常数条件下寿命下降概率的最小化

y的自由边界问题（5.28）的解∈ [^ym（m），^yαm（m）]，因此，对于这样的y，最优控制器stopper问题（5.27）的值函数由^φ（y，m）=cry给出-BB- B+铬- αm1.- BB- B^yαm（m）y^yαm（m）B+BB- B-铬- αmB- 1B- B^yαm（m）y^yαm（m）B、 （5.29），其中分别由（5.5）和（5.6）给出；自由边界^ym（m）>0由^ym（m）=^yαm（m）x（m）给出，其中x（m）>1由引理5.2给出；自由边界^yαm（m）>^ym（m）由^yαm（m）给出=铬- αm-铬- M1.- BB（B）- B） x（m）B-1+B- 1B（B）- B） x（m）B-1..（5.30）此外，^φ（·，m）是c，并且在[^ym（m），^yαm（m）]上是增加和凹的。证据很容易证明，（5.29）中的表达式满足（5.28）中的微分方程，并且它满足自由边界条件^φy（^ym（m），m）=m和^φyy（^ym（m），m）=0。（5.19）中x（m）的表达式意味着（5.29）中的^φ满足自由边界条件^φy（^yαm（m），m）=αm；类似地，（5.30）中的表达式表示^φ（^yαm（m），m）=1+αm^yαm（m）。最后，我们证明了（5.29）中给出的^φ确实是在[^ym（m），^yαm（m）]上相对于y增加和凹的，正如预期的那样，因为（5.27）中定义的^φ唯一解（5.28）。为此，从（5.29）、（5.30）和（5.19）可以得出^φy（y，m）=cr-铬- M\"1 - BB- By^ym（m）B-1+B- 1B- By^ym（m）B-1#，（5.31）和^φyy（y，m）=-铬- M（B）- 1)(1 - B） （B）- B） ^ym（m）”y^ym（m）B-2.-y^ym（m）B-2#. （5.32）因为^ym（m）<y的^φyy<0≤ ^yαm（m）并且由于^φy（^yαm（m），m）=αm>0，因此在[^ym（m），^yαm（m）]上，^φ相对于y是增加和凹的。因为φ相对于y是凹的，所以我们可以通过Legendretransform通过Φ（w，m）=maxy定义它的凸对偶Φ^φ（y，m）- wy. （5.33）在下一个命题中，我们证明Φ是在可接受的投资策略的限制下的提款概率。提案5.9。

Φin（5.33）是{（w，m）上寿命下降的最小概率∈（R+）：αm≤ W≤ m、 0<m<c/r}在Mt=m的限制下，对于所有t≥ 也就是说，财富的增长可能不会超过m。在命题5.5的证明中，我们可以证明Φ是下列边值问题的经典解。λh=（rw）- c） hw+minπ(u - r） πhw+σπhww,h（αm，m）=1，limw→M-hw（w，m）hww（w，m）=0。（5.34）注意，条件limw→M-对于所有t，hw（w，m）hww（w，m）=0几乎肯定等于Mt=m≥ 0.实际上，风险资产的最佳投资由π给出*t=-u - rσΦw（w）*t、 m）Φww（W）*t、 m），其中W*是最受控制的财富。因为π*t=0几乎可以肯定，当财富达到m时，由于消费率c大于rm，财富永远不会大于m。根据类似于推论3.2的验证结果，我们推导出Φ是在财富增长不能大于当前最大m的限制下，寿命下降的最小概率。我们现在给出了本文关于最优下降概率的主要结果。我们已经确定了m>c/r和m的最佳提款概率*≤ M≤ c/r分别在定理4.1和5.6中给出。下面的定理通过显示（5.33）中定义的Φ是0<m时寿命下降的（无限制）最小概率φ来完成图片≤ M*.定理5.10。假设命题5.4的条件成立，z（m）是[m]上常微分方程（5.3）的解*, c/r]满足z（c/r）=0，并让ψ和Φ分别由（5.23）和（5.33）给出。然后，D上的函数φ={（w，m）∈ （R+）：αm≤ W≤ m、 0<m<c/r}定义为φ（w，m）=（Φ（w，m），0<m<m*,ψ（w，m），m*≤ m<c/r，（5.35）是D证明的（不受限制的）最低提款概率。参见附录C。图5说明了0<m<C/r时的最佳下降概率（5.35）。

