对价格和波动性的壁垒式索赔的强劲复制

由于∏，Q和S是鞅，因此A是局部鞅。此外，s的样本路径是连续的，N的样本路径也是连续的，因此A的样本路径也是连续的。作为有限变量，连续局部鞅A必须是常数。因此，dAt=0，d∏t=NtdQt+i（ω）- u） NtQt-圣dSt=NtdQt+i（ω）- u） NtQt-圣dSt+- i（ω）- u） NtQt-dBt，（3.14）使用dBt=0。比较（3.11）和（3.14）确定了自我融资条件。推论3.5（复制欧洲欧佩恩风格的幂指数索赔）。修正ω，s，∈ C使得2是-ω-iω+6=0。对于任何n，m∈ {0}∪N设过程N（N，m）=（N（N，m）t）0≤T≤tandq（n，m）=（Q（n，m）t）0≤T≤由n（n，m）t给出≡ N（N，m）t（ω，s）：=(-我ω） n(-我s） mei（ω）-u） Xt+ishXit，（3.15）Q（n，m）t≡ Q（n，m）t（ω，s）：=Et(-我ω） n(-我s） 其中，（uxU）16≡ u（ω，s）如（3.1）所示。定义过程∏（n，m）=（n，m）t）0≤T≤Tby∏（n，m）t≡ π（n，m）t（ω，s）=nXj=0mXk=0新泽西州mkN（j，k）tQ（N）-j、 m-k） t+(-我ω） n(-我s） mi（ω）- u） NtQt-圣圣+- (-我ω） n(-我s） mi（ω）- u） NtQt-Bt，（3.17）那么∏（n，m）是自融资投资组合在（3.9）和满足∏（n，m）T=XnThXimTeiωXT+ishXiT意义上的价值。（3.18）证据。在整个证明过程中，莱布尼兹规则的所有用法都由（3.7）进行了调整。从（3.17）开始，随时∈ [0，T]我们有∏（n，m）T=nXj=0mXk=0新泽西州mkN（j，k）tQ（N）-j、 m-k） t=(-我ω） n(-我s） mNtQt（3.19），使用Bt=1，方程（3.15）和方程（3.16）。特别是在到期日T，我们有∏（n，m）T=(-我ω） n(-我s） mNTQT=(-我ω） n(-我s） mei（ω）-u） XT+IshExiteUxt=(-我ω） n(-我s） meiωXT+ishXiT=XnThXimTeiωXT+ishXiT，建立了（3.18）。为了证明∏（n，m）满足融资条件（3.9），观察etxnthxisteiωXT+ishXiT=(-我ω） n(-我s） mei（ω）-u） Xt+IshExiteUxt=(-我ω） n(-我s） mNtQt=∏（n，m）t。

（3.20）（3.20）的左边是一个通过迭代条件作用的鞅，so∏（n，m）也必须是一个鞅。对于任何j，k∈ {0}∪ N过程Q（j，k）也是一个鞅。接下来，通过（3.19），d∏（n，m）t=nXj=0mXk=0新泽西州mkN（k，j）tdQ（N-j、 m-k） t+Q（n）-j、 m-k） t-dN（j，k）t+d[N（j，k）t，Q（N-j、 m-k） t]t=nXj=0mXk=0新泽西州mkN（j，k）tdQ（N-j、 m-k） t+(-我ω） n(-我s） mi（ω）- u） NtQt-圣dSt+dA（n，m）t，其中A（n，m）=（A（n，m）t）0≤T≤这是有限的变化。由于任意j，k的∏（n，m），S和Q（j，k）都是鞅，因此A（n，m）是局部鞅。此外，由于S的采样路径是连续的，所以对于任何j，k，N（j，k）的采样路径也是连续的，因此a（N，m）的采样路径也是连续的。作为有限变量，连续局部鞅a（n，m）必须是常数。因此，dA（n，m）t=0和d∏（n，m）t=nXj=0mXk=0新泽西州mkN（j，k）tdQ（N-j、 m-k） t+(-我ω） n(-我s） mi（ω）- u） NtQt-圣dSt=nXj=0mXk=0新泽西州mkN（j，k）tdQ（N-j、 m-k） t+(-我ω） n(-我s） mi（ω）- u） NtQt-圣dSt+- (-我ω） n(-我s） mi（ω）- u） NtQt-dBt，（3.21）使用dBt=0。比较（3.17）和（3.21）确定了自我融资条件。例3.6（健全性检查：对冲方差互换）。

