对价格和波动性的壁垒式索赔的强劲复制

（5.7）转向z→ 0行为，考虑case u=u+；u=u的证明-这是相似的。我们有ψkiL（XT；0，0）- ψkiL（XT；0，iz）≤ 1{XT<L}eXT-L1.- E-iu（0，iz）（XT）-L）+ 1{XT≤L}1.- eiu（0，iz）（XT）-L）= 1{τL≤T}{XT<L}eXT-L1.- E-iu（0，iz）（XT）-Xτ*L）+ 1{XT≤L}1.- eiu（0，iz）（XT）-Xτ*L）≤ 1{τL≤T}1.- E-iu（0，iz）（XT）-Xτ*L）+ 1{τL≤T}1.- eiu（0，iz）（XT）-Xτ*L）. （5.8）使用u（0，0）=0以及1{τL>T}{XT≤五十} =0和1{XT<L}eXT-L≤ 1.对于足够小的z，我们有（0，iz）=1/2-p1/4- 2z∈ R.因此E1{τL≤T}1.- E-iu（0，iz）（XT）-Xτ*L）≤ E1{τL≤T}1.- E-iu（0，iz）（XT）-Xτ*L）= E1{τL≤T}Eτ*L1.- 2e-iu（0，iz）（XT）-Xτ*五十） +e-2iu（0，iz）（XT）-Xτ*L）= E1{τL≤T}Eτ*L1.- 2e-a（z）（hXiT）-hXiτ*五十） +e-b（z）（hXiT）-hXiτ*L）,a（z）=-+√1.- 8z+2z，b（z）=-+√1.- 8z+8z，使用iu（0，ia（z））=-iu（0，iz）和iu（0，ib（z））=-2iu（0，iz）。现在定义f（d）：=E1{τL≤T}e-d（hXiT）-hXiτ*五十） 。函数f由（2.1）解析。因此E1{τL≤T}1.- E-iu（0，iz）（XT）-Xτ*L）≤ f（0）- 2f（a（z））+f（b（z））=f（0）- 2f（a（0））+f（b（0））+- 2f′（a（0））a′（0）+f′（b（0））b′（0）z+O（z）=O（z），（5.9），因为a（0）=b（0）=0和-2a′（0）+b′（0）=0。类似的计算显示E1{τL≤T}1.- eiu（0，iz）（XT）-Xτ*L）= O（z）。（5.10）结合（5.8），（5.9）和（5.10），我们有ψkiL（XT；0，0）- ψkiL（XT；0，iz）= O（z）作为z→ 0.（5.11）从（5.7）和（5.11）中，我们得到了（1）- r） Z∞zr+1EψkiL（XT；0，0）- ψkiL（XT；0，iz）dz<∞,这验证了富比尼的情况。提案5.4（比例索赔）。对于任意r，ε>0和p∈ 我们有{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） eip（XT）-Xτ*五十） （hXiT）- hXiτ*L+ε）r！=例如（XT），其中函数g由g（x）=rΓ（r）Z给出∞(-我p） ψkiL（x；p，iz1/r）e-z1/rεdz。（5.12）这里，Γ是Euler-Gamma函数，ψkiL（x；ω，s）如（5.3）所定义。证据在（Carr and Lee，2008，命题7.2）的基础上，我们从（Schürger，2002，等式（1.0.1））得到了Vr=rΓ（r）Z∞E-z1/rvdz，r>0。

