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英文标题：
《Copula based hierarchical risk aggregation - Tree dependent sampling and
  the space of mild tree dependence》
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作者：
Fabio Derendinger
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The ability to adequately model risks is crucial for insurance companies. The method of \"Copula-based hierarchical risk aggregation\" by Arbenz et al. offers a flexible way in doing so and has attracted much attention recently. We briefly introduce the aggregation tree model as well as the sampling algorithm proposed by they authors.   An important characteristic of the model is that the joint distribution of all risk is not fully specified unless an additional assumption (known as \"conditional independence assumption\") is added. We show that there is numerical evidence that the sampling algorithm yields an approximation of the distribution uniquely specified by the conditional independence assumption. We propose a modified algorithm and provide a proof that under certain conditions the said distribution is indeed approximated by our algorithm.   We further determine the space of feasible distributions for a given aggregation tree model in case we drop the conditional independence assumption. We study the impact of the input parameters and the tree structure, which allows conclusions of the way the aggregation tree should be designed.
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中文摘要：
充分建模风险的能力对保险公司至关重要。Arbenz等人提出的“基于Copula的分层风险聚合”方法提供了一种灵活的方法，最近引起了广泛关注。我们简要介绍了聚合树模型以及作者提出的采样算法。该模型的一个重要特征是，除非增加一个附加假设（称为“条件独立假设”），否则所有风险的联合分布并没有完全规定。我们证明，有数值证据表明，抽样算法产生了由条件独立性假设唯一指定的分布的近似值。我们提出了一种改进的算法，并证明在一定条件下，我们的算法确实近似于上述分布。在放弃条件独立假设的情况下，我们进一步确定了给定聚合树模型的可行分布空间。我们研究了输入参数和树结构的影响，从而得出聚合树的设计方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：Copula opula distribution independence Hierarchical

基于Copula的分层风险聚合树依赖抽样和轻度树依赖空间大师ThesisFabio Derendinger Monday 2015年3月8日顾问：Paul Embrechts教授、Hans-J¨urgen Wolter教授、Philipp Arbenz博士、ETH Z¨Urichastract数学系充分建模风险的能力对保险公司至关重要。“基于Copula的分层风险聚合”方法（Arbenz等人[1]）提供了一种灵活的方法，最近吸引了大量关注。我们简要介绍了聚合树模型以及作者提出的采样算法。该模型的一个重要特征是，除非添加额外的假设（即“条件独立假设”），否则所有风险的联合分布并不完全明确。我们表明，有数字证据表明，抽样算法产生了条件依赖假设唯一指定的分布的近似值。我们提出了一种改进的算法，并证明在某些条件下，我们的算法确实近似于上述分布。在放弃条件独立性假设的情况下，我们进一步确定了给定聚集树模型的可行分布空间。我们研究了输入参数和树结构的影响，从而得出聚合树的设计方法。IACknowledgements我要感谢我的导师Hans-J¨urgen Wolter教授，以及我的共同导师Paul Embrechts教授，感谢他们向我介绍这个课题并给予我鼓励。同时，我也希望感谢Hansj¨org Furr和Christoph M¨ohr（FINMA）在本文的早期阶段所做的有益评论。最后，我要特别感谢我的共同主管Dr。

PhilippArbenz（SCOR），他以耐心和知识支持我的整个论文。没有他的专业知识和不断的鼓励，这篇论文就不可能完成。IIContents内容iii1引言12层次风险聚合72.1连接词。72.2聚合树模型。82.3存在与独特性。123样本重新排序算法133.1算法的定义。133.2收敛结果。153.3数值实验。164树相关抽样214.1改进的重新排序算法。214.2收敛结果。254.2.1基本收敛结果。254.2.2向依赖于树的分布收敛304.3基于条件独立假设的一个词。375轻度树依赖分布的空间395.1三维高斯树。405.2非高斯树的推广。485.2.1通用三维树。485.2.2八维对称树。496结论53A附录55参考书目57II第一章引言为什么要建模风险？从保险人或再保险人的角度来看，这个问题的答案很简单：承担风险是他们的核心业务，因此他们的盈利能力和偿付能力在很大程度上取决于对这些风险进行充分建模的能力。