要复制支付hXiT的方差互换的浮动段，取（n，m）=（0,1）in（3.17），其产生∏（0,1）t=n（0,1）tQt+NtQ（0,1）t+St(su）NtQt-+ (ω - u）(sNt）Qt-+ (ω - u） 新界(sQt-)圣-(su）NtQt-+ (ω - u）(sNt）Qt-+ (ω - u） 新界(sQt-)特别是，对于u=u+和（ω，s）=（0，0），我们有u（0，0）=0，su（0,0）=-2.-我sNt（0，0）=2Xt+hXit，-我sQt（0,0）=-2etx和∏（0,1）t（0,0）=2Xt+hXit+ Et(-2XT）+StSt- 2Bt=-2Et（XT）- 十） +StSt+- 2+hXit+2Xt- 2XBt=-2EtlogSTS+StSt+- 2+ZtSrdSr英国电信（Bt）对方差互换的经典对冲策略进行了更新：持有-2份欧洲原木合同，在任何时候都以S为单位保存两个货币单位∈ [0，T]并在债券上用零co融资。3.2定价和复制前面提到的更一般的支付，Carr a and L e（2008）使用复杂指数索赔作为构建块，为各种其他更复杂的索赔构建价格和复制策略，包括支付的索赔-∞ < r<1（见（Carr a and L e，2008，命题7.1和7.2））。对于hXiTonly上的选项，这通常通过Laplace transfor ms完成。对于（XT，hXiT）上的选项，引入广义傅里叶变换F和逆变换F将很有帮助-1.对于任何函数f:R→ C和BF:C→ C如果存在以下积分，定义傅里叶变换：F[F]（ω）：=2πZRf（x）e-iωxdx，ω∈ C、 逆变换：F-1[bf]（x）：=ZRbf（ω）eiωxdωr，ωr=Re（ω），现在考虑一个欧式索赔，其支付形式为：ν（XT，hXiT）=f（XT）hxisteishxit，f:r→ C、 m∈ {0} ∪ N、 s∈ C

（3.22）如果f=f-1[bf]其中bf=F[F]，那么形式上，我们有eτ*ν（XT，hXiT）=Eτ*f（XT）hxisteishxit=Eτ*f（XT）(-我s） meishXiT=ZRbf（ω）(-我s） 我τ*eiωXT+ishXiTdωr（作为f=f-1[bf]）=ZRbf（ω）(-我s） mei（ω）-u（ω，s））Xτ* +ishXiτ*Eτ*eiu（ω，s）XTdωr，（由Theo rem3.1）=Eτ*g（XT，Xτ）*, hXiτ*), （3.23）g（XT，Xτ）*, hXiτ*) :=ZRbf（ω）(-我s） mei（ω）-u（ω，s））Xτ* +ishXiτ*eiu（ω，s）XTdωr.（3.24）假设Fubini和Leibniz积分规则的各种应用是正确的，等式（3.23）将形式为（3.22）的欧式分类的价值与形式为（3.24）的欧式索赔的价值联系起来。此外，当魟（XT，hXiT）=ZRbf（ω）hXimTeiωXT+ishXiTdωr时，可通过对幂指数索赔采用（连续）线性组合的复制策略获得魟（XT，hXiT），其支付形式为hXimTeiωXT+ishXiT。4针对任何H的排除索赔∈ 将H级的首次命中时间定义为τH:=inf{t≥ 0:Xt=H}，H∈ R、 在哪里 := ∞. 接下来，对于任何L，U∈ R当L<X<U时，将第一次击中L级或U级的时间定义为τL，U:=τL∧ τU，L<X<U。观察τHandτL，Uare F-停止时间，就像它们的T-有界对应物τ一样*手τ*五十、 U.4.1单障碍物淘汰索赔本节考虑单障碍物淘汰索赔，赔偿形式为单障碍物淘汰：1{τH>T}~n（XT，hXiT）。下面的策略复制了一个单屏障淘汰声明，其下屏障L<X。定理4.1（单屏障淘汰声明的复制）。修正L<X。以下交易策略复制了一个带payoff{τL>T}~n（XT，hXiT）的单一障碍淘汰声明。（4.1）在时间0时，持有一项欧洲风格的索赔，其赔付额为：1{XT>L}~n（XT，hXiT）- 1{XT<L}eXT-L k（2L）- XT，hXiT）。（4.2）如果且当索赔敲响ou t时，免费关闭аkoL（XT，hXiT）的头寸。证据

