完全不完全市场中的超级复制

为此，我们在本小节中假设fand fare是凸函数。集合（4.8）A=（infy>0:f（y）-f（0）y≤ +f（y）如果f（0）<f（0）如果f（0）=f（0），以及β=f（A）-f（0）友邦保险<∞+ ∞IA=∞如果f（0）<f（0）+f（0）如果f（0）=f（0）。此外，setm:=limt→∞+f（t），ρ：=inf{t:+f（t）>m}。观察A，β，m，ρ可以取这个值∞. 此外，如果m=∞, 特林姆→∞+f（t）=∞ 也在这种情况下，从flimt的凸性→∞f（t）- T+f（t）≤ 极限→∞f（1）+（t）- 1)+f（t）- T+f（t）=-∞.因此A，β<∞. 我们得出结论，在任何情况下∧m<∞.定义函数g:R+→ R+乘以（4.9）克（x）=（f（0）+βx）Ix<A+f（x）IA≤x<ρ+（f（ρ）+m（x- ρ） ）九≥ρifβ<mf（0）+mx if m≤ β、 14 Y.Dolinsky和A.NeufeldLemma 4.5。如果扇形和扇形都是凸的，那么（4.9）中定义的函数g是H证明中的最小元素。根据定义，我们看到∈ H.用g表示H的最小元素。然后，gmin（0）=f（0）=g（0）。自相矛盾地假设存在x>0，其中gmin（x）<g（x）。Set，y=inf{t<x:gmin（t）<g（t）在区间（t，x）}上，z=sup{t>x:gmin（t）<g（t）在区间（x，t）}。通过gmin，g的连续性，我们得到y<x<z。通过定义H，gminis concaveon I:=（y，z）为gmin<g≤ fon I.观察g在R+上是凸的。因此，如果z<∞ 我们会得到那个g-Gmini是一个凸函数，它在I和g（z）上是严格正的-gmin（z）=g（y）-gmin（y）=0。但这是不可能的，我们的结论是z=∞. 因此，gmin<fon I=（y，∞) 所以gminis concaveon（y，∞). 再加上gmin≥ fgives inft>y+gmin（t）≥ m、 我们从（4.9）中得出supt>0+g（t）≤ m、 因此，gmin- g在区间（y，∞), 所以从等式g（y）开始- 我们的结论是≥ g on（y，∞), 这是一个矛盾。我们从（4.9）中得出，如果初始股价满足≤ ρ、 那么假设4.1中的第二个条件就满足了。

特别是，如果ρ=∞ 这件事微不足道。观察ρ=∞ <=> 支持>0+f（t）=支持>0+f（t）。这给我们带来了以下直接的推论。推论4.6。如果以下至少一个条件成立：i.f（x）=f（x）+ 为了某个常数 > 0（即恒定惩罚），ii。支持>0+f（t）=0（例如看跌期权），iii.支持>0+f（t）=∞ （例如幂选项），则假设4.1中的第二个条件满足。接下来，我们给出几个定理4.2应用的明确示例。给定f（x）凸，设f（x）=cf（x）+, c在哪里≥ 1. ≥ 0.回想一下定理4.2中定义的游戏交易策略（π，σ）。示例4.7（看涨期权）。设K>0为常数。考虑一个游戏呼叫选项f（St）=（St- K） +，f（St）=c（St- K） ++.我们区分两种情况。(1)  < K:在这种情况下，A=如果 > 00如果 = 0,β =K<m=1和ρ=∞ 如果c>1，则c=1K。完全不完全市场15因此，见图1I和图1II，我们有=KSIS<K+s- K+是≥K.此外，（a）如果≤ K、 然后（π，σ）=(KS，K） ，inf{t:St=K}∧ T如果 > 0(0, 0), 0如果 = 0.（b）如果S>K，那么（π，σ）=s- K+, 0, 0如果c=1s- K+, 1., inf{t:St=K}∧ T如果c>1。注意，对于c>1和S>K的情况，假设4.1中的第二个条件不满足。因此，为了使定理4.2成立，我们需要取利率r≡ 实际上，当r>0时，我们得到^π的投资组合值等于Z^πt=St-BtB（K）- ). 因此，ifBtB（K-) > 然后Z^πt<St-K、 所以（π，σ）不是一种超级复制策略。(2)  ≥ K：在这种情况下，A=K，β=K≥ m=1。因此，见图1III，我们有g（S）=S。此外，（π，σ）=（S，1），T.（一） 如果 > 0,  < K（II）如果 = 0，c>1（III）如果 ≥ K图1。看涨期权示例4.8（看跌期权）。设K>0为常数。

