常数条件下寿命下降概率的最小化

（5.3）假设（5.3）有一个经典解z:[m，c/r]→ [0,1]满足终端条件z（c/r）=0。然后，求出了（y，m）的FBP（5.2）解∈ [ym（m），~yαm（m）]×[m，c/r]由φ（y，m）=cry给出-BB- B+铬- αm1.- BB- B~yαm（m）yyαm（m）B+BB- B-铬- αmB- 1B- B~yαm（m）yyαm（m）B、 （5.4）其中B=2δh（r- λ+δ）+p（r- λ+δ）+4λδi=γγ- 1> 1，（5.5）B=2δh（r- λ + δ) -p（r）- λ+δ）+4λδi<0，（5.6）自由边界yαm（m）由yαm（m）BBB给出- Bz（m）B-1.- z（m）B-1.=铬- M-铬- αmB（1）- B） B- Bz（m）B-1+B（B）- 1） B- Bz（m）B-1.,（5.7）和自由边界ym（m）∈0，~yαm（m）由yαm（m）z（m）给出。此外，对于所有人来说∈ [m，c/r]，~φ（·，m）在[ym（m），~yαm（m）]上增加和凹。证据FBP（5.2）的通解是由∧φ（y，m）=D（m）yB+~D（m）yB+cry，（5.8）给出的，其中（5.5）和（5.6）中分别给出的带裸，以及∧D（m）和∧D（m）是要确定的m的函数。（5.2）的边界条件意味着~D（m）~yαm（m）B+~D（m）~yαm（m）B+cryαm（m）=1+αmyαm（m），（5.9）~D（m）Byαm（m）B-1+~D（m）B~yαm（m）B-1+cr=αm，（5.10）（m）ym（m）B+（D）（m）ym（m）B=0，（5.11）~D（m）Bym（m）B-1+~D（m）Bym（m）B-1+cr=m，（5.12）limm→c/r-h~D（m）~ym（m）B+~D（m）~ym（m）Bi=0，（5.13）和limm→c/r-h~D（m）B~ym（m）B-1+~D（m）Bym（m）B-1i=0。（5.14）求解方程（5.9）和（5.10）中的D（m）和D（m）得到D（m）=-BB- B~yαm（m）-B-1.- BB- B铬- αm~yαm（m）1-B、 （5.15）和D（m）=BB- B~yαm（m）-B-B- 1B- B铬- αm~yαm（m）1-B.（5.16）将这些表达式代入方程式（5.8）得到（5.4）。

类似地，代入（5.12）得到（5.7），其中我们定义了z（m）：=ym（m）/~yαm（m）。接下来，对m进行（5.15）和（5.16）的微分，并将结果代入方程（5.11）中，得到yαm（m）yαm（m）z（m）B-1.- z（m）B-1.BB~yαm（m）+（B- 1)(1 - B）铬- αm+ α(1 - B） z（m）B-1+（B）- 1） z（m）B-1.= 0.通过在保持yαm/~yαm的同时替换yαm（5.7），我们得到（经过一些重新排列后）~yαmyαm=-α(1 - B） z（m）B-1+（B）- 1） z（m）B-1.（B）- B）铬- M-铬- αm[(1 - B） z（m）B-1+（B）- 1） z（m）B-1]. （5.17）通过对m进行微分（5.7），并通过（5.17）从结果方程中消除yαm/yαm，可以得出z（m）满足m的ODE（5.3）∈ [m，c/r）。我们现在推翻上述论点，并得出结论，如果z（m）在终端条件z（c/r）=0的情况下满足ODE（5.3），yαm由（5.7）驱动，并且ym（m）=z（m）yαm（m），那么φ（y，m）由（5.4）满足FBP（5.2）给出。通过微分（5.4）可以很容易地显示φ相对于y的单调性和凹性.只需检查m=c/r时的边界条件，即（5.13）和（5.14）。（5.14）直接来自（5.12）。此外，如果limm→c/r-z（m）=0。为了说明这一点，请注意，通过（5.12）和（5.15）~D（m）~ym（m）B+~D（m）~ym（m）B=B（m）- c/r）~ym（米）+1.-BB~D（m）~ym（m）B=B（m）- c/r）z（m）~yαm（m）+1 +1 - BB（c/r）- αm）~yαm（m）z（m）B.（5.18）通过施加边界条件limm→c/r-z（m）=0 in（5.7），我们得到limm→c/r-~yαm（m）=B（B-1)(1-α） c/r.因此，将（5.18）的极限作为m→ c/r-收益率（5.13）。命题5.1的主要假设是满足终端条件z（c/r）=0的ODE（5.3）解的存在性。我们可以证明ODE（5.3）的右侧在（c/r，0）处不是连续的；因此，这种解决方案的存在并非微不足道。下文第5.4条规定了此类解决方案存在的条件。此外，我们还没有具体说明m的价值。

