常数条件下寿命下降概率的最小化

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英文标题：
《Minimizing the Probability of Lifetime Drawdown under Constant
  Consumption》
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作者：
Bahman Angoshtari, Erhan Bayraktar, Virginia R. Young
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We assume that an individual invests in a financial market with one riskless and one risky asset, with the latter\'s price following geometric Brownian motion as in the Black-Scholes model. Under a constant rate of consumption, we find the optimal investment strategy for the individual who wishes to minimize the probability that her wealth drops below some fixed proportion of her maximum wealth to date, the so-called probability of {\\it lifetime drawdown}. If maximum wealth is less than a particular value, $m^*$, then the individual optimally invests in such a way that maximum wealth never increases above its current value. By contrast, if maximum wealth is greater than $m^*$ but less than the safe level, then the individual optimally allows the maximum to increase to the safe level.
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中文摘要：
我们假设在黑市中投资的是风险较小的资产，而在黑市中投资的是风险较小的资产。在消费率不变的情况下，我们找到了个人的最佳投资策略，该个人希望最大限度地降低其财富低于迄今为止最大财富的某个固定比例的概率，即所谓的{it life draw}。如果最大财富低于某一特定值，$m^*$，那么个人的最佳投资方式是，最大财富不会超过其当前价值。相比之下，如果最大财富大于$m^*$但小于安全水平，则个人最佳允许最大财富增加到安全水平。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Minimizing_the_Probability_of_Lifetime_Drawdown_under_Constant_Consumption.pdf (2.29 MB)

2022-5-8 20:51:48 上传

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关键词：Optimization Differential Applications Quantitative Probability

在持续消耗的情况下最小化寿命缩减的可能性Bahman AngoshtariEmail：bango@umich.eduErhanBayraktar电子邮件：erhan@umich.eduVirginiaR.YoungEmail：vryoung@umich.edu530密歇根州密歇根阿伯大学数学系Church Street，48109版本：2016年5月17日摘要：我们假设一个人在一个金融市场中投资一项无风险资产和一项风险资产，后者的价格遵循布莱克-斯科尔斯模型中的几何布朗运动。在消费率不变的情况下，我们为那些希望将其财富下降的概率降至其迄今为止最大财富的某个固定比例以下的个人找到了最佳投资策略，即所谓的终生下降概率。如果最大财富小于某一特定值，m*, 然后，个人以这样一种方式进行最佳投资，即最大财富的增长永远不会超过其当前价值。相比之下，如果最大财富大于*但如果低于安全水平，则个体会以最佳方式允许最大值增加到安全水平。关键词：最优投资，随机最优控制，下降概率。数学学科分类（2010）：91G10（小学）；91B06、91B08、91B70（辅助）。经济文献分类杂志：G11（初级）；D14，D81（中学）。1。2008年，当房地产和股票市场大幅下跌时，许多投资者损失了30%到50%的财富。一对一的对话和新闻广播持续关注个人因这些个人损失而感到的遗憾。因此，我们致力于研究最小化所谓的寿命缩减概率的问题，即财富下降到死亡前最大财富的给定分数以下的概率。

在大多数其他涉及资金缩减的研究中，财富被限制为不经历资金缩减；早期参考见格罗斯曼和周（1993年）以及卡维塔尼和卡拉茨（1995年），近期参考见卡达拉斯等人（2014年）。然而，如果个人以固定的利率从她的投资账户中消费，那么就无法防止提款，因此最小化终生提款的可能性是一个合理、客观的目标。在相关研究中，Angoshtari等人（2015年）发现了最佳投资策略，以在有限的范围内使一般消费下的提款概率最小化。Chen等人（2015年）主要与本文考虑的问题密切相关。在两种市场假设下，它们使寿命下降的概率最小化；在第一种情况下，他们考虑了两种没有消费的相关风险资产，在第二种情况下，他们考虑了消费与财富成比例的黑市。在后一种情况下，他们发现最佳投资策略不允许最大财富增加到当前水平以上。相比之下，我们假设个人消费率是恒定的。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了金融市场，并定义了最小化终身提款概率的问题。第3节，我们证明了这个最小概率的一个验证定理。在第4节和第5节中，我们考虑了个人财富价值和模型参数的各种情况，并解决了这些情况下的问题。如果最大财富小于某一特定价值，m*, 然后，个人以这样一种方式进行最佳投资，即最大财富不会超过其当前价值。另一方面，如果最大财富大于*但如果低于安全水平，那么个体最优地允许最大值增加到安全水平。