考虑一个游戏看跌期权f（St）=（K）- St）+，f（St）=c（K- St）+.我们区分两种情况。(1)  < K：在这种情况下，A=K，β=-KK<m=0，ρ=∞. 因此，请参见图2I和图2II，超级复制价格为g（S）=K-K- KS是<K+ 是≥K.（a）如果S<K，那么（π，σ）=（K）-K-KS，-K-K） ，inf{t:St=K}∧T.（b） 如果是≥ K、 然后（π，σ）=(, 0), 0.16 Y.多林斯基和A.纽菲尔德（2） ≥ K在这种情况下，A=如果 = K∞ 如果 > K、 和β=0如果 = K∞ 如果 > K.β≥ m=0。因此，请参见图2III，超级复制价格等于g（S）≡ K、 和（π，σ）=（K，0），T.在这种情况下，超级复制的价格与比例因子c无关≥ 1.（I）如果 > 0,  < K（II）如果 = 0，c>1（III）如果 ≥ 图2。放置选项示例4.9（电源选项）。设p>1，考虑对策p次幂选项f（St）=Spt，f（St）=cSpt+.我们有ρ=m=∞ 什么时候 > 0，A=c（p-1)1/p，β=cpc（p-1)1.-1/p。因此，参见图3I和图3II，超级复制价格等式g（S）=βSIS<A+（cSp+) 是≥A.最便宜的超级复制策略是：如果S<A，那么（π，σ）=（βS，β），inf{t:St=A}∧ T.如果是≥ A、 然后（π，σ）=（cSp+, 0), 0.（一） 如果 > 0（II）如果 = 0，c>1图3。权力选择完全不完整的市场175。2.3号提案的证明。让α∈ C（ν）和 > 0.我们将证明（对于设置I和II）存在概率度量Q P使定义2.1的属性成立。I.有一个常数C>0，这样C≤ α ≤ C.在不丧失普遍性的情况下，我们假设 <2C。确定停止时间Θ=inf{t:|αt- νt|≥ }∧ T.显然，0<2C≤ inf0≤T≤Θνt≤ sup0≤T≤Θνt≤ C+2C。通过对函数a，b，c的假设，我们得到存在一个常数c>0，使得（5.1）sup0≤T≤Θ|a（t，νt）|+|b（t，νt）|+|c（t，νt）|+|b（t，νt）|≤~C.Fix n>~CT。

对于k=1。。。，n、 letIk=ZkT/n（k-1） T/na（T，νT）dt+ZkT/n（k）-1） T/nc（T，νT）dWt，Jk=αkTn- α（k）-1） Tn.介绍函数Φ（x）=-N∨（十）∧n） ，x∈ R.设{γt}Tt=0和{Wt}Tt=0是唯一的随机过程，满足以下（递归）关系：^Wt=~Wt+Ztγuduwhereγt=0表示t≤对于k=1。。。，N- 1γt=Φnb（t，νt）tJk- Ik-ZkT/n（k）-1） T/nb（u，νu）d~Wu!,kTn<t≤（k+1）Tn.过程{γt}Tt=0是一致有界的，因此我们从Girsanov定理和Novikov条件推导出存在概率测度Q~ P（它位于n上）使得{（~Wt，Wt）}Tt=0是关于Q和过滤{Ft}Tt=0的二维标准布朗运动。对于任何k=1。。。，n、 表示Lk=RkT/n（k-1） T/nb（T，νT）d/wt并引入eventAk={kT/n<Θ}∩ {| Ik |+|Lk |>1}。显然，对于任何k=1。。。，nIkTn<Θ|Ik |≤ZkT/n（k）-1） T/nIt<Θa（T，νT）dt+ZkT/n（k）-1） T/nIt<Θc（T，νT）dWt.