经济学中的非线性伯恩斯坦-施罗德方程

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英文标题：
《The nonlinear Bernstein-Schr\\\"odinger equation in Economics》
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作者：
Alfred Galichon, Scott Kominers, Simon Weber
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we relate the Equilibrium Assignment Problem (EAP), which is underlying in several economics models, to a system of nonlinear equations that we call the \"nonlinear Bernstein-Schr\\\"odinger system\", which is well-known in the linear case, but whose nonlinear extension does not seem to have been studied. We apply this connection to derive an existence result for the EAP, and an efficient computational method.
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中文摘要：
在本文中，我们将几个经济学模型中的均衡分配问题（EAP）联系起来，对于一个非线性方程组，我们称之为“非线性Bernstein Schr \\ \\”odinger系统，这在线性情况下是众所周知的，但其非线性扩展似乎尚未被研究。我们应用这一联系来推导EAP的存在性结果，以及一种有效的计算方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> The_nonlinear_Bernstein-Schr"odinger_equation_in_Economics.pdf (122.16 KB)

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关键词：伯恩斯坦 经济学 非线性 恩斯坦 伯恩斯

Alfred Galichon经济中的非线性Bernstein-Schr¨odinger方程*Scott Duke Kominers+Simon Weber2018年7月17日在本说明中，我们将回顾并扩展我们之前工作[8]的一些结果，其中Weintroduce基于Bernstein-Schr¨odinger方程的非线性推广，提出了一种新的方法来处理不完全可转移的效用和未观察到的异质性。我们考虑一个分配问题，其中来自两个不同分支的代理可能会形成成对，从而为每个代理生成效用。效用可能会在合作伙伴之间转移，可能会产生摩擦。因此，这一总体框架既包括Gale和Shapley[6]的经典不可转移实用模型（NTU），有时也被称为“稳定婚姻问题”，即不存在允许匹配伴侣之间转移的技术；Becker[1]和Shapley Shubik[14]的可转移效用（TU）模型，也称为“最优分配问题”，其中效用（金钱）在合作伙伴之间可加性转移。如果NTU的假设对许多市场（包括学校选择）来说似乎很自然，那么TU模型在大多数可能存在讨价还价的环境中（例如劳动力和婚姻市场）更合适。然而，即使在这些市场，也可能存在转移摩擦。例如，在婚姻市场中，合作伙伴之间的转移可能会采取人情交换的形式（而不是现金），而一方的人情成本可能并不完全等于另一方的收益。在[8]中，我们开发了一个具有不可观测异质性的一般不完全可转移效用模型，其中包括典型的完全和不可转移效用模型，但也扩展到了集体模型，以及对转移征税、自重损失和风险规避的设置。

正如我们在本说明中所说，我们在[8]中考虑的模型遵循一个特殊的简单方程组，我们称之为“非线性伯恩斯坦-施罗德方程”。本文给出了后一个方程的一般结果，并导出了几个结果。主要结果见第1节。第2节和第3节考虑了具有和不具有异质性的平衡分配问题。最后，我们将在第4节讨论我们的研究结果。*经济学系、巴黎理工大学和纽约大学。电子邮件：阿尔弗雷德。galichon@sciencespo.fr.Galichon感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第313699和295298号赠款协议以及FiME提供的资金。+哈佛大学研究员协会。电子邮件：kominers@fas.harvard.edu.科米纳感谢NSF拨款CCF-1216095和哈佛弥尔顿基金会的支持巴黎科学院经济系。地址：法国巴黎圣纪尧姆街27号经济系科学研究所，75007。电子邮件：西蒙。weber@sciencespo.fr.1x的主要结果∈ X和y∈ Y、 我们考虑一个函数Mxy:R→ R、 和Mx0:R→ R和M0y:R→R.让（nx）x∈X（我的）y∈正数的Ybe向量。考虑到非线性BernsteinSchr–odinger系统，它包括寻找两个向量u∈ RX和v∈ 瑞思Mx0（ux）+Py∈YMxy（ux，vy）=nxM0y（vy）+Px∈XMxy（ux，vy）=我的。定理1。假设Mxysatis满足以下三个条件：（i）连续性。地图Mxy:（ux，vy）7-→ Mxy（ux，vy），Mx0：（ux）7-→ Mx0（ux）和M0y：（vy）7-→ M0y（vy）是连续的（ii）单调性。地图Mxy:（ux，vy）7-→ Mxy（ux，vy）是单调递减的，即ifux≤ ux和uy≤ 然后是Mxy（ux，vy）≥ M（u′x，v′y）。地图Mx0:（ux）7-→ Mx0（ux）和M0Y：（vy）7-→ M0y（vy）是单调递减的。（iii）限制。

