对价格和波动性的壁垒式索赔的强劲复制

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英文标题：
《Robust replication of barrier-style claims on price and volatility》
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作者：
Peter Carr, Roger Lee, Matthew Lorig
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We show how to price and replicate a variety of barrier-style claims written on the $\\log$ price $X$ and quadratic variation $\\langle X \\rangle$ of a risky asset. Our framework assumes no arbitrage, frictionless markets and zero interest rates. We model the risky asset as a strictly positive continuous semimartingale with an independent volatility process. The volatility process may exhibit jumps and may be non-Markovian. As hedging instruments, we use only the underlying risky asset, zero-coupon bonds, and European calls and puts with the same maturity as the barrier-style claim. We consider knock-in, knock-out and rebate claims in single and double barrier varieties.
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中文摘要：
我们展示了如何对风险资产的$\\log$price$X$和二次变化$\\langle X\\rangle$上写的各种屏障式索赔进行定价和复制。我们的框架假设无套利、无摩擦市场和零利率。我们将风险资产建模为具有独立波动过程的严格正连续半鞅。波动过程可能会出现跳跃，并且可能是非马尔可夫过程。作为对冲工具，我们只使用基础风险资产、零息债券以及与屏障式债权期限相同的欧洲看涨期权和看跌期权。我们考虑单屏障和双屏障类型的敲入、敲出和回扣索赔。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Robust_replication_of_barrier-style_claims_on_price_and_volatility.pdf (374.89 KB)

2022-5-8 21:32:38 上传

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关键词：波动性 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

在价格和波动性方面强劲复制屏障式索赔*Roger Lee+Matthew Lorig此版本：2022年1月11日摘要我们展示了如何对风险资产的对数价格X和二次变化hX i上写的各种障碍式索赔进行定价和复制。我们的框架假设无套利、无摩擦的市场和零利率。我们将风险资产建模为一个严格正的连续半鞅，具有一个独立的波动过程。波动过程可能会出现跳跃，并且可能是非马尔可夫过程。作为对冲工具，我们只使用基础风险资产、零息债券以及与屏障式债权期限相同的欧洲看涨期权和看跌期权。我们考虑单屏障和双屏障类型的敲入、敲出和再扣索赔。关键词：稳健定价、逆向套期保值、敲入、敲出、回扣、障碍、二次变量1介绍障碍期权是第二代期权中流动性最大的一种（即，其收益取决于路径的期权）。在其里程碑式的著作中，默顿（1973）首先对标的股票遵循几何布朗运动时的向下和向外看涨封闭形式进行了估值。只要瞬时波动率是股价和时间的已知函数，就可以通过动态交易股票和零息债券复制任何障碍主张。如果波动过程是由第二个独立的不确定性源驱动的连续随机过程，那么一个人也必须动态地交易一个期权。与任何套期保值一样，套期保值策略会影响标的股票的预期收益率。Bowie和Carr（1994）展示了欧洲的静态套期保值和期权如何在黑色模型中用于对冲期货的向下和向外看涨。

本质上，通过买入具有相同到期日T和行使K的相同基础期货价格的欧洲看涨期权，以及卖出具有行使H/K的K/H看跌期权，可以实现Bharier H的向下和向外看涨期权的收益。Carr et a l.（1998）明确指出，这种静态对冲适用于具有确定性局部波动性的任何模型，假设波动率函数在期货价格相对于障碍物的对数中是对称的。因此，我们看到了默顿开创的模式的延续，在这种模式中，对冲策略对统计过程的各个方面保持不变。*纽约大学库兰特研究所。电子邮件：pcarr@nyc.rr.com+芝加哥大学数学系。电子邮件：rogerlee@math.uchicago.edu华盛顿大学应用数学系。电子邮件：mlorig@uw.eduInCarr等人（1998），瞬时波动过程的增量与基础期货价格的增量有条件地完美相关。Andreasen（2001）指出，当瞬时波动过程中的增量有条件地独立于远期价格的增量时，上述对冲也有效。类似地，Bates（1997）观察到上述对冲适用于“赫尔和怀特型随机波动过程”虽然贝茨没有定义这个术语，但两位作者似乎都认为瞬时波动过程是一种差异，也就是说，波动过程随着时间的推移是连续的，并且具有很强的马尔可夫性，这似乎是合理的，正如赫尔和怀特（1987）所说。此外，正如Hull and White（1987）所述，波动过程应该是自主的，因为其演化系数仅指波动性和时间，而不是标的资产的价格。Carr和Lee（2009）明确指出，这些条件只是有效的，但不是必要的。