这与（5.1）和Burkholder–Davis–Gundy不等式一起得出，对于任何p>1，存在一个常数cp>0，使得（5.2）EQhIkTn<Θ| Ik | pi≤ 2p（~CT/n）p+cp（~CT/n）p/2.18 Y.Dolinsky和A.Neufeld（5.3）EQhIkTn<Θ| Lk | pi≤ 情商“ZkT/n（k）-1） T/nIt<Θb（T，νT）d~Wtp#≤ cp（~CT/n）p/2。通过对p=4应用马尔可夫不等式和（5.2）-（5.3），我们得到了（5.4）Q∪nk=1Ak≤nXk=1Q（Ak）≤Cn表示某些常数c（与n无关）。接下来，让k<n和kT/n≤ t<（k+1）t/n.考虑以下事件：\\∪nj=1Aj∪麦克斯| u-五|≤Tn |αu- αv |>1.回想一下（5.1）中的常数C。作为n>~CT，我们为anyu举办活动≤ n（v，u）=jmu- 伊姆河- Lm）T，formTn<u≤（m+1）Tn，其中我们设置I=J=L=0。

因此，关于事件U，我们有νkTn- αkTn=kXm=1[Im+Lm- Jm]+k-1Xm=1[Jm- 伊姆河- Lm]=IkTn<Θ（Ik+Lk）- Jk）以及|νt- νkTn|≤ZtkT/nIu<Θa（u，νu）du+ZtkT/nIu<Θb（u，νu）dWu+ZtkT/nIu<Θc（u，νu）dWu+ IkTn<Θ（|Jk |+|Ik |+|Lk |）。我们得出结论，在事件^U:=Ohm\\∪nj=1Aj∪麦克斯| u-五|≤Tn |αu-αv |>1sup0≤t<Θ|αt- νt|（5.5）≤ 麦克斯| u-五|≤Tn |αu- αv |+2 max1≤K≤NIkTn<Θ（|Jk |+|Ik |+|Lk |）+ max1≤K≤n（Γk+Υk+λk）≤3最大值| u-五|≤Tn |αu- αv |+2 max1≤K≤NIkTn<Ik（|Ik |+|Lk |）+ max1≤K≤n（Γk+Υk+λk），其中Γk=max（k-1） 电话号码≤T≤千吨/吨Zt（k）-1） T/nIu<Θa（u，νu）du,Υk=最大值（k-1） 电话号码≤T≤千吨/吨Zt（k）-1） T/nIu<Θb（u，νu）dWu,∧k=最大值（k-1） 电话号码≤T≤千吨/吨Zt（k）-1） T/nIu<Θc（u，νu）dWu.完全不完全市场19与（5.2）-（5.3）类似，我们得到这个等式max1≤K≤n（Γk+Υk+λk）≤ 3nXk=1EQΓk+Υk+λk≤对于某些常数c，我们从马尔可夫不等式中得到了有效的n（5.6）Qmax1≤K≤n[Γk+Υk+λk]≥<.类似地，（5.2）-（5.3）对于足够大的n（5.7）Q给出2最大值1≤K≤nhIkTn<Θ（|Ik |+|Lk |）i≥<.对于W产生的过滤，随机过程α是逐步可测量的，因此对于足够大的n（5.8）Q，Q下的α分布与P下的α分布相同3最大值| u-五|≤Tn |αu- αv|≥<.最后，通过结合（5.4）-（5.8），我们得到了对于足够大的n，Q（kα- νk∞> )≤ Q∪nj=1Aj∪麦克斯| u-五|≤Tn |αu- αv |>1+ Qsup0≤t<Θ|αt- νt|=∩^U≤cn++3.< ,按要求。二、考虑连续随机过程φt=lnαt- lnν（1）t，t∈ [0，T]。修正δ>0。选择n∈ N足够大以至于（5.9）P麦克斯| u-五|≤Tn |φu- φv|≥ δ≤ δ.对于k=0。。。，N- 1、定义事件=maxkT/n≤T≤（k+1）T/n | lnν（2）T- lnν（2）kTn- （新界北）- k） （φkTn）- φ（k）-1） Tn）|<δn我们从哪里开始-Tn≡ φ. 首先，我们认为，对于任何k（5.10）P（^Ak | FkTn）>0a.s，用{Gt}Tt=0表示由ν（2）产生的过滤的通常增强。