对于每个vy，limux→∞Mxy（ux，vy）=0和limux→-∞Mxy（ux，vy）=+∞, 还有foreach ux，limuy→∞Mxy（ux，vy）=0和limuy→-∞Mxy（ux，vy）=+∞. 此外，limux→∞Mx0（ux）=0和limuy→∞M0y（uy）=0，和limux→-∞Mx0（ux）=+∞ 还有limuy→-∞M0y（uy）=+∞.然后，非线性B-ernstein-Schr¨odinger系统存在一个解。此外，如果地图M是C，则解是唯一的。这个定理出现在[8]中，形式略有不同。这一证明很有趣，因为它提供了一种确定u和v的算法。它是迭代投影拟合过程（见[5]、[12]和[13]）的一个重要推广，该过程已被重新发现，并多次以不同的名称用于各种应用目的：“RAS算法”[10]、“双比例拟合”、“Sinkhorn缩放”[4]等，所有这些技术及其变体都可以在定理1证明中描述的方法的特殊情况下重新使用。为了方便起见，我们重新调用了用于提供存在性的构造性证明的算法。算法1。步骤0确定vyat vy的初始值=+∞.步骤2t+1将值v2ty固定。每x∈ X，求出值u2t+1x，这样就等于y∈YMxy（ux，v2ty）+Mx0（ux）=nxholds。步骤2t+2将u2t+1x值保持固定。每一天∈ Y、 求解哪个是v值，v2t+2ysuch等于X∈XMxy（u2t+1x，vy）+M0y（vy）=myholds。然后求出并单调收敛于Bernstein-Sc hr–odinger系统的一个解。在实践中，将选择精度等级>0，算法将在|v2t+2y时终止- v2ty |<。证据（i） 存在。存在性的证明是Tarski不动点定理的一个应用，该定理建立在之前的算法之上。我们需要证明u2t+1x和v2t+2Yat的每一步的构造都是明确的。考虑步骤2t+1。

每x∈ 解的方程是∈YMxy（ux，vy）+Mx0（ux）=nxy，但右手持设备e是ux的一个连续递减函数，当ux→ +∞而且倾向于+∞ wh en ux→ -∞. 通过让vy→ +∞, 总和中的项趋向于0，为ux提供了一个下限。因此，u2t+1xis的定义良好，属于M-1x0（nx）+∞,让我们表示u2t+1x=Fx（v2t.）很明显，F是反等渗酮，这意味着v2ty≤ ■V2tyforall y∈ Y表示Fx（~v2t.）≤ Fx（v2t.）福尔x∈ 十、出于同样的原因，在步骤2t+2中，v2t+2y在M-10y（我的）+∞, 让usdenotev2t+2y=Gy（u2t+1。）式中，s im ilarly，G是反等位的。Thusv2t+2.=Go Fv2t。G在哪里o F是等参元。但是vy<∞ = vy表示v2t+2。≤ Go Fv2t。. 因此v2t+2。T∈Nis递增序列，从下到下以0为界。因此，v2t+2。汇聚。让v为极限，让u=F（\'v），可以看出（\'u，\'v）是非线性Bernstein系统的一个解。（二）单一性。引入ζ定义的映射ζ：（ux，vy）→ζx=Py∈YMxy（ux，vy）+Mx0（ux）ζy=Px∈XMxy（ux，vy）+M0y（vy）一个hasDζ（ux，vy）=ABC D其中：oA=(ζx/ux′）xx′=Py′的∈YuxMxy′的ux，vy\'+ 如果x=x′，则为1，否则为0B=(ζx/vy）xy=vyMxy（ux，vy）oC=(ζy/ux）y x=uxMxy（ux，vy）oD=ζy/vy′y′=Px′∈十、如果y=y′，则vyMx′y（ux′vy）+1，否则为0。很容易证明矩阵Dζ是对角占优的。[11]中的一个结果表明，具有正对角项的占优对角矩阵是P-矩阵。因此Dζ（ux，vy）是P-矩阵。应用[9]中的定理4，可以得出ζ是内射的。2均衡分配问题在本节中，我们考虑均衡分配问题，它是最优分配问题的一个广泛推广。