除此之外，偿付能力II和巴塞尔协议III等监管框架也要求进行适当的风险管理。从数学上讲，风险可以解释为多变量随机变量X=（X，…，Xn），其中单变量随机变量X，xn表示个别风险（或边际风险）。考虑到每个人都有共同的环境和社会经济条件，他们通常是相互依赖的。因此，在大多数情况下，需要了解联合分配，才能正确衡量和分配风险。例如，假设一家保险公司对未来某一特定时期的索赔总金额感兴趣，即数量X:=X+…+Xn。为了计算这个数量，Merelyk不足以知道个体风险的分布。据推测，确定相依风险总和分布的最明显方法是首先确定联合分布函数F（x，…，xn）=P[x≤ 十、Xn≤ xn]个人风险。准确地模拟这种分布是一项非常具有挑战性的任务。虽然构成投资组合的个人风险可能很容易用从数据和/或专家意见中得出的适当随机模型来描述，但通常情况下，很少有联合观察可用，在这种情况下，个人风险的联合分布基本上是未知的[2]。最近，连接词已经成为克服这一困难的特权工具。不熟悉copulas理论的读者将在第2.1节中对其进行简要介绍。就目前而言，这足以让人想到1。引言copula是一个多元随机变量，描述个体风险之间的依赖结构。copula理论中的一个著名结果（见定理2.2）表明，分布函数F可以写成F（x。

，xd）=C（F（x），Fd（xd）），其中Fi（x）=P[Xi≤ x] ，i=1，n、 是边际分布函数和C:[0，1]n→ [0,1]是一个copula函数。通过这种方式，我们将依赖结构从利润中分离出来，并将上述问题简化为寻找精确的利润模型F，fn以及通过copula C描述的依赖结构。在选择正确的copula时，我们可以依赖过去几年中开发和研究的一系列不同的copula模型。特别是，存在不对称连词和尾部依赖性连词，它们试图反映实践中可以观察到的效果。然而，常见的参数copula模型在高维应用时往往存在问题，因为可实现的依赖结构是有限的。例如，它们往往过于对称。克服高维问题的一种非常优雅的方法通常被称为“基于copula的层次风险聚合”。这种方法在该行业已经使用了十多年。考虑下面这个简单的例子，我们展示了它的总体思路：例子1.1假设我们被赋予了四种不同的风险，由4-dim表示。随机变量X=（X1,1,X1,2,X2,1,X2,2）。这里X1,1代表“汽车保险瑞士”，X1,2代表“汽车保险意大利”。此外，X2,1代表“瑞士地震”，X2,2代表“意大利地震”。如果我们对总风险X感兴趣:= X1,1+X1,2+X2,1+X2,2，我们可以尝试通过首先对个体风险的边缘分布F1,1、F1,2、F2,1和F2,2进行建模，来找到X的联合分布函数F的模型，并施加a4 dim。个人风险之间的copula C。

然后，联合分布由F（x，x，x，x）=C（F1,1（x），F1,2（x），F2,1（x），F2,2（x））和x的分布开始可以直接从F计算。或者，我们可以在第一步中，通过组合风险X1,1和X1,2，通过二元copula C，对部分风险的分布（X1,1，X1,2）和（X2,1，X2,2）进行建模，而X2,1和X2,2通过二元copula C进行组合。知道部分风险的分布，然后我们可以很容易地计算部分和X:=X1,1+X1,2和X:=X2,1+X2,2的分布。然后，可以通过一个适当的二元copulac模型将部分数X和X组合起来. 最后，这允许我们计算分布F总数X的:= X+X=X1,1+X1,2+X2,1+X2,2。这一过程被称为“基于copula的分层风险聚合”，最好用所谓的“聚合树”来说明。聚合树以图形的方式表示图1.1：4维的图示。我们的主要示例1中描述的聚合树模型。1.表示个人风险以何种方式联系在一起，以及假设它们之间存在何种依赖结构。图1.1显示了与上述情况相关的聚合树。分层风险聚合的主要优点是，我们不需要指定所有风险的copula。我们再次强调，很难找到一个能够充分描述大量风险之间依赖结构的copula模型。所有风险之间的联合观察太少，并且公共参数copula模型可实现的依赖结构太有限。相反，我们按层次对风险进行聚合，这只需要在不同的聚合步骤中指定聚合子投资组合之间的联合依赖性。

对于这些子投资组合，我们可以使用低维连接函数，这是众所周知的更现实的依赖性度量，并提供更大的灵活性。特别是，该模型允许在每个聚合步骤中使用不同的依赖特性（尾部依赖、径向不对称等）。该模型可以看作是一种降维工具：复杂度和参数数量可以根据必要的复杂性和可用信息进行调整。从逻辑上讲，该方法没有规定各个风险的完全联合分布。换句话说，满足给定聚合树模型的分布一般不止一个。我们将这些分布称为“轻度树依赖”。近年来，关于这个问题发表了许多论文。Arbenz等人[1]首次为基于copula的分层风险聚合方法提供了良好的数学基础。他们用图论的术语描述了模型的结构，并确定了一个条件，在这个条件下，它会导致一个独特的多元分布。这种条件被称为“条件独立假设”，它所规定的唯一多元分布被称为“树依赖分布”。1。他们将样本集合在一起，并将样本集合在一起在我们的示例1.1）中。C^ot\'e&Genest[4]和Bruneton[2]的论文主要关注聚合树的结构。事实上，很多自由只是隐藏在风险聚集在一起的顺序和树的一般形状中。布鲁内顿[2]认为，与肥树相比，瘦树的多样性效应更大。