特别要注意的是，φ是光滑的，但m=m时除外*, 在m.备注5.11中没有区别。定理5.10告诉我们，如果所谓的初始最大财富m是低的，具体来说是m≤ M*, 然后，为了最大限度地降低终身递减的可能性，个人不允许她的财富超过当前的最大m。备注5.12。可以将第5.1节和第5.2节的结果（半）明确地结合起来。假设命题5.4的条件成立，z（m）是000的唯一解。20.450.6?（w；m）0.8101w15200m510m$cr20cr00。200.40.650.8?（w；m）110w1520mcr0m$5101520CRF图5：αm的最佳下降概率≤ W≤ m和0<m<c/r.ODE（5.3）在[m]上*, c/r]满足z（c/r）=0。定义函数η：[0，c/r]→ [0，1]乘以η（m）=（1/x（m），0≤ M≤ M*,z（m），m*≤ M≤ c/r，（5.36），其中x（m）由（5.19）给出。此外，根据η（m）由yαm（m）BBB定义yαm（m）- Bη（m）B-1.- η（m）B-1.=铬- M-铬- αmB（1）- B） B- Bη（m）B-1+B（B）- 1） B- Bη（m）B-1.,（5.37）和ym（m）=η（m）yαm（m）。

那么，对于αm≤ W≤ m和0≤ M≤ c/r，寿命下降的最小概率φ由φ（w，m）=B给出- 1B- BhB+铬- αm(1 - B） yαm（m）iyyαm（m）B+1- BB- BhB-铬- αm（B）- 1） yαm（m）iyyαm（m）B、 （5.38）其中y∈ [ym（m），yαm（m）]- w=BB- B乘以α（m）+铬- αm(1 - B）yyαm（m）B-1.-BB- B按αm（m）-铬- αm（B）- 1)yyαm（m）B-1.（5.39）对于αm和m之间的财富，相应的最优投资策略π*是由π给出的反馈形式*t=π*（W）*t、 M*t） ，其中π*（w，m）=u- rσB（B）- 1） B- B按αm（m）+铬- αm(1 - B）yyαm（m）B-1+u - rσB（1）- B） B- B按αm（m）-铬- αm（B）- 1)yyαm（m）B-1.（5.40）最后，对于0<m≤ M*, π*这就使得Mt=m几乎可以肯定，对于所有的t≥ 0; 相比之下，对于m*< m<c/r，π*油脂的MTT增加。5.3 0<m时最优投资策略的性质≤ M*当0<m时≤ M*, 你可以把投资策略（5.40）写得更简单如下：π*（w，m）=u- rσ铬- M（B）- 1)(1 - B） B- B“y^ym（m）B-1.-y^ym（m）B-1#. （5.41）的确，π*（w，m）=-u-rσy^φyy，^φyyin的表达式（5.32）给出了（5.41）。在接下来的四个命题中，我们研究（5.41）中给出的最优投资策略的性质。从Young（2004）开始，我们知道（4.1）中的表达式给出了风险资产的最佳投资金额，以使终身破产概率最小化。当m<c/r时，这种投资策略允许最大财富增长超过m；因此，当0<m时，这种投资策略不是对应于提款问题的最优策略≤ M*.注意，（4.1）给出的投资策略随着财富w的增加而减少。当0<m时，最优投资策略也是如此≤ M*, 正如我们在下面的命题中所展示的。提案5.13。对于0<m≤ M*, 投资于风险资产的最佳金额相对于w减少∈ （αm，m）和π*（m，m）=0。证据从y=-φw，就是这样Yw=-对于w，φww<0∈ （αm，m）。

因此，当且仅当π的表达式为*in（5.41）相对于y增加，这相当于（B）- 1)yym（m）B-B+（1）- B） 这显然是积极的。此外，如果w=m，那么y=ym（m），从（5.41）得出π*（m，m）=0。由于（4.1）中的投资策略允许财富增加到m以上，而（5.41）中的投资策略则不允许，因此我们预计前者将大于后者，我们将在下一个命题中展示这一点。提案5.14。对于αm≤ W≤ m和0<m≤ M*, 投资于风险资产的最佳金额满足π*（w，m）<u- rσγ- 1.铬- W.证据用（5.41）和（5.31）代替π*andcr- w=cr-^φy，分别在上述不等式中。简化学习它相当于B<B，这是正确的，因为B是负的，B是正的。对于足够小的水位下降水平αm，表达式u-rσγ-1.铬- W当财富接近αm时，大于w；因此，在最小化破产概率时，个人会利用自己的财富来避免破产。然而，因为π*（w，m）小于这一点，当0<m时，在最小化提款概率的目标下，杠杆作用将小于最小化终身破产概率的目标≤ M*. 这种降低杠杆率的做法是谨慎的，因为财务顾问不太可能建议个人对风险资产的投资超过其当前财富。因为差异-rσγ-1.铬- W- π*（w，m）对αm为正≤ W≤ m和0<m≤ M*, 我们问，相对于w，投资策略的差异是否单调。下一个命题证明了这一点。提案5.15。对于0<m≤ M*, 差异-rσγ-1.铬- W- π*（w，m）相对于w增加∈ （αm，m）。证据