根据我们的假设，ν（2）独立于W和φ。再加上{Ft}Tt=0这一事实，通常是W和ν（2）yieldsP产生的过滤的增强^Ak|FkTn= Ψφ（k）-1） Tn，φkTn，ν（2）a、 其中ψ：R×R×C+[0，T]→ R是一个满足a.s.ψ（u，v，ν（2））=P的可测函数maxkT/n≤T≤（k+1）T/n | lnν（2）T- lnν（2）kTn- （新界北）-k） （五）-u） |<δnGkTn.假设lnν（2）满足CFS的自然过滤性能。我们从Pakkanen（2010，引理2.3）推断，lnν（2）也满足CFS属性20 Y.Dolinsky和A.Neufeld关于通常的强化过滤{Gt}Tt=0的要求。因此，我们得到了ψ（u，v，ν（2））>0p-a.s.，对于任何u，v∈ R、 因此，我们得出结论（5.10）是正确的。接下来，通过Z=1和Zt=P定义连续鞅Z={Zt}Tt=0^Ak|FtP^Ak|FkTnK-1Xi=0I^AiP^Ai|FiTn, T∈ （kT/n，（k+1）T/n]，0≤ K≤ N- 1.存在一个概率测度Q P使得dqdp | Ft=Zt，t∈ [0，T]。让我们证明（对于非常小的δ>0），Q满足所需的性质。Fixk<n和t∈ [kT/n，（k+1）T/n]。在事件Zt6=0时，使用W（k+1）Tn- WTI独立于Ftand^Ak，yieldsEQW（k+1）Tn- Wt | Ft=ZtEPZ（k+1）总氮（W（k+1）总氮- Wt）|英尺=P（^Ak | Ft）EPI^Ak（W（k+1）Tn- Wt）|英尺= 因此，对于任何k<n，随机过程{Wt}（k+1）T/nt=kT/nis是Q-鞅，而soW={Wt}Tt=0是Q-鞅。作为Q P、 我们的结论是≡ t、 Q-a.s.这与L\'evy的特征化定理一起得出W是关于Q的布朗运动，{Ft}Tt=0。我们到达了证明的最后一步。以事件^A为例：=N-1\\i=0^Ai∩nmax | u-五|≤Tn |φu- φv|≤ δo.随机过程φ适用于W产生的过滤；特别地，φ由{Wt}Tt=0确定。因此（W是P和Q下的布朗运动），φ在P和Q下的分布是相同的。

这个，连同（5.9）和QTn-1i=0^Ai= 1收益率（5.11）Q（^A）=Q麦克斯| u-五|≤Tn |φu- φv|≤ δ= P麦克斯| u-五|≤Tn |φu- φv|≤ δ≥ 1.- δ.接下来，让k<n和t∈ [kT/n，（k+1）T/n]。观察φ=lnν（2）。因此，我们对事件^A |lnνt进行了讨论- lnαt |=|lnν（2）t- φt|≤K-1Xi=0lnν（2）（i+1）Tn- lnν（2）iTn- φiTn+φ（i）-1） Tn+ |φkTn- φ（k）-1） Tn |+|φt- φkTn |+|lnν（2）t- lnν（2）kTn|≤δkn+2δ+δn+δ+（nt/T）- k） δ≤ 6δ.来自不平等| ex- |≤ emax（x，y）|x- y|≤ exe | x-y | | x- y | x，y∈ 完全不完全市场21我们得出结论，在事件^A上，（取x=lnαt，y=lnνt）sup0≤T≤T |αT- νt|≤ 6δe6δ| |α||∞.这一点，再加上（5.11）对于非常小的δ>0（回想一下α是一致有界的），我们得到了Q（| |α）- ν||∞< ) > 1.-, 证明已经完成。6.定理4.2的证明在本节中，我们通过证明不等式（4.6）成立来完成定理4.2的证明。必须证明，对于任何超复制策略（π，σ），我们都有不等式（6.1）Zπ≥ g（S）。为此，让（π，σ）成为一种超级复制策略。选择 > 0.随机过程{rt}Tt=0是一致有界的，因此存在T<T使得（6.2）ztrdtt<.设{Gt}Tt=0是由W生成并由空集完成的过滤。用ttt表示关于过滤{Gt}Tt=0的所有停止时间的集合，其值为[0，T]。根据推论7.3，存在一个随机过程α∈ C（ν）使得（6.3）infζ∈TTEPhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti>g（S）- ,式中（α）t=SeRtαudWu-Rtαudu，t∈ [0，T]。选择δ>0。金融市场完全不完整。

