管理终身年金中的系统性死亡风险：应用

由于承诺现金流取决于养老金受益人在portfo lio的死亡时间，因此负债的现值受死亡强度随机动态造成的随机性影响。每个投保人的负债现值由Lk表示，由投保人的死亡时间τk确定，并由K给出=τk对于模拟τk，XT=1B（0，T）（4.3），且Q 表示实数q的下一个较小整数。整个投资组合的负债L的现值为单个负债的总和：L=nXk=1Lk。（4.4）附录a总结了模拟年金受益人死亡时间的算法，该算法要求队列死亡强度的单一模拟路径。未对冲年金投资组合的贴现盈余分布（Dno）通过设置Dno=a获得-L.（4.5）长寿风险的影响通过模拟贴现盈余分布来捕捉，其中每个样本由cohor t的实际死亡率强度确定。由于传统的终身年金定价和风险管理依赖于分散效应或大数定律，我们考虑每个保单的贴现盈余分布。无（4.6）。图6显示了每个保单的贴现盈余分布，无长寿风险（即当设定σ=σ=0时），不同的投资组合规模，从n=2000到8000不等。正如预期的那样，由于pricingalgorithm中没有假设负荷，分布的平均值集中在零附近，而标准偏差随着保单数量的增加而减小。在下文中，我们将长寿互换和上限视为对冲工具。这些是基于指数的工具，其收益取决于幸存者指数或已实现的生存概率（等式（3.11）），后者又由已实现的死亡率强度决定。

我们不考虑基差风险，但由于投资组合规模有限，幸存者的实际比例-Ntn，其中Ntn表示队列在[0，t]期间经历的死亡人数，通常与幸存者指数相似，但不完全相同（附录a）。因此，静态对冲将能够降低系统性死亡风险，而特殊的morta lityrisk成分将由年金提供商保留。4.1.1 S wap对冲年金投资组合或以指数为基础的长寿掉期对冲的年金投资组合，从swapn支付E-RTux（v）dv- K（T）（4.7）如果存在基差风险，我们需要区分年金组合下人群的死亡率强度（uIx）和队列的死亡率强度（ux），见Bi ffis等人（2014年）。-0.50 0.50123456789美元密度贴现盈余分配每保单n=2000n=4000n=6000n=8000Fig。6.不同投资组合规模（n）下无长寿风险的保单贴现盈余分布。时间T∈ {1，…，^T}取决于实现的死亡率强度，其中^T表示寿命互换的成熟度。保单持有人的数量n作为互换合同的名义金额，因此数量n exp{-RTux（v）dv}代表在时间T时实现的死亡率强度所暗示的存活人数。我们将互换的执行与风险调整后的生存概率相结合，即K（T）=Sx（0，T）=EQE-RTux（v）dv（4.8）在t=0时，掉期价格为零，见第3.2节。掉期对冲年金投资组合的贴现盈余分配可以表示为DSWAP=a- L+Fswap（4.9），其中Fswap=n^TXT=1B（0，T）E-RTux（v）dv-~Sx（0，T）（4.10）是长寿掉期多头头寸的（随机）贴现现金流。

掉期对冲年金端口对账单的每保单贴现盈余分配由DSWAP/n.4.1.2上限对冲年金端口对账单或基于指数的寿命上限对冲年金端口对账单的现金流量最大值确定E-RTux（v）dv- K（T）, 0（4.11）在T∈ {1，…，^T}是长寿上限中多头头寸的付款。我们设定k（T）=Sx（0，T）=EPE-RTux（v）dv（4.12）这样，寿命上限的罢工是给定F的“最佳估计”生存概率。上限对冲年金投资组合的贴现盈余分布由DCAP=a给出-L+Fcap- Ccap（4.13），其中fcap=n^TXT=1B（0，T）maxE-RTux（v）dv- Sx（0，T）, 0（4.14）是持有寿命上限a ndCcap=n^TXT=1C的贴现现金流l （0；T，Sx（0，T））（4.15）是寿命上限的价格。Dcap/n.4.2结果给出了上限套期保值投资组合每保单的贴现盈余分布。套期保值结果通过汇总统计进行汇总，包括平均值、标准偏差（标准偏差）、偏度、风险价值（VaR）和未套期保值投资组合每保单贴现盈余分布的预期差额，掉期套期保值和上限套期保值投资组合。由于长寿上限的支付是非线性的，且上限对冲年金投资组合的分布是不对称的，因此包含了偏态。VaR定义为每个保单贴现盈余分配的Q分位数。ES定义为每个保单贴现盈余分配的预期损失，前提是损失等于或低于q分位数。我们假设q=0.01，因此VaR和ES的置信区间对应于99%。我们使用5000个模拟来获得贴现盈余的分布。

