管理终身年金中的系统性死亡风险：应用

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英文标题：
《Managing Systematic Mortality Risk in Life Annuities: An Application of
  Longevity Derivatives》
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作者：
Man Chung Fung, Katja Ignatieva, Michael Sherris
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper assesses the hedge effectiveness of an index-based longevity swap and a longevity cap. Although swaps are a natural instrument for hedging longevity risk, derivatives with non-linear pay-offs, such as longevity caps, also provide downside protection. A tractable stochastic mortality model with age dependent drift and volatility is developed and analytical formulae for prices of these longevity derivatives are derived. Hedge effectiveness is considered for a hypothetical life annuity portfolio. The hedging of the life annuity portfolio is comprehensively assessed for a range of assumptions for the market price of longevity risk, the term to maturity of the hedging instruments, as well as the size of the underlying annuity portfolio. The model is calibrated using Australian mortality data. The results provide a comprehensive analysis of longevity hedging, highlighting the risk management benefits and costs of linear and nonlinear payoff structures.
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中文摘要：
本文评估了基于指数的长寿互换和长寿上限的套期保值有效性。虽然掉期是对冲长寿风险的自然工具，但具有非线性回报的衍生品，如长寿上限，也提供了下行保护。建立了具有年龄相关漂移和波动性的可处理随机死亡率模型，并推导了这些寿命衍生产品的价格解析公式。对冲有效性是针对假设的人寿年金投资组合考虑的。针对长寿风险的市场价格、对冲工具的到期期限以及基础年金投资组合的规模等一系列假设，对人寿年金投资组合的对冲进行了全面评估。该模型使用澳大利亚的死亡率数据进行校准。研究结果对长寿保值进行了全面分析，突出了线性和非线性回报结构的风险管理收益和成本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Managing_Systematic_Mortality_Risk_in_Life_Annuities:_An_Application_of_Longevit.pdf (467.01 KB)

2022-5-8 21:01:57 上传

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关键词：系统性 Quantitative Applications derivatives Application

管理终身年金中的系统性死亡风险：LongevityDerivatives的应用该版本：2021年8月30日，澳大利亚悉尼新南威尔士大学风险与精算研究学院（m.c。fung@unsw.edu.au)澳大利亚悉尼新南威尔士大学风险与精算研究学院（k。ignatieva@unsw.edu.au)澳大利亚悉尼新南威尔士大学风险与精算研究学院cCEPAR（m。sherris@unsw.edu.au)JEL分类：G22、G23、G13摘要本文评估了基于指数的长寿互换和长寿上限的套期保值效果。尽管掉期是对冲长寿风险的自然工具，但具有非线性报酬的衍生品，如长寿上限，也提供了下行保护。建立了一个具有年龄相关漂移和波动性的可处理随机死亡率模型，并推导了这些寿命衍生产品的价格解析公式。对冲有效性被认为是一种假设的终身年金投资组合。根据长寿风险的市场价格、对冲工具的期限和基础年金投资组合的规模，对人寿年金投资组合的对冲进行全面评估。该模型使用澳大利亚的死亡率数据进行校准。研究结果对寿命对冲进行了全面分析，突出了线性和非线性支出结构的风险管理效益和成本。关键词：长寿风险管理；长寿互换；长寿选择；Hedge effectivenes1简介退休后确保舒适的生活对世界上大部分工作人口来说是至关重要的。然而，退休的一个主要风险是退休储蓄可能会过期。

提供终身收入保障的产品，如终身年金，需要以成本效益的方式提供，同时保持提供商的长期偿付能力。年金提供者和养老基金需要在终身年金或养老金组合中管理系统性死亡风险，这与潜在死亡强度的随机变化有关。系统性死亡风险不能随着投资组合规模的增加而分散，而特殊性死亡风险（代表死亡强度固定的投资组合中死亡的随机性）是可以分散的。再保险在管理年金和养老金提供者的长寿风险方面非常重要。然而，再保险公司担心再保险人的风险偏好有限，不愿承担这种“有毒”风险（Blake et al.（2006b））。事实上，即使他们愿意接受风险，保险业也不足以吸收年金提供商和养老基金目前承担的大规模长寿风险。资本市场的规模以及金融风险和人口风险之间几乎为零的相关性表明，它们将在长寿风险的风险管理中发挥越来越大的作用。针对长寿风险的第一代资本市场解决方案，以死亡率和长寿债券的形式（Blake and Burrows（2001）、Blake et al.（2006a）和Bauer et al.（2010））取得了有限的成功。涉及远期和掉期的第二代债券吸引了越来越多的兴趣（Blake et al.（2013））。基于指数的工具旨在降低系统性死亡风险，总体上成本较低，并设计为允许作为标准化合同进行交易（Blake et al.（2013））。与再保险等定制或定制对冲工具不同，它们不包括特殊抵押风险，并产生基差风险（Li and Hardy（2011））。

