管理终身年金中的系统性死亡风险：应用

2008年65岁（左上图）和75岁（右上图）的澳大利亚男性模拟强度过程的百分比u（t）和u（t），以及65岁（左下图）和75岁（右下图）的相应生存概率（平均值和99%置信区间）。图3的上面板分别显示了左面板和右面板中65岁和75岁模拟死亡率的百分位数。有人观察到，75岁的人的运动强度波动性高于65岁的人。图3的下面板中显示了相应的生存概率，以及99%的置信区间。t=0代表2008日历年，我们估计了1年生存概率-m（x+v）-1,0）乘以1-m（x+v）- 1, 0).逐点计算。正如图中所示，上述双因素高斯模型尽管简单，但为65岁和75岁的人群提供了合理的死亡率动态。3长寿衍生产品的分析定价我们考虑了具有不同支付结构的长寿衍生产品，包括长寿互换、长寿上限和长寿指数。在第2节介绍的双因素高斯死亡率模型的假设下，推导出了这些寿命衍生产品价格的闭式表达式。这些工具以生存概率为基础，并从定价角度分析其属性。3.1风险调整措施为了实现无套利估值，我们要求在风险调整措施下记录因子Y（t）和Y（t）obe的动态。为了保持模型的可处理性，我们假设在风险调整测度Q下，动态过程＠W（t）和＠W（t）=dW（t）（3.1）d＠W（t）=λσeγxY（t）dt+dW（t）（3.2）是标准布朗运动。

（3.2）λ代表长寿风险的市场价格。在Q下，我们可以将因子动力学写为：dY（t）=αY（t）dt+σdW（t）（3.3）dY（t）=（αx+β）- λσeγx）Y（t）dt+σdW（t）。（3.4）相应的风险调整后生存概率由Sx+t（t，t）def=EQt给出E-RTtux（v）dv= eΓ（t，t）-Θ（t，t）（3.5），其中α=αx+β替换为（αx+β）-λσeγx）在Θ（t，t）和Γ（t，t）的表达式中，参见等式。（2.5）和等式（2.6）。由于流动性长寿市场尚未开发，我们的目标是根据法国巴黎银行和欧洲投资银行（EIB）于2004年宣布的长寿债券，确定λ的合理价值，如凯恩斯等人（2006年）提出的，并应用于梅里克和谢里斯（2014年），另见威尔斯和谢里斯（2011年）。BNP/EIB长寿债券是一种25年期债券，其耦合付款与基于实际死亡率的幸存者指数挂钩。长期债券的价格由v（0）=XT=1B（0，T）eδTEP给出E-RTux（v）dv（3.6）由于长寿命市场仍处于发展阶段，因此，总体而言，我们假设存在风险调整措施，但不是唯一的。对于简单性，我们假设第一个因素没有风险调整，λ与年龄无关。法国巴黎银行根据英国ZF精算师部门提供的基于2002年的风险预测，将发行价格确定为预期现金流。式中，δ是一个价差，或每年的平均风险溢价，T年预测生存率假设为第2节中建模的65岁澳大利亚男性队列的T年生存概率，见等式（2.4）。由于BNP/EIB债券的定价基于比标准EIB利率低20个基点的收益率（凯恩斯等人（2006）），因此我们的价差δ=0.002。在风险调整措施Q（λ）下，长寿债券的价格对应于VQ（λ）（0）=XT=1B（0，T）EQ（λ）E-RTux（v）dv.