根据命题5.1，存在于区间[m，c/r]上的解z在同一区间上产生FBP（5.2）的解。当然，我们对最小的m感兴趣∈ （0，c/r）存在此类解决方案。我们用m表示这个最小值*. 提案5.4也确定了*.在提供关于ODE（5.3）解存在性的主要结果之前，我们先介绍一些初步结果和定义。首先，我们引入一个函数x（m）和一个常数tbm∈ （0，c/r）。引理5.2。存在一个递增函数x:[0，c/r）→ [1, +∞) 哪种独特的溶剂铬- M1.- BB- Bx（m）B-1+B- 1B- Bx（m）B-1.=铬- αm.（5.19）证明。（5.19）的左侧随着x（m）>1而增加；当x（m）接近1+时，（5.19）的左侧接近c/r- m、 这比c/r低- αm；随着x（m）的接近∞, 左边靠近∞. 因此，（5.19）有一个独特的解决方案。关于m的差异（5.19）意味着x（m）随着m.引理5.3的增加而增加。bm有一个独特的解决方案∈铬1 +1-αB+,铬以下等式的一个例子：αB+cr（1）- α） 铬- bmB-1个=αB+cr（1）- α） 铬- bm-1.-B.（5.20）证据。定义byg（m）=αB+cr（1）- α） 铬- MB-1.-αB+cr（1）- α） 铬- M-1.-B、 为了我∈铬1 +1-αB+,铬, 注意，g随着m的增加而增加。我们需要考虑两种情况。首先，如果1- α(1 - B）≤ 0，那么g从-∞到∞ 随着m从cr增加1 +1-αB≥ 0 tocr。因此，g在这个区间内有一个唯一的零，bm>0。第二，如果1- α(1 - B） >0，那么为了证明g在（0，c/r）中有一个唯一的零，证明g（0）<0就足够了。为此，请注意g（0）<0相当于（1+x）x<1- y）-y、 其中x=α（B- 1） >0且y=α（1- B） >0。

这个不等式成立是因为左侧小于e，右侧大于e.0 5 10 15 bm 20crm00。20.41=x（bm）0.811.2ZD0及其边界@！D0@D0@D0@+D0D00bm 5 10 15 20crm00。20.41=x（bm）0.811.2ZD0及其边界@！D0@D0@D0@+D0D0Figure1：两组参数的域及其边界。在左边，u=0.06，σ=0.20，r=0.04，c=1，λ=0.04，α=0.50。在右侧，u=0.12，其他参数不变。考虑到x（m）和bm，我们定义了区域D [0，c/r]×[0，1]比亚迪：={（m，z）：0≤ M≤ c/r，x（米）≤ Z≤ 1} ，以及其上、下、右和左边界D=n（m，1）：0≤ M≤ c/ro，D=nm、 1/x（米）: bm<m≤ c/ro，+D=n（c/r，z）：0<z<1o，和-D=nm、 1/x（米）: 0≤ M≤ 分别是bmo。图1显示了两组参数的数据及其边界。具体而言，对于左图，我们选择了u=0.06、σ=0.20、r=0.04、c=1、λ=0.04和α=0.50；对于右边的图表，我们选择u=0.12，其他参数不变。我们将在后面的插图中使用相同的参数集。关于ODE（5.3）右侧在D内部以及右上边界连续的证明，请参见附录BD∪ +D.此外，ODE（5.3）的右侧接近±∞ 在左下边界D∪ -D、 除了奇点bm，1/x（bm）和（0，c/r），其中它没有限制。因此，根据经典的存在唯一性定理，存在一个通过D中任意点的唯一解\\{bm，1/x（bm）, （c/r，0）}；见引理B.4。图2显示了ODE（5.3）通过中的点的积分曲线D∪+D\\{（c/r，0）}。我们使用MATLAB ODE解算器“ode45”对积分曲线进行数值逼近。作为旁白，颂歌（5.3）的右边变成了-∞ 在底层D\\{（c/r，0）}。