第6节总结全文。2.金融市场和终身提款概率在本节中，我们首先介绍影响个人财富的金融因素，即消费、无风险资产和风险资产。然后，我们定义了寿命下降的最小概率。我们假设个人投资于一个无风险资产组，该资产以恒定利率r>0赚取利息。此外，个人投资于一个风险集合，其在时间t，St时的价格遵循几何布朗运动，动态St=St（udt+σdBt），其中u>r，σ>0，B是关于概率空间过滤的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。让WT表示在时间t时个人投资账户的财富≥ 0.让πt表示在时间t投资于风险资产的美元金额≥ 0.一个投资策略∏={πt}t≥如果是满足RTπsds<∞ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.因此，在时间t时，投资于无风险资产的金额≥ 0是Wt- πt。我们假设个体在（净）恒定c>0时消费。因此，财富过程遵循DWT=（rWt+（u- r） tπ- c） dt+σπtdBt，我们假设初始财富是非负的；也就是说，W=W≥ 0.定义最大财富Mtat时间t byMt=最大sup0≤s≤tWs，M,其中我们包括M=M>0（可能不同于W=W），以允许个人拥有财务过去。我们所说的终生递减是指个人财富达到α∈ [0,1）乘以她去世前的最大财富。通过τα：=inf{t定义相应的命中时间≥ 0:Wt≤ αMt}。让我们记下个体的随机死亡时间。我们假设τ随参数λ呈指数分布（即预期死亡时间等于1/λ）；该参数也称为危险率。备注2.1。

Moore和Young（2006）在风险率可变的情况下最小化破产概率，并表明通过每年更新风险率并将其视为常数，当真实风险率为Gompertz时，代理可以非常接近地获得最小破产概率。具体地说，在每年年初，将λ设置为代理人当时的预期寿命的倒数。计算相应的最优投资策略，如下所示，并在当年应用该策略。根据Moore和Young（2006）的工作，该方案导致破产概率接近最小破产概率。因此，假设危险率是恒定的，并每年修订其估计值，这并没有显著的普遍性损失。此外，在设立一个组织的捐赠基金时，假设该组织的风险率为常数并非不合理。用φ（w，m）表示寿命下降的最小概率，其中参数w和m表示在当前时间拥有财富w的个人的一个条件，最大（过去）财富m。因此，φ是τα<τd的最小概率，其中一个关于允许的投资策略π最小化。因此，φ的形式定义为φ（w，m）=infπPw，m（τα<τd），（2.1）表示w≤ m、 这里，Pw，mindicated概率条件为W=W和m=m。下面，我们同样地为相应的条件期望写Ew，mf。注意，我们可以将φ改写为φ（w，m）=infπEw，mZ∞{τα<t}λe-λtdt= infπEw，mZ∞τα{τα<∞}λe-λtdt= infπEw，mE-λτα{τα<∞}= infπEw，mE-λτα.（2.2）这种替代表示法将有助于在下一节中证明验证定理。备注2.2。在2007年的例子中，如果研究的是杨氏消费，那么在杨氏消费的概率为0，那么在杨氏消费的例子中，杨氏消费的概率为0。3.