（3.7）将利率固定为r=4%，我们发现一个依赖于模型的λ，使得风险调整后的债券价格VQ（λ）（0）与市场债券价格V（0）尽可能接近。例如，对于λ=8.5，我们有V（0）=11.9045和VQ（λ）（0）=11.9068。有关上述程序的更多详情，请参考Meyricke和Sherris（2014）。在下文中，我们假设风险调整措施Q由λ0.5 10 15 20 25 30 3500.10.20.30.40.50.60.70.80.91水平TSurvival概率S 65（0，t）λ=0λ=4.5λ=8.5λ=12.5图确定。4.长寿风险λ不同市场价格的风险调整生存概率。图4显示了65岁澳大利亚人的风险调整生存概率，以及长寿风险λ市场价格的不同值。从图中可以看出，λ的较大（正值）值会导致生存概率的提高，而λ的较小值则表明在风险调整措施Q.3.2长寿互换下生存概率的下降。PSA长寿互换涉及交易对手互换与给定时间段内参考人群中幸存者数量相关的固定付款，可以被认为是S-f orwards的一本书，见Dowd（2003）。LLMA（2010b）开发了S前锋或“幸存者”前锋。长寿掉期可被视为一系列不同的S-f向流动。利差δ取决于债券的期限和被跟踪的队列的初始年龄（凯恩斯等人（2006）），δ与长寿风险的市场价格λ相关，但不同于λ。BNP/EIB长寿债券的参考队列f是2003年英格兰和威尔士65岁的男性。由于澳大利亚正在开发长寿衍生品市场，我们假设δ=0.002的相同读数（与英国一样）适用于2008年65岁的澳大利亚男性群体。

但请注意，敏感性分析将在第4节中进行。到期日。使用S-远期的优点之一是，在合同开始时没有初始资本要求，现金流只在到期时发生。考虑一个年金提供者，他有义务支付一笔金额，该金额取决于存活者的数量，以及在时间T时一个群体的生存概率。如果存在长寿风险，存活概率是随机的。为了保护自己不受超出预期的生存概率的影响，供应商可以签订S-for ward合同，支付固定金额的K∈ （0,1）并获得与实际生存概率exp相等的金额{-RTux（v）dv}a t时间t。在这样做的过程中，供应商面临的生存概率是确定的，并与某个固定价值K相对应。如果合同的定价方式是在该选项中没有预付成本，则必须保持B（0，t）等式E-RTux（v）dv- K（T）= 0（3.8）。因此，固定金额可以确定为风险调整后的生存概率，即K（t）=EQE-RTux（v）dv. （3.9）假设长寿风险的市场价格为正，支付固定支腿并接受浮动支腿的长寿风险套期保值者承担进入S-forward的成本。按照Bi ffis等人（2014）的术语，金额K（T）=Sx（0，T）可以被称为到期日为T的s-for病房的资产负债表。一般来说，带有固定支腿K（不一定如等式（3.9）中的K（t））的anS远期的按市值计价过程F（t）由F（t）=B（t，t）EQt给出E-RTux（v）dv- K= B（t，t）EQtE-Rtux（v）dve-RTtux（v）dv- K= B（t，t）\'Sx（0，t）~Sx+t（t，t）- K（3.10）对于t∈ [0，T]。

“Sx（0，t）=e-Rtux（v）dv | Ft（3.11）是实现的生存概率，或队列的存活指数，在给定的NFT下是可观察的。式（3.10）中出现的术语“Sx（0，t）~Sx+t（t，t）”有一个自然的解释。给定时间t=0时的信息，该项变为Sx（0，t），这是风险调整后的生存概率。随着时间的推移，越来越多的信息∈ “Sx（0，T）~Sx+T（T，T）一词是前T年的实际生存概率和下一年的风险调整生存概率（T）的乘积-t） 好几年了。在成熟期T，该产品成为时间T之前的已实现生存概率。换句话说，我们可以将“Sx（0，t）~Sx+t（t，t）视为t年风险调整后的生存概率，其信息在时间t之前已知。等式（3.10）中的价格过程F（t）取决于S-forward writenten在时间t（x+t）与到期时间（t）相同的队列中的互换率Sx+t（t，t）- t） 。如果开发了流动性长寿市场，可以从市场数据中获得互换率Sx+t（t，t）。由于在时间t可以观察到¨Sx（0，t），S-远期的按市值计价过程可以被认为是独立于模型的。然而，由于长寿市场仍处于发展阶段，市场互换率不可用，基于模型的风险调整生存概率如果长寿风险的市场价格为正，风险调整生存概率将大于“最佳估计”生存概率，见图4。必须使用Sx+t（t，t）。