因此，通过定义，我们得到了一个概率测度Q P使得（6.4）Qkα- νk∞≥ δ< δW是关于Q的布朗运动，{Ft}Tt=0。确定停止时间τ=inf{t:|αt- νt|≥ δ} ∧ T表示π=（Zπ，γ）。由（4.3）-（4.4）可知，随机积分∧σγu~SuνudWu，t∈ [0，T]从下面是一致有界的，因此它是关于概率测度Q的一个上鞅BBσ∧τf（Sσ）Iσ<τ+f（Sτ）Iτ≤σ≤ 情商BBσ∧τZπσ∧τ≤ Zπ，从（6.2）中，我们可以得出（6.5）eZπ≥ 情商f（Sσ）Iσ<τ+f（Sτ）Iτ≤σ.很明显，Zσ∧τ|αt- νt|dt≤ δ(2||α||∞+ δ） T，22 Y.Dolinsky和A.Neufeldand，来自《伊沃的等距旅行》Zσ∧τ（νt）- αt）dWt≤ 因此，从马尔可夫不等式中，我们得到了非常小的δ（6.6）QZσ∧τ|αt- νt|dt+Zσ∧τ（νt）- αt）dWt> 2.√δ< C√δ对于某些常数c>0（这可能取决于所选的 > 0). SDE（2.2）意味着σ∧τ=SeRσ∧τνtdWt+Rσ∧τ（rt）-νt/2）dt。从（6.2）和（6.6）中，我们得到了非常小的δ（6.7）Q|lnsσ∧τ- lns（α）σ∧τ| > 2< C√δ.现在，我们到了证明的最后一步。设置√σ=σ∧T、 X=sup0≤T≤Tf（S（α）t），并引入事件U=（τ<t）∪（| ln Sσ）∧τ-lns（α）σ∧τ| > 2). 我们从（2.4）推导出（6.8）|lnx- 在y|≤ 2. => fi（y）≥(1 - L（e2）- 1） ）fi（x）- Lx（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） ，i=1，2。从（6.5）和（6.8）我们得到Zπ≥ 情商我Ohm\\U（f（S)σ）I)σ<T+f（ST）I)σ=T）(6.9)≥1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） EQhIOhm\\Uf（S（α）σ）Iσ<T+f（S（α）T）Iσ=T我-L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） 等式[S（α）~σ]≥1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） EQhf（S（α）~σ）I~σ<T+f（S（α）T）I~σ=Ti-1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） EQ[IUX]-LS（e2）- 1） 1+L（e2）- 1).生长条件（4.2）意味着等式[X]<∞. 观察（τ<T）（kα）-νk∞≥ δ). 因此，从Cauchy-Schwarz不等式（6.4）和（6.7），我们得到了非常小的δ>0（6.10）EQ[IUX]≤等式[X]1/2δ+c√δ1/2< .最后，我们估计EQhf（S（α）～σ）I～σ<T+f（S（α）T）I～σ=Ti。