C^ot\'e&Genest[4]提出了一种基于层次聚类技术选择树结构的程序。如果最终目标是找到所有单个风险的总聚集的近似值，则分层风险聚集的方法尤其适用。在这种情况下，提议的策略不会导致独特的联合分销这一事实并不重要。然而，在实践中，我们也可能面临需要联合分配个别风险的情况。例如，一个流行的例子是风险分配，或者——与示例1.1更相关的东西——我们想要估计我们在瑞士承担的总风险的情况，即X1,2+X2,1的分布。不幸的是，图1.1中的聚合树模型并没有唯一指定这种分布。上述论文提供的大多数结果和见解都涵盖了以下情况：特别有意思。关于联合分配，有几个有趣的问题尚未得到充分解决。本论文旨在更好地从数学上理解与聚合树模型相关的联合分布。第一个问题的主题是Arbenz等人[1]提出的采样算法。如前所述，样本可用于近似总骨料X的分布个人风险。然而，目前尚不确定样本是否也是轻度树依赖分布的近似值。我们将进行一个数值实验，表明样本近似于条件独立假设指定的唯一依赖于树的分布。这将鼓励我们开发一种改进的采样算法（MRA）。

在离散边缘的附加约束下，MRA得到了唯一依赖于树的分布的近似值。然而，如果有条件的独立性假设在实践中被视为合理的假设，这是值得怀疑的。如果不是，那么确定由采样算法近似的联合分布是没有意义的。即使我们能够确定它，它也很难充分代表个人风险的真正联合分布。相反，更可取的做法是了解与mildlytree相关的分布空间，以及聚合树模型和树结构的不同参数对其的影响。例如，一个有趣的问题是，是否有可能通过改变风险聚集的顺序来缩小轻度依赖于树的分布的数量。我们将在论文的第二部分讨论这些问题，在这里我们研究并确定简单聚合树模型的mildlytree依赖分布的空间。我们相信，任何使用此类工具的保险人或再保险人都应该意识到从中获得的见解，并且这种意识应该强烈要求设计充分满足业务需求的树。论文的组织。第2章介绍了聚合树模型及其所有基本定义和结果。第三章介绍了Arbenz等人[1]提出的采样算法及其收敛性。在第四章中，我们提出了改进的采样算法（MRA），并讨论了其收敛性。第五章研究了轻度树依赖分布的空间。第六章总结全文。第2章分层风险汇总本章介绍了在本文中起重要作用的基本定义和概念。我们在第一节2.1中简要介绍了连接词。

在第2.2节中，我们将逐步介绍分层风险聚合方法。我们故意选择非常密切地遵循Arbenz等人[1]提出的结构和术语。完全熟悉报纸的读者不妨跳过本章。2.1在过去的几十年里，连词在学术界和从业者中越来越流行。事实证明，它们是一个强大且灵活的工具，可以模拟随机变量之间的依赖关系。这在保险业尤为重要，因为不同风险之间的依赖结构最为重要。copula的定义非常简单[8]：定义2.1（copula）d维copula是[0,1]数据上的分布函数，具有标准的均匀边缘分布。对于连接函数的多元分布函数，我们保留了符号C（u）=C（u，…，u）。因此，C是形式C:[0，1]d的映射→[0,1]，即单位超立方体到单位区间的映射。连接函数的重要性由Sklar定理证明：定理2.2（Sklar 1959）设F是一个带有marginsF的联合分布函数，Fd。然后存在一个copula C:[0，1]d→ [0，1]这样，对于所有x，xd2。R=[-∞, ∞] ,F（x，…，xd）=C（F（x），Fd（xd））。（2.1）如果边距是连续的，那么C是唯一的。相反，如果C是一个copula，F，如果是单变量分布函数，那么（2.1）中定义的函数F是一个与marginsF，Fd。Sklar定理可以用以下方式解释：1。该定理的第一部分指出，我们可以将任何分布函数分解为其边界和一个copula。这使我们能够独立于边际来研究多变量分布。2.