根据长寿风险（λ）、套期工具到期期限（^t）和投资组合规模（n）的市场风险（w.r.t.）的不同假设，对套期有效性进行了检验。基本情况的参数如表3所示。表3基本情况下的参数。λ^T（年）n8。5 30 40004.2.1套期保值特征寿命风险的w.r.t.市场价格寿命风险的市场价格λ是决定长期衍生产品和人寿年金政策价格的因素之一。由于长寿互换、上限和终身年金的支付取决于同一人群的潜在死亡率强度，所有这些产品的价格都是相同的λ。图7和表4说明了改变λ对n未对冲、掉期对冲和上限对冲年金端口对账单分配的影响。长寿风险的程度可以通过分布的标准差、VaR和ES来量化。我们观察到，增加λ会导致分布向右移动，导致更高的平均盈余。另一方面，改变λ对分布的标准偏差和偏度没有影响。对于长寿掉期，风险调整后的生存概率被用作履约价格，因此长寿掉期的价格在开始时为零。相比之下，长寿上限的价格不是零，而Sx（0，T）是罢工最自然的选择。-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=0无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=4.5无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=8.5无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=12.5无树篱。7.长寿风险λ的市场价格对每份保单贴现盈余分配的影响。表4长寿保险wap和cap w.r.t的边缘特征长寿风险λ的市场价格。我是说性病患者。

偏度变为0。99ES0。99λ=0无对冲-0.0076 0.3592-0.2804-0.9202-1.1027互换对冲-0.0089 0.0718-0.1919-0.1840-0.2231互换对冲-0.0086 0.2054 1.0855-0.3193-0.3515λ=4.5无对冲0.1520 0.3592-0.2804-0.7606-0.9431互换对冲0。0048 0.0718-0.1919-0.1703-0.2094Cap-hedged0。0682 0.2054 1.0855-0.2425-0.2746λ=8.5无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲0.0204 0.0718-0.1919-0.1547-0.1938上限对冲0。1205 0.2054 1.0855-0.1903-0.2224λ=12.5无对冲0.4475 0.3592-0.2804-0.4650-0.6476Swap-hedged0。0398 0.0718-0.1919-0.1354-0.1744Cap-hedged 0.1619 0.2054 1.0855-0.1489-0.1810对于未对冲的年金投资组合，较高的λ会导致人寿年金政策的保费更高，因为年金价格由风险调整后的生存概率Sx（0，T）决定，见等式（4.1）。换句话说，年金价格的上涨补偿了提供者在出售人寿年金保单时承担的长期风险。风险溢价和可承受性之间也存在权衡。设定更高的保费显然会提高保险业务的风险和回报，但可能会降低潜在投保人的兴趣。Chigodaev等人（2014年）研究了隐含寿命和年金价格之间的经验关系。当使用寿命互换对冲人寿年金投资组合时，VaR和ES的标准差和绝对值会大幅降低。通过在人寿年金保单中收取更高的长寿风险市场价格而获得的更高回报是由互换合同中隐含支付的增加的价格决定的（自Sx（0，T）≥ 式（4.10）中的Sx（0，T）。结果表明，随着λ的增加，年金投资组合中获得的额外回报和寿命互换的高隐含成本几乎相互抵消。

净影响是，掉期套期保值投资组合在很大程度上仍然不受λ假设的影响，只会导致分布平均值略微增加。对于上限对冲年金投资组合，贴现盈余分布是正偏态的，因为当投保人的寿命短于预期时，上限寿命允许年金提供商获得上行潜力。与无对冲投资组合相比，VaR和ES的标准偏差和绝对值也会降低，但与掉期对冲投资组合相比，降低幅度较小。当λ增加时，我们观察到，上限对冲投资组合的分配平均值的增加快于掉期对冲投资组合，但慢于非对冲投资组合。注意到当年金受益人的生存概率被高估时，即当年金受益人的寿命比预期短时，持有长寿上限没有影响（除了在合同开始时支付长寿保护上限的价格），而持有长寿掉期时会出现现金流出，请参见EQ。（4.10）和等式（4.14）。在长寿风险文献中，VaR和ES ar e特别重要，因为在处理长寿风险敞口时，它们是决定资本储备的主要因素（Meyricke和Sherris（2014））。如表4所示，当λ增加时，掉期对冲和上限对冲组合在VaR和ES方面的差异变小。