（5.13）从whichE{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） eip（XT）-Xτ*五十） （hXiT）- hXiτ*L+ε）r=rΓ（r）Z∞E1{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） eip（XT）-Xτ*L）-z1/r（hXiT）-hXiτ*L+ε）dz（by（5.13）和Fubini）=rΓ（r）Z∞(-我p） E1{τL≤T}eip（XT-Xτ*L）-z1/r（hXiT）-hXiτ*L+ε）dz（由莱布尼茨）=rΓ（r）Z∞(-我p） EψkiL（XT；p，iz1/r）E-z1/rεdz（根据定理5.1）=Eg（XT）。（Leibniz，（5.12）和Fubini）Fubini的首次使用被证明是：∈ C和z≥ 0，我们有{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） eip（XT）-Xτ*L）-z1/r（hXiT）-hXiτ*L）≤ E{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） eip（XT）-Xτ*L）< ∞,从哪来的∞E{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） eip（XT）-Xτ*L）-z1/r（hXiT）-hXiτ*L+ε）dz<∞.莱布尼茨规则的两种用法是（3.7）。Fubini的第二个用途如下。到（5.3），- 我pψkiL（XT；p，iz1/r）=- 1{XT<L}e（XT-L）-iu（p，iz1/r）（XT）-五十） +1{XT≤五十} eiu（p，iz1/r）（XT）-L）pu（p，iz1/r）（XT）- 五十） 。其中，从（3.1）开始，pu±（p，iz1/r）=±（1- 2ip）p1- 4p（p+i）- 8z1/r.（5.14）作为iu（p，iz1/r）→ 1/2和pu（p，iz1/r）→ 0作为z→ ∞, 就这样- 我pψkiL（XT；p，iz1/r）= O（1），作为z→ ∞.特雷弗雷斯∞E(-我p） ψkiL（XT；p，iz1/r）E-z1/rεdz<∞, （5.15）如果（5.15）的被积函数中由于（5.14）中的分母而可能出现的奇点不会导致积分爆炸∈ 我们有∞E-εz1/r√A.- z1/rdz=Z∞rxr-1e-εx√A.- 十、dx<∞,因此，第二次使用富比尼是合理的。图3描绘了欧洲债权（5.5）和（5.12），其预期价格分别为单一基础资产敲入波动率掉期：1{τL≤T}qhXiT- hXiτ*五十、 （5.16）单个Barrier敲入实现的夏普e比率：1{τL≤T}XT- Xτ*LqhXiT- hXiτ*L+ε。（5.17）6单障碍返利索赔本节考虑单障碍返利索赔，支付形式为单障碍返利：1{τH≤T}~n（hXiτ）*H） ，在时间τ支付*H.定义v±：C→ C byv±（s）：=i-±q- 2is.

（6.1）与u±（ω，s）一样，当它不会引起混淆时，我们将省略v±（s）中的下标±和参数s。下面的交易策略复制了一个单一的资产回扣幂指数索赔。定理6.1（单障碍回扣幂指数索赔的复制）。修正∈ C\\{-i/8}，m∈{0} ∪ N和H∈ R.定义ψrbH（XT，hXiT）≡ ψrbH（XT，hXiT；s）=eiv（XT-H） +ishXiT，（6.2）其中v≡ v（s）在（6.1）中定义。然后，下面的交易策略复制了一个单一的障碍再融资指数主张，即支付{τH≤T}hXimτ*黑希τ*H、 时间τ*H.在时间0时，持有一项欧式索赔，并支付(-我s） mψrbH（XT，hXiT；s）并出售一个单一障碍物淘汰索赔，赔付为1{τH>T}(-我s） mψrbH（XT，hXiT；s）。如果且当X达到H级时，淘汰申请将变得毫无价值；出售hXimτ的欧式索赔*黑希τ*H.证据。如果τH>T，则返利索赔到期无效。同样地，如果τH>T，欧式索赔中的多头头寸是值得的(-我s） mψrbH（XT，hXiT；s），而单障碍淘汰索赔中的空头头寸支付-(-我s） mψrbH（XT，hXiT；s），净支出为零。如果τH≤ T，在时间τ时，淘汰索赔可能毫无价值*H.因此，仍需证明欧式索赔的价值等于时间τ时退税索赔的支付*我们有{τH≤T}Eτ*H(-我s） mψrbH（XT，hXiT；s）=1{τH≤T}(-我s） 我-ivHEτ*HeivXT+ishXiT（由（6.2）和莱布尼兹）=1{τH≤T}(-我s） 我-ivHeivXτ*H+ishXiτ*H（Mt:=eivXt+ishXit=EtMTis鞅）=1{τH≤T}(-我s） 梅西τ*H（1{τH）≤T}（Xτ）*H- H） =0=1{τH≤T}hXimτ*黑希τ*H、 其中莱布尼兹积分规则的使用由（3.7）调整。提案6.2（单一壁垒回扣的价格指数索赔）。假设XT的分布没有点质量（有效条件是RTσtdt>ε>0）。

