`z）-z） dt+σd\'Wt，其中\'Wt是独立于Wt的标准布朗运动。这意味着，当N较大时，x（N）（t）≈ 耶+√Nzandèx（t）≈ “耶+√分布中的N\'z。因为眼睛=你=-1为正常状态，zand‘z分别被视为x（N）和‘xN的中心风险（与下一节将讨论的大偏差相反）。我们注意到（13）是一个线性微分方程组，因此显式解为：z（t）`z（t）= 希腊字母表的第7个字母z（0）–z（0）+中兴通讯（t）-s） AσdWsσd\'Ws, A=-hV（ye）- θθθ -θ.因此（z（t），\'z（t））是一个具有（14）E的高斯过程z（t）`z（t）= 希腊字母表的第7个字母z（0）–z（0）,(15)Varz（t）Cov（z（t），\'z（t））Cov（z（t），\'z（t））Varz（t）=中兴通讯（t）-s） Aσ0 σe（t）-s） ATds。我们想分析各种参数对（z（t），‘z（t））的影响，特别是在t→ ∞ σ，θ→ ∞ 固定比率α：=σ/θ<∞.为了做到这一点，我们使用A的特征分解来计算（15）并获得以下结果。提议1。如果h，θ和θ是正的，那么limt→∞Ez（t）=limt→∞Eèz（t）=0。此外，函数z（t）和¨z（t）的方差和协方差具有以下限制，如t→ ∞ σ，θ→ ∞ 固定比率α=σ/θ<∞:（16） limσ，θ→∞σ/θ=α极限→∞Varz（t）=σ2hV（ye），（17）limσ，θ→∞σ/θ=α极限→∞Var’z（t）=σ2hV（ye）+σ2θ，（18）limσ，θ→∞σ/θ=α极限→∞Cov（z（t），\'z（t））=σ2hV（ye）。这意味着在应用限值后，z=Zand？z=z+z，其中Zand-Zare是两个独立的高斯随机变量，平均值为0，方差分别为σ2hV（ye）和σ2θ。证据