完全不完全市场中的超级复制

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英文标题：
《Super-replication in Fully Incomplete Markets》
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作者：
Yan Dolinsky and Ariel Neufeld
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this work we introduce the notion of fully incomplete markets. We prove that for these markets the super-replication price coincide with the model free super-replication price. Namely, the knowledge of the model does not reduce the super-replication price. We provide two families of fully incomplete models: stochastic volatility models and rough volatility models. Moreover, we give several computational examples. Our approach is purely probabilistic.
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中文摘要：
在这项工作中，我们引入了完全不完全市场的概念。我们证明了对于这些市场，超级复制价格与无模型超级复制价格一致。也就是说，对模型的了解不会降低超级复制的价格。我们提供了两类完全不完全模型：随机波动率模型和粗糙波动率模型。此外，我们还给出了几个算例。我们的方法纯粹是概率的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Super-replication_in_Fully_Incomplete_Markets.pdf (716.78 KB)

2022-5-9 02:13:23 上传

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关键词：不完全市场 Mathematical Differential Applications Quantitative

SUPER–在完全不完整的市场上复制扬·多林斯基*和阿里尔·纽菲尔德+希伯来大学和苏黎世理工大学。在这项工作中，我们引入了完全不完全市场的概念。我们证明，对于这些市场，超级复制价格与无模型超级复制价格一致。也就是说，对模型的了解不会降低超级复制的价格。我们提供了两类完整的模型：随机波动率模型和粗糙波动率模型。此外，我们还给出了几个算例。我们的方法纯粹是概率的。1.导言我们考虑一个只有一项风险资产的金融市场，它是通过过滤概率空间上定义的半鞅建模的。我们引入并研究了一个新概念，即完全不完全市场的概念。粗略地说，一个完全完整的市场是一个金融市场，对于这个市场，一组绝对连续的局部鞅测度在某种意义上是稠密的，这将在该问题中得到正式解释。我们证明了广泛的随机波动率模型（参见instanceHeston（1993）、Hull and White（1987）和Scott（1987））和粗糙波动率模型（参见Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2014））是完全不完整的。这项工作的主要贡献是在无模型环境下的超级复制和完全不完全市场中建立了惊人的联系。也就是说，我们证明了对于完全不完全市场，概率模型的知识不会降低超级复制价格，即经典超级复制价格等于无模型超级复制价格。我们处理两种主要的超级复制设置。

第一种设置是欧洲期权的半静态对冲，第二种设置是游戏期权的超级复制。在第一种情况下，我们假设除了交易股票外，投资者还可以以最初已知的价格在一定数量的期权（写在标的资产上）中持有静态头寸。这种假设的财务动机是，普通期权（如看涨期权）是流动的，因此应被视为一级资产，其价格在市场中给出。我们考虑有界（路径依赖）欧式期权的超级复制。我们在定理3.1中的主要结果表明，对于完全不完全市场，超级复制价格与无模型设置中的价格相同。此外，日期：2016年9月13日。2010年数学科目分类。91G10，91G20。关键词和短语。鞅测度，超复制，随机波动*部分由爱因斯坦基金会柏林项目A 2012 137号和玛丽-库里卡里尔整合项目618235号资助+在瑞士国家基金会资助的SNF 200021 153555.2 Y.Dolinsky和A.Neufeld概率模型的部分支持下，我们在定理3.3中给出了一个新的结果，即存在一个使超级复制策略的成本最小化的对冲，即存在一个最优对冲。这是通过应用Koml’os紧性原理实现的，参见Delbaen和Schachermayer（1994）中的引理A 1.1。这个紧性原则需要一个潜在的概率空间。因此，在连续时间模型自由设置下，最优套期保值的存在性是一个有待进一步研究的开放问题。在Bouchard和Nutz（2015）中，作者证明了一般准确定设置（包括无模型设置）中存在最优对冲。

在非平凡证明中，他们首先考虑了单周期情况，然后通过归纳将其推广到多周期情况。显然，这种方法仅限于离散时间设置。具有半静态套期保值的模型独立方法近年来受到了广泛关注。这方面的第一项工作是霍布森（Hobson，1998）的开创性贡献。如需了解更多最新的研究结果，请参见例如（Acciaio等人（2015年）、Beiglboeck等人（2015年）、Dolinsky和Soner（2014年、2015年（a））、Galichon、HenryLaborder和Touzi（2014年）、郭、谭和Touzi（2015年）、Hou和Ob l\'oj（2015年）以及Henry Laborder等人（2014年）。我们的第二个设置涉及游戏选项的超级复制。Kifer（2000）中引入的博弈未定权益（GCC）或博弈期权被定义为卖方和买方之间的合同，双方都有权在到期日（期限）前的任何时间行使该权利。如果买方在时间t行使合同，则他收到付款Yt，但如果卖方在买方之前行使（取消）合同，则后者收到付款Xt。差异t=Xt- Yt≥ 0是卖方因解除合同而向买方支付的违约金。针对GCC的对冲策略定义为一对（π，σ），由自筹资金组合π和代表卖方取消时间的停止时间σ组成。套期保值策略是对博弈期权的超级复制。如果无论买方选择什么行使时间，卖方都可以承担其对买方的责任（概率为1）。