如果τL>T，那么XT>L，因此，敲出式索赔（4.1）和欧式索赔（4.2）都支付了а（XT，hXiT）。还有待证明的是，当τL≤ T，欧式索赔（4.2）的时间τL为零值。首先，我们从（Carr and Lee，2009，定义2.6）中注意到，S=存在几何对称性。因此，（Carr和Lee，2009，定理5.3）暗示Eτ*G（XT）=Eτ*提取-Xτ*G（2Xτ）*- XT）。（4.3）对于任何F-停止时间τ和G:R→ C.因此τ*G（XT，hXiT）=Eτ*E[G（XT，hXiT）|Fτ*∨ FσT]=Eτ*E[eXT-Xτ*G（2Xτ）*- XT，hXiT）| Fτ*∨ FσT]=Eτ*提取-Xτ*G（2Xτ）*- XT，hXiT），（4.4），其中第二个等式来自（4.3）和S=eX这一事实，以σ路径为条件，满足几何对称性。使用（4.4）和G（x，v）=1{x>L}~n（x，v），并回顾1{τL≤T}（Xτ）*L-五十） =0，我们有1{τL≤T}Eτ*L k koL（XT，hXiT）=0。备注4.2。对于向上势垒U>X的单一母材淘汰索赔1{τU>T}~n（XT，hXiT），复制策略是在时间0持有一个欧洲风格的索赔，赔付额为koU（XT，hXiT）：=1{XT<U}（XT，hXiT）- 1{XT>U}eXT-U~n（2U）- XT，hXiT），并在遇到障碍物U时免费清空头寸。提案4.3（单屏障淘汰功率指数索赔的价格）。假设Xt的分布没有点质量（一个有效条件是Rtσtdt>ε>0）。然后对于任何L<X，j，k∈ {0}∪南德p，s∈ C我们有e1{τL>T}XjThXikTeipXT+ishXiT=limn→∞Egn（XT）- hn（XT）, （4.5）其中函数Gn和Hna由Gn（XT）=ZR给出(-我p） j(-我s） kbHn（ω）- p） e-i（ω）-p） L+i（ω）-u（ω，s））Xeiu（ω，s）XTdωr，hn（XT）=ZR(-我p） j(-我s） kbHn(-我- ω - p） e-i（ω）-p） L+i（ω）-u（ω，s））Xeiu（ω，s）XTdωr，bHn（ω）=-i4ncschπω2n. （4.6）在这里，选择国民总收入的综合轮廓，以便-2n+pi<ωi<平面2is- ω-iω+6=0，选择Hn中的积分轮廓，以便-1.- π<ωi<2n- 1.- 计划2- ω- iω+6=0。证据

设H表示Heaviside函数，设Hn（n）∈ N） 表示H的光滑近似。具体来说，letH（x）：=（1+sgn x），Hn（x）：=（1+tanh nx）。注意→ H点态为n→ ∞. 现在，由于任何索赔的价格都等于其复制投资组合的价格，我们根据定理4得出。1 thatE1{τL>T}XjThXikTeipXT+ishXiT=E{XT>L}XjThXikTeipXT+ishXiT- 1{XT<L}（2L- XT）jhXikTeXT-L+ip（2L-XT）+ishXiT= 伊林→∞Hn（XT）- 五十） XjThXikTeipXT+ishXiT- Hn（L）- XT）（2L- XT）jhXikTeXT-L+ip（2L-XT+ishXiT= 画→∞EHn（XT）- 五十） XjThXikTeipXT+ishXiT- Hn（L）- XT）（2L- XT）jhXikTeXT-L+ip（2L-XT+ishXiT= 画→∞(-我p） j(-我s） 柯Hn（XT）- 五十） eipXT+ishXiT- Hn（L）- XT）eXT-L+ip（2L-XT+ishXiT, （4.7）如果第二个等式因缺少点质量e s而成立，第三个等式由勒贝格的支配收敛定理成立，最后一个等式由莱布尼茨积分规则得出。