就y而言，这种差异等于u- rσ铬- M（B）- 1)yym（m）B-1，相对于y明显减小，因为B- 1 < 0. 因此，与w相比，这种差异越来越大，因为Yw=-φww<0。回想一下，当0<m时≤ M*, 对于严格小于m的财富，风险资产的投资为正，随着财富增加到m，风险资产的投资减少到0。因此，对于给定的w值，风险资产的最佳投资金额随着m的增加而增加，投资等于0的点增加。下面的命题表明我们的直觉是正确的。提案5.16。对于αm≤ W≤ m和0<m<m*, 相对于m.Proof，风险资产的最佳投资金额增加。从（5.41）中，我们可以看到π*通过ratioyM依赖于m，其依赖关系onm在- w=^φy和^φy（5.31）。如果我们完全区分（5.31），我们得到“1”- BB- ByymB-1+B- 1B- ByymB-1#=铬- M（B）- 1)(1 - B） B- B“yymB-2.-yymB-2#迈姆。因此，通过写v=yym，我们得到π*M∝m(铬- M\"yymB-1.-yymB-1#)= -vB-1.- vB-1.+铬- M（B）- 1） vB-2+ (1 - B） vB-2.迈姆∝ -（B）- 1)(1 - B） B- BvB-1.- vB-1.+（B）- 1） vB-1+ (1 - B） vB-1.1.- BB- BvB-1+B- 1B- BvB-1.= （B）- B） vB-1vB-2> 0.我们在这一节的结尾简要讨论了m的最优分配的性质*< m<c/r。与0<m的情况相比≤ M*, 我们没有类似于（5.41）的最优分配的简单表达式。这主要是因为ODE（5.3）的解决方案缺乏一个表达式。因此，直接从（5.40）中的表达式证明最优分配的性质是很麻烦的。我们邀请感兴趣的读者用数字来证明他们。图6表明，对于m的任何固定值∈ （0，c/r），最优分配π*（w，m）随着财富w的增加而减少。

还要注意，π*（m，m）>0表示m*< m<c/r（图4中已经说明）。因此，我们推测第5.13号提案的第一部分适用于m*< m<c/r。图7说明了w的固定值∈ （0，c/r），最优分配随着高水位m的增加而增加，因此，这表明命题5.16也成立*< 最后，图8表明比例5.16的结果也适用于案例m*< m<c/r，通过显示minw的值∈[αm，m]nu- rσγ- 1.铬- W- π*（w，m）对于任何0<m<c/r.005105:$（w；m）1510w2015200m510m$cr20cr005510:$（w；m）1015w1520mcr0m$5101520CR图6：当m固定且w变化时，最优分配的变化。005105:$（w；m）1510W2015200M51M$cr20cr005510:$（w；m）1015w1520mcr0m$5101520CR图7：当w固定且m变化时，最优分配的变化。0510万美元20m051015202530分钟wfl:h:s:gl:h:s:=7！r<2（！1）（c=r！w）！：$（w；m）百万美元51015 20m024681012141618minwfl:h:s:gl:h:s:=7！r<2（！1）（c=r！w）！：$图8：验证不等式π*（w，m）<u-rσγ-1.铬- W对于0<m<c/r和αm≤ W≤ m、 六,。总结与结论在本文中，我们找到了一个最优的投资策略，以最小化一个人的财富在她去世前下降到最大财富的给定比例的概率，也就是说，该个人希望最小化一生减少的概率。我们假设个体以恒定速率c消费，这个问题的安全水平与最小化终生破产概率的安全水平相同。在第5.2节中，我们展示了在最大财富不增加的情况下，提款的最小概率是最优控制器问题的值函数的对数对偶。

Bayraktar和Young（2011）发现了一个类似的关系，即通过随机消费最小化终生破产的概率。我们了解了以下关于最佳投资策略的知识，即在以恒定速度消费的情况下，尽可能降低寿命缩减的可能性如果αm<w<cr≤ m、 然后，最优投资策略与最小化终身破产概率的策略相同如果αm<w≤ M≤ M*<cr，那么最优的投资策略是，最大财富永远不会超过当前的最大m。直觉上，如果个人允许最大财富增加，那么在消费率不变的情况下，α乘以新最大财富的下降水平将太大如果αm<w<m和m*< m<cr，则最优投资策略允许maximumwealth提高总收益率。直觉上，个人希望增加财富，为消费提供资金。总的来说，允许财富最大化是一种权衡。一方面，下降水平增加，这可能使下降的可能性增大；另一方面，财富增加，这有助于为稳定的消费率提供资金，并可能减少支出的可能性。对于m<m*, 前者是如此；为了我*< m<cr，后者为病例。致谢第二作者感谢美国国家科学基金会（National Science Foundation）的财政支持，其编号为DMS-0955463。第三作者感谢塞西尔·J.和埃塞尔·M·内斯比特教授的资助。参考桑格什塔里、巴赫曼、埃尔汉·贝拉克塔尔和弗吉尼亚·R·杨。优化投资，使提款概率最小化。随机出现。（2016）Bayraktar、Erhan和Masahiko Egami。2008.扩散过程的单调跟随问题分析。运筹学数学，33（2）：336-350。贝拉克塔尔、二汉和黄玉瑞。2013