超级复制价格V*定义为超级复制战略所需的最低初始资本，即任何Ξ>V*有一种超级复制战略，初始资本为Ξ。对于上述两种设置（欧式期权的半静态对冲和博弈期权的混合），我们证明了对于完全不完全市场，超级复制价格是一个微不足道的超级复制策略的最便宜成本，并且与无模型超级复制价格相一致。对于博弈期权，一个微不足道的对冲策略是一对由买入持有组合和股票价格过程的击中时间组成的组合。我们证明了对于路径无关的支付函数Xt=f（St）和Yt=f（St），超级复制价格等于g（s），其中g（由f，f决定）可以被视为凹包络的博弈变量。我们给出了最优套期保值策略的一个特征，并提供了几个例子来明确计算上述情况。我们注意到，最近针对股票套期保值受制于比例交易成本的情况研究了上述两种设置（参见Dolinsky（2013）中的博弈期权设置，以及Dolinsky and Soner（2015b）中的欧洲期权半静态混合）。在这两篇论文中，研究表明，如果贴现股价过程的对数满足条件完全支持性质（CFS）完全不完全市场3，则超级复制价格与无模型超级复制价格一致。因此，我们在本文中的结果表明，完全不完全市场（无交易成本）中的超级复制价格行为与满足CFS属性的市场中存在比例交易成本时的行为相似。直觉上，人们可能会认为完全市场的概念比CFS属性更强大。

然而，正如我们将在Remark 2.4中看到的，这两个属性通常是不可比较的。在Cvitanic、Pham和Touzi（1999）中，作者研究了存在投资组合约束和随机波动的欧式期权的超级复制。他们的一个结果是，如果随机波动率是无界的（并且满足一些连续性假设），那么，即使在无约束的情况下，超级复制价格也是买入持有超级复制投资组合的最便宜成本，并以支付的凹形包络线表示。这些结果很容易推广到美式期权的情况。作者使用的主要工具依赖于马尔可夫过程控制理论（贝尔曼方程）的偏微分方程方法。我们的结果是Cvitanic、Pham和Touzi（1999）结果的扩展。我们提出了一种纯粹的概率方法，它基于测量值的变化。我们方法的主要思想是，在一个充分丰富的概率空间中，等价鞅测度下贴现股价过程的分布集在所有鞅测度集中是稠密的。我们在引理8.1中给出了这个陈述的确切含义。使用计量变更构建密集定价分布的想法可以追溯到Kusuoka（1992年）。在这篇未发表的工作论文中，Kusuoka研究了存在比例交易成本的Black-Scholes模型中欧洲期权的超级复制价格。作者利用Girsanov定理构造了一组影子价格，使得任何布朗鞅（具有一些正则性假设）都是该集合的一个簇点。几个重要的问题仍然悬而未决，有待于未来的研究。

第一个问题是，我们的结果是否可以扩展到更一般的超级复制设置，即我们超级复制美式期权或博弈期权，并允许在欧洲和美国期权中的固定位置。最近，有几篇论文研究了离散时间背景下美式期权（含欧式期权/美式期权）的静态套期保值，见Bayraktar，Huang and Zhou（2015），Bayraktar and Zhou（2015，2016），Deng and Tan（2016），以及Hobson and Neuberger（2016）。第二个问题是，是否可以将结果推广到多个风险集的情况。我们对完全不完全市场的定义似乎也适用于这种情况。但在这种情况下，我们不清楚凹形封套的游戏差异和一个微不足道的超级复制策略的最低成本是什么。我们把技术细节留给未来的研究。另一项任务是提供一个有趣的计算示例，用于无模型半静态套期保值，包含大量期权。到目前为止还没有这样做，即使是在一项风险资产的情况下。我们在第3节和第6节中标记了更多开放性问题。论文的结构如下。在下一节中，我们将介绍完全不完全市场的概念，并论证各种随机波动模型和粗糙波动模型是完全不完全的。第5节证明了这一点。在第3节中，我们阐述并证明了我们关于欧洲期权半静态套期保值的主要结果。在第4节中，我们给出了博弈选择的主要结果。4 Y.Dolinsky和A.Neufeld此外，我们还提供了几个例子，明确计算了超级复制价格和相应的最优对冲策略。在第6节中，我们证明了博弈选择的结果。为此，我们在第7节中证明了一些辅助定理。在最后一节中，我们给出了不完全市场的确切含义。2.