在这种情况下，求解阿贝尔方程更为稳健m（z）=h（z）（c/r）- m） +h（z）（c/r）- m） +h（z）g（z）（c/r）- m） +g（z），代表（z，m（z））∈ D> ，m（z）=m，（5.22）并反转溶液，得到（5.3）的溶液。然后，直接在（5.22）右边无界的点附近求解（5.3）。最后，将找到的解粘贴在一起，创建积分曲线。051015BM20CrM00。20.41=x（bm）0.811.2 Z积分曲线0 bm 5 10 15 20crm00。20.41=x（bm）0.811.2 Z积分曲线图2:ODE（5.3）通过D∪ +D\\{（c/r，0）}。通过（c/r，0）附近点的积分曲线围绕奇点旋转bm，1/x（bm）. 特别是，通过给定点（m，z）的曲线D∪+D\\{（c/r，0）}near（c/r，0）在一点上击中z=1/x（m）的图形em，1/x（em）, 对于一些<em<bm的人。然后，积分曲线向奇点方向旋转bm，1/x（bm）.因此，这种积分曲线只能在区间[em，m]上定义。特别是，它没有定义间隔（0，em）。满足终端条件z（c/r）=0的ODE（5.3）的解继承了这种行为。我们用m表示*< bm，解截取左边界的m值-D.也就是说，m*是上述段落中对应于（m，z）=（c/r）的em值-, 0+). 我们将在下一个命题中展示这些断言。提议5.4。假设D中存在（5.3）的解z（m）和z（m），使得z（分别，z）满足终端条件z（m）=zfor（m，z）∈ D（分别为（m，z）∈ +D） 从左边延伸到-D\\bm，1/x（bm）. 让我*（分别为m*) 是m的值，其中z（分别为z）截取-D

然后，在满足终端条件z（c/r）=0并从左侧延伸到边界时，存在（5.3）的唯一解z（m）-D这样的z（m）*) = 1/x（米）*) 有时候*∈ （m）*, M*). 特别是，z（m）没有定义在（0，m）上*).证据见附录B。命题5.4意味着（5.3）满足z（c/r）=0的唯一解。图2提供了我们的数值示例中z（m）和z（m）的几个候选值。我们可以通过在终端条件z（c/r）=,为了一小部分 > 0.这些近似值如图3所示。一旦找到满足z（c/r）=0的ODE（5.3）解，就可以直接找到m的最小下降概率*≤ M≤ c/r。事实上，根据命题5.1，这样的解z产生了m的FBP（5.2）的解∧φ*≤ M≤ c/r.因为（5.3）中的)φ与y有关，我们可以通过勒让德变换定义它的凸对偶ψ。下面的结果表明，ψ是m的最小下降概率*≤ M≤ c/r.提案5.5。用ψ（w，m）=maxy定义ψ■φ（y，m）- wy, （5.23）0.5.10亿美元bm 20crm00。20.41=x（m$）0.811.2Z BVP（5.22）0 m$bm 5 10 15 20crm00的解决方案。20.41=x（bm）1=x（m$）0.811.2Z BVP（5.22）的解图3：满足z（c/r）=0的ODE（5.3）的解。其中αm≤ W≤ m和m*≤ M≤ c/r。那么，当m时，寿命下降的最小概率等于ψ*≤ M≤ c/r证明。由（5.23）可知，临界值y*求解w=*φy（y，m）；因此，给定w，我们有y*= I（w，m），其中I是关于y的φy的函数逆。因此，ψ（w，m）=φ（I（w，m），m）- wI（w，m）。通过将ψ的表达式与w区分开来，我们得到了ψw（w，m）=φy（I（w，m），m）Iw（w，m）- I（w，m）- w-Iw（w，m）=-I（w，m）；因此，y*= -ψw（w，m）。

另外，请注意ψww（w，m）=-1/)φyy（I（w，m），m）。通过替换y*= -ψw（w，m）转化为φ的自由边界问题，即（5.2），我们知道ψ解决了边值问题（5.1）。此外，由于∧φ相对于y增大且凹，ψ相对于w减小且凸。因此，推论3.2表明，当m*≤ M≤ c/r.我们有一个定理，它紧跟在命题5.5之后。定理5.6。假设命题5.4的条件成立，z（m）是[m]上常微分方程（5.3）的解*, c/r]满足z（c/r）=0。此外，用（5.7）和~ym（m）=z（m）~yαm（m）定义yαm（m）。