关于多维控制器和stoppergames。暹罗控制与优化杂志，51（2）：1263-1297。贝拉克塔尔、二汉、伊奥尼斯·卡拉扎斯和宋瑶。2010.dynamicconvex风险度量的最佳停止。伊利诺伊数学杂志，54（3）：1025-1067。贝拉克塔尔、二汉和宋瑶。关于鲁棒最优停止问题。《控制与优化杂志》，52（5）：3135-3175。贝拉克塔尔、埃尔汉和弗吉尼亚·R·杨。2007.终身最低财富与消费效用之间的对应关系。《金融与随机》，11（2）：213-236。贝拉克塔尔、埃尔汉和弗吉尼亚·R·杨。2011.通过停止和控制博弈证明破产概率最小的规律性。《金融与随机》，15:785-818。陈新福、大卫·兰德里奥、李斌和李东辰。2015年，关于最小化终身投资的提款风险。工作文件。滑铁卢大学。Cvitani\'c、Jaksa和Ioannis Karatzas。1995.关于提款约束下的投资组合优化。IMA数学应用课程讲稿，65:77-78。格罗斯曼、桑福德J.和周仲泉。1993年：控制提款的最佳投资策略。数学金融，3（3）：241-276。卡拉扎斯、伊奥尼斯和史蒂文·E·史莱夫。（1984）最优停止和奇异随机控制之间的联系I.单调跟随问题。暹罗控制与优化杂志，22（6）：856-877。卡拉扎斯、伊奥尼斯和威廉·D·苏德思。2001年，alinear Diffusion的控制者和阻挡者游戏。《概率年鉴》，29（3）：1111-1127。卡拉扎斯、伊奥尼斯和英格丽德·莫娜·扎姆雷斯库。2008.控制和停止的随机微分博弈的鞅方法。《概率史记》，36（4）：1495-1527。卡尔达拉斯、君士坦丁堡、扬·奥布·洛伊和埃克哈德高原。2014年，提款受限投资的房地产数量和长期增长最优性。数学金融。

doi:10.1111/ma fi.12081摩尔、克里斯汀S.和弗吉尼亚R.杨。2006.关于最小化退休期间财务破产概率的最优、简单、近似最优规则。《北美战争杂志》，10（4）：145-161。纳茨、马塞尔和张剑锋。2015.逆非线性期望下的最优停车及相关博弈。应用概率年鉴25（5）：2503-2534。Oksendal、Bernt和Agnes Sulem。2004.跳跃差异的应用随机控制。纽约：斯普林格。沃尔特，沃尔夫冈。微分不等式和积分不等式。斯普林格·维拉格，1970年。王、丁和弗吉尼亚·R·杨。2012年a。最小化终身破产概率的最优可交换年金。保险：数学与经济学，50（1）：200-216。王、丁和弗吉尼亚·R·杨。2012b。最大化可交换年金的消费。保险：数学与经济学，51（2）：352-369。弗吉尼亚州杨，2004年。最小化终身破产概率的最优投资策略。《北美精算杂志》，8（4）：105-126。附录A：辅助功能函数g、g、h、h和hin（5.3）如下所示：g（z）=（1- α） cr（zB）- zB）h（B）- 1） zB-1.- （B）- 1） zB-1i，g（z）=（zB- zB）血红蛋白- B+α（B- 1） zB-1.- α（B）- 1） zB-1+α（B）- 1） （B）- 1） （zB）-1.- zB-1） i，h（z）=（1- α)铬（B）- B） zB+B-2h（B）- 1） zB-1.- （B）- 1） zB-1i，h（z）=（1- α） 铬h（B- 1） zB-1.- （B）- 1） zB-1i×h（B）- 1） zB-1.- （B）- 1） zB-1.- α（B）- B） zB+B-2i- （B）- B） zB+B-2hB- B+α（B- 1） zB-1.- α（B）- 1） zB-1i,andh（z）=h（B- 1） zB-1.- （B）- 1） zB-1.- α（B）- B） zB+B-2i×hB- B+α（B- 1） zB-1.- α（B）- 1） zB-1i。附录B：命题5.4的证明，考虑到附录A中的g，g，h，hand，以及定义F，g和h byF（m，z）=h（m，z）g（m，z）：=h（z）（c/r- m） +h（z）（c/r）- m） +h（z）g（z）（c/r）- m） +g（z），使得ODE（5.3）变成z（m）=1/Fm、 z（米）. 以下结果适用于F、G和H。我们省略了它们的初等证明。引理B.1。