完全不完整的市场无法在限定的时间范围内(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）是一个完全概率空间，它具有满足通常条件的过滤{Ft}Tt=0。我们考虑的金融市场由储蓄账户B={Bt}Tt=0和股票a={St}Tt=0组成。储蓄账户由（2.1）dBt=rtBtdt，B=1给出，其中{rt}Tt=0是一个非负适应随机过程，代表利率。我们假设{rt}Tt=0是一致有界的。（2.2）dSt=St（rtdt+νtdWt），S>0给出的风险资产，其中ν={νt}Tt=0是一个逐步可测量的过程，给定的起点ν>0满足rtνsds<∞ P-a.s.，其中W={Wt}Tt=0是关于过滤{Ft}Tt=0的布朗运动。设C（ν）是所有连续的严格正随机过程α={αt}Tt=0的集合，这些过程与由空集完成的W生成的过滤相适应，并满足：i.α=ν。二、α和α一致有界。定义2.1。由（2.1）-（2.2）给出的金融市场被称为完全不完全市场（如果有） > 0和任何进程α∈ C（ν）存在一个概率测度Q Psuch认为：i.{Wt}Tt=0是关于概率测度Q和过滤{Ft}Tt=0的布朗运动。二、（2.3）Q（kα）- νk∞> ) < ,库在哪里- vk∞:= sup0≤T≤T|ut- vt |是u和v之间相对于统一标准的距离。让我们简要地解释一下完全不完全市场定义背后的直觉。考虑贴现股价St:=StBt，t∈ [0，T]。从（2.1）-（2.2）中，我们得到了dSt=νtStdWt。因此，定义2.1表示，对于完全不完全市场，对于任何波动过程∈ C（ν），我们可以找到一个绝对连续的局部鞅测度Q P，在此情况下，贴现股价的波动率接近α。

事实上，使用密度参数，我们将看到（引理8.1）在完全不完全市场中，绝对连续局部鞅测度下的贴现股价分布集在所有局部鞅分布集中是稠密的。备注2.2。注意概率测度P已经是一个局部鞅测度。因此，通过从λP+（1）中取- λ） 其中λ>0是“小”且Q是绝对连续的局部鞅测度，我们完全不完全市场5推导如下。如果定义2.1满足，那么如果我们改变条件Q P到更严格的条件Q~ P对于等效概率度量，修改后的定义也将得到满足。本文的主要结果（见第3-4节）表明，对于完全不完全市场，超级复制价格与路径模型自由设置的价格相同。也就是说，概率模型的知识不会降低超级复制的价格。我们将为两个设置制定并证明这个结果。第一种设置是半静态欧洲期权套期保值模型。第二个设置处理游戏选项。以下命题（将在第5节中得到证明）提供了两类完全不完备的随机波动率模型。提议2.3。I.考虑以下随机波动率模型：（2.4）dνt=a（t，νt）dt+b（t，νt）d^Wt+c（t，νt）dWt，ν>0，其中^W={Wt}Tt=0是关于{Ft}Tt=0的布朗运动，与W无关。假设SDE（2.4）有唯一的强解，且解是严格正的。如果函数a，b，c:[0，T]×（0，∞) → R是连续的，对于任何t∈ [0，T]，x>0我们有b（T，x）>0，那么（2.1）-（2.2）给出的金融市场是完全不完整的。二、

设{Ft}Tt=0是由W和ν生成的过滤的通常增强。假设一个分解νt=ν（1）tν（2）tw，其中ν（1）适用于由W生成的过滤，而ν（2）独立于W。此外，假设ν（1），ν（2）是严格正的连续过程。如果lnν（2）具有条件完全支持（CFS）性质，那么（2.1）-（2.2）给出的市场是完全不完整的。回想一下，一个随机过程∑={∑t}Tt=0对于allt具有CFS属性∈ （0，T]supp（σ|[T，T]|∑|[0，T]）=C∑T[T，T]a.s.，其中Cy[T，T]是所有连续函数f:[T，T]的空间→ R+和f（t）=y。换句话说，CFS属性规定，从任何给定时间开始，资产价格路径可以以正条件概率继续任意接近任何给定路径。备注2.4。完全不完全市场的概念和CFS属性通常是不可比的。众所周知，带漂移的布朗运动满足CFS性质。因此，例如，Black-Scholes模型的原木价格满足CFS属性，但作为完整的，它显然不是完全不完整的。让我们举一个完全不完全市场的简单例子，它不能满足CFS属性。考虑一个概率空间，它支持两个独立的布朗运动W和^W以及一个伯努利随机变量ξ~ Ber（0.5），它独立于W和^W。考虑一下（2.1）-（2.2）中给出的市场，其中有r≡ 0和νt=e^WtIξ=0，t∈ [0，T]。通过观察事件{ξ=0}支持的概率测度，我们从命题2.3（通过应用两种陈述中的任何一种）推断出该市场是完全不完整的。另一方面，我们观察到它不满足CFS性质。实际上，请考虑事件D={St=ST≤ T/2}。显然，D={ξ=1}。