那么，对于αm≤ W≤ m和m*≤ M≤ c/r，寿命下降的最小概率φ由φ（w，m）=B给出- 1B- BhB+铬- αm(1 - B） ~yαm（m）iyyαm（m）B+1- BB- BhB-铬- αm（B）- 1） ~yαm（m）iyyαm（m）B、 （5.24）其中y∈ [~ym（m），~yαm（m）]- w=BB- BB~yαm（m）+铬- αm(1 - B）yyαm（m）B-1.-BB- BB~yαm（m）-铬- αm（B）- 1)yyαm（m）B-1.（5.25）对于αm和m之间的财富，相应的最优投资策略π*以0.5亿美元（20元人民币）支付。51?（m；m）0510万美元20crm01020？m（m；m）#10！3051000万美元20crm-0.1-0.050？w（m；m）0510万美元20crm010002000？ww（m！0；m）0510万美元20crm00。0 50.1?ww（m；m）0 5 10 m$20crm024:$（m；m）0 m$5 10 15 20crm00。51?（m；m）百万美元51052 0crm01020？m（m；m）#10！3000万美元5105 20crm-0.1-0.050？w（m；m）0百万美元51052万RM0500010000？ww（m！0；m）00 m$5105 20crm00。0 50.1?ww（m；m）0 m$5 10 15 2 0crm0510:$（m；m）图4：达到高水位时风险资产的最佳投资，即π*（m，m）=-u-rσφw（m，m）φww（m，m），对于m*< m<c/r.π反馈形式*t=π*（W）*t、 M*t） ，其中π*（w，m）=u- rσB（B）- 1） B- BB~yαm（m）+铬- αm(1 - B）yyαm（m）B-1+u - rσB（1）- B） B- BB~yαm（m）-铬- αm（B）- 1)yyαm（m）B-1.（5.26）图4显示了当m*≤ w=m≤ c/r，即当财富达到最高水位线时，从（5.26）中获得。正如第4节所预期的，π*（c/r，c/r）=0，也就是说，当财富达到安全水平时，c/r的最佳配置不是投资股票。为了我*< m<c/r，我们有π*（m，m）>0，这意味着对于这些m值，最优分配允许高水位增加。最后，在w=m=m时*, 我们有π*（m）*, M*) = 0.由于消费率C大于无风险回报率r m*, 财富永远不会超过百万*. 换句话说，m=m的最优分配*不要让高水位线增加。

在下一节中，我们将展示所有值0<m<m*, 最好不要让最大财富增加。5.2 0<m<m时水位下降的最小概率*在本节中，我们首先研究了一个相关的最优控制器阻塞问题，然后证明其解是0<m时最小下降概率的勒让德变换≤ M*.确定m的值∈ （0，c/r）。确定受控过程YRbydYRt=-（r）- λ） YRtdt+u- rσYRtd^Bt+dRt，YR=y>0，其中^B是关于概率空间过滤的标准布朗运动（^Ohm,^F，^P）。这里，R是一个右连续的、非负的、非递减的控制，当控制器实现它时，会产生m的比例成本。对于y>0，用φ（y，m）=infτsupR^Ey定义函数φZτe-λtc YRtdt- m dRt+ E-λτ1+αYRτ. （5.27）^φ是最优控制器问题的值函数。具体来说，控制者在进程R之间进行选择，以最大化c YRtin（5.27）给出的对停止者的折扣（净）运行“惩罚”，减去控制者的比例成本m。然后，停止者选择停止游戏的时间τ，以最小化惩罚，但在停止时必须增加1+αYRτ的终端成本。备注5.7。通过对偶论证将破产问题的最小概率与最优控制器阻塞问题联系起来的想法首次出现在Bayraktar and Young（2011）中。参见Wang和Young（2012a，2012b），其中对偶参数用于解决破产问题的相关最小概率。关于最优控制器止动器的问题，请参见Karatzas和Sudderth（2001）、Karatzas和Zam Firescu（2008）、Bayraktar等人（2010）以及最近的Bayraktar和Huang（2013）、Bayraktar和Yao（2014）以及Nutz和Zhang（2015）。

最后，控制器阻塞问题（5.27）与上述参考文献中出现的问题略有不同，是一个所谓的“单调控制器阻塞问题”。关于这类问题，请参见Karatzas和Shreve（1984）以及Bayraktar和Egami（2008）。通过标准技术（Oksendal和Sulem，2004年，第5章），我们可以证明存在^ym（m）>0，因此控制器实现控制R，以保持≥ ^ym（m）。具体而言，如果YR=y<^ym（m），则控制器立即将YR移动到^ym（m），并产生成本m（^ym（m）- y） 。因此，对于y<y，ym（m），我们有φ（y，m）=-m（^ym（m）- y） +^φ（^ym（m））。之后，控制器进行瞬时控制以保持稳定≥ ^ym（m）。此外，我们可以证明存在^yαm（m）>^ym（m），因此如果YR=y，停止者会立即停止比赛≥ ^yαm（m），如果y<^yαm（m），那么她在遇到^yαm（m）时停止。因此，如果≥ ^yαm（m），我们有^φ（y，m）=1+αmy。（为了以后的目的，我们分别通过写入^ym（m）和^yαm（m）来明确^ymand^yαmupon m的依赖性。）此外，^φ相对于y在R+上是凹的，并且是y的以下FBP的唯一经典解∈ [^ym（m），^yαm（m）]。δyfyy- （r）- λ） yfy- λf+cy=0，f（^yαm（m），m）=1+αm^yαm（m），fy（^yαm（m），m）=αm，fy（^ym（m），m）=m，fy（^ym（m），m）=0。（5.28）在下面的命题中，我们给出了FBP（5.28）的解。提议5.8。假设0<m<c/r。