验证定理在本节中，我们证明了寿命下降最小概率的验证定理。首先，定义β的微分算子Lβ∈ R byLβf=（rw+（u）- r） β- c） fw+σβfww- λf，其中f=f（w，m）相对于其第一个变量是两倍可微的。在本文的其余部分中，假设w>αm；否则，就会出现撤退，游戏就结束了。另外，请注意，如果w≥ c/r，那么就不可能降低。事实上，在这种情况下，如果个人将其所有财富都投入到无风险资产中≥ 0并以c的速度消耗rWt的投资收益≥ c、 然后财富会稳步增加（或不减少）。换句话说，如果w≥ c/r，那么财富永远不会下降到αm几乎可以肯定，尽管如此≥ 因此，当w≥ 因此，我们只需要考虑域D上的φ：={（w，m）∈ （R+）：αm≤ W≤ 最小（m，c/r）}。定理3.1。假设h:D→ R是一个有界连续函数，满足以下条件。（i） h（·，m）∈ Cαm，min（m，c/r）是非递增且凸的，（ii）h（w，·）是连续可微的，除了m的许多值之外∈[0，c/r]，其中它有（有界）右导数和左导数，（iii）hm（m，m）≥ 如果m<c/r且hm（m，m）存在，则为0，（iv）h（αm，m）=1，（v）h（c/r，m）=0，如果m≥ c/r，（vi）Lβh≥ 全部为0∈ R.然后，h≤ D.证明。假设h满足该定理陈述中规定的条件。LetWπ和Mπ分别表示个人使用可接受投资政策π时的财富和最大财富。此外，假设初始财富和最大财富（w，m）的有序对位于D中。确定一个可接受的投资策略π。定义τn=inf{t≥ 0:Rtπsds≥ n} ，τc/r=inf{t≥ 0:Wπt=c/r}，τ=τα∧ τn∧ τc/r。

通过将It^o公式应用于e-λth（w，m），我们有-λτh（Wπτ，Mπτ）=h（W，M）+Zτe-λthw（Wπt，Mπt）σπtdBt+Zτe-λtLπh（Wπt，Mπt）dt+Zτe-λth-m（Wπt，mπt）dMπt.（3.1）在这里，我们使用了mπ是连续的并且几乎无处不在（h）的事实-mdenotest左导数）。此外，由于Mπ是非递减的，与之相关的第一个变化过程几乎肯定是有限的，我们得出结论，Mπ和Wπ的交叉变化几乎肯定为零。它源自τnthatEw，m的定义Zτe-λthw（Wπt，Mπt）σπtdBt= 此外，由于定理的条件（vi），（3.1）中的第二个积分是非负的。最后，第三个积分几乎肯定是非负的，因为只有当nmt=wt和hm（m，m）时，dmt才是非零的≥ 0，几乎所有地方，根据条件（iii）。因此，我们有了新的，m[e]-λτh（Wπτ，Mπτ）]≥ h（w，m）。因为h受假设的约束，所以它遵循了支配收敛理论EW，m[e-λ(τα∧τc/r）h（Wπτα∧τc/r，Mπτα∧τc/r）]≥ h（w，m）。由于Wπτα=αMπτα，Wπτc/r=c/r，当（Wπ，Mπ）=（W，M）∈ D、 它遵循定理的条件（iv）和（v）thath（w，m）≤ Ew，m[e]-λτα{τα<τc/r}]=Ew，m[e-λτα]. （3.2）（3.2）中的等式源自τα=∞ ifτc/r≤ τα. 通过采用可接受的投资策略，并应用（2.2）中φ的表示，我们得到h≤ φ在D上。我们在下面3.1条推论的情况下使用这个验证定理。推论3.2。假设h满足定理3.1的条件，条件（iii）和（vi）相等，对于反馈形式中定义为πt=π（Wt，Mt）的一些可容许策略π，我们稍微滥用了符号。然后，h=D上的φ，π是最优投资策略。证据

在定理3.1的证明中，如果我们在条件（iii）和（vi）中相等，那么我们可以得出D上的h=φ。在接下来的两节中，我们使用这个验证定理及其推论来确定下降的最小概率φ。4。当m≥ 在本节中，我们考虑m≥ c/r；回想一下w≤ c/r.将投资策略π定义为反馈控制，稍微滥用符号，如下所示。πt=π（Wπt）=u- rσγ- 1.铬- Wπt, （4.1）其中γ由γ=2rh（r+λ+δ）+p（r+λ+δ）定义- 4rλi>1，带δ=u - rσ.回想一下，Wπ和Mπ分别表示投资策略π下的财富和最大财富。可以证明Wπ遵循过程dwπt=铬- Wπt2δγ - 1.- Rdt+u- rσγ- 1dBt.注意，如果W=W<c/r，我们几乎可以肯定，对于所有t≥ 0，在这种投资策略下。因此，对于所有的t，Mπt=M几乎可以肯定≥ 0.从Young（2004）开始，我们知道，在这种策略下，撤军的概率由H（w，m）给出=c/r- 厕所/厕所- αmγ、 αm≤ W≤ c/r.（4.2）在下一个定理中，我们证明了h是下降的最小概率。定理4.1。当我≥ c/r，D={（w，m）上水位下降的最小概率φ∈（R+）：αm≤ W≤ c/r}由（4.2）中的表达式给出。最优投资策略π由（4.1）以反馈形式给出。证据很容易证明（4.2）中的h满足定理3.1中的条件（i）、（ii）、（iv）、（v）和（vi），最后一个在（4.1）中β=π（w）时相等。条件（iii）没有实际意义，因为≥ c/r。