如果没有跳越障碍，且看涨期权和看跌期权在第一次通过障碍时具有相同的隐含波动性（如果有的话），则上文描述的向下和向外看跌期权的hedg可以完美地工作。我们提到后一种情况，即Put Call Symmety（PCS），Bates（1988）将其引入金融领域，作为衡量s kewness的一种方法。因此，期货价格及其波动性的二元过程本身不必是马尔可夫过程。此外，价格和波动性可能会出现跳跃，波动性的增加可能与收益相关，尽管有一些限制是必要的。因此，我们将这些对冲策略称为半稳健策略。障碍期权不是唯一存在半稳健对冲的路径依赖型cla ims。所有的障碍期权对冲也延伸到回望。对于回望，套期保值是半静态的，因为每次达到新的最大值时，标准期权都会重新交易。此外，假设只有无套利、无摩擦的市场、零利率、正的连续期货价格过程和独立的波动过程，Carr a and L e（2008）展示了如何在初始和固定到期日之间经验的回报率的数量变化上复制各种主张。他们的hedg工具包括标的期货和欧洲期权，这些期权在所有的行权时间和与债权相同的到期日上都有期权。与屏障和回望索赔的对冲不同，他们的期权交易策略是完全动态的。支付范围可以跨越的债权的例子包括波动率掉期和变现方差期权。本手稿的目的是综合关于障碍索赔和与二次变异相关的索赔的半稳健对冲的文献。

特别是，我们展示了如何在风险资产的对数价格X和二次变量hXi上对索赔进行定价和套期保值，以应对某些障碍事件的发生或不发生。此类索赔的例子包括（i）障碍启动差异或波动性互换，其非负回报是在首次通过时间和固定到期日之间经历的原木价格的差异或波动性，（ii）障碍启动索赔，其最终回报是在首次通过时间和固定到期日之间计算的已实现夏普比率，（iii）单障碍和双障碍淘汰索赔，在没有发生淘汰的情况下，支付原木价格和四次变异的幂和指数的乘积，以及（iv）如果在到期前达到障碍，则支付二次变异的幂和指数的乘积的单障碍退税索赔。我们的分析做出了与Car r和Lee（2008）相同的假设。特别地，我们考虑了瞬时波动率的连续时间随机过程，其增量与收益率不相关。允许波动过程中的跳跃，波动过程的演化系数也可以指瞬时波动、时间和其他变量的帕斯特现值，前提是它们独立于期货价格（即，波动过程允许非马尔可夫动力学）。外汇市场和债券市场都表现出对称的微笑，在随机波动环境中，这意味着波动过程与标的资产收益率不相关（Carr和Lee，2009，定理3.4）。因此，我们的结果与这些市场尤其相关。本文的其余部分如下。在第2节中，我们介绍了单一风险资产S=的一般市场模型，并陈述了我们的主要假设。

在第3节中，我们查看并扩展了Carr和Lee（2008）关于（XT，hXiT）的定价和重复索赔的结果。这些结果将用于第4、5和6节中考虑的屏障式索赔。第4节侧重于敲定索赔，第5节研究敲定索赔，第6节研究返利索赔。第7.2节模型和假设提供了结论和未来研究方向。我们考虑无摩擦市场（即无交易成本），并确定了一个任意但有限的时间范围∞. 为简单起见，我们假设利率为零，无套利，并将市场在完全过滤概率空间上选择的等价鞅测度（EMM）P作为给定值(Ohm, F、 F，P）。过滤系数=（英尺）0≤T≤特雷介绍了他对市场的看法。下面定义的所有随机过程都存在于这个概率空间中，除非另有说明，否则所有预期都是从t到P的。设B=（Bt）0≤T≤T表示在时间T到期的零息债券的价值。由于假设无风险利率为零，因此我们将Bt=1表示所有t∈ [0，T]。设S=（St）0≤T≤t表示风险资产的价值。我们假设S是严格正的，并且有连续的样本路径。为了排除套利，众所周知，资产S必须是定价测度P下的鞅。因此，存在一个非负的、F适应的随机过程σ=（σt）0≤T≤Tsch-thatdSt=σtStdWt，S>0，其中W是关于定价测度ep和过滤F的布朗运动。此后，过程σ将被称为波动过程。我们假设波动过程σ是右连续且F适应的，它独立于W发展，并且满足σtdt<c<∞, （2.1）对于一些任意大但有限的常数c>0。注意，tσ可能会发生跳跃，不需要是马尔科维安的。