为了描述这一框架，考虑两个有限的人口i和J，以及一个双边匹配框架（对于相似性，我们将“男性”和“女性”称为该市场的双方），具有不完美的转移，没有异质性。i探员∈ 我和J∈ J分别获得效用Ui和Vj他们在equiliburium获得。如果i或j仍然不匹配，它们将设置为0；然而，如果它们匹配在一起，它们可能会得到任何各自的实用程序ui和vjsuch，从而使可行性约束被施加ψij（ui，vj）≤ 0，（1）其中，传递函数ψij被假定为连续的，且关于其参数是等距的。注意，在平衡状态下，ui≥ 0和vj≥ 0，因为代理始终可以选择取消分配；同样，如果对任何一对i，j（匹配或不匹配），在（1）中不能有严格的不等式，否则i和j将有形成阻塞对的动机，并获得比其平衡支付更高的支付。因此稳定条件ψij（ui，vj）≥ 0，一般来说。如果i和j匹配，则设uij=1，否则为0；因此，uij>0意味着ψij（ui，vj）=0。这使我们能够确定一个均衡的结果。定义1。只要满足以下条件，由ψ定义的平衡分配问题就有一个平衡结果（uij，ui，vj）：（i）uij≥ 0，用户界面≥ 0和vj≥ 0（ii）Pjuij≤ 1和piuij≤ 1（iii）ψij（ui，vj）≥ 0（iv）uij>0意味着ψij（ui，vj）=0。注意，根据Birkho ff-von Neumann定理，该问题中平衡点的存在导致平衡点的存在满足更强的完整性要求uij∈ {0, 1}. 这个通用框架允许我们表达最优分配问题（与可转移效用匹配），例如ψij（ui，vj）=ui+vj- Φij，而在NTU情况下，ψij（ui，vj）=max（ui- αij，vj- γij）。其他有趣的案例见[8]。

例如，线性可转移效用（LTU）模型，其中ψij（ui，vj）=λij（ui- αij）+ζij（vj）- γij），λij，ζij>0，以及指数可转移效用（ETU）模型，其中ψij的形式为ψij（ui，vj）=τlogexp（ui/τ）+exp（vj/τ）.在ETU模型中，参数τij定义为可转移程度，因为τ→ +∞恢复TU情况和τ→ 0恢复NTU框架。定理2。假设ψ是这样的：（a）对于任何x∈ X和y∈ Y、 我们有ψxy（·，·）连续。（b） 对于任何x∈ X，y∈ Y、 t≤ t′和r≤ r′，我们有ψxy（t，r）≤ ψxy（t′，r′）；此外，当t<t′和r<r′时，我们有ψxy（t，r）<ψxy（t′，r′）。（c） 对于任何序列（tn，rn），如果（rn）有界且tn→ +∞, 然后lim infψxy（tn，rn）>0。类似地，如果（tn）有界且rn→ +∞,然后lim infψxy（tn，rn）>0。（d） 对于任何序列（tn，rn），i f（tn- rn）有界且→ -∞ （或相当于rn）→ +∞), 我们的极限为ψxy（tn，rn）<0。然后，由ψij定义的平衡质量问题有一个平衡结果。证据考虑T>0和letMij（ui，vj）=exp-ψij（ui，vj）TMi0（ui）=exp-尤特M0j（vj）=exp-vjT再看看伯恩斯坦-施罗德系统Mi0（ui）+Pj∈JMij（ui，vj）=1M0j（vj）+Pi∈IMij（ui，vj）=1。我们需要证明Mxy（，，），Mx0（.）和M0y（.）满足定理1中所述的性质。进一步证明定理1中的条件（i）和（ii）直接遵循关于ψ的假设（a）和（b）。此外，让T→ 0+，假设（c）和（d）一起意味着条件（iii）是满足的。因此，我们可以应用定理1，d，由此得出系统的解uTi，vtjt存在。请注意，Mi0uTi≤ 1和M0jvTj≤ 1.暗示uTi≥ 0和vTj≥ 现在，考虑取T=k，k得到的序列∈ N.然后，在子序列提取之前，我们可以假设uki→ “用户界面∈ R+∪ {+∞} 还有vkj→ \'\'vj∈ R+∪ {+∞}.

因此，ψijuki，vkj汇聚器+∪ {+∞}, 因此ukij=Mijuki，vkj向“uij”收敛∈ [0, 1]. 类似地，在[0,1]中也存在“ui0”和“u0”的限制。因此，符合定义1中的（i）。通过连续性，“u满意度”\'\'ui0+Pj∈Juij=1u0j+Pi∈Iuij=1，建立了（ii）。让我们证明（iii）成立，也就是说，ψij（ui，vj）≥ 0表示任何i和j。假设不是这样。然后存在>0，对于k大enou gh，ψijuki，vkj< -，使ukij>exp（/T）→ +∞, 矛盾的≤ 1.因此，我们建立了（iii）。最后，我们证明（iv）是成立的。假设不是这样。然后是i和j，使得μij>0和ψij（\'ui，\'vj）>0。这意味着存在>0，因此对于足够大的k，ukij>，因此ψijuki，vkj<-T log→ 0，因此ψij（\'ui，\'vj）≤ 0，矛盾。因此（iv）持有；这就完成了这一证明，并确定（\'u，\'u，\'v）是一个平衡分配。3.与异质性匹配如下[8]，我们现在假设，个体可能被聚集成具有不可感知特征的群体，或者称为ty pes，但口味不同。我们让X和Y代表男性和女性的类型。一个双重身份的人我∈ 我有xi型∈ 十、同样，一个女人∈ J有yj型∈ 我们假设有大量x型男性和Y型女性。进一步假设ψij（ui，vj）=ψxiyj（ui- Tεiy，vj- Tηxj），其中和η是从甘贝尔分布中提取的i.i.d.随机向量，其中T>0是温度参数。未分配代理得到Tεi0和Tη0j。