注意F[Hn]=bhn，其中bhn（ω）是为-2n<ωi<0，由此得出(-我p） j(-我s） 基恩（XT）- 五十） eipXT+ishXiT=(-我p） j(-我s） kEZRbHn（ω）- p） e-i（ω）-p） LeiωXT+ishXiTdωr(-2n+pi<ωi<pi）=(-我p） j(-我s） kZRbHn（ω）- p） e-i（ω）-p） LEeiωXT+ishXiTdωr（由Fubini提供）=(-我p） j(-我s） kZRbHn（ω）- p） ei（ω）-p） L+i（ω）-u（ω，s））xeiu（ω，s）XTdωr（by（3.2））=(-我p） j(-我s） kEZRbHn（ω）- p） ei（ω）-p） L+i（ω）-u（ω，s））Xeiu（ω，s）XTdωr（由Fubini）=Egn（XT），（由Leibniz）（4.8），其中Fubini两次和Leibniz规则的应用被证明为|jpbHn（ω）- p） |=O（e）-|ωr |/n）andE|太平绅士kse-i（ω）-p） L+iωXT+ishXiT |=O（1），E|太平绅士ksei（ω）-p） L+i（ω）-u（ω，s））X+iu（ω，s）XT |=O（1），as |ωr |→ ∞ 选择积分轮廓以避免被积函数中的任何奇点。同样地(-我p） j(-我s） 基恩（L）- XT）eXT-L+ip（2L-XT）+ishXiT=Ehn（XT）。（4.9）等式（4.5）来自（4.7）、（4.8）和（4.9）。备注4.4。

我们必须用limn替换Heaviside函数H的原因→∞命题4.3中的Hn是Heaviside函数的傅里叶变换bh（ω）=-i/（2πω）（ωi>0）不如|ωr|衰减得快→ ∞ 为了证明在（4.8）中第二次使用富比尼的合理性。备注4.5。方程式（4.5）的形式为ef[X]=limn→∞Egn（XT），其中F是X=（XT）0的函数≤T≤T.注意EF[X]是路径依赖索赔人的价格，Egn（XT）是欧洲（即路径独立）索赔人的价格。因此，我们说，在极限asn→ ∞, 预期的赔付为索赔F[X]定价。图1描绘了期望值为n的函数→ ∞, 为单一障碍淘汰方差掉期定价，支付1{τL>T}hXiT。4.2双重障碍物淘汰索赔本节考虑双重障碍物淘汰索赔，赔偿形式为双重障碍物淘汰索赔：1{τL，U>T}~n（XT，hXiT）。（4.10）以下定理给出了此类声明的复制策略。定理4.6（双屏障淘汰声明的复制）。假设L<X<U，设φ：（L，U）×R+→C有界。以下交易策略复制了Payoff（4.10）的双障碍淘汰声明。在时间0时，与Payoff~nkoL，U（XT，hXiT）持有欧洲风格的索赔：=∞Xn公司=-∞E-Nφ*（2n） + XT，hXiT）- 提取-L~n*（2n） + 2L- XT，hXiT）, (4.11)φ*（XT，hXiT）：=~n（XT，hXiT）1{L<XT<U}，其中 := U- L.如果索赔被驳回，请在不收取任何费用的情况下，清除аkoL，U（XT，hXiT）中的头寸。证据如果τL，U>T，那么L<XT<U，因此，淘汰索赔（4.10）和欧式索赔（4.11）都需要支付а（XT，hXiT）。还有待证明的是，如果τL，U≤ 欧洲风格的声明（4.11）在时间τL，U时为零值。再次回顾S=满足几何对称性，我们通过（Carr a and L e，2009，定理5.18）得出{τL，U≤T}Eτ*五十、 U~nkoL，U（XT，v）=0，适用于任何固定的v∈ R+。