用T表示过滤{Ft}Tt=0的所有停止时间集，其值在[0，T]中。随机过程W是概率测度Q下的布朗运动，完全不完全市场23过滤{Ft}Tt=0。因此，从布朗运动的马尔可夫性质来看，α适应于过滤{Gt}Tt=0，σ∈ T和（6.3），得出eqhf（S（α）～σ）I～σ<T+f（S（α）T）I～σ=Ti≥ infζ∈TEQhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti=infζ∈TTEQhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti=infζ∈TTEPhf（S（α）ζ）Iζ<T+f（S（α）T）Iζ=Ti>g（S）- .这与（6.9）-（6.10）一起给出Zπ≥1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） （g（S）- ) -1.- L（e2）- 1） 1+L（e2）- 1) -LS（e2）- 1） 1+L（e2）- 1） ，让 ↓ 我们得到0（6.1）。备注6.1。一个自然的问题是，对于具有路径依赖性的游戏选项，无模型超级复制价格是否等于完整市场中的价格（见备注4.3）。为了回答这个问题，我们应该为无模型设置中的路径依赖型名称选项的超级复制价格开发一个双重特征。到目前为止还没有这样做。7.定理4.2证明的辅助引理本节的目标是建立推论7.3，它提供了函数g（凹面包络的游戏变量）和（7.6）的左手边之间的联系，这可以被视为一个最优停止问题。考虑概率空间(Ohm, F、 P）以及由零集完成的布朗运动{Wt}Tt=0生成的过滤{Gt}Tt=0。对于任何你∈ [0，T]wedenote by tut关于过滤{Gt}Tt=0的所有停止时间的集合，其值在[0，u]中。

对于任意x>0和任意（可积）渐进可测过程α={αt}Tt=0（关于{Gt}Tt=0），定义过程α，xt=xeRtαvdWv-Rtαvdv，t∈ [0，T]。用A表示所有非负的、逐步可测量的过程的集合α={αt}Tt=0和rtαtdt<∞ a、 满足以下条件：存在常数C=C（α），这样C≤ Sα，1≤ C.定义函数G:（0，∞) ×（0，T]→ R（7.1）G（x，u）：=supα∈Ainfζ∈TuEPhf（Sα，xζ）Iζ<u+f（Sα，xu）Iζ=ui。下面的引理类似于Dolinsky（2013，引理4.1-4.2）。由于目前的设置有点不同，为了方便读者，我们提供了一个独立的证明。引理7.1。i、 函数G（x，u）不依赖于u，即对于所有u<TG（x，u）=G（x，T）。二、函数G（x）：=G（x，T）是连续的，满足f≤ G≤ f、 iii.函数G（x）在G<f.24 Y.Dolinsky和A.NeufeldProof的每个区间内都是凹的。i、 证明将通过一个标准的时间刻度参数来完成。设x>0和u∈ （0，T）。考虑由^Wt:=puTWtTu，T定义的布朗运动∈ [0，u]。设{Gt}ut=0是由{Wt}ut=0（由全集合完成）生成的过滤，并设^Tube是所有{Gt}ut=0的集合，其值为[0，u]。对于任意x>0和任意{Gt}ut=0–渐进可测（可积）过程^α={αt}ut=0定义过程^S^α，xt=xeRt^αvd^Wv-Rt^αvdv，t∈ [0，u]。用^A表示所有非负，{^Gt}ut=0-逐步可测过程的集合^α={^αt}ut=0，其中ru^αtdt<∞ a、 存在常数C=C（^α）的s≤^S^α，1≤ C.观察地图φ：TT→^Tuandψ：A→^Agiven byφ（ζ）：=ζuTand[ψ（α）]t：=qTuαtTu，t∈ [0，u]是双射。此外，Sα，xt=^Sψ（α），xφ（t），t∈ [0，T]。因此，我们得到（x，T）=sup^α∈^Ainf^ζ∈^TuEPhf（^S^α，x^ζ）I^ζ<u+f（^S^α，xu）I^ζ=ui=supα∈Ainfζ∈TuEPhf（Sα，xζ）Iζ<u+f（Sα，xu）Iζ=ui=G（x，u），根据需要。二、