对于xi=x和yj=y的所有i，稳定性条件意味着ψxiyj（ui- Tεiy，vj- Tηxj）≥ 因此，mini:xi=xj:yj=yψxiyj（ui- Tεiy，vj- Tηxj）≥ 因此，lettingUxy=mini:xi=x{ui- Tεiy}和Vxy=minj:yj=y{vj- Tηxj}，我们有ψxy（Uxy，Vxy）≥ 0和w，其中uxy=Xi:Xi=xj:yj=yuij我们知道uxy>0意味着ψxy（Uxy，Vxy）=0，并且通过一个标准参数（随机向量和η是从分布中完全支持的，因此至少会有一个x型男性i和一个y型女性j，我更喜欢y型，j更喜欢x型，也就是说，对于所有x和y，uxy>0）ψxy（Uxy，Vxy）=0十、∈ X，y∈ Y.请注意，这是对国际电联Galichon和Salani’e[7]、buildin gon Choo和S iow[3]分析案例的扩展。我们得到了Ui=maxy{Uxy+Tεiy，Tεi0}和vj=maxx{Vxy+Tηxj，Tη0j}，因此是极值理论的标准结果（关于推导，请参见Choo和Siow[3]）yieldsUxy=T loguxyux0和Vxy=T loguxyu0y，因此我们看到uxy满足ux0+Py∈Yuxy=nxu0y+Px∈Xuxy=我的ψxyT对数uxyux0，T对数uxyu0y= 0.（2）上面讨论的各种感兴趣的情况，即TU、NTU、LTU和ETU情况，分别产生uxy=u1/2x0u1/20yexpΦxy（TU）uxy=min（ux0eαxy，u0yeγxy）（NTU）uxy=e（λxyαxy+ζxyγxy）/（λxy+ζxy xy）λxy/（λxy+ζxy xy）x0uxy）0y（LTU）xy=e-αxy/τxyu-1/τxyx0+e-γxy/τxyu-1/τxy0y！-τxy（ETU）（见[3]）。为了应用定理1，我们假设Mxy（ux，vy）是m解的值（关于这种解的存在性和唯一性的证明，请参见[8]中的引理1]）ψxy（T log m+ux，T log m+vy）=0，和letMx0（ux）=exp-uxTM0y（vy）=exp-vyT.在[8]中，我们将系统（2）改写为非线性Bernstein-Sch¨rodinger系统，即Mx0（ux）+Py∈YMxy（ux，vy）=nxM0y（vy）+Px∈XMxy（ux，vy）=我的。定理3。（2）中的非线性Bernstein-Schr¨odinger系统具有唯一的解证明。这个证明直接来自定理1的应用。

很容易检查Mx0上的条件（.）和M0y（.）在这种情况下，满足定理1的要求。[8]中的引理1证明了Mxysatis满足这些条件。4讨论在本文中，我们讨论了如何将匹配问题表述为一个非线性方程组，也称为伯恩斯坦-施罗德方程或施罗德问题[15]。我们已经证明了在一定条件下解的存在性和唯一性，并证明了与各种匹配问题之间的联系，无论是异质性还是异质性。求解这样一个方程组需要一种算法，我们称之为迭代投影拟合程序（IPFP）；在实践中，该算法收敛速度非常快。我们的设置可以通过几种方式扩展。其中之一是考虑未分配代理的情况。在这种情况下，我们有额外的约束pxnx=Pymy，因此非线性Bernstein-Schr¨odinger系统，在本例中写为Py∈YMxy（ux，vy）=nxPx∈XMxy（ux，vy）=My有一个自由度，即x的和∈ 第一组方程的X与sumover y一致∈ 第二个的Y。[2]研究了该问题解的一维流形。参考文献[1]贝克尔G.S.（1973）：“婚姻理论：第一部分”，《政治经济学杂志》，81（4），第813-46页。[2] Carlier，G.和Galichon，A.（2014）：“关于非线性系统解的流形的评论”，工作论文。[3] Choo，E.，an d A.Siow（2006）：“谁和谁结婚，为什么结婚”，政治经济学杂志，114（1），第175-201页。[4] Cutu ri，M.（2013）：“新角距离：最佳运输的光速计算。”《神经信息处理系统的进展》，第2292-2300页。[5] 德明，W.E.和斯蒂芬，F.F。