由于大型投资组合的特殊死亡风险降低，因此投资组合规模是决定基于指数的工具对冲效果的一个重要因素。具有线性回报的长寿衍生品，包括q-远期和S-远期，分别作为死亡率和生存率的基础（LLMA（20 10a））。Ngai和Sherris（2011）研究了不同年金投资组合中寿命风险静态混合的有效性，他们考虑了他们的对冲效应。他们将一系列与长寿相关的工具（包括q-远期、长寿债券和长寿掉期）视为对冲工具，以量化长寿风险，并展示其在降低长寿风险方面的优势。Li和Hardy（2011）也考虑用q-远期组合对冲长寿风险。他们强调基本风险是发展基于指数的长寿市场的障碍之一。到目前为止，具有非线性支付结构的长寿衍生品还没有受到太多关注。Boyer和Stentoft（2013）使用模拟评估欧洲和美国类型的幸存者选项，Wang和Yang（2013）在Lee-Carter模型的扩展下提出并定价幸存者楼层。这些作者不认为长寿期权和长寿掉期的对冲效果是对冲工具。从年金提供者的角度来看，长寿风险模型可能导致（随机）高估或低估所有年金受益人的生存概率。

因此，长寿风险也被称为系统性死亡风险。据估计，2012年，13个最大的主要养老金市场的养老金资产已达到近300万亿（2013年全球养老金资产研究，Towers Watson）。特别令人感兴趣的是2004年欧洲投资银行（EIB）试图发行欧洲投资银行长寿债券，该债券由法国巴黎银行（BNP Paribas）承销。正如Blake等人（2006a）所述，该债券未受到投资者的欢迎，由于其不足，无法产生足够的发行需求。尽管已经考虑了动态对冲，但由于LongevityRick缺乏流动性市场，静态对冲仍然是年金提供商唯一现实的选择。凯恩斯（2011）考虑了SQ远期和离散时间增量对冲策略，并将其与统计ic对冲进行了比较。由于动态套期保值策略需要在模拟中进行模拟，因此在评估套期保值有效性时，缺乏q-远期及其衍生产品定价的分析公式（称为“希腊人”）可能是一个重大问题。Luciano等人（2012年）也强调了可处理模型的重要性，他们还考虑了寿命和利率风险的动态对冲。Hari et al.（2008）应用广义双因素Lee-Carter模型研究长期evity风险对养老金偿付能力的影响。本文提供了长寿衍生品的定价分析，以及它们的对冲效果。我们考虑静态对冲。选择寿命掉期和上限作为线性和非线性产品，比较和评估基于指数的资本市场产品管理的长期风险管理。本分析使用的模型是死亡率的连续时间模型，具有基于年龄的漂移和波动性，允许使用易于处理的定价和对冲分析公式。

该分析基于一个假设的终身年金投资组合，该投资组合存在长寿风险。本文根据一系列不同的基本假设，考虑使用长寿互换和长寿上限，分别使用S远期和长寿上限，对长寿风险进行套期保值，这些假设包括长寿风险的市场价格、套期保值工具的到期期限以及基本年金投资组合的规模。本文的组织结构如下。第2节详细介绍了双因素高斯死亡率模型，其参数使用澳大利亚男性死亡率数据进行估计。第3节从定价角度分析了longevity衍生品，尤其是长寿掉期和上限。在提出的双因素Ga-ussian死亡率模型下导出了显式的Pricingformula。第4节研究了长寿掉期的各种套期保值特征和套期保值效果，以及暴露于长寿风险的假设终身年金保单的上限。第5节总结了结果，并给出了总结性意见。2.死亡率模型(Ohm, 英尺=Gt∨ Ht，P）是一个过滤概率空间，其中P是真实世界的概率度量。亚过滤GT包含关于死亡强度动态的信息，而Ht捕捉个体的死亡时间。假设利率r是常数，其中B（0，t）=e-r t表示t年期零息票债券的价格，我们的重点是随机死亡率的建模。2.1模型规格为了财务风险管理应用，需要可处理的随机死亡率模型，并且能够很好地捕捉不同年龄段的死亡率动态。