那么对于任何L<X，k∈ {0} ∪ Nand s∈ C\\{-i/8}，我们有1{τL≤T}hXikτ*雷什西τ*L=limn→∞Egn（XT）+hn（XT）, （6.3）其中函数Gn和Hna由Gn（XT）=ZR给出(-我s） kbHn（南）- ω） e-iωL+i（ω-u（ω，s）X+iu（ω，s）XTdωr，hn（XT）=ZR(-我s） kbHn(-我- 五(s)- ω） e-iωL+i（ω-u（ω，s）X+iu（ω，s）XTdωr，bhnas定义在（4.6）中。这里，选择GNI中的积分轮廓，以便2n+Im v（s）>ωi>Im v（s）和2is-ω-iω+6=0，Hn中的积分轮廓选择为2n-1.-imv（s）>ωi>-1.- Im v（s）和2is- ω- iω+6=0。证据在命题4.3的证明中，设H（x）：=（1+sgnx）表示Heaviside函数，letHn（x）：=（1+tanh nx）。然后是1{τL≤T}hXikτ*雷什西τ*L=(-我s） kE1{τL≤T}eishXiτ*L=(-我s） 柯ψrbL（XT，hXiT；s）- 1{τL>T}ψrbL（XT，hXiT；s）= (-我s） 柯ψrbL（XT，hXiT；s）- 1{XT>L}ψrbL（XT，hXiT；s）+1{XT<L}eXT-LψrbL（2L）- XT，hXiT；（s）= (-我s） 柯{XT≤五十} ψrbL（XT，hXiT；s）+1{XT<L}eXT-LψrbL（2L）- XT，hXiT；（s）= E{XT≤L}(-我s） kψrbL（XT，hXiT；s）+1{XT<L}eXT-L(-我s） kψrbL（2L）- XT，hXiT；（s）= 伊林→∞Hn（L）- XT）(-我s） kψrbL（XT，hXiT；s）+eXT-LψrbL（2L）- XT，hXiT；（s）= 画→∞(-我s） 基恩（L）- XT）ψrbL（XT，hXiT；s）+eXT-LψrbL（2L）- XT，hXiT；（s）, （6.4）第二个等式来自定理6。1，第三个等式源自定理4.1，第四个等式源自代数，第九个等式源自这样一个事实：XT的分布没有点质量（通过假设），并且极限、导数和期望的各种交换是由Lebesgue的主导收敛和Leibniz积分规则允许的。