确定原木价格过程X=（Xt）0≤T≤TbyXt=对数列表。当S>0时，过程X已明确定义，且对所有t∈ [0，T]。根据它的引理，dXt=-σtdt+σtdWt，X=log S。注意，（路径）S上的声明始终可以表示为（路径）X=log S上的声明。对于任何F-停止时间τ，定义其T-有界对应物，停止时间τ*:= τ ∧ T.设Cτ*（K） 表示时间τ*到期日为T且S trike priceK>0且Pτ*（K） 指具有相同行使权和到期日的欧洲看跌期权的价格。通过无套利论证，Cτ*（K） =Eτ*（圣- K） +=Eτ*（分机）- K） +，Pτ*（K） =Eτ*（K）- ST）+=Eτ*（K）- eXT）+，（2.2）其中我们引入了简写符号Eτ*· := E[·| Fτ*]. 为了方便起见，我们有时会提到欧洲电话或写在X而不是S上的put，并理解这些是等效的。Weassume一个欧洲人的电话或电话在每一次罢工时都会出现∈ (0, ∞). 正如Breeden和Litzenberg e r（1978）所证明的那样，这一假设相当于知道Xtender P的分布。正如Carr和Madan（1998）所表明的那样，这一假设还保证，欧洲对Xtender的任何T到期债权都可以通过债券B、标的S股票和看跌期权的静态投资组合进行完美对冲。尽管在现实中，我们的结果仍然具有相关性，只会让贸易遭受无数次打击；Leung和L orig（2016）展示了如何在有限的时间间隔内，在仅以不明确的行权进行再交易时，以最佳方式调整静态对冲。3欧式索赔根据第2节的假设，卡尔和李（2008）展示了如何以eiωXT+ishXiT的形式对索赔的真实部分和想象部分进行定价和复制，其中ω，s∈ C

然后，他们将这些指数型索赔作为构建模块，以支付形式为~n（XT，hXiT）对更一般的索赔进行定价和复制。在本节中，我们简要回顾了mCarr和Lee（2008）的主要结果，并得出了后续章节中需要的一些扩展。在本文中，我们将区分欧洲式索赔和欧洲式索赔，欧洲式索赔的路径独立支付形式为~n（XT），欧洲式索赔的路径依赖支付形式为~n（XT，hXiT）。我们使用短语“Eur opean style”表示索赔赔付仅取决于终端值Xt和Hxit，而不取决于任何障碍事件（例如敲入或敲出）。3.1定价和复制幂指数赔付在下文中，我们将考虑C值赔付的索赔。定价和对冲结果被理解为分别适用于实部和虚部。首先，我们将（XT，hXiT）的特征函数与（XTonly）的特征函数联系起来。定理3.1。设ω，s∈ C.定义u:C→ C作为以下任一项≡ u±（ω，s）=i-±q- ω- iω+2is. （3.1）那么，对于任何F-停止时间τ，我们有eτ*eiωXT+ishXiT=ei（ω-u） Xτ* +ishXiτ*Eτ*埃克斯特。（3.2）证据。理论的证明。1在（卡尔和李，2008年，命题5.1）中给出。我们在这里代表吃它，下面的条件反射参数将在后续章节中使用。设Fσt表示由（σt）0生成的σ代数≤T≤T.然后（hXiT）- hXiτ*) ∈ Fτ*∨ FσTandXT- Xτ*|Fτ*∨ FσT~ N（m，v），m=-（hXiT）- hXiτ*), v=hXiT- hXiτ*. （3.3）因此，通过正态随机变量z的特征函数~ N（m，v），EeiωZ=eimω-vω，（3.4）我们有eτ*eiω（XT）-Xτ* )+是（hXiT）-hXiτ* )= Eτ*eis（hXiT）-hXiτ* )E[eiω（XT）-Xτ* )|Fτ*∨ FσT]=Eτ*E[E（is-（ω+iω）/2）（hXiT-hXiτ* )|Fτ*∨ FσT]（通过（3.3）和（3.4））=Eτ*E[E](-（u+iu）/2）（hXiT-hXiτ* )|Fτ*∨FσT]（by（3.1））=Eτ*E[eiu（XT）-Xτ* )|Fτ*∨ FσT]（通过（3.3）和（3.4））=Eτ*eiu（XT）-Xτ* ).