如果风险调整后的生存概率以封闭形式表示，则可以获得Sforward按市价计价的分析公式，例如，可以在双因素Ga-ussian死亡率模型下执行。由于长寿掉期是以S-远期组合的形式构建的，长寿掉期的价格只是单个S-远期价格的总和。3.3长寿CapsA长寿cap是长寿CAPlet的对开本，提供了与longevityswap类似的对冲，但它是一种期权型工具。再次考虑第3.2节中描述的一种情况，年金提供商旨在对冲特定同居者的T年生存概率高于预期的情况。除了使用S型远期进行套期保值外，提供方还可以在T时间对应于tomax的时间点，以支付的方式进入长寿caplet的多头头寸E-RTux（v）dv- K, 0（3.12）其中K∈ （0，1）是执行价。如果实际生存概率大于K，套期保值者将获得n个数量经验{-RTux（v）dv}- K来自长寿帽。这种支付可以被视为对提供者必须在年金投资组合中增加支付的补偿，因为预期生存概率大于预期生存概率。如果实际生存概率小于或等于K，则不存在现金流出。换句话说，longevity caplet允许提供者将其寿命敞口“上限”为K，而不存在下行风险。因为长寿帽的回报是非负的，所以它是有代价的。一个长条龙的价格等等l（t；t，K）=B（t，t）EQtE-RTux（v）dv- K+!（3.13）在双因素G下，aussian死亡率模型由以下命题得出。命题3.1在双因素高斯死亡率模型下（等式（2.1）－等式。

（2.3）长寿帽C在t时的价格l（t；t，K），到期日为t，行距为K，则得到bycl（t；t，K）=StStB（t，t）ΦqΓ（t，t）- D- KB（t，t）Φ(-d） （3.14）式中，“St=”Sx（0，t）是在t时可观察到的实际生存概率，“St=”Sx+t（t，t）是下一个（t）时的风险调整生存概率-t） 好几年了，d=√Γ（t，t）ln{K/（\'St)St}+Γ（t，t）Φ（·）表示标准高斯随机变量的累积分布函数。证据在风险调整措施Q下，我们从命题（2.1）中得出，LDEF=-ZTtux（v）dv~ N(-Θ（t，t），Γ（t，t））。（3.15）使用简化的符号Θ=Θ（t，t），Γ=Γ（t，t），我们可以编写l（t；t，K）=B（t，t）EQt（‘SteL’- （K）+= B（t，t）Z∞-∞√2πΓe-l+~Θ√~Γ“Stel- K+Dl长寿caplet的收益与Bi FFIS和Blake（2014）中描述的风险债券本金中嵌入的期权的收益相似B（t，t）Z∞ln K/“St+Θ√~Γ√2πe-l“Stel√~Γ-~Θ- KDl= B（t，t）ΓSteΓ-ΘZ∞ln K/“St+Θ√~Γ√2πe-l-√~ΓDl - KZ∞ln K/St+Θ√~Γ√2πe-lDl.方程式（3.14）使用Φ（·）的性质，并注意到▽St=eΓ-Θ，也就是说，Θ=Γ- 圣卢西亚。与S型远期类似，长寿caplet的价格取决于产品术语“Sx（0，t）~Sx+t（t，t）”。特别是，如果K>Sx（0，t）~Sx+t（t，t），则长寿帽被称为缺钱；当K=\'Sx（0，t）~Sx+t（t，t）时，为零；如果K<\'Sx（0，t）~Sx+t（t，t），则为货币。公式（3.14）通过表2中总结的蒙特卡罗模拟进行验证，其中我们设置r=4%，λ=8.5，t=0。其他参数如表1所示。表2定价寿命caplet Cl（0；T，K）通过公式（等式（3.14））和蒙特卡罗模拟ofEq。(3.13); [，]表示95%的置信区间。（T，K）精确M.C。