我们在有效死亡率强度框架下工作，假设死亡率强度为高斯分布，这样就可以导出寿命选项的分析价格，如第3节所述。Bauer等人（2010年）和Blackburn and Sherris（2013年）在前瞻性死亡率框架内考虑了高斯死亡率模型。Luciano和Vigna（2008）提出高斯死亡率，其强度遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。此外，Jevtic等人（2013年）考虑了一个连续时间队列模型，其中潜在的死亡动力学是Ga-ussian。我们考虑了一个双因素高斯死亡率模型，用于年龄为x的队列在t=0时的死亡率强度过程ux+t（t）：dux（t）=dY（t）+dY（t），（2.1），其中dY（t）=αY（t）dt+σdW（t）（2.2）dY（t）=（αx+β）Y（t）dt+σeγxdW（t）（2.3）和dWdW=ρdt。第一个因子Y（t）是所有年龄段普遍存在的强度过程的总趋势。第二个fa cto r Y（t）取决于漂移项和波动项的初始年龄。因子的初始值Y（0）和Y（0）分别用yand和yx表示。该模型易于处理，并且对于参数的特定选择（当α=γ=0时），已在Br igo和Mercurio（2007）中应用于短期利率建模。命题2.1在双因素高斯死亡率模型（等式（2.1）-（2.3））下-t） 年龄为x+t的受试者在时间t的年预期生存概率，以过滤Ft为条件，由x+t（t，t）def=EPt给出E-RTtux（v）dv= eΓ（t，t）-Θ（t，t），（2.4）式中，使用α=αx+β和σ=σeγx，Θ（t，t）=（eα（t-（t）- 1） αY（t）+（eα（t-（t）- 1） αY（t）和d（2.5）Γ（t，t）=Xk=1σkαkT- T-αkeαk（T-t） +2αke2αk（t-t） +2αk+2ρσσαT- T-eα（T-（t）- 1α-eα（T-（t）- 1α+e（α+α）（T-（t）- 1α+ α!.

（2.6）是积分tux（v）dv的均值和方差，分别为高斯分布。我们将利用积分RTTux（v）dv是高斯分布且具有已知均值和方差的事实，在第3节推导长寿期权的分析定价公式。证据解方程（2.2）t，得到Y（t）的n积分形式，我们有ZTtY（u）du=ZTtY（t）eα（u-t） du+ZTtσZuteα（u-v） 杜先生。（2.7）式（2.7）中的第一项可以简化为ztty（t）eα（u-t） 杜=eα（T-（t）- 1.αY（t）。为了简单起见，我们将ux+t（t）替换为ux（t）。事实上，我们可以用公式（2.3）中的x+t代替x。使用x+t将考虑到经验观察，即死亡率的波动性随着x+t年龄的增加而增加（图1和图2）。然而，对于高斯过程，当第二个因子（σeγ（x+t））的波动性变得非常高时，强度达到负值的概率将不可忽略，例如当x+t>100（给定γ>0）时。使用x而不是x+t也将使第3节中的结果易于理解。基于这些原因，我们假设第二个因子Y（t）仅取决于初始年龄x。对于第二项，我们有σZTteαuZute-αvdW（v）du=σZTtZute-αvdW（v）duαeαu=σαZTtdueαuZute-αvdW（v）-σαZTteαudu祖特-αvdW（v）=σαeαTZTte-αudW（u）-σαZTteαue-αudW（u）=σαZTteα（T-u）- 1 dW（u），其中部分随机积分应用于第二等式。为了获得Y（t）的积分表示，我们遵循与上述相同的步骤，用等式（2.7）中的Y（t）替换Y（t）。然后很容易注意到，tZTtux（u）du=ZTtY（u）+Y（u）du（2.8）是一个具有均值Θ（t，t）（等式（2.5））和方差Γ（t，t）（等式（2.6））的高斯随机变量。方程（2.4）通过应用高斯随机变量的矩母函数得到。