用ψrbLand的表达式（6.2）可以得出f[Hn]=bhnw(-我s） 基恩（L）- XT）ψrbL（XT，hXiT；s）=(-我s） 克兹尔布恩（南）- ω） e-iωLeiωXT+ishXiTdωr（2n+imv（s）>ωi>imv（s））=(-我s） （KZRV）- ω） e-iωLEeiωXT+ishXiTdωr（Fubini）=(-我s） kZRbHn（南）- ω） e-iωL+i（ω-u（ω，s）XEeiu（ω，s）XTdωr（by（3.2））=(-我s） 克兹尔布恩（南）- ω） e-iωL+i（ω-u（ω，s）X+iu（ω，s）XTdωr（Fubini）=Egn（XT），（6.5），其中Fubini定理的两个应用和leibniz积分规则的使用由|ωr|→ ∞ 行为：|ksbHn（南）- ω） |=O（e）-|ωr |/n）和e-iωLeiωXT+ishXiT |=O（1），E|kse-iωL+i（ω-u（ω，s）X+iu（ω，s）XT |=O（1），并通过选择积分轮廓来避免被积函数中的任何奇点。同样地(-我s） 基恩（XT）- 五十） 分机-LψrbL（2L）- XT，hXiT；s） =Ehn（XT）。（6.6）结果（6.3）来自（6.4）、（6.5）和（6.6）。备注6.3。为单屏障回扣定价幂指数索赔1{τU≤T}hXikτ*ueishiτ*U使用上载波U>X，对命题6进行以下更改。2:替换→ U、 波黑（南）- ω) →bH（ω）-五（s）），伯克希尔哈撒韦(-我- 五(s)- ω) →bH（ω+i+v（s））并反映实轴上的积分轮廓：ωi→ -ωi.在图4中，对于x和H的各种值，我们绘制了其期望值在极限asn内的payoff（6.3）→ ∞, 为支付1{τH的单障碍回扣方差掉期定价≤T}hXiτ*H.7总结和未来研究假设风险资产的价格S=eXis严格正且连续，且受独立的波动率过程σ驱动，我们展示了如何对基于对数收益X和对数收益hXi的二次变化的各种障碍式索赔进行定价和对冲。特别是，我们研究了单屏障和双屏障敲入、敲出和回扣索赔。

我们得到的定价公式是半稳健的，因为它们没有指定σ的动态，σ可能是非马尔可夫的，并且可能包含跳跃。未来的研究将集中在三个领域：（i）削弱对数收益率和波动性的独立性假设；（ii）只有在离散的行权或有限的时间间隔内才能进行看涨期权和看跌期权的定价和对冲；（iii）考虑更丰富的支付结构，这可能取决于资产的运行最大值或最小值，以及日志回报和日志回报的二次变量。参考Andreasen，J.（2001）。在镜子后面。危险贝茨，D.（1988）。崩溃溢价：不对称过程下的期权定价，应用于德国马克期货期权。工作文件，宾夕法尼亚大学。贝茨博士（1997）。偏态溢价：不对称过程下的期权定价。未来与选择研究进展9，51-82。鲍伊，J.和P.卡尔（1994,8）。静态简单性。危险Breeden，D.T.和R.H.Litzenberger（1978年）。期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》51（4），621-651。卡尔，P.，K.埃利斯和V.古普塔（1998年）。奇异期权的静态对冲。《金融杂志》53（3），1165–1190。卡尔，P.和R.李（2008）。波动性衍生品的强劲复制。在PRMIA最佳论文奖颁奖典礼上，MFA 2008年年度会议。卡尔，P.和R.李（2009）。Put调用对称：扩展和应用。数学金融19（4），523-560。卡尔，P.和D.马丹（1998年）。走向波动性交易理论。波动性：衍生品定价的新估计技术，417。赫尔，J.和A.怀特（1987年）。随机波动资产的期权定价。《金融期刊》42（2），281-300。Leung，T.和M.Lorig（2016）。最优静态二次套期保值。定量金融16（9），1341-1355。默顿，R.（1973）。

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两个图中的垂直线位于敲入杆rier eL=90处。图4：我们绘制了由（6.3）（另见备注6.3）给出的支付函数gn（log·）+hn（log·），其期望值在极限为n→ ∞, 价格一个单一的障碍回扣权力指数级。左：分别对应于eX={1001001.251001.50}的so盖、虚线和虚线c，以及其他固定参数：eL=90、s=0、k=1、n=25。垂直虚线位于屏障eL=90处。右图：分别对应于eX={80，802/3，801/3}的实线，虚线和虚线c，其他参数是固定的：eU=9 0，s=0，k=1，n=25。垂直虚线位于屏障eU=9 0处。注意，选择（k，s）后，上面绘制的欧洲支付预期的价格在极限asn内→ ∞, 单一障碍回扣风险互换，所有这些都有1{τH的回报≤T}hXiτ*H