事实上，对于λ≥ 17.5与长寿互换相比，长寿上限在降低年金投资组合的尾部风险方面更有效。这一结果表明，在长寿风险λ的市场需求价格较大时，长寿上限可以比长期掉期更有效地降低VaR和ES，从而能够捕捉上行潜力。4.2.2期限到到期的套期保值特征表5长寿掉期和上限期限到到期的套期保值特征。平均标准偏差偏差变量0。99ES0。99^T=10年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲0.2820 0.2911-0.3871-0.5707-0.7490上限对冲0。2893 0.2989-0.2661-0.5801-0.7592^T=20年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲。1740.1794-0.7507-0.3656-0.5061Cap-hedged 0.2234 0.2310.2006-0.3870-0.5259^T=30年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973互换对冲0.0204 0.0718-0.1919-0.1547-0.1938Cap-hedged0。1205 0.2054 1.0855-0.1903-0.2224^T=40年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲-0.0091 0.0668 0.0277-0.1616-0.1869上限对冲0.0984 0.1999 1.1527-0.1909-0.2131表5和图8总结了对冲工具到期期限的对冲结果。

由于合同的长期性质，套期保值对^t无效≤ 10年后，标准差仅减少17左右- 两种仪器均为19%。图3左下角的面板显示，对于65岁的队列，最初几年的实际生存概率几乎没有随机性，因此套期保值被赋予λ=17.5，掉期套期保值投资组合的VaR和ES为-0.1051和-分别为0.1441。对于一个上限对冲的投资组合，它们变成了-0.1038和-分别为0.1360。-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=10年无套期保值-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=20年无套期保值-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=30年无套期保值-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=40年无套期保值。8.套期保值工具的到期期限对贴现的保单超额收益分配的影响。^T较短时的标志。两种工具的^T=30和^T=40之间的套期保值效果差异也很显著。事实上，年金投资组合的长期evity风险在30年后变得很小，因为大多数年金受益人在达到95岁之前已经去世。在我们的模型设置中，65岁的老人活到95岁的几率约为6%（图4中λ=0），因此，30年后只有大约400 0×6%=240项政策仍然有效。

剩下的大部分风险归因于特殊的死亡风险，而使用基于指数的工具对冲小型投资组合的寿命风险的用途有限。对于掉期对冲投资组合，当^T>20年时，标准差显著降低。另一方面，平均盈余下降到几乎为零，因为随着交易量的增加，参与形成掉期的S-远期数量增加，这意味着对冲的成本更高。对于长期资本上限，观察到类似的套期保值特征，与^T相对应。然而，随着^T的增加，上限对冲投资组合的分布偏度增加。可以通过注意到，尽管寿命上限能够捕获上升潜力，无论^T如何，但当^T更大时，它提供了更好的寿命风险保护。因此，当^T增加时，acap套期保值portf olio的分布变得更加不对称。4.2.3套期保值特征w.r.t.投资组合规模表6和图9展示了长寿掉期和投资组合规模变化为n的上限的套期保值特征。我们观察到，当投资组合规模增加时，标准差、VaR和es（非绝对项）都会下降。与未对冲的portfo lio相比-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=2000无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=4000无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=6000无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=8000无树篱。9.投资组合规模n对每份保单贴现盈余分配的影响。表6不同投资组合规模（n）的长寿掉期和资本增值税的套期保值特征。我是说性病患者。

偏度变为0。99ES0。99n=2000无对冲0.2973 0.3646-0.2662-0.6360-0.8107掉期对冲0.0200.0990-0.1615-0.2120-0.2653Cap-hedged0。1200 0.2160 0.9220-0.2432-0.2944n=4000无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973互换对冲0.0204 0.0718-0.1919-0.1547-0.1938上限对冲0。1205 0.2054 1.0855-0.1903-0.2224n=60000无对冲0.2977 0.3566-0.2786-0.6363-0.8001Swap-hedged 0.0204 0.0594-0.3346-0.1259-0.1660Cap-hedged0。1204 0.2016 1.1519-0.1639-0.2051n=8000无对冲0.2982 0.3554-0.2920-0.6060-0.7876掉期对冲0.0209 0.0536-0.5056-0.1190-0.1595Cap对冲0。1209 0.1992 1.1616-0.1598-0.1991在标准差和风险度量中，掉期对冲投资组合比上限对冲投资组合更大。回想一下，当nis较小时，特异性死亡风险变得显著。我们通过引入寿命风险降低的度量R来量化投资组合规模对套期保值有效性的影响，定义为贴现盈余政策的方差，即R=1-Var（`D*)Var（\'D），（4.16），其中Va r（\'D*) Var（`D）分别代表对冲年金投资组合和非对冲年金投资组合的贴现盈余分配的方差。结果见表7。表7寿命互换和cap w.R.t.d不同投资组合的寿命风险降低R（n）。n 2000 4000 6000 8000Rswap92。6%96.0%97.2%97.7%Rcap64。9%67.3%68.0%68.6%Li和Hardy（2011）考虑使用q-远期组合对冲长寿风险，并发现投资组合规模为10000和3000时，长寿风险分别降低7.6%和69.6%。与Li and Hardy（2011）相反，我们不考虑基差风险，将longevityswap用作对冲工具的结果会导致更大的风险降低。