因此{τL，U≤T}Eτ*五十、 U~nkoL，U（XT，hXiT）=1{τL，U≤T}Eτ*五十、 UE[~nkoL，U（XT，hXiT）|Fτ*五十、 U∨ FσT]=0，因为hXiT∈ Fσ和过程S=eX，以σ路径为条件，满足几何对称性。提案4.7（双屏障淘汰功率指数索赔的价格）。假设XT的分布没有点质量（有效条件是RTσtdt>ε>0）。然后对于任何L<X<U，j，k∈ {0 } ∪ N和p，s∈ C我们有1{τL，U>T}XjThXikTeipXT+ishXiT=limq→∞林姆→∞EqXn=-量化宽松-Ngn，m（XT）- hn，m（XT）, （4.12）其中函数gn，mand hn，mare由gn，m（XT）=ZReiω2n给出(-我p） j(-我s） kE-i（ω）-p） L- E-i（ω）-p） U×bHm（ω）- p） ei（ω）-u（ω，s））X+iu（ω，s）XTdωr，hn，m（XT）=ZRe（1）-（i）（2nω）-2L）+L(-我p） j(-我s） kE-我(-我-P-ω） L- E-我(-我-P-ω） U×bHm(-我- P- ω） ei（ω）-u（ω，s））X+iu（ω，s）XTdωr，bhmas定义在（4.6）中。必须选择gn，M的积分轮廓，以便-2m+pi<ωi<平面2- ω- iω+6=0，且必须选择hn，mm的积分轮廓，以便-1.- pi<ωi<2m- 1.- 计划2- ω- iω+6=0。证据通过积分和期望传递极限和导数的许多论点与命题证明中给出的论点相同。3.我们在这里不再重复。注意到任何索赔的价值都等于其复制投资组合的价值，我们从定理4.6中得出：=∞Xn公司=-∞E-NEφ*（2n） + XT，hXiT）- 提取-L~n*（2n） + 2L- XT，hXiT）,证明（Carr a and L e，2009，定理5.18）中给出的参数允许通过有限和传递期望值。检查上述预期中的第一项，使用φ（XT，hXiT）=XjThXikTeipXT+ishXiT，我们得到了e*（2n） + XT，hXiT）=E1{L<2n+XT<U}（2n + XT）jhXikTeip（2n+XT）+ishXiT=limm→∞EHm（2n） + XT- L）- Hm（2n） + XT- U）（2n） + XT）jhXikTeip（2n+XT）+ishXiT=limm→∞(-我p） j(-我s） 柯Hm（2n） + XT- L）- Hm（2n） + XT- U）eip（2n）+XT）+ishXiT，其中Hm（x）：=（1+tanh-mx）。

接下来，使用F[Hm]=bHm，我们计算(-我p） j(-我s） 柯Hm（2n） + XT- L）- Hm（2n） + XT- U）eip（2n）+XT）+ishXiT=ZReiω2n(-我p） j(-我s） kE-i（ω）-p） L- E-i（ω）-p） UbHm（ω）- p） EeiωXT+ishXiTdωr=ZReiω2n(-我p） j(-我s） kE-i（ω）-p） L- E-i（ω）-p） UbHm（ω）- p） ei（ω）-u（ω，s））xeiu（ω，s）XTdωr=Egn，m（XT）。类似地，一个简单的计算显示-L~n*（2n） + 2L- XT，hXiT）=limm→∞Ehn，m（XT）。ThusE1{τL，U>T}~n（XT，hXiT）=∞Xn公司=-∞林姆→∞E-NEgn，m（XT）- hn，m（XT）= 林克→∞林姆→∞EqXn=-量化宽松-Ngn，m（XT）- hn，m（XT）,如前所述。图2 plo T函数的期望值，在极限为m，q时→ ∞, 为双障碍淘汰方差掉期定价，支付1{τL，U>T}hXiT。5单障碍碰撞索赔本节考虑单障碍碰撞索赔，赔偿形式为单障碍碰撞：1{τH≤T}~n（XT- Xτ*H、 hXiT- hXiτ*H） 。