（3.5）乘以（3.5）eiωXτ* +ishXiτ*收益率（3.2）。推论3.2。固定ω，s∈ C和n，m∈ {0} ∪ N.假设- iω+2是- ω6= 0. 让我们来看看→ C如（3.1）所述。ThenEτ*xnthxisteiωXT+ishXiT=Eτ*nXj=0mXk=0新泽西州mk(-我ω） j(-我s） kei（ω）-u（ω，s））Xτ* +ishXiτ*× (-我ω） n-j(-我s） m-keiu（ω，s）XT。（3.6）证据。我们有τ*xnthxisteiωXT+ishXiT=(-我ω） n(-我s） 我τ*eiωXT+ishXiT=(-我ω） n(-我s） mei（ω）-u（ω，s））Xτ* +ishXiτ*Eτ*eiu（ω，s）XT=R.H.s.of（3.6），其中第一个等式来自莱布尼兹积分规则，第二个等式来自定理3。最后一个等式来自莱布尼兹积分规则和一个代数。莱布尼茨规则的两个应用如下：对于任何n，m∈ { 0}∪ N和ω，s∈ 存在一个常数C>0，这样|nωmseiωx+isv |<cec（|x |+| v |），Ecec（|XT |+| hXiT |）∞, （3.7）根据（2.1）得出预期的确切性。备注3.3（注释）。在这本手稿中，当它不会引起混淆时，我们将省略下标±和mu±（ω，s）（以及其他函数/过程）的参数（ω，s），以简化符号。现在我们回忆一下卡尔和马丹（1998）的一个经典结果。假设函数f可以表示为凸函数的不同。那么f可以表示为任意κ的看涨期权和看跌期权的线性组合∈ R+我们有f（s）=f（κ）+f′（κ）（s）- κ)+- (κ - （s）++Zκf′（K）（K）- s） +dK+Z∞κf′（K）（s）- K） +dK。（3.8）这里，f′是f的左导数，f′是二阶导数，它作为一个广义函数存在。将（3.8）中的s替换为随机变量ST，选择κ=sτ*取Fτ*-条件期望，得到τ*f（ST）=f（Sτ*)Bτ*+ZSτ*f′′（K）Pτ*（K） dK+Z∞Sτ*f′′（K）Cτ*（K） dK，使用Bτ*= 1和（2.2）。

选择f，使f（eXT）等于（3.6）的右边，得到一个欧式幂指数索赔Eτ的价格*xnthxisteiωXT+ishxit（可观察到的）欧洲看涨期权价格。在对欧式幂指数期权相对于看涨期权和看跌期权的定价之后，我们转向复制。给定一个Cd值的价格过程V=（Vt）0≤T≤T、 Cd价值的投资组合流程 = (t） 0≤T≤如果其值∏sa Tis fiesd∏t=dXi=1，则为自融资信息技术-其中∏t:=dXi=1itVit（3.9）如果两者 V是研发价值，这一定义与通常的自我融资投资组合概念相对应。下面的定理给出了一种针对欧式经验索赔的自我融资复制策略。定理3.4（欧洲式指数索赔的复制）。修正ω，s，∈ C和定义过程N=（Nt）0≤T≤Tand Q=（Qt）0≤T≤特宾特≡ Nt（ω，s）：=ei（ω）-u） Xt+ishXit，Qt≡ Qt（ω，s）：=EteiuXT（3.10），其中u≡ u（ω，s）如（3.1）所示。定义∏=（t）0≤T≤Tby∏t≡ πt（ω，s）=NtQt+i（ω）- u） NtQt-圣圣+- i（ω）- u） NtQt-Bt.（3.11）然后是投资组合（Nt，i（ω-u） NtQt-/圣，-i（ω）-u） NtQt-) 在（3.9）的意义上，资产（Q，S，B）的最终价值为∏T=eiωXT+ishXiT。（3.12）证据。从（3.11）开始，当Bt=1时，我们有∏t=ntqt在任何时间t∈ [0，T]。特别是在到期日T，使用（3.10），我们得到∏T=NTQT=ei（ω-u） XT+ishxiteiuxt=eiωXT+ishXiT，建立（3.12）。为了证明∏满足自我融资条件（3.9），观察eteiωXT+ishXiT=ei（ω-u） Xt+ishxitetiuxt=NtQt=∏t.（3.13）（3.13）的左边是一个通过迭代条件作用的鞅。因此，过程∏也必须是amartingale。根据同样的推理，过程Q必须是鞅。接下来，d∏t=d（NtQt）=NtdQt+Qt-dNt+d[N，Q]t=NtdQt+i（ω）- u） NtQt-圣dSt+dAt，其中A=（At）0≤T≤这是有限的变化。