模拟（10,0.6）0.15632 0.15644[0.15631,0.15656]（10,0.7）0.08929 0.08941[0.08928,0.08954]（10,0.8）0.02261 0.02262[0.02250,0.02275]（20,0.3）0.08373 0.08388[0.08371,0.08406]（20,0.4）0.03890.03897[0.03879,0.03914]（20,0.03915）根据[0.00520.005]命题[0.00530]的结果，双因素高斯死亡率模型得出了寿命caplet的价格，该价格是以下变量的函数：o第一个t年的实际生存概率\'Sx（0，t）；o风险调整生存概率Sx+t（t，t）在下一个t- t年利率r；o执行价格K；o成熟时间（T- t） )；以及o标准偏差qΓ（t，t），它是到期时间和模型参数的函数。由于数量增加-RTux（v）dvois对数正态分布在双因素高斯概率模型下，等式（3.14）类似于期权定价的Black-Scholes公式，其中基础股票价格遵循几何布朗运动。在我们的设置中，T时的股票价格被T年风险调整生存概率Sx（0，T）Sx+T（T，T）所取代，其信息在T时可用。虽然股票是分级的，可以直接使用市场数据建模，长寿caplet的基础是生存概率，这是不可交易的，但可以作为死亡强度动态的输出来确定。因此，Black-Scholes公式中股票价格波动的作用是由死亡率强度的积分的标准偏差Tux（v）dv发挥的。

由于积分tux（v）dv捕捉了Q下t到t的死亡率强度ux（t）的整个历史，人们可以将标准偏差QΓ（t，t）解释为从t到t期间x+t年龄段的风险调整后总寿命风险的可承受性。图5的左面板显示了年龄为x=65的队列的caplet价格，使用表1中指定的参数，作为时间到ma t ur City t和strike K的函数。我们将r=0.04、λ=8.5和t=0设置为‘Sx（0，0）=1。较低的执行价表明，caplet的买家愿意支付更多的价格，以确保更好的保护，防止比预期更大的生存概率。在0。10.20.30.40.5101520253000.10.20.30.40.5罢工（K）到期时间（T）Cl（0；T，K）0 2 4 6 8 10 12 140.020.0250.030.0350.040.0450.05λCaplet价格图。5.C将价格作为（左面板）T和K以及（右面板）λ的函数，其中K=0.4和T=20。另一方面，当到期时间t增加时，潜在的生存概率很可能取较小的值，这导致固定K的caplet在到期时缺钱的概率更高，见等式（3.12）。因此，对于固定K，caplet价格随着T的增加而降低。图5的右面板说明了长寿风险λ的市场价格对caplet价格的影响。caplet的价格随着λ的增加而增加。如图4所示，较大的λ值将导致Q下生存概率的提高。因此，观察到较高的资本价格，因为当λ增加时，Q下的潜在生存概率更大（平均），见等式。

(3.13).由于寿命上限被构造为一个寿命上限投资组合，它可以被定价为单个上限价格的总和，另请参见第4.1.2.4节管理假设寿命年金组合中的寿命风险寿命互换和上限的边缘功能针对寿命风险的假设寿命年金组合进行检查。考虑的因素包括长寿风险的市场价格、对冲工具的到期期限和基础年金投资组合的规模。4.1我们考虑一个假设的终身年金投资组合，该投资组合由年龄x=65的队列组成。与投保人数量相对应的投资组合规模用n表示。队列的潜在死亡率强度遵循第2节所述的双因素高斯模型，模型参数在表1中有详细说明。我们假设年金政策不包含任何负担，费用也不包括在内。此外，我们假设年金受益人在支付日期之前的存续期内，每年支付1美元的单笔保费、终身年金。t=0时评估的年金的公允价值或溢价由ax=ω给出-xXT=1B（0，T）~Sx（0，T）（4.1），其中r=4%，ω=110是morta-ity模型中允许的最大年龄。因此，人寿年金提供者将获得整个投资组合的总保费，用a表示，对应于个人保费的总和：a=n ax。（4.2）这是年金提供者在t=0时持有的资产的现值。