下面的交易策略复制了单势垒L<X的幂指数敲打索赔。定理5.1（幂指数索赔中单势垒敲打的复制）。固定L<X，n，m∈ {0}∪Nandω，s∈ C并假设为2-ω-iω+6=0。以下交易策略复制了幂指数收益{τL≤T}（XT）- Xτ*五十） n（hXiT）- hXiτ*五十） meiω（XT）-Xτ*五十） +is（hXiT）-hXiτ*五十） 。（5.1）在时间0时，持有欧洲索赔并支付(-我ω） n(-我s） mψkiL（XT；ω，s），（5.2），其中我们定义了ψkiL（XT）≡ ψkiL（XT；ω，s）=1{XT<L}e（1）-iu）（XT）-五十） +1{XT≤五十} eiu（XT）-五十） ，（5.3）与u≡ u±（ω，s）如（3.1）所示。如果索赔发生，则免费将索赔（5.2）替换为索赔（5.1）。交换之后，敲入声明（5.1）可以复制为欧洲风格的指数声明。证据如果τL>T，则XT>L，从而使敲入式索赔（5.1）和欧洲索赔（5.2）失效。

还有待证明的是，如果τL≤ T，索赔（5.2）可以免费与索赔（5.1）交换。回顾S=存在几何对称性，我们从（Carr and Lee，2009，等式（5.7））中得出{τL≤T}Eτ*Leiu（XT）-五十） =1{τL≤T}Eτ*LψkiL（XT）。（5.4）因此{τL≤T}Eτ*L（XT）- Xτ*五十） n（hXiT）- hXiτ*五十） meiω（XT）-Xτ*五十） +is（hXiT）-hXiτ*五十） =1{τL≤T}(-我ω） n(-我s） 我τ*Leiω（XT）-Xτ*五十） +is（hXiT）-hXiτ*五十） （按莱布尼茨）=1{τL≤T}(-我ω） n(-我s） 我τ*Leiu（XT）-五十） （by（3.2））=1{τL≤T}(-我ω） n(-我s） 我τ*LψkiL（XT）（by（5.4））=1{τL≤T}Eτ*L(-我ω） n(-我s） mψkiL（XT），（由莱布尼茨提出），其中莱布尼茨规则的两种用法由（3.7）调整。备注5.2。用payoff{τU复制单势垒碰撞幂指数索赔≤T}（XT）- Xτ*U） n（hXiT）- hXiτ*U） meiω（XT）-Xτ*U） +is（hXiT）-hXiτ*U） 如果U>X，则应在时间0 a持有欧洲索赔，并支付(-我ω） n(-我s） mψkiU（XT；ω，s），其中ψkiU（XT）≡ ψkiU（XT；ω，s）=1{XT>U}e（1）-iu）（XT）-U） +1{XT≥U} eiu（XT）-U） ，如果τU≤ T，免费将欧洲索赔a T时间τuf交换为敲入索赔。命题5.3（关于二次变化分数幂的单障碍碰撞索赔的价格s）。对于任何0<r<1和L<x，我们有1{τL≤T}（hXiT）- hXiτ*五十） r=Eg（XT），其中g（x）：=rΓ（1）- r） Z∞zr+1ψkiL（x；0，0）- ψkiL（x；0，iz）dz。（5.5）这里，Γ是Euler-Gamma函数，ψkiL（x；ω，s）在（5.3）中定义。证据在（Carr and Lee，2008，命题7.1）的基础上，我们得到了m（Schürger，2002，等式（1.2.3））的Vr=rΓ（1- r） Z∞1.- E-zvzr+1dz，v≥ 0，0<r<1。（5.6）因此{τL≤T}（hXiT）- hXiτ*五十） r=rΓ（1）- r） Z∞zr+1E1{τL≤T}1.- E-z（hXiT）-hXiτ*L）dz（by（5.6）和Tonelli）=rΓ（1- r） Z∞zr+1EψkiL（XT；0，0）- ψkiL（XT；0，iz）dz（根据定理5.1）=例如（XT）（根据（5.5）和Fubini），其中Fubini的使用如下所示。作为z→ ∞ 我们有iu（ω，iz）→ 1/2乘（5.3），henceE |ψkiL（XT；0，0）- ψkiL（XT；0，iz）|=O（1），作为z→ ∞.