2.2参数估计离散化过程中，假设每个整数年龄和日历年的强度不变，用中心死亡率m（x，t）近似（Wills和Sherris（20 11））。图1显示了t=1970年、1971年……澳大利亚男性中心死亡率m（x，t），2008年，年龄x=60,61，95.图2显示了中心死亡率的差异m（x，t）=m（x+1，t+1）- m（x，t）。数据的可变性m（x，t）随着ag-ex的增加而明显增加，这导致了γ>0的预期。此外，与过去相比，对于固定年龄的x，近年来中心死亡率略有改善。1970198019902000020106070809010000.10.20.30.4岁（t）年龄（x）m（x，t）图1。澳大利亚男性中心死亡率m（x，t），其中t=1970，1971，2008年，x=60,61，95.确定强度过程波动性的参数{σ，σ，γ，ρ}如下所述。正如Jevtic等人（2013）所述，我们的目标是使用19701980199020000201060708090100方法估算参数-0.1-0.0500.050.10.15岁（t）年龄（x） m（x，t）图2。中心死亡率的差异m（x，t）=m（x+1，t+1）- m（x，t），其中t=1970、1971、2007和x=60、61、94。因此，将模型校准到死亡率面。然而，我们利用了高斯模型的优势，该模型的方差可以被明确计算，因此，我们通过将模型的方差与死亡率数据a相匹配来捕获过程的差异部分。具体而言，实施的程序如下所述：（1）使用x=60、65、，90我们评估了m（x，t）随时间变化，用Var表示(mx）。（2） 方差Var模型(x年龄的ux）由Var给出(ux）=Var（σ）W+σeγxW）=σ+2σσρeγx+σe2γxT

（2.9）由于死亡率之间的差异是按年度计算的，我们设定t=1。（3） 然后通过拟合模型方差Var来估计参数{σ、σ、γ、ρ}(ux）至样本方差Var(对于年龄x=60,65，90使用最小二乘估计，即通过最小化XX=60,65。。。（Var）(ux |σ，σ，γ，ρ）- 变量(mx））（2.10），并考虑参数{σ，σ，γ，ρ}。剩下的参数{α，α，β，y，y，y}如下所述进行估计：（1）根据中心死亡率，我们获得了2008年65岁和75岁cohor t s的经验生存曲线。通过设置^Sx（0，T）=TYv=1（1）获得存活曲线- m（x+v）-1,0））（2.11）我们同时校准了65岁和75岁的模型，以获得α和β的合理值，因为第二个因子Y（t）的漂移与年龄有关。其中m（x，t）是时间t时x岁儿童的中心死亡率。（2）然后通过使用最小二乘估计将模型t的生存曲线（Sx（0，t））拟合到经验生存曲线，即通过最小化xx=65,75TxXj=1，来估计参数{α，α，β，y，y}^Sx（0，j）-Sx（0，j）（2.12）其中T=31和T=21，关于参数{α，α，β，y，y，y}。表1中报告了估计参数。由于γ>0，我们观察到，对于年龄x的老年人（初始年龄l），过程的波动性更高。表1估计的模型参数。σσγρα0.0022465 0.0000002 0.129832-0.795875 0.0017508αβyyy0。0000615 0.120931 0.0021277 0.0084923 0.02946950 5 10 15 20 25 30 3500.511.522.533.54tux年龄x=65 0 5 10 15 20 25 30 3500.511.522.533.54tux年龄x=75 0 5 10 15 20 25 3500.20.40.60.81TSurvival概率sx（0，t）年龄x=65 0 5 10 15 20 25 30 3500.20.40.60.81TSurvival概率sx（0，t）年龄x=75。25%。百分之五十。第75个百分点。第95个百分点。第五个百分点。25%。百分之五十。第75个百分点。第95个百分点。99%CIMean99%CIMeanFig。3.