因此，根据推论3.2，D上的φ=h（4.2），最优投资策略π在（4.1）中给出。定理4.1告诉我们，当财富低于所谓的安全水平c/r，并且当安全水平低于最大财富m时，为了最小化提取的概率，个人的财富无法达到安全水平，因此无法达到新的最大值。该个体有效地将其下降水平αm视为恒常水平，Young（2004）的结果适用。根据（4.1）中给出的投资策略，随着财富向SC/r增加，投资于风险资产的金额降至零。这是有道理的，因为随着个人变得更富有，她不需要承担太多的风险来实现c.5的固定消费率。当0<m<c/r时的最小下降概率在上一节中，我们表明，对于Mt=m几乎肯定是最优的，对于allt≥ 0，当0<w<c/r时≤ m、 在本节中，我们展示了如果∈ （0，c/r）足够大，那么允许M增加到M以上是最佳的。特别是，我们表明存在一个临界高水位线M*∈ （0，c/r）具有以下属性。（i） 如果我∈ （m）*, c/r），则最优投资策略允许M增加到M以上；以及（ii）如果m∈ （0，m）*], 然后，最优投资策略不允许M超过M。在第5.1节中，我们考虑一个辅助边值问题，引入临界高水位M*并证明上述（i）项。在第5.2节中，我们考虑了一个相关的优化问题，证明了它的解是当m≤ M*, 并证明上述第（ii）项。

最后，第5.3节提供了最优投资策略的进一步性质。5.1当m*< 当财富达到初始最大财富m=m时，个人要么允许财富增加到该水平以上，要么不允许。在本节中，我们确定m的值∈（0，c/r）是增加最大财富的最佳选择。对于任意常数m∈ （0，c/r），考虑以下边值问题（BVP）。为了我≤ M≤ c/r与αm≤ W≤ Mλh=（rw）- c） hw+minπ(u - r） πhw+σπhww,h（αm，m）=1，hm（m，m）=0，limm→c/r-h（m，m）=0。（5.1）根据推论3.2，如果我们找到一个BVP（5.1）的经典解，它相对于w是非递增且凸的，那么该解等于m的最小下降概率φ≤ M≤ c/r与αm≤ W≤ m、 注意，我们在边值问题（5.1）中包含了m=c/r，这样我们就可以在这一点上使用关于φ的信息。为了找到BVP（5.1）的期望解，我们首先解决一个相关的自由边界问题；然后，我们通过勒让德变换证明了它的凸对偶解（5.1），因此等于寿命下降的最小概率。考虑（y，m）上的自由边界问题（FBP）∈ [ym（m），~yαm（m）]×[m，c/r]，0<~ym（m）<~yαm（m）待定。δy~φyy- （r）- λ） y~φy- λ∧φ+cy=0，＠φ（＠yαm（m），m）=1+αm＠yαm（m），＠φy（＠yαm（m），m）=αm，＠φy（＠yαm（m），m）=0，limm→c/r-■φ（~ym（m），m）=cr~ym铬, 林姆→c/r-在下面的命题中，我们给出了FBP（5.2）的解。提议5.1。对于给定的常数m∈ （0，c/r）和附录A中给出的函数g，g，h，h和hexplicity，考虑以下非线性一阶ODEz（m）=g（z）（c/r- m） +g（z）h（z）（c/r）- m） +h（z）（c/r）- m） +h